Диаграмма Вороного

В математике диаграмма Вороного — это разбиение плоскости на области , близкие к каждому из заданного набора объектов. Его также можно классифицировать как тесселяцию . В простейшем случае эти объекты представляют собой конечное число точек на плоскости (называемых семенами, узлами или генераторами). Для каждого семени существует соответствующая область , называемая ячейкой Вороного , состоящая из всех точек плоскости, находящихся ближе к этому семени, чем к любой другой. Диаграмма Вороного набора точек двойственна этого набора триангуляции Делоне .

Диаграмма Вороного названа в честь математика Георгия Вороного , а также называется мозаикой Вороного , разложением Вороного , разбиением Вороного или мозаикой Дирихле (в честь Питера Густава Лежена Дирихле ). Ячейки Вороного также известны как многоугольники Тиссена , в честь Альфреда Х. Тиссена . ^[1]^[2]^[3] Диаграммы Вороного имеют практическое и теоретическое применение во многих областях, в основном в науке и технике , а также в изобразительном искусстве . ^[4]^[5]

Самый простой случай

В простейшем случае, показанном на первой картинке, нам дан конечный набор точек $\{p_{1},\dots p_{n}\}$ в евклидовой плоскости . В этом случае каждый сайт $p_{k}$ - одна из этих заданных точек, а соответствующая ей ячейка Вороного $R_{k}$ состоит из каждой точки евклидовой плоскости, для которой $p_{k}$ ближайший объект: расстояние до $p_{k}$ меньше или равно минимальному расстоянию до любого другого объекта $p_{j}$ . Для еще одного сайта $p_{j}$ , точки, которые ближе к $p_{k}$ чем $p_{j}$ , или одинаково удаленные, образуют замкнутое полупространство , граница которого является серединным перпендикуляром отрезка прямой $p_{j}p_{k}$ . Клетка $R_{k}$ это пересечение всего этого $n-1$ полупространства, и, следовательно, это выпуклый многоугольник . ^[6] Когда две ячейки на диаграмме Вороного имеют общую границу, это отрезок , луч или линия, состоящая из всех точек плоскости, которые равноудалены от двух ближайших к ним точек. Вершины . диаграммы, где встречаются три или более из этих границ, представляют собой точки, имеющие три или более одинаково удаленных ближайших узла

Формальное определение

Позволять ${\textstyle X}$ быть метрическим пространством с функцией расстояния ${\textstyle d}$ . Позволять ${\textstyle K}$ — набор индексов и пусть ${\textstyle (P_{k})_{k\in K}}$ быть кортежем (индексированной коллекцией) непустых подмножеств (сайтов) в пространстве ${\textstyle X}$ . Ячейка Вороного, или область Вороного, ${\textstyle R_{k}}$ , связанный с сайтом ${\textstyle P_{k}}$ это совокупность всех точек ${\textstyle X}$ расстояние до которого ${\textstyle P_{k}}$ не больше, чем их расстояние до других сайтов ${\textstyle P_{j}}$ , где ${\textstyle j}$ отличается ли какой-либо индекс от ${\textstyle k}$ . Другими словами, если ${\textstyle d(x,\,A)=\inf\{d(x,\,a)\mid a\in A\}}$ обозначает расстояние между точкой ${\textstyle x}$ и подмножество ${\textstyle A}$ , затем

$R_{k}=\{x\in X\mid d(x,P_{k})\leq d(x,P_{j})\;{\text{for all}}\;j\neq k\}$

Диаграмма Вороного — это просто набор ячеек. ${\textstyle (R_{k})_{k\in K}}$ . В принципе, некоторые сайты могут пересекаться и даже совпадать (ниже описано применение сайтов, представляющих магазины), но обычно они считаются непересекающимися. Кроме того, в определении допускается бесконечное количество узлов (эта настройка имеет приложения в геометрии чисел и кристаллографии ), но опять же во многих случаях рассматривается только конечное число узлов.

В частном случае, когда пространство представляет собой конечномерное евклидово пространство , каждый узел является точкой, точек конечно много и все они различны, тогда ячейки Вороного являются выпуклыми многогранниками , и их можно представить комбинаторно с помощью их вершины, стороны, двумерные грани и т. д. Иногда индуцированную комбинаторную структуру называют диаграммой Вороного. Однако в целом ячейки Вороного могут быть невыпуклыми и даже не связными.

В обычном евклидовом пространстве мы можем переписать формальное определение в обычных терминах. Каждый полигон Вороного ${\textstyle R_{k}}$ связан с генераторной точкой ${\textstyle P_{k}}$ .Позволять ${\textstyle X}$ — множество всех точек евклидова пространства. Позволять ${\textstyle P_{1}}$ быть точкой, которая генерирует область Вороного ${\textstyle R_{1}}$ , ${\textstyle P_{2}}$ который генерирует ${\textstyle R_{2}}$ , и ${\textstyle P_{3}}$ который генерирует ${\textstyle R_{3}}$ , и так далее. Тогда, как выразились Тран и др ., ^[7] «все местоположения в многоугольнике Вороного находятся ближе к образующей точке этого многоугольника, чем любая другая образующая точка на диаграмме Вороного в евклидовой плоскости».

Иллюстрация

В качестве простой иллюстрации рассмотрим группу магазинов в городе. Предположим, мы хотим оценить количество покупателей данного магазина. При прочих равных условиях (цена, продукция, качество обслуживания и т. д.) разумно предположить, что покупатели выбирают предпочитаемый магазин просто по соображениям расстояния: они пойдут в ближайший к ним магазин. В этом случае ячейка Вороного $R_{k}$ данного магазина $P_{k}$ можно использовать для приблизительной оценки количества потенциальных покупателей, посещающих этот магазин (который моделируется точкой в нашем городе).

Для большинства городов расстояние между точками можно измерить с помощью привычного нам метода. Евклидово расстояние :

\ell _{2}=d\left[\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\right]={\sqrt {\left(a_{1}-b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}-b_{2}\right)^{2}}}

или Манхэттенское расстояние :

d\left[\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\right]=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|

.

Соответствующие диаграммы Вороного выглядят по-разному для разных метрик расстояния.

Диаграммы Вороного по 20 точкам по двум разным метрикам

Евклидово расстояние

Расстояние Манхэттен

Характеристики

Двойственный граф диаграммы Вороного (в случае евклидова пространства с точечными узлами) соответствует триангуляции Делоне для того же набора точек.
Ближайшая пара точек соответствует двум соседним ячейкам диаграммы Вороного.
Предположим, что задана евклидова плоскость и задан дискретный набор точек. Тогда две точки множества смежны на выпуклой оболочке тогда и только тогда, когда их ячейки Вороного имеют бесконечно длинную сторону.
Если пространство является нормированным пространством и расстояние до каждого узла достигнуто (например, когда узел представляет собой компакт или замкнутый шар), то каждую ячейку Вороного можно представить как объединение отрезков, исходящих из узлов. ^[8] Как показано там, это свойство не обязательно сохраняется, если расстояние не достигнуто.
При относительно общих условиях (пространство представляет собой, возможно, бесконечномерное равномерно выпуклое пространство , может быть бесконечно много узлов общего вида и т. д.) ячейки Вороного обладают определенным свойством устойчивости: небольшим изменением формы узлов, напр. , изменение, вызванное некоторой трансляцией или искажением, приводит к небольшому изменению формы ячеек Вороного. В этом заключается геометрическая устойчивость диаграмм Вороного. ^[9] Как там показано, это свойство, вообще говоря, не выполняется, даже если пространство двумерно (но неравномерно выпукло и, в частности, неевклидово) и узлы являются точками.

История и исследования

Неофициальное использование диаграмм Вороного восходит к Декарту в 1644 году. ^[10] Питер Густав Лежен Дирихле использовал двумерные и трехмерные диаграммы Вороного в своем исследовании квадратичных форм в 1850 году.Британский врач Джон Сноу использовал диаграмму, подобную Вороному, в 1854 году, чтобы проиллюстрировать, как большинство людей, умерших во время вспышки холеры на Брод-стрит, жили ближе к зараженному насосу на Брод-стрит, чем к любому другому водяному насосу.

Диаграммы Вороного названы в честь Георгия Феодосьевича Вороного, который определил и изучил общий n -мерный случай в 1908 году. ^[11] Диаграммы Вороного, которые используются в геофизике и метеорологии для анализа пространственно распределенных данных, называются полигонами Тиссена в честь американского метеоролога Альфреда Х. Тиссена , который использовал их для оценки количества осадков на основе разрозненных измерений в 1911 году. Другие эквивалентные названия для этой концепции (или отдельных важных случаев it): многогранники Вороного, многоугольники Вороного, область(и) влияния, разложение Вороного, мозаика(ы) Вороного, мозаика(ы) Дирихле.

Примеры

Мозаики Вороного из регулярных решеток точек в двух или трех измерениях порождают многие знакомые мозаики.

2D-решетка представляет собой неправильную сотовую мозаику с равными шестиугольниками с точечной симметрией; в случае правильной треугольной решетки она правильна; в случае прямоугольной решетки шестиугольники сводятся к прямоугольникам в строках и столбцах; квадратная ; решетка дает правильную мозаику квадратов обратите внимание, что прямоугольники и квадраты также могут быть созданы другими решетками (например, решетка, определяемая векторами (1,0) и (1/2,1/2), дает квадраты).
Простая кубическая решетка дает кубические соты .
Шестиугольная плотноупакованная решетка дает замощение пространства трапезо-ромбическими додекаэдрами .
Гробоцентрированная кубическая решетка дает замощение пространства ромбическими додекаэдрами .
Объемноцентрированная кубическая решетка дает мозаику пространства усеченными октаэдрами .
Параллельные плоскости с правильными треугольными решетками, совмещенными с центрами друг друга, образуют шестиугольные призматические соты .
Определенные объемноцентрированные тетрагональные решетки образуют мозаику пространства с ромбо-шестиугольными додекаэдрами .

Определенные объемноцентрированные тетрагональные решетки образуют мозаику пространства с ромбо-шестиугольными додекаэдрами .

Для набора точек ( x , y ) с x в дискретном множестве X и y в дискретном множестве Y мы получаем прямоугольные плитки с точками не обязательно в их центрах.

Диаграммы Вороного высшего порядка

Хотя нормальная ячейка Вороного определяется как набор точек, ближайших к одной точке в S , ячейка Вороного n -го порядка определяется как набор точек, имеющих конкретный набор из n точек в S в качестве n ближайших соседей. Диаграммы Вороного высшего порядка также подразделяют пространство.

Диаграммы Вороного высшего порядка можно генерировать рекурсивно. Чтобы сгенерировать n ^йДиаграмма Вороного -порядка из множества S , начните с ( n − 1) ^й-порядка и замените каждую ячейку, порожденную X = { x ₁ , x ₂ , ..., x _{n −1} }, диаграммой Вороного, порожденной на множестве S − X .

Диаграмма Вороного для самой дальней точки

Для набора из n точек ( n − 1) ^йДиаграмма Вороного -порядка называется диаграммой Вороного в самой дальней точке.

Для данного набора точек S = { p ₁ , p ₂ , ..., p _n } диаграмма Вороного самой дальней точки делит плоскость на ячейки, в которых одна и та же точка P является самой дальней точкой. Точка P точки тогда и только тогда, когда она является вершиной выпуклой оболочки P имеет ячейку в диаграмме Вороного самой дальней . Пусть H = { h ₁ , h ₂ , ..., h _k } — выпуклая оболочка P ; тогда диаграмма Вороного с самой дальней точкой представляет собой подразделение плоскости на k ячеек, по одной для каждой точки в H , со свойством, что точка q лежит в ячейке, соответствующей узлу h _i, тогда и только тогда, когда d( q , h _i ) > d( q , pj _p ) для каждого ∈ _pj S с h i _≠ pj , _{между двумя} где d( , q ) — евклидово расстояние точками p и q . ^[12]^[13]

Границы ячеек диаграммы Вороного в самой дальней точке имеют структуру топологического дерева с бесконечными лучами в качестве его листьев. Каждое конечное дерево изоморфно дереву, сформированному таким образом из диаграммы Вороного в самой дальней точке. ^[14]

Обобщения и вариации

Как следует из определения, ячейки Вороного могут быть определены для метрик, отличных от евклидовых, таких как расстояние Махаланобиса или расстояние Манхэттена . Однако в этих случаях границы ячеек Вороного могут быть более сложными, чем в евклидовом случае, поскольку эквидистантное множество для двух точек может не быть подпространством коразмерности 1 даже в двумерном случае.

Взвешенная диаграмма Вороного — это диаграмма, в которой функция пары точек, определяющая ячейку Вороного, представляет собой функцию расстояния, модифицированную мультипликативными или аддитивными весами, присвоенными точкам генератора. В отличие от случая ячеек Вороного, определяемых с использованием расстояния, которое является метрикой , в этом случае некоторые ячейки Вороного могут быть пустыми. Диаграмма мощности — это тип диаграммы Вороного, определяемой из набора кругов с использованием расстояния власти ; ее также можно рассматривать как взвешенную диаграмму Вороного, в которой вес, определенный исходя из радиуса каждого круга, добавляется к квадрату евклидова расстояния от центра круга. ^[15]

Диаграмма Вороного $n$ указывает на $d$ -мерное пространство может иметь ${\textstyle O(n^{\lceil d/2\rceil })}$ вершин, требуя одинаковой оценки объема памяти, необходимой для хранения ее явного описания. Поэтому диаграммы Вороного часто неприменимы для средних или больших размерностей. Более экономичная альтернатива — использовать приближенные диаграммы Вороного . ^[16]

Диаграммы Вороного также связаны с другими геометрическими структурами, такими как медиальная ось (которая нашла применение в сегментации изображений, оптическом распознавании символов и других вычислительных приложениях), прямой скелет и диаграммы зон .

Приложения

Метеорология/Гидрология

Он используется в метеорологии и инженерной гидрологии для определения весов данных об осадках на станциях по территории (водоразделу). Точками, образующими полигоны, являются различные станции, записывающие данные об осадках. К линии, соединяющей любые две станции, проводят биссектрисы. Это приводит к образованию полигонов вокруг станций. Район $(A_{i})$ точка касания станции известна как зона влияния станции. Среднее количество осадков рассчитывается по формуле ${\bar {P}}={\frac {\sum A_{i}P_{i}}{\sum A_{i}}}$

Гуманитарные и социальные науки

В классической археологии , особенно в истории искусства , симметрия голов статуй анализируется, чтобы определить тип статуи, которой могла принадлежать отрубленная голова. Примером использования ячеек Вороного была идентификация головы Сабурова , в которой использовалась полигональная сетка высокого разрешения . ^[17]^[18]
В диалектометрии ячейки Вороного используются для обозначения предполагаемой лингвистической преемственности между точками исследования.
В политологии диаграммы Вороного использовались для изучения многомерной, многопартийной конкуренции. ^[19]

Естественные науки

В биологии диаграммы Вороного используются для моделирования ряда различных биологических структур, включая клетки. ^[20] и микроархитектура кости. ^[21] Действительно, мозаика Вороного работает как геометрический инструмент, позволяющий понять физические ограничения, которые управляют организацией биологических тканей. ^[22]
В гидрологии диаграммы Вороного используются для расчета количества осадков на определенной территории на основе серии точечных измерений. В таком случае их обычно называют полигонами Тиссена.
В экологии диаграммы Вороного используются для изучения закономерностей роста лесов и лесных пологов, а также могут быть полезны при разработке моделей прогнозирования лесных пожаров.
В этологии диаграммы Вороного используются для моделирования областей опасности в теории эгоистичного стада .
В вычислительной химии сайты связывания лигандов преобразуются в диаграммы Вороного для приложений машинного обучения (например, для классификации карманов связывания в белках). ^[23] используются ячейки Вороного, определяемые положениями ядер в молекуле В других приложениях для вычисления атомных зарядов . Это делается с помощью метода плотности деформации Вороного .
В астрофизике диаграммы Вороного используются для формирования зон адаптивного сглаживания на изображениях, складывая потоки сигналов на каждой из них. Основная цель этих процедур — поддерживать относительно постоянное соотношение сигнал/шум на всех изображениях.
В вычислительной гидродинамике мозаика Вороного набора точек может использоваться для определения вычислительных областей, используемых в методах конечных объемов , например, в космологическом коде с подвижной сеткой AREPO. ^[24]
В вычислительной физике диаграммы Вороного используются для расчета профилей объекта с помощью Shadowgraph и протонной радиографии в физике высокой плотности энергии . ^[25]

Здоровье

В медицинской диагностике модели мышечной ткани, основанные на диаграммах Вороного, могут использоваться для выявления нервно-мышечных заболеваний. ^[22]
В эпидемиологии диаграммы Вороного можно использовать для корреляции источников инфекций при эпидемиях. Одно из первых применений диаграмм Вороного было применено Джоном Сноу для изучения вспышки холеры на Брод-стрит в 1854 году в Сохо, Англия. Он показал корреляцию между жилыми районами на карте центрального Лондона, жители которых пользовались определенным водяным насосом, и районами с наибольшим количеством смертей из-за вспышки. ^[26]

Инженерное дело

В физике полимеров диаграммы Вороного можно использовать для представления свободных объемов полимеров.
В материаловедении поликристаллические микроструктуры в металлических сплавах обычно представляют с помощью мозаик Вороного.
При росте островов диаграмма Вороного используется для оценки скорости роста отдельных островов. ^[27]^[28]^[29]^[30]^[31]
В физике твердого тела ячейка Вигнера -Зейтца представляет собой мозаику Вороного твердого тела, а зона Бриллюэна — мозаику Вороного обратного ( волнового числа ) пространства кристаллов, обладающих симметрией пространственной группы.
В авиации диаграммы Вороного накладываются на океанические карты, чтобы определить ближайший аэродром для отклонения в полете (см. ETOPS ) по мере выполнения самолета по плану полета.
В архитектуре образцы Вороного легли в основу победившей работы по реконструкции Центра искусств Голд-Кост . ^[32]
В городском планировании диаграммы Вороного можно использовать для оценки системы зон погрузки грузов. ^[33]
В горнодобывающей промышленности полигоны Вороного используются для оценки запасов ценных материалов, полезных ископаемых или других ресурсов. В качестве набора точек на полигонах Вороного используются разведочные скважины.
В метрологии поверхности тесселяция Вороного может использоваться для шероховатости поверхности . моделирования ^[34]
В робототехнике некоторые стратегии управления и алгоритмы планирования пути ^[35] многороботных систем основаны на разбиении среды Вороного. ^[36]^[37]

Математика

Структура данных о местоположении точки может быть построена поверх диаграммы Вороного, чтобы отвечать на запросы ближайших соседей , когда нужно найти объект, ближайший к данной точке запроса. Запросы ближайших соседей имеют множество применений. Например, можно захотеть найти ближайшую больницу или наиболее похожий объект в базе данных . Большим применением является векторное квантование , обычно используемое при сжатии данных .
В геометрии диаграммы Вороного можно использовать для поиска наибольшего пустого круга среди набора точек и во вмещающем многоугольнике; например, построить новый супермаркет как можно дальше от всех существующих, находящихся в определенном городе.
Диаграммы Вороного вместе с диаграммами Вороного для самой дальней точки используются для эффективных алгоритмов вычисления округлости набора точек. ^[12] Подход Вороного также применяется при оценке округлости/ круглости при оценке набора данных с координатно-измерительной машины .
Нули повторных производных рациональной функции на комплексной плоскости накапливаются на краях диаграммы Вороного множества полюсов ( теорема Пойа о графстве ^[38]).

Информатика

В сетях диаграммы Вороного могут быть использованы для определения пропускной способности беспроводной сети .
В компьютерной графике диаграммы Вороного используются для расчета трехмерных геометрических моделей разрушения/разрыва. Он также используется для процедурного создания органических текстур или текстур, похожих на лаву.
В автономной навигации роботов диаграммы Вороного используются для поиска четких маршрутов. Если точки являются препятствиями, то ребрами графа будут маршруты, наиболее удаленные от препятствий (и теоретически от любых столкновений).
В машинном обучении диаграммы Вороного используются для классификации 1-NN . ^[39]
При глобальной реконструкции сцены, в том числе со случайными местоположениями датчиков и нестационарным следом, геофизическими данными и трехмерными данными турбулентности, тесселяции Вороного используются с глубоким обучением . ^[40]
При разработке пользовательского интерфейса шаблоны Вороного можно использовать для вычисления наилучшего состояния наведения для заданной точки. ^[41]

Гражданское право и планирование

В Мельбурне учащиеся государственных школ всегда имеют право посещать ближайшую к месту их проживания начальную или среднюю школу, если измерять расстояние по прямой. Таким образом, карта школьных зон представляет собой диаграмму Вороного. ^[42]

Пекарня

Украинский кондитер Динара Касько использует математические принципы диаграммы Вороного для создания силиконовых форм, изготовленных на 3D-принтере, для придания формы своим оригинальным тортам. ^[43]

Алгоритмы

Известно несколько эффективных алгоритмов построения диаграмм Вороного либо напрямую (как сама диаграмма), либо косвенно, начиная с триангуляции Делоне и затем получая ее двойственную.К прямым алгоритмам относится алгоритм Фортуны — алгоритм O ( n log( n )) для генерации диаграммы Вороного из набора точек на плоскости. Алгоритм Бойера–Ватсона , от O ( n log( n )) до O ( n ²) алгоритм построения триангуляции Делоне в любом количестве измерений, может быть использован в косвенном алгоритме для диаграммы Вороного. Алгоритм Jump Flooding может генерировать приблизительные диаграммы Вороного за постоянное время и подходит для использования на обычном графическом оборудовании. ^[44]^[45]

Алгоритм Ллойда и его обобщение с помощью алгоритма Линде – Бьюзо – Грея (также известного как кластеризация k-средних ) используют построение диаграмм Вороного в качестве подпрограммы.Эти методы чередуются между этапами построения диаграммы Вороного для набора исходных точек и этапами, на которых исходные точки перемещаются в новые места, которые являются более центральными внутри своих ячеек. Эти методы можно использовать в пространствах произвольной размерности для итеративной сходимости к специализированной форме диаграммы Вороного, называемой центроидальной мозаикой Вороного , где узлы перемещаются в точки, которые также являются геометрическими центрами их ячеек.

Вороной и 3D

Сетки Вороного также можно создавать в 3D.

Случайные точки в 3D для формирования 3D-раздела Вороного
3D Voronoi mesh of 25 random points
3D-сетка Вороного из 25 случайных точек с непрозрачностью 0,3 и точками
3D-сетка Вороного из 25 случайных точек частей выпуклых многогранников

См. также

Примечания

^ Берроу, Питер А.; Макдоннелл, Рэйчел; Макдоннелл, Рэйчел А.; Ллойд, Кристофер Д. (2015). «8.11 Ближайшие соседи: многоугольники Тиссена (Дирихле/Ворони)» . Принципы географических информационных систем . Издательство Оксфордского университета. стр. 160–. ISBN 978-0-19-874284-5 .
^ Лонгли, Пол А.; Гудчайлд, Майкл Ф.; Магуайр, Дэвид Дж.; Ринд, Дэвид В. (2005). «14.4.4.1 Многоугольники Тиссена» . Географические информационные системы и наука . Уайли. стр. 333–. ISBN 978-0-470-87001-3 .
^ Сен, Зекай (2016). «2.8.1 Многоугольники Делани, Варони и Тиссена» . Принципы пространственного моделирования в науках о Земле . Спрингер. стр. 57–. ISBN 978-3-319-41758-5 .
^ Ауренхаммер, Франц (1991). «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных». Обзоры вычислительной техники ACM . 23 (3): 345–405. дои : 10.1145/116873.116880 . S2CID 4613674 .
^ Окабе, Ацуюки; Бутс, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные замощения - концепции и применение диаграмм Вороного (2-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0-471-98635-5 .
^ Бойд, Стивен; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация . Упражнение 2.9: Издательство Кембриджского университета. п. 60. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Тран, QT; Тайнар, Д.; Сафар, М. (2009). Транзакции в крупномасштабных системах, ориентированных на данные и знания . Спрингер. п. 357. ИСБН 9783642037214 .
^ Рим 2009 .
^ Рим 2011 .
^ Сенешаль, Марджори (21 мая 1993 г.). «Математические структуры: пространственная мозаика. Концепции и приложения диаграмм Вороного. Ацуюки Окабе, Барри Бутс и Кокичи Сугихара. Уайли, Нью-Йорк, 1992. xii, 532 стр., иллюстр. $ 89,95. Серия Уайли по вероятности и математической статистике» . Наука . 260 (5111): 1170–1173. дои : 10.1126/science.260.5111.1170 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 17806355 .
^ Вороной 1908а и Вороной 1908б .
^ Jump up to: ^а ^б де Берг, Марк ; ван Кревелд, Марк ; Овермарс, Марк ; Шварцкопф, Отфрид (2008). Вычислительная геометрия (Третье изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-77974-2 . 7.4. Диаграммы Вороного для дальней точки. Содержит описание алгоритма.
^ Скюм, Свен (18 февраля 1991 г.). «Простой алгоритм вычисления наименьшего охватывающего круга». Письма об обработке информации . 37 (3): 121–125. дои : 10.1016/0020-0190(91)90030-L . , содержит простой алгоритм для вычисления диаграммы Вороного в самой дальней точке.
^ Бидль, Тереза ; Гримм, Карстен; Палиос, Леонид; Шевчук, Джонатан ; Вердоншот, Сандер (2016). «Реализация диаграмм Вороного в самой дальней точке». Материалы 28-й Канадской конференции по вычислительной геометрии (CCCG, 2016) .
^ Эдельсбруннер, Герберт (2012) [1987]. «13.6 Силовые диаграммы». Алгоритмы в комбинаторной геометрии . Монографии EATCS по теоретической информатике. Том. 10. Шпрингер-Верлаг. стр. 327–328. ISBN 9783642615689 .
^ Сунил Арья, Сунил; Маламатос, Теохарис; Маунт, Дэвид М. (2002). «Экономичные приближенные диаграммы Вороного». Материалы тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . стр. 721–730. дои : 10.1145/509907.510011 . ISBN 1581134959 . S2CID 1727373 .
^ Хёльшер, Тонио; Кремкер, Сюзанна; Мара, Юбер (2020). « Голова Сабурова в Берлине: между археологическими наблюдениями и геометрическими измерениями». Памятное издание Георгиосу Деспинису (на немецком языке). Афины, Греция: Музей Бенаки .
^ Ячейки Вороного и геодезические расстояния — глава Сабурова на YouTube . Анализ с использованием программной платформы GigaMesh, как описано Hölscher et al. ср. дои:10.11588/heidok.00027985 .
^ Лейвер, Майкл; Сердженти, Эрнест (2012). Партийная конкуренция: агентная модель . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13903-6 .
^ Бок, Мартин; Тьяги, Амит Кумар; Крефт, Ян-Ульрих; Альт, Вольфганг (2009). «Обобщенная тесселяция Вороного как модель двумерной динамики клеточной ткани». Бюллетень математической биологии . 72 (7): 1696–1731. arXiv : 0901.4469v1 . Бибкод : 2009arXiv0901.4469B . дои : 10.1007/s11538-009-9498-3 . ПМИД 20082148 . S2CID 16074264 .
^ Хуэй Ли (2012). Баскурт, Атилла М; Ситник, Роберт (ред.). «Пространственное моделирование микроархитектуры кости». Обработка трехмерных изображений (3Dip) и приложения II . 8290 : 82900П. Бибкод : 2012SPIE.8290E..0PL . дои : 10.1117/12.907371 . S2CID 1505014 .
^ Jump up to: ^а ^б Санчес-Гутьеррес, Д.; Тозлуоглу, М.; Барри, доктор юридических наук; Паскаль, А.; Мао, Ю.; Эскудеро, LM (04 января 2016 г.). «Фундаментальные физические клеточные ограничения стимулируют самоорганизацию тканей» . Журнал ЭМБО . 35 (1): 77–88. дои : 10.15252/embj.201592374 . ПМК 4718000 . ПМИД 26598531 .
^ Файнштейн, Джозеф; Ши, Вэньтао; Рамануджам, Дж.; Брылинский, Михал (2021). «Бионой: представление участков связывания лигандов в белках на основе диаграмм Вороного для приложений машинного обучения». В Балланте, Флавио (ред.). Белково-лигандные взаимодействия и дизайн лекарств . Методы молекулярной биологии. Том. 2266. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer US. стр. 299–312. дои : 10.1007/978-1-0716-1209-5_17 . ISBN 978-1-0716-1209-5 . ПМИД 33759134 . S2CID 232338911 . Проверено 23 апреля 2021 г.
^ Спрингель, Волкер (2010). «E Pur si Muove: галилеевско-инвариантное космологическое гидродинамическое моделирование на движущейся сетке». МНРАС . 401 (2): 791–851. arXiv : 0901.4107 . Бибкод : 2010MNRAS.401..791S . дои : 10.1111/j.1365-2966.2009.15715.x . S2CID 119241866 .
^ Касим, Мухаммад Фирмансия (01 января 2017 г.). «Количественная теневая и протонная радиография для модуляций большой интенсивности». Физический обзор E . 95 (2): 023306. arXiv : 1607.04179 . Бибкод : 2017PhRvE..95b3306K . дои : 10.1103/PhysRevE.95.023306 . ПМИД 28297858 . S2CID 13326345 .
^ Стивен Джонсон (19 октября 2006 г.). Карта призраков: история самой ужасающей эпидемии Лондона — и как она изменила науку, города и современный мир . Издательская группа «Пингвин». п. 187. ИСБН 978-1-101-15853-1 . Проверено 16 октября 2017 г.
^ Малхеран, Пенсильвания; Блэкман, Дж. А. (1996). «Зоны захвата и масштабирование при росте однородных тонких пленок». Физический обзор B . 53 (15): 10261–7. Бибкод : 1996PhRvB..5310261M . дои : 10.1103/PhysRevB.53.10261 . ПМИД 9982595 .
^ Пимпинелли, Альберто; Тумбек, Левент; Винклер, Адольф (2014). «Масштабирование и равенство показателей при островковом зарождении: новые результаты и применение к органическим пленкам» . Журнал физической химии . 5 (6): 995–8. дои : 10.1021/jz500282t . ПМЦ 3962253 . ПМИД 24660052 .
^ Фанфони, М.; Плачиди, Э.; Протоиерей Ф.; Орсини, Э.; Пателла, Ф.; Бальзаротти, А. (2007). «Внезапное зарождение и масштабная инвариантность квантовых точек InAs на GaAs». Физический обзор Б. 75 (24): 245312. Бибкод : 2007PhRvB..75x5312F . дои : 10.1103/PhysRevB.75.245312 . ISSN 1098-0121 . S2CID 120017577 .
^ Миямото, Сатору; Мутанаббир, Усама; Халлер, Юджин Э.; Ито, Кохей М. (2009). «Пространственная корреляция самоорганизующихся изотопно чистых наноостровков Ge/Si (001)». Физический обзор B . 79 (165415): 165415. Бибкод : 2009PhRvB..79p5415M . дои : 10.1103/PhysRevB.79.165415 . ISSN 1098-0121 . S2CID 13719907 .
^ Лёбл, Матиас К.; Чжай, Лян; Ян, Ян-Филипп; Ритцманн, Джулиан; Хо, Юнхэн; Вик, Андреас Д.; Шмидт, Оливер Г.; Людвиг, Арне; Растелли, Армандо; Уорбертон, Ричард Дж. (3 октября 2019 г.). «Корреляция между оптическими свойствами и площадью ячейки Вороного квантовых точек». Физический обзор B . 100 (15): 155402. arXiv : 1902.10145 . Бибкод : 2019PhRvB.100o5402L . дои : 10.1103/physrevb.100.155402 . ISSN 2469-9950 . S2CID 119443529 .
^ «КУЛЬТУРНЫЙ УЧАСТОК ГОЛД-КОСТ» . АРМ Архитектура. Архивировано из оригинала 7 июля 2016 г. Проверено 28 апреля 2014 г.
^ Лопес, К.; Чжао, К.-Л.; Магниол, С; Чиабо, Н.; Леклерк, Л. (28 февраля 2019 г.). «Микроскопическое моделирование движения грузовых автомобилей при парковке как мера управления зоной погрузки грузов» . Устойчивость . 11 (5), 1276.
^ Сингх, К.; Садеги, Ф.; Корренс, М.; Бласс, Т. (декабрь 2019 г.). «Подход, основанный на микроструктуре, к моделированию влияния шероховатости поверхности на усталость при растяжении» . Международный журнал усталости . 129 : 105229. doi : 10.1016/j.ijfatigue.2019.105229 . S2CID 202213370 .
^ Ню, Ханлин; Савварис, Ал; Цурдос, Антониос; Цзи, Зе (2019). «Алгоритм планирования пути для беспилотных надводных транспортных средств на основе дорожной карты Вороного» (PDF) . Журнал навигации . 72 (4): 850–874. дои : 10.1017/S0373463318001005 . S2CID 67908628 .
^ Кортес, Дж.; Мартинес, С.; Каратас, Т.; Булло, Ф. (апрель 2004 г.). «Контроль покрытия мобильных сенсорных сетей» . Транзакции IEEE по робототехнике и автоматизации . 20 (2): 243–255. дои : 10.1109/TRA.2004.824698 . ISSN 2374-958X . S2CID 2022860 .
^ Теруэль, Энрике; Арагес, Росарио; Лопес-Николас, Гонсало (апрель 2021 г.). «Практический метод равномерного покрытия роем динамической области» . Письма IEEE по робототехнике и автоматизации . 6 (2): 1359–1366. дои : 10.1109/LRA.2021.3057568 . ISSN 2377-3766 . S2CID 232071627 .
^ Полиа, Г. О нулях производных функции и ее аналитическом характере. БюллетеньAMS, том 49, выпуск 3, 178–191, 1943 г.
^ Митчелл, Том М. (1997). Машинное обучение (международное изд.). МакГроу-Хилл. п. 233 . ISBN 978-0-07-042807-2 .
^ Шенвай, Танушри (18 ноября 2021 г.). «Новая методика глубокого обучения, которая восстанавливает глобальные поля без использования организованных данных датчиков» . МаркТехПост . Проверено 5 декабря 2021 г.
^ Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : «Марк ДиМарко: алгоритмы пользовательского интерфейса [JSConf2014]» – через www.youtube.com.
^ «Найди мою школу» . Государственный департамент образования штата Виктория . Проверено 25 июля 2023 г.
^ Хариди, Рич (6 сентября 2017 г.). «Архитектор, ставший кондитером, готовит аппетитные геометрические торты, напечатанные на 3D-принтере» . Новый Атлас .
^ Ронг, Годун; Тан, Тиоу Сенг (2006). «Переполнение графического процессора приложениями к диаграмме Вороного и дистанционному преобразованию» (PDF) . В Олано, Марк; Секин, Карло Х. (ред.). Материалы симпозиума по интерактивной 3D-графике 2006 г., SI3D 2006, 14–17 марта 2006 г., Редвуд-Сити, Калифорния, США . АКМ. стр. 109–116. дои : 10.1145/1111411.1111431 . ISBN 1-59593-295-Х .
^ «Шедертой» .

Ссылки

Ауренхаммер, Франц ; Кляйн, Рольф; Ли, Дер-Цай (2013). Диаграммы Вороного и триангуляции Делоне . Всемирная научная. ISBN 978-9814447638 .
Бойер, Адриан (1981). «Вычисление мозаики Дирихле» . Вычислить. Дж. 24 (2): 162–166. дои : 10.1093/comjnl/24.2.162 .
де Берг, Марк; ван Кревелд, Марк; Овермарс, Марк ; Шварцкопф, Отфрид (2000). «7. Диаграммы Вороного» . Вычислительная геометрия (2-е исправленное изд.). Спрингер. стр. 47–163. ISBN 978-3-540-65620-3 . Включает описание алгоритма Фортуны.
Кляйн, Рольф (1988). «Абстрактные диаграммы Вороного и их приложения: Расширенный реферат». Вычислительная геометрия и ее приложения . Конспекты лекций по информатике . Том. 333. Спрингер. стр. 148–157. дои : 10.1007/3-540-50335-8_31 . ISBN 978-3-540-52055-9 .
Лежен Дирихле, Ж. (1850). «О приведении положительных квадратичных форм с тремя неопределенными целыми числами». Журнал чистой и прикладной математики . 1850 (40): 209–227. дои : 10.1515/crll.1850.40.209 . S2CID 199546675 .
Окабе, Ацуюки; Бутс, Барри; Сугихара, Кокичи ; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные замощения - концепции и применение диаграмм Вороного (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-98635-6 .
Рим, Дэниел (2009). «Алгоритм вычисления диаграмм Вороного общих генераторов в общих нормированных пространствах». Материалы шестого международного симпозиума по диаграммам Вороного в науке и технике (ISVD 2009) . стр. 144–152. дои : 10.1109/ИСВД.2009.23 . ISBN 978-1-4244-4769-5 .
Рим, Дэниел (2011). «Геометрическая устойчивость диаграмм Вороного относительно небольших изменений узлов». Материалы двадцать седьмого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии . стр. 254–263. arXiv : 1103.4125 . Бибкод : 2011arXiv1103.4125R . дои : 10.1145/1998196.1998234 . ISBN 9781450306829 . S2CID 14639512 .
Тиссен, Альфред Х. (июль 1911 г.). «Среднее количество осадков на больших территориях» . Ежемесячный обзор погоды . 39 (7). Американское метеорологическое общество: 1082–1089. Бибкод : 1911MWRv...39R1082T . doi : 10.1175/1520-0493(1911)39<1082b:pafla>2.0.co;2 .
Вороной, Жорж (1908а). «Новые приложения непрерывных параметров к теории квадратичных форм. Первая диссертация. О некоторых свойствах совершенных положительных квадратичных форм» (PDF) . Журнал для королевы и математики . 1908 (133): 97–178. дои : 10.1515/crll.1908.133.97 . S2CID 116775758 .
Вороной, Жорж (1908b). «Новые применения непрерывных параметров в теории квадратичных форм. Вторая диссертация. Исследование примитивных параллелоэдров» (PDF) . Журнал для королевы и математики . 1908 (134): 198–287. дои : 10.1515/crll.1908.134.198 . S2CID 118441072 .
Уотсон, Дэвид Ф. (1981). «Вычисление n- мерной мозаики Делоне с применением к многогранникам Вороного» . Вычислить. Дж. 24 (2): 167–172. дои : 10.1093/comjnl/24.2.167 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Диаграмма Вороного» . Математический мир .
Диаграммы Вороного в CGAL , библиотеке алгоритмов вычислительной геометрии
Демонстрационная программа для алгоритма SFTessellation, которая создает диаграмму Вороного с использованием модели степного пожара.

[1] Берроу, Питер А.; Макдоннелл, Рэйчел; Макдоннелл, Рэйчел А.; Ллойд, Кристофер Д. (2015). «8.11 Ближайшие соседи: многоугольники Тиссена (Дирихле/Ворони)» . Принципы географических информационных систем . Издательство Оксфордского университета. стр. 160–. ISBN 978-0-19-874284-5 .

[2] Лонгли, Пол А.; Гудчайлд, Майкл Ф.; Магуайр, Дэвид Дж.; Ринд, Дэвид В. (2005). «14.4.4.1 Многоугольники Тиссена» . Географические информационные системы и наука . Уайли. стр. 333–. ISBN 978-0-470-87001-3 .

[3] Сен, Зекай (2016). «2.8.1 Многоугольники Делани, Варони и Тиссена» . Принципы пространственного моделирования в науках о Земле . Спрингер. стр. 57–. ISBN 978-3-319-41758-5 .

[4] Ауренхаммер, Франц (1991). «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных». Обзоры вычислительной техники ACM . 23 (3): 345–405. дои : 10.1145/116873.116880 . S2CID 4613674 .

[5] Окабе, Ацуюки; Бутс, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные замощения - концепции и применение диаграмм Вороного (2-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0-471-98635-5 .

[6] Бойд, Стивен; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация . Упражнение 2.9: Издательство Кембриджского университета. п. 60. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[Tran09-7] Тран, QT; Тайнар, Д.; Сафар, М. (2009). Транзакции в крупномасштабных системах, ориентированных на данные и знания . Спрингер. п. 357. ИСБН 9783642037214 .

[Reem_alg-8] Рим 2009 .

[Reem_geo_stable-9] Рим 2011 .

[10] Сенешаль, Марджори (21 мая 1993 г.). «Математические структуры: пространственная мозаика. Концепции и приложения диаграмм Вороного. Ацуюки Окабе, Барри Бутс и Кокичи Сугихара. Уайли, Нью-Йорк, 1992. xii, 532 стр., иллюстр. $ 89,95. Серия Уайли по вероятности и математической статистике» . Наука . 260 (5111): 1170–1173. дои : 10.1126/science.260.5111.1170 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 17806355 .

[11] Вороной 1908а и Вороной 1908б .

[berg2008-12] Jump up to: ^а ^б де Берг, Марк ; ван Кревелд, Марк ; Овермарс, Марк ; Шварцкопф, Отфрид (2008). Вычислительная геометрия (Третье изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-77974-2 . 7.4. Диаграммы Вороного для дальней точки. Содержит описание алгоритма.

[13] Скюм, Свен (18 февраля 1991 г.). «Простой алгоритм вычисления наименьшего охватывающего круга». Письма об обработке информации . 37 (3): 121–125. дои : 10.1016/0020-0190(91)90030-L . , содержит простой алгоритм для вычисления диаграммы Вороного в самой дальней точке.

[14] Бидль, Тереза ; Гримм, Карстен; Палиос, Леонид; Шевчук, Джонатан ; Вердоншот, Сандер (2016). «Реализация диаграмм Вороного в самой дальней точке». Материалы 28-й Канадской конференции по вычислительной геометрии (CCCG, 2016) .

[15] Эдельсбруннер, Герберт (2012) [1987]. «13.6 Силовые диаграммы». Алгоритмы в комбинаторной геометрии . Монографии EATCS по теоретической информатике. Том. 10. Шпрингер-Верлаг. стр. 327–328. ISBN 9783642615689 .

[16] Сунил Арья, Сунил; Маламатос, Теохарис; Маунт, Дэвид М. (2002). «Экономичные приближенные диаграммы Вороного». Материалы тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . стр. 721–730. дои : 10.1145/509907.510011 . ISBN 1581134959 . S2CID 1727373 .

[Hoelscher20a-17] Хёльшер, Тонио; Кремкер, Сюзанна; Мара, Юбер (2020). « Голова Сабурова в Берлине: между археологическими наблюдениями и геометрическими измерениями». Памятное издание Георгиосу Деспинису (на немецком языке). Афины, Греция: Музей Бенаки .

[Hoelscher20b-18] Ячейки Вороного и геодезические расстояния — глава Сабурова на YouTube . Анализ с использованием программной платформы GigaMesh, как описано Hölscher et al. ср. дои:10.11588/heidok.00027985 .

[19] Лейвер, Майкл; Сердженти, Эрнест (2012). Партийная конкуренция: агентная модель . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13903-6 .

[20] Бок, Мартин; Тьяги, Амит Кумар; Крефт, Ян-Ульрих; Альт, Вольфганг (2009). «Обобщенная тесселяция Вороного как модель двумерной динамики клеточной ткани». Бюллетень математической биологии . 72 (7): 1696–1731. arXiv : 0901.4469v1 . Бибкод : 2009arXiv0901.4469B . дои : 10.1007/s11538-009-9498-3 . ПМИД 20082148 . S2CID 16074264 .

[21] Хуэй Ли (2012). Баскурт, Атилла М; Ситник, Роберт (ред.). «Пространственное моделирование микроархитектуры кости». Обработка трехмерных изображений (3Dip) и приложения II . 8290 : 82900П. Бибкод : 2012SPIE.8290E..0PL . дои : 10.1117/12.907371 . S2CID 1505014 .

[Sanchez-Gutierrez_77–88-22] Jump up to: ^а ^б Санчес-Гутьеррес, Д.; Тозлуоглу, М.; Барри, доктор юридических наук; Паскаль, А.; Мао, Ю.; Эскудеро, LM (04 января 2016 г.). «Фундаментальные физические клеточные ограничения стимулируют самоорганизацию тканей» . Журнал ЭМБО . 35 (1): 77–88. дои : 10.15252/embj.201592374 . ПМК 4718000 . ПМИД 26598531 .

[23] Файнштейн, Джозеф; Ши, Вэньтао; Рамануджам, Дж.; Брылинский, Михал (2021). «Бионой: представление участков связывания лигандов в белках на основе диаграмм Вороного для приложений машинного обучения». В Балланте, Флавио (ред.). Белково-лигандные взаимодействия и дизайн лекарств . Методы молекулярной биологии. Том. 2266. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer US. стр. 299–312. дои : 10.1007/978-1-0716-1209-5_17 . ISBN 978-1-0716-1209-5 . ПМИД 33759134 . S2CID 232338911 . Проверено 23 апреля 2021 г.

[24] Спрингель, Волкер (2010). «E Pur si Muove: галилеевско-инвариантное космологическое гидродинамическое моделирование на движущейся сетке». МНРАС . 401 (2): 791–851. arXiv : 0901.4107 . Бибкод : 2010MNRAS.401..791S . дои : 10.1111/j.1365-2966.2009.15715.x . S2CID 119241866 .

[25] Касим, Мухаммад Фирмансия (01 января 2017 г.). «Количественная теневая и протонная радиография для модуляций большой интенсивности». Физический обзор E . 95 (2): 023306. arXiv : 1607.04179 . Бибкод : 2017PhRvE..95b3306K . дои : 10.1103/PhysRevE.95.023306 . ПМИД 28297858 . S2CID 13326345 .

[Johnson2006-26] Стивен Джонсон (19 октября 2006 г.). Карта призраков: история самой ужасающей эпидемии Лондона — и как она изменила науку, города и современный мир . Издательская группа «Пингвин». п. 187. ИСБН 978-1-101-15853-1 . Проверено 16 октября 2017 г.

[MulheranBlackman1996-27] Малхеран, Пенсильвания; Блэкман, Дж. А. (1996). «Зоны захвата и масштабирование при росте однородных тонких пленок». Физический обзор B . 53 (15): 10261–7. Бибкод : 1996PhRvB..5310261M . дои : 10.1103/PhysRevB.53.10261 . ПМИД 9982595 .

[PimpinelliTumbek2014-28] Пимпинелли, Альберто; Тумбек, Левент; Винклер, Адольф (2014). «Масштабирование и равенство показателей при островковом зарождении: новые результаты и применение к органическим пленкам» . Журнал физической химии . 5 (6): 995–8. дои : 10.1021/jz500282t . ПМЦ 3962253 . ПМИД 24660052 .

[FanfoniPlacidi2007-29] Фанфони, М.; Плачиди, Э.; Протоиерей Ф.; Орсини, Э.; Пателла, Ф.; Бальзаротти, А. (2007). «Внезапное зарождение и масштабная инвариантность квантовых точек InAs на GaAs». Физический обзор Б. 75 (24): 245312. Бибкод : 2007PhRvB..75x5312F . дои : 10.1103/PhysRevB.75.245312 . ISSN 1098-0121 . S2CID 120017577 .

[MiyamotoMoutanabbir2009-30] Миямото, Сатору; Мутанаббир, Усама; Халлер, Юджин Э.; Ито, Кохей М. (2009). «Пространственная корреляция самоорганизующихся изотопно чистых наноостровков Ge/Si (001)». Физический обзор B . 79 (165415): 165415. Бибкод : 2009PhRvB..79p5415M . дои : 10.1103/PhysRevB.79.165415 . ISSN 1098-0121 . S2CID 13719907 .

[Löbl_Zhai_Jahn_Ritzmann_p.-31] Лёбл, Матиас К.; Чжай, Лян; Ян, Ян-Филипп; Ритцманн, Джулиан; Хо, Юнхэн; Вик, Андреас Д.; Шмидт, Оливер Г.; Людвиг, Арне; Растелли, Армандо; Уорбертон, Ричард Дж. (3 октября 2019 г.). «Корреляция между оптическими свойствами и площадью ячейки Вороного квантовых точек». Физический обзор B . 100 (15): 155402. arXiv : 1902.10145 . Бибкод : 2019PhRvB.100o5402L . дои : 10.1103/physrevb.100.155402 . ISSN 2469-9950 . S2CID 119443529 .

[32] «КУЛЬТУРНЫЙ УЧАСТОК ГОЛД-КОСТ» . АРМ Архитектура. Архивировано из оригинала 7 июля 2016 г. Проверено 28 апреля 2014 г.

[33] Лопес, К.; Чжао, К.-Л.; Магниол, С; Чиабо, Н.; Леклерк, Л. (28 февраля 2019 г.). «Микроскопическое моделирование движения грузовых автомобилей при парковке как мера управления зоной погрузки грузов» . Устойчивость . 11 (5), 1276.

[34] Сингх, К.; Садеги, Ф.; Корренс, М.; Бласс, Т. (декабрь 2019 г.). «Подход, основанный на микроструктуре, к моделированию влияния шероховатости поверхности на усталость при растяжении» . Международный журнал усталости . 129 : 105229. doi : 10.1016/j.ijfatigue.2019.105229 . S2CID 202213370 .

[35] Ню, Ханлин; Савварис, Ал; Цурдос, Антониос; Цзи, Зе (2019). «Алгоритм планирования пути для беспилотных надводных транспортных средств на основе дорожной карты Вороного» (PDF) . Журнал навигации . 72 (4): 850–874. дои : 10.1017/S0373463318001005 . S2CID 67908628 .

[36] Кортес, Дж.; Мартинес, С.; Каратас, Т.; Булло, Ф. (апрель 2004 г.). «Контроль покрытия мобильных сенсорных сетей» . Транзакции IEEE по робототехнике и автоматизации . 20 (2): 243–255. дои : 10.1109/TRA.2004.824698 . ISSN 2374-958X . S2CID 2022860 .

[37] Теруэль, Энрике; Арагес, Росарио; Лопес-Николас, Гонсало (апрель 2021 г.). «Практический метод равномерного покрытия роем динамической области» . Письма IEEE по робототехнике и автоматизации . 6 (2): 1359–1366. дои : 10.1109/LRA.2021.3057568 . ISSN 2377-3766 . S2CID 232071627 .

[38] Полиа, Г. О нулях производных функции и ее аналитическом характере. БюллетеньAMS, том 49, выпуск 3, 178–191, 1943 г.

[39] Митчелл, Том М. (1997). Машинное обучение (международное изд.). МакГроу-Хилл. п. 233 . ISBN 978-0-07-042807-2 .

[40] Шенвай, Танушри (18 ноября 2021 г.). «Новая методика глубокого обучения, которая восстанавливает глобальные поля без использования организованных данных датчиков» . МаркТехПост . Проверено 5 декабря 2021 г.

[41] Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : «Марк ДиМарко: алгоритмы пользовательского интерфейса [JSConf2014]» – через www.youtube.com.

[42] «Найди мою школу» . Государственный департамент образования штата Виктория . Проверено 25 июля 2023 г.

[43] Хариди, Рич (6 сентября 2017 г.). «Архитектор, ставший кондитером, готовит аппетитные геометрические торты, напечатанные на 3D-принтере» . Новый Атлас .

[44] Ронг, Годун; Тан, Тиоу Сенг (2006). «Переполнение графического процессора приложениями к диаграмме Вороного и дистанционному преобразованию» (PDF) . В Олано, Марк; Секин, Карло Х. (ред.). Материалы симпозиума по интерактивной 3D-графике 2006 г., SI3D 2006, 14–17 марта 2006 г., Редвуд-Сити, Калифорния, США . АКМ. стр. 109–116. дои : 10.1145/1111411.1111431 . ISBN 1-59593-295-Х .

[45] «Шедертой» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST
National	France BnF data Germany Israel United States
Other	IdRef