М/Д/Ц хвост

В теории массового обслуживания , дисциплине математической теории вероятностей , очередь M/D/c представляет длину очереди в системе, имеющей c серверов, где прибытия определяются процессом Пуассона , а время обслуживания заданий фиксировано (детерминировано). Название модели написано в нотации Кендалла . ^[1] Агнер Краруп Эрланг впервые опубликовал эту модель в 1909 году, положив начало теме теории массового обслуживания . ^[2]^[3] Эта модель является расширением очереди M/D/1 , имеющей только один сервер.

Определение модели

Очередь M/D/ c — это стохастический процесс, пространство состояний которого представляет собой набор {0,1,2,3,...}, где значение соответствует количеству клиентов в системе, включая всех, кто в данный момент обслуживается.

Поступления происходят со скоростью λ в соответствии с процессом Пуассона и переводят процесс из состояния i в состояние i + 1.
Время обслуживания представляет собой детерминированное время D (обслуживание со скоростью µ = 1/ D ).
Серверы c обслуживают клиентов в начале очереди, в соответствии с принципом «первым пришел — первым обслужен» . По завершении обслуживания клиент покидает очередь, и количество клиентов в системе уменьшается на одного.
Буфер имеет бесконечный размер, поэтому количество клиентов, которые он может содержать, не ограничено.

Распределение времени ожидания

Эрланг показал, что когда ρ = ( λ D )/ c < 1, распределение времени ожидания имеет распределение F( y ), заданное формулой ^[4]

F(y)=\int _{0}^{\infty }F(x+y-D){\frac {\lambda ^{c}x^{c-1}}{(c-1)!}}e^{-\lambda x}{\text{d}}x,\quad y\geq 0\quad c\in \mathbb {N} .

Кроммелин показал, что, записывая P _n для стационарной вероятности системы с n или меньшим количеством клиентов, ^[5]

\mathbb {P} (W\leq x)=\sum _{n=0}^{c-1}P_{n}\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-\lambda (x-kD))^{(k+1)c-1-n}}{((K+1)c-1-n)!}}e^{\lambda (x-kD)},\quad mD\leq x<(m+1)D.

Ссылки

^ Кендалл, генеральный директор (1953). «Стохастические процессы, возникающие в теории массового обслуживания, и их анализ методом вложенной цепи Маркова» . Анналы математической статистики . 24 (3): 338–354. дои : 10.1214/aoms/1177728975 . JSTOR 2236285 .
^ Кингман, JFC (2009). «Первый век Эрланга — и следующий». Системы массового обслуживания . 63 (1–4): 3–4. дои : 10.1007/s11134-009-9147-4 .
^ «Теория вероятностей и телефонные разговоры» (PDF) . Ныт Тидсскрифт для Математик Б. 20 : 33–39. 1909. Архивировано из оригинала (PDF) 7 февраля 2012 г.
^ Франкс, Дж.Дж. (2001). «Простое решение для распределения времени ожидания M/D/C». Письма об исследованиях операций . 29 (5): 221–229. дои : 10.1016/S0167-6377(01)00108-0 .
^ Кроммелин, CD (1932). «Формулы вероятности задержки при постоянном времени ожидания». ПО Электр. инженер Дж . 25 : 41–50.

[1] Кендалл, генеральный директор (1953). «Стохастические процессы, возникающие в теории массового обслуживания, и их анализ методом вложенной цепи Маркова» . Анналы математической статистики . 24 (3): 338–354. дои : 10.1214/aoms/1177728975 . JSTOR 2236285 .

[2] Кингман, JFC (2009). «Первый век Эрланга — и следующий». Системы массового обслуживания . 63 (1–4): 3–4. дои : 10.1007/s11134-009-9147-4 .

[3] «Теория вероятностей и телефонные разговоры» (PDF) . Ныт Тидсскрифт для Математик Б. 20 : 33–39. 1909. Архивировано из оригинала (PDF) 7 февраля 2012 г.

[franx-4] Франкс, Дж.Дж. (2001). «Простое решение для распределения времени ожидания M/D/C». Письма об исследованиях операций . 29 (5): 221–229. дои : 10.1016/S0167-6377(01)00108-0 .

[5] Кроммелин, CD (1932). «Формулы вероятности задержки при постоянном времени ожидания». ПО Электр. инженер Дж . 25 : 41–50.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Теория массового обслуживания
Одиночные узлы массового обслуживания	Д/М/1 хвост М/Д/1 хвост М/Д/Ц хвост Очередь М/М/1 Теорема Берка Очередь М/М/Ц Очередь М/М/∞ Очередь M/G/1 Формула Поллачека – Хинчина Матричный аналитический метод Очередь M/G/k Очередь G/M/1 Очередь G/G/1 Формула Кингмана Уравнение Линдли Разветвить очередь – присоединиться к ней Массовая очередь
Процессы прибытия	Точный процесс Пуассона Марковский процесс прибытия Рациональный процесс прибытия
Сети массового обслуживания	Сеть Джексона Уравнения дорожного движения Теорема Гордона – Ньюэлла Анализ среднего значения Алгоритм Бузена сеть Келли G-сеть Сеть BCMP
Политика обслуживания	ФИФО ЛИФО Совместное использование процессора Круговой Самая короткая работа следующая Кратчайшее оставшееся время
Ключевые понятия	Цепь Маркова с непрерывным временем Обозначения Кендалла Закон Литтла Решение в форме продукта Уравнение баланса Квазиобратимость Потоко-эквивалентный серверный метод Теорема о прибытии Метод разложения метод Бенеша
Предельные теоремы	Предел жидкости Теория среднего поля Приближение интенсивного движения Отраженное броуновское движение
Расширения	Жидкая очередь Многоуровневая сеть массового обслуживания Система опроса Состязательная сеть массового обслуживания Сеть потерь Очередь повторных попыток
Информационные системы	Буфер данных Эрланг (единица измерения) Распределение Эрланга Управление потоком (данные) Очередь сообщений Перегрузка сети Сетевой планировщик Конвейер (программное обеспечение) Качество обслуживания Планирование (вычисления) Телетрафик инжиниринг
Категория

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category