Глоссарий алгебраической топологии

Это глоссарий свойств и понятий алгебраической топологии в математике.

См. также: глоссарий топологии , список тем алгебраической топологии , глоссарий теории категорий , глоссарий дифференциальной геометрии и топологии , Хронология многообразий .

• Условное обозначение : на протяжении всей статьи I обозначает единичный интервал S. ^н n -сфера ​ и D ^н n - диск. Кроме того, на протяжении всей статьи предполагается, что пробелы являются разумными ; это может означать, например, что пространство представляет собой комплекс CW или компактно порожденное слабо хаусдорфово пространство . Точно так же не делается никаких попыток дать окончательное определение спектра . Симплициальное множество не рассматривается как пространство; т.е. мы обычно различаем симплициальные множества и их геометрические реализации.
• Критерий включения : поскольку в настоящее время в Википедии нет глоссария гомологической алгебры , этот глоссарий также включает несколько понятий гомологической алгебры (например, цепную гомотопию); некоторые концепции геометрической топологии и дифференциальной топологии также являются честной игрой. С другой стороны, элементы, которые появляются в глоссарии топологии, обычно опускаются. Абстрактная теория гомотопий и мотивная теория гомотопий также выходят за рамки рассмотрения. Глоссарий теории категорий охватывает (или будет охватывать) концепции теории модельных категорий . См. глоссарий симплектической геометрии, чтобы узнать о темах симплектической топологии, таких как квантование.

!$@

*

Базовая точка базируемого пространства.

$X_{+}$

Для неосновного пространства X X + _— это базируемое пространство, полученное путем присоединения непересекающейся базовой точки.

А

абсолютное сокращение соседства

абстрактный

1. Абстрактная теория гомотопий.

Адамс

1. Джон Фрэнк Адамс .

2. Спектральная последовательность Адамса .

3. Гипотеза Адамса .

4. Адамса Электронный инвариант .

5. Операции Адамса .

Александр двойственность

Александр двойственность

Александр трюк

Трюк Александра создает часть карты ограничений. $\operatorname {Top} (D^{n+1})\to \operatorname {Top} (S^{n})$, Top обозначает группу гомеоморфизмов ; а именно, сечение задается отправкой гомеоморфизма $f:S^{n}\to S^{n}$ к гомеоморфизму

${\widetilde {f}}:D^{n+1}\to D^{n+1},\,0\mapsto 0,0\neq x\mapsto |x|f(x/|x|)$.

Этот раздел на самом деле является обратным к гомотопии.

Анализ сайта

приблизительное расслоение

1. Приближенное расслоение , обобщение расслоения и проектор в локально тривиальном расслоении.

2. Аппроксимационное расслоение многообразия — это собственное аппроксимативное расслоение между многообразиями.

асферическое пространство

Асферическое пространство

карта сборки

Атья

1. Майкл Атья .

2. Двойственность Атьи .

3. Спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха .

Б

строительство бара

базируемое пространство

Пара ( X , x0 _{) ,} из пространства X точки x0 _и в X. состоящая

Номер Бетти

Гипотеза Бинга – Борсука

См. гипотезу Бинга – Борсука .

Гомоморфизм Бокштейна

Борель

Гипотеза Бореля .

Гомологии Бореля – Мура

Теорема Борсука

Ботт

1. Рауль Ботт .

2. Теорема Ботта о периодичности для унитарных групп гласит: $\pi _{q}U=\pi _{q+2}U,q\geq 0$.

3. Теорема Ботта о периодичности для ортогональных групп гласит: $\pi _{q}O=\pi _{q+8}O,q\geq 0$.

Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке гласит, что любое отображение $f:D^{n}\to D^{n}$ имеет фиксированную точку.

С

крышка продукта

Кассон

Инвариант Кассона .

Чешские когомологии

Сотовая связь

1. Отображение ƒ: X → Y между комплексами CW является клеточным , если $f(X^{n})\subset Y^{n}$ для всех н .

2. Теорема о клеточной аппроксимации гласит, что каждое отображение между комплексами CW гомотопно клеточному отображению между ними.

3. Клеточная гомология – это (каноническая) гомология комплекса CW. Обратите внимание, что это относится к комплексам CW, а не к пространствам в целом. Клеточная гомология легко вычислима; это особенно полезно для пространств с естественным клеточным разложением, таких как проективные пространства или грассманиан.

гомотопия цепи

Даны карты цепочек $f,g:(C,d_{C})\to (D,d_{D})$ между цепными комплексами модулей цепная гомотопия s из f в g представляет собой последовательность гомоморфизмов модулей $s_{i}:C_{i}\to D_{i+1}$ удовлетворяющий $f_{i}-g_{i}=d_{D}\circ s_{i}+s_{i-1}\circ d_{C}$. Его еще называют гомотопическим оператором .

карта цепи

Карта цепочки $f:(C,d_{C})\to (D,d_{D})$ между цепными комплексами модулей представляет собой последовательность гомоморфизмов модулей $f_{i}:C_{i}\to D_{i}$который коммутирует с дифференциалами; то есть, $d_{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ d_{C}$.

цепная гомотопическая эквивалентность

Цепное отображение, которое является изоморфизмом с точностью до гомотопии цепи; то есть, если ƒ : C → D — цепное отображение, то это цепная гомотопическая эквивалентность, если существует цепное отображение g : D → C такое, что g ƒ и ƒ g являются цепными гомотопными тождественным гомоморфизмам на C и D. , соответственно.

изменение волокна

Замена слоя расслоения p — это гомотопическая эквивалентность с точностью до гомотопии между слоями p , индуцированная путем в базе.

разнообразие персонажей

персонажей Разнообразие группы π и алгебраической группы G (например, редуктивной комплексной группы Ли) является фактором геометрической теории инвариантов по G :

${\mathcal {X}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!/G$.

характеристический класс

Пусть Vect( X ) — множество классов изоморфизма векторных расслоений на X . Мы можем просмотреть $X\mapsto \operatorname {Vect} (X)$ как контравариантный функтор из Top в Set, отправив карту ƒ: X → Y на обратный вариант ƒ ^* вдоль него. Тогда характеристический класс является естественным преобразованием Vect в функтор когомологий H ^* . Явно, каждому векторному расслоению E мы приписываем класс когомологий, скажем, c ( E ). Назначение естественно в том смысле, что ƒ ^* с( Е ) = с(ƒ ^* И ).

теория хроматической гомотопии

хроматическая гомотопическая теория .

сорт

1. Класс Черна .

2. Класс Штифеля–Уитни .

Классификационное пространство

Грубо говоря, классифицирующее пространство — это пространство, представляющее некоторый контравариантный функтор, определенный в категории пространств; например, $BU$ является классифицирующим пространством в смысле $[-,BU]$ это функтор $X\mapsto \operatorname {Vect} ^{\mathbb {R} }(X)$ который отправляет пространство в набор классов изоморфизма вещественных векторных расслоений в пространстве.

сжимая

спектральная последовательность кобара

кобордизм

1. См. кобордизм .

2. Кольцом кобордизмов называется кольцо, элементы которого являются классами кобордизмов.

3. См. также теорема о h-кобордизме , теорема о s-кобордизме .

кольцо коэффициентов

Если E — кольцевой спектр, то кольцом его коэффициентов является кольцо $\pi _{*}E$.

последовательность коволокон

Последовательность коволокна — это любая последовательность, эквивалентная последовательности $X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}$ для некоторого ƒ, где $C_{f}$ — это приведенный конус отображения ƒ (называемый кослоем ƒ).

кофибрантное приближение

кофибрация

Карта $i:A\to B$ является корасслоением , если оно удовлетворяет свойству: учитывая $h_{0}:B\to X$ и гомотопия $g_{t}:A\to X$ такой, что $g_{0}=h_{0}\circ i$, существует гомотопия $h_{t}:B\to X$ такой, что $h_{t}\circ i=g_{t}$. Корасслоение инъективно и является гомеоморфизмом своего образа.

когерентная гомотопия

согласованность

См. когерентность (гомотопическая теория).

когомотопическая группа

Для базируемого пространства X множество гомотопических классов $[X,S^{n}]$ называется n -й когомотопической группой X .

операция когомологий

крах

Неформальная фраза, но обычно означает частное; например, конус получается путем схлопывания верха (или низа) цилиндра.

завершение

сложный бордизм

комплексно-ориентированный

Мультипликативная теория когомологий E является комплексно-ориентированной, если отображение ограничения E ² ( С П ^∞ ) → Э ² ( С П ¹ ) сюръективен.

согласный

конус

Конус над пространством X — это $CX=X\times I/X\times \{0\}$. Уменьшенный конус получается из уменьшенного цилиндра. $X\wedge I_{+}$ путем сворачивания верха.

соединительный

Спектр E является связным , если $\pi _{q}E=0$ для всех отрицательных целых чисел q .

пространство конфигурации

постоянный

Постоянный пучок в пространстве X — это пучок ${\mathcal {F}}$ на X такое, что для некоторого множества A и некоторого отображения $A\to {\mathcal {F}}(X)$, естественная карта $A\to {\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}_{x}$ является биективным для любого x в X .

непрерывный

Непрерывные когомологии .

сжимаемое пространство

Пространство стягиваемо , если тождественное отображение пространства гомотопно постоянному отображению.

покрытие

1. Отображение p : Y → X является покрытием или накрывающим отображением, если каждая точка имеет окрестность N покрываемую , равномерно p x ; это означает, что прообраз N представляет собой непересекающееся объединение открытых множеств, каждое из которых отображается в N. гомеоморфно

2. Оно является n -листным, если каждый слой p ⁻¹ ( x ) имеет ровно n элементов.

3. Он универсален , если Y односвязен.

4. Морфизм накрытия – это отображение над X . В частности, автоморфизм покрытия p : Y → X (также называемый преобразованием колоды ) — это отображение Y → Y над X , имеющее обратное; т. е. гомеоморфизм над X .

5. G -покрытием называется накрытие, возникающее в результате действия группы на пространстве X G , причем отображением покрытия является фактор-отображение X в пространство орбит X/G . Это понятие используется для формулировки универсального свойства: если X допускает универсальное накрытие (в частности, связное), то

$\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)$ — множество классов изоморфизма G -покрытий.

В частности, если G абелева, то левая часть равна $\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)=\operatorname {H} ^{1}(X;G)$ (ср. неабелевы когомологии .)

чашка продукта

комплекс ХО

Комплекс ХО – помещение Х , оборудованное конструкцией ХО; то есть фильтрация

$X^{0}\subset X^{1}\subset X^{2}\subset \cdots \subset X$

такой, что (1) X ⁰ дискретен и (2) X ^н получается из X ^{п -1} путем присоединения n -клеток.

циклическая гомология

Д

трансформация колоды

Другой термин для обозначения автоморфизма накрытия.

деформация втягивается

Подпространство $A\subset X$ называется деформационным ретрактом X , если существует гомотопия $h_{t}:X\to X$ такой, что $h_{0}$ это личность, $h_{1}(X)\subset A$ и ${h_{1}}|_{A}$ является тождеством (т.е. $h_{1}$ является отказом от $A\hookrightarrow X$в смысле теории категорий). Его называют сильным деформационным ретрактом, если, кроме того, $h_{t}$ удовлетворяет требованию, что ${h_{t}}|_{A}$это личность. Например, гомотопия $h_{t}:B\to B,\,x\mapsto (1-t)x$ показывает, что начало координат представляет собой сильную деформацию открытого шара B с центром в начале координат.

Когомологии Делиня – Бейлинсона

Когомологии Делиня – Бейлинсона

выход из цикла

цикл вырождения

степень

Скрытый

Теорема Долда –Тома .

Э

Аргумент Экмана-Хилтона

Аргумент Экмана -Хилтона .

Двойственность Экмана – Хилтона

Пространства Эйленберга – Маклейна

Для абелевой группы π пространства Эйленберга – Маклейна $K(\pi ,n)$ характеризуются

$\pi _{q}K(\pi ,n)={\begin{cases}\pi &{\text{if }}q=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$.

Аксиомы Эйленберга – Стинрода

Аксиомы Эйленберга -Стинрода — это набор аксиом, которым должна удовлетворять любая теория когомологий (сингулярная, клеточная и т. д.). Ослабление аксиом (а именно отказ от аксиомы размерности) приводит к обобщенной теории когомологий .

Теорема Эйленберга – Зильбера

эллиптический

эллиптические когомологии .

Эн _- алгебра

эквивариантная алгебраическая топология

Эквивариантная алгебраическая топология — это исследование пространств с (непрерывным) действием группы .

разложить

распространяет гомотопию .

точный

Последовательность точечных множеств $X{\overset {f}{\to }}Y{\overset {g}{\to }}Z$ является точным , если образ f совпадает с прообразом выбранной точки Z .

иссечение

Аксиома вырезания гомологии гласит: если $U\subset X$ и ${\overline {U}}\subset \operatorname {int} (A)$, то для q каждого

$\operatorname {H} _{q}(X-U,A-U)\to \operatorname {H} _{q}(X,A)$

является изоморфизмом.

исключительная пара/триада

Ф

гомология факторизации

волоконно-гомотопическая эквивалентность

Для данных D → B , E → B отображение ƒ: D → E над B является послойной гомотопической эквивалентностью если оно обратимо с точностью до гомотопии над B. , Основной факт состоит в том, что если D → B , E → B — расслоения, то гомотопическая эквивалентность из D в E является послойно-гомотопической эквивалентностью.

последовательность волокон

Последовательность волокон карты $f:X\to Y$ это последовательность $F_{f}{\overset {p}{\to }}X{\overset {f}{\to }}Y$ где $F_{f}{\overset {p}{\to }}X$— гомотопический слой f ; т.е. обратный расслоение пространства путей $PY\to Y$ вдоль ф .

квадрат волокна

квадрат волокна

расслоение

Отображение p : E → B является расслоением , если для любой заданной гомотопии $g_{t}:X\to B$ и карта $h_{0}:X\to E$ такой, что $p\circ h_{0}=g_{0}$, существует гомотопия $h_{t}:X\to E$ такой, что $p\circ h_{t}=g_{t}$. (Вышеупомянутое свойство называется свойством поднятия гомотопии .) Накрывающее отображение является основным примером расслоения.

последовательность расслоений

Один говорит $F\to X{\overset {p}{\to }}B$ является последовательностью расслоений, что означает, что p является расслоением и что F гомотопически эквивалентен гомотопическому слою p с некоторым пониманием базовых точек.

конечно доминируемый

фундаментальный класс

фундаментальная группа

Фундаментальная группа пространства X с базовой точкой x0 _точке — это группа гомотопических классов петель x0 _. в Это в точности первая гомотопическая группа группы ( X , x0 _{) ,} поэтому она обозначается через $\pi _{1}(X,x_{0})$.

фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид пространства X — это категория, объектами которой являются точки X и чьи морфизмы x → y являются гомотопическими классами путей от x до y ; таким образом, набор всех морфизмов объекта x ₀ в себя по определению является фундаментальной группой. $\pi _{1}(X,x_{0})$.

в рамке

— Каркасное многообразие это многообразие с оснащением.

бесплатно

Синоним слова «безосновательный». Например, пространство свободного пути пространства X относится к пространству всех отображений от I до X ; то есть, $X^{I}$ в то время как пространство путей базируемого пространства X состоит из таких карт, которые сохраняют базовую точку (т. е. 0 переходит в базовую точку X ).

Теорема Фрейденталя о подвеске

Для невырожденно базируемого пространства X теорема Фрейденталя о надстройке гласит: если X ( n -1)-связно, то гомоморфизм надстройки

$\pi _{q}X\to \pi _{q+1}\Sigma X$

является биективным при q < 2 n - 1 и сюръективным, если q = 2 n - 1.

Компактификация Фултона – Макферсона.

Компактификация Фултона -Макферсона конфигурационного пространства n . различных помеченных точек в компактном комплексном многообразии является естественной гладкой компактификацией, введенной Фултоном и Макферсоном

Г

G-волокно

G -расслоение с некоторым топологическим моноидом G . Примером может служить расслоение пространства путей Мура .

G-пространство

G -пространство — это пространство вместе с действием группы G (обычно удовлетворяющее некоторым условиям).

C-пространство

обобщенная теория когомологий

Обобщенная теория когомологий — это контравариантный функтор из категории пар пространств в категорию абелевых групп, который удовлетворяет всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, кроме аксиомы размерности.

гипотеза геометризации

гипотеза геометризации

род

зародыш

зародыш

завершение группы

групповой

H-пространство X называется групповым или групповым , если $\pi _{0}X$это группа ; т. е. X удовлетворяет аксиомам группы с точностью до гомотопии.

Последовательность Гайзина

Х

Основная догадка

1. Hauptvermutung , немецкое слово «основная гипотеза», является сокращением от die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie (основная гипотеза комбинаторной топологии). Он спрашивает, являются ли два симплициальных комплекса изоморфными, если они гомеоморфны. Это было опровергнуто Милнором в 1961 году.

2. Есть несколько вариантов; например, можно спросить, являются ли два PL-многообразия PL-изоморфными, если они гомеоморфны (что также неверно).

h-кобордизм

h-кобордизм .

Теорема Хилтона – Милнора

Теорема Хилтона –Милнора .

Хирцебрух

Сигнатурная теорема Хирцебруха .

H-пространство

H -пространство — это базированное пространство, представляющее собой единую магму с точностью до гомотопии.

гомолог

Два цикла гомологичны, если они принадлежат одному и тому же классу гомологии.

сфера гомологии

Сфера гомологии — это многообразие, имеющее гомологический тип сферы.

гомотопическая категория

Пусть C — подкатегория категории всех пространств. Тогда гомотопическая категория C C — это категория, класс объектов которой тот же, что и класс объектов , но множество морфизмов объекта x в объект y — это множество гомотопических классов морфизмов от x до y в С. ​ Например, отображение является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является изоморфизмом в гомотопической категории.

гомотопический копредел

Гомотопический копредел — это гомотопически корректная версия копредела.

гомотопия над пространством B

Гомотопия ht _такая для каждого фиксированного t ht , _{является} отображением над B. что

гомотопическая эквивалентность

1. Отображение ƒ: X → Y является гомотопической эквивалентностью , если оно обратимо с точностью до гомотопии; то есть существует отображение g: Y → X такое, что g ∘ ƒ гомотопно тождественному отображению на X и ƒ ∘ g гомотопно тождественному отображению на Y .

2. Два пространства называются гомотопически эквивалентными, если между ними существует гомотопическая эквивалентность. Например, по определению пространство стягиваемо, если оно гомотопически эквивалентно точечному пространству .

теорема об вырезании гомотопии

Теорема об вырезании гомотопий заменяет неудачу вырезания гомотопических групп.

гомотопическое волокно

Гомотопический слой базового отображения ƒ: X → Y , обозначаемый F ƒ, представляет собой обратный образ $PY\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)$ вдоль ф .

продукт гомотопического волокна

Волокнистый продукт представляет собой особый вид ограничения . Замена этого предела lim гомотопическим пределом holim дает произведение гомотопического слоя .

гомотопическая группа

1. Для базируемого пространства X пусть $\pi _{n}X=[S^{n},X]$, множество гомотопических классов базовых отображений. Затем $\pi _{0}X$ — множество компонент линейной связности X , $\pi _{1}X$ является фундаментальной группой X и $\pi _{n}X,\,n\geq 2$ высшими) n -ми гомотопическими группами X являются ( .

2. Для базовых помещений $A\subset X$, относительная гомотопическая группа $\pi _{n}(X,A)$ определяется как $\pi _{n-1}$пространства путей, которые начинаются в базовой точке и заканчиваются где-то в A. X Эквивалентно, это $\pi _{n-1}$ гомотопического слоя $A\hookrightarrow X$.

3. Если E — спектр, то $\pi _{k}E=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}E_{n}.$

4. Если X — базируемое пространство, то стабильной k -й гомотопической группой X является $\pi _{k}^{s}X=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}\Sigma ^{n}X$. Другими словами, это k -я гомотопическая группа спектра надстройки X .

гомотопический откат

Гомотопический возврат — это частный случай гомотопического предела, который является гомотопически правильным возвратом.

гомотопический коэффициент

Если G — группа Ли , действующая на многообразии X , то фактор-пространство $(EG\times X)/G$ называется гомотопическим фактором (или борелевской конструкцией) X по G , где EG — универсальное расслоение G .

гомотопическая спектральная последовательность

гомотопическая сфера

Гомотопическая сфера — это многообразие, имеющее гомотопический тип сферы.

Хопф

1. Хайнц Хопф .

2. Инвариант Хопфа .

3. Теорема Хопфа об индексе .

4. Конструкция Хопфа .

Гуревич

Теорема Гуревича устанавливает связь между гомотопическими группами и группами гомологий.

Я

бесконечное пространство цикла

Космическая машина с бесконечным циклом

Космическая машина с бесконечным циклом .

бесконечный картографический телескоп

пересечение

спаривание пересечений .

гомологии пересечения , заменитель обычных (сингулярных) гомологии сингулярного пространства.

когомологии пересечения

интеграция по волокну

См. интегрирование вдоль волокна .

инвариантность домена

инвариантность домена .

изотопия

Я

J-гомоморфизм

См. J-гомоморфизм .

присоединиться

Соединение пространств основанных X , Y есть $X\star Y=\Sigma (X\wedge Y).$

К

k -инвариант

Может быть сложным

См. комплекс Кана .

Кирби-Зибенманн

Классификация Кирби-Зибенмана .

Инвариант Кервера

Кервера Инвариант .

Рубашка двойственности

Рубашка двойственности .

Койпер

Теорема Койпера утверждает, что общая линейная группа бесконечномерного гильбертова пространства сжимаема.

Формула Кюннета

Л

Кольцо Лазарда

Кольцо Лазара L — это (огромное) коммутативное кольцо вместе с законом формальной группы ƒ, которое является универсальным среди всех законов формальной группы в том смысле, что любой формальный групповой закон g над коммутативным кольцом R получается посредством гомоморфизма колец L → R. отображение ƒ на g . Согласно теореме Квиллена, это также кольцо коэффициентов комплексного бордизма MU. Spec . L групповых называется пространством модулей формальных законов

Лефшец

1. Соломон Лефшец

2. Теорема Лефшеца о неподвижной точке гласит: для данного конечного симплициального комплекса K и его геометрической реализации X , если отображение $f:X\to X$не имеет неподвижной точки, то число Лефшеца функции f ; то есть,

$\sum _{0}^{\infty }(-1)^{q}\operatorname {tr} (f_{*}:\operatorname {H} _{q}(X)\to \operatorname {H} _{q}(X))$

равен нулю. Например, отсюда следует теорема Брауэра о неподвижной точке, поскольку число Лефшеца $f:D^{n}\to D^{n}$ является единицей, поскольку высшие гомологии исчезают.

3. Теорема Лефшеца о гиперплоскости .

пространство линзы

Пространство линзы – это факторпространство $\{z\in \mathbb {C} ^{n}||z|=1\}/\mu _{p}$ где $\mu _{p}$ — группа корней p -й степени из единицы, действующих на единичную сферу посредством $\zeta \cdot (z_{1},\dots ,z_{n})=(\zeta z_{1},\dots ,\zeta z_{n})$.

Спектральная последовательность Лере

л ²

Л ​ ² -когомологии риманова . или кэлерова многообразия — это когомологии комплексов дифференциальных форм с интегрируемыми с квадратом коэффициентами (коэффициентами форм, а не когомологиями)

местный коэффициент

1. Модуль над групповым кольцом $\mathbb {Z} [\pi _{1}B]$для некоторого базируемого пространства B ; другими словами, абелева группа вместе с гомоморфизмом $\pi _{1}B\to \operatorname {Aut} (A)$.

2. Локальная система коэффициентов над базирующим пространством B с абелевой группой A представляет собой расслоение над B с дискретным A. слоем Если B допускает универсальное накрытие ${\widetilde {B}}$, то это значение совпадает со значением 1. в том смысле: каждая локальная система коэффициентов над B может быть задана как ассоциированное расслоение ${\widetilde {B}}\times _{\pi _{1}B}A$.

локальный инвариант

Теорема о локальном инвариантном цикле .

местная сфера

Локализация сферы по некоторому простому числу

локальная система

местная система .

локализация

локально постоянный пучок

в Локально постоянный пучок пространстве X — это такой пучок, что каждая точка X имеет открытую окрестность, на которой пучок постоянен .

пространство цикла

петли Пространство $\Omega X$ базового пространства X — это пространство всех циклов, начинающихся и заканчивающихся в базовой X. точке

М

Теорема Мэдсена – Вейсса

картографирование

1.  

Конус отображения отображения ƒ: X → Y получается склейкой конуса над X с Y .

Конус отображения (или кослой) отображения ƒ: X → Y равен $C_{f}=Y\cup _{f}CX$.

2. Цилиндр отображения отображения ƒ: X → Y есть $M_{f}=Y\cup _{f}(X\times I)$. Примечание: $C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})$.

3. Уменьшенные версии вышеописанного получены за счет использования уменьшенного конуса и уменьшенного цилиндра.

4. Пространство путей отображения P _p отображения p : E → B является обратным образом $B^{I}\to B$вдоль п . Если p — расслоение, то естественное отображение E → P _p является послойной гомотопической эквивалентностью ; таким образом, можно заменить E пространством путей отображения, не меняя гомотопического типа слоя. Пространство путей отображения также называется коцилиндром отображения .

5. Как множество пространство отображений пространства X в пространство Y представляет собой множество всех непрерывных отображений из X в Y . Оно топологизировано таким образом, что пространство отображения является пространством; то есть объект в категории пространств, используемых в алгебраической топологии; например, категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств . Эта топология может быть или не быть компактно-открытой топологией.

Последовательность Майера – Виеториса

микропучок

микропучок

категория модели

Представление ∞-категории . См. также категорию модели .

Мур

1. Пространство Мура

2. Пространство путей Мура .

мультипликативный

Обобщенная теория когомологий E мультипликативна, если E ^* ( X ) — градуированное кольцо . Например, обычная теория когомологий и комплексная K- теория мультипликативны (на самом деле, теории когомологий, определяемые E _∞ -кольцами, мультипликативны.)

Н

n -ячейка

Другой термин для n -диска.

n -связный

Базирующее пространство X является n -связным , если $\pi _{q}X=0$для всех целых чисел q ≤ n . Например, «1-связный» — это то же самое, что « односвязный ».

n -эквивалент

NDR-пара

Пара пробелов $A\subset X$ называется NDR-парой (=парой ретракта деформации окрестности), если существует отображение $u:X\to I$ и гомотопия $h_{t}:X\to X$ такой, что $A=u^{-1}(0)$, $h_{0}=\operatorname {id} _{X}$, $h_{t}|_{A}=\operatorname {id} _{A}$ и $h_{1}(\{x|u(x)<1\})\subset A$.
Если A — замкнутое подпространство X , то пара $A\subset X$ является NDR-парой тогда и только тогда, когда $A\hookrightarrow X$ является кофибрацией .

нильпотентный

1. нильпотентное пространство ; например, односвязное пространство нильпотентно.

2. Теорема о нильпотентности .

неабелевский

1. неабелевы когомологии

2. неабелева алгебраическая топология.

нормализованный

Для симплициальной группы G нормализованный цепной комплекс NG группы G задается формулой $(NG)_{n}=\cap _{1}^{\infty }\operatorname {ker} d_{i}^{n}$ с n -м дифференциалом, заданным выражением $d_{0}^{n}$; интуитивно выбрасываем вырожденные цепи. Его еще называют комплексом Мура .

О

коцикл с препятствиями

теория препятствий

Теория препятствий — это совокупность конструкций и вычислений, указывающих, когда некоторое отображение на подмногообразии (подкомплексе) может или не может быть расширено на полное многообразие. Обычно это касается башни Постникова , уничтожения гомотопических групп , коциклов препятствий и т. д.

конечного типа

Комплекс CW имеет конечный тип, если в каждом измерении имеется лишь конечное число ячеек.

операда

Сумка из «операций» и «монады». См. операду .

орбирасслоение

orbibundleорбирасслоение

категория орбиты

ориентация

1. Ориентационное накрытие (или ориентационное двойное накрытие) многообразия — это двулистное накрытие, так что каждому слою над x соответствуют два различных способа ориентации окрестности x .

2. Ориентация многообразия – это сечение ориентационного покрытия; т. е. последовательный выбор точки в каждом слое.

3. Ориентационный характер (также называемый первым классом Стифеля–Уитни ) представляет собой групповой гомоморфизм. $\pi _{1}(X,x_{0})\to \{\pm 1\}$ что соответствует ориентационному покрытию многообразия X (ср. #covering .)

4. См. также ориентацию векторного расслоения и ориентационный пучок .

П

пара

1. Пара $(X,A)$ пространств — это пространство X вместе с подпространством $A\subset X$.

2. Карта пар $(X,A)\to (Y,B)$ это карта $X\to Y$ такой, что $f(A)\subset B$.

p -адическая теория гомотопий

p - адическая гомотопическая теория .

распараллеливаемый

класс пути

Класс эквивалентности путей (два пути эквивалентны, если они гомотопны друг другу).

путь подъема

Функция подъема пути для отображения p : E → B — это сечение $E^{I}\to P_{p}$ где $P_{p}$— путей отображения пространство p . Например, накрытие — это расслоение с единственной функцией подъема пути. Формально карта является расслоением тогда и только тогда, когда для нее существует функция подъема пути.

пространство пути

Пространство путей базового пространства X равно $PX=\operatorname {Map} (I,X)$, пространство основанных карт, где базовая точка I равна 0. Другими словами, это (теоретико-множественный) слой $X^{I}\to X,\,\chi \mapsto \chi (0)$над базовой точкой X . Проекция $PX\to X,\,\chi \mapsto \chi (1)$ называется расслоением пространства путей , слой которого над базовой точкой X является пространством петель $\Omega X$. См. также отображение пространства пути .

извращенный

сноп Извращенный .

фантомная карта

фантомная карта

кусочно-алгебраическое пространство

кусочно-алгебраическое пространство — понятие, введенное Концевичем и Сойбельманом.

ПЛ

1. PL — сокращение от «кусочно-линейный».

2. PL-многообразие — это топологическое многообразие с максимальным PL-атласом, где PL-атлас — это атлас, в котором карты переходов являются PL.

3. Пространство PL — это пространство с локально конечной симплициальной триангуляцией.

Пуанкаре

1. Анри Пуанкаре .

2. Теорема двойственности Пуанкаре гласит: для данного многообразия M размерности n и абелевой группы A существует естественный изоморфизм

$\operatorname {H} _{c}^{*}(M;A)\simeq \operatorname {H} _{n-*}(M;A)$.

3. Гипотеза Пуанкаре

4. Лемма Пуанкаре утверждает, что высшие когомологии де Рама стягиваемого гладкого многообразия равны нулю.

5. Сфера гомологии Пуанкаре .

Конструкция Понтрягина – Тома

Postnikov system

Система Постникова — это последовательность расслоений, такая, что все предыдущие многообразия имеют исчезающие гомотопические группы ниже заданной размерности.

главное расслоение

Обычно является синонимом G -расслоения .

простое разложение

бесконечный

теория проконечной гомотопии ; он изучает бесконечные пространства .

должным образом прерывистый

Не совсем точный термин. Но это может означать, например, что G дискретна и каждая точка G- пространства имеет окрестность V такую, что для каждого g в G , не являющегося единичным элементом, gV пересекает V в конечном числе точек.

псевдомногообразие

псевдомногообразие

откат

Учитывая отображение p : E → B , обратный образ p вдоль ƒ : X → B — это пространство $f^{*}E=\{(e,x)\in E\times X|p(e)=f(x)\}$ это эквалайзер p (кратко говоря , и f ). Это пространство над X через проекцию.

Последовательность кукол

Последовательность Puppe относится к любой из последовательностей

$X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \cdots ,$

$\cdots \to \Omega X\to \Omega Y\to F_{f}\to X{\overset {f}{\to }}Y$

где $C_{f},F_{f}$ являются гомотопическим кослоем и гомотопическим слоем f .

выталкивание

Данный $A\subset B$ и карта $f:A\to X$, выталкивание X ​ и B вдоль f равно

$X\cup _{f}B=X\sqcup B/(a\sim f(a))$;

то есть X и B склеены вдоль линии A через f . Отображение f обычно называют присоединяющим отображением.

Важный пример: B = D. ^н , А = S ^{п -1} ; формирование такого выталкивания называется присоединением n -ячейки (имеется в виду n -диска) к X. в таком случае

Вопрос

квазирасслоение

Квазирасслоение . — это отображение, слои которого гомотопически эквивалентны друг другу

Квиллен

1. Дэниел Куиллен

2. Теорема Квиллена гласит, что $\pi _{*}MU$ это кольцо Лазарда .

Р

рациональный

1. Рациональная теория гомотопий .

2. Рационализация пространства X это, грубо говоря, локализация X — в нуле. Точнее, X ₀ вместе с j : X → X ₀ является рационализацией X , если отображение $\pi _{*}X\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q}$ индуцированный j, является изоморфизмом векторных пространств и $\pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} \simeq \pi _{*}X_{0}$.

3. Рациональный гомотопический тип X является слабым гомотопическим типом X ₀ .

регулятор

1. Регулятор Борель .

2. Регулятор Бейлинсона .

Райдемейстер

Кручение Райдемейстера .

уменьшенный

Уменьшенная подвеска базового пространства X — это потрясающий продукт. $\Sigma X=X\wedge S^{1}$. Он связан с функтором цикла соотношением $\operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y)$ где $\Omega Y=\operatorname {Map} (S^{1},Y)$ это пространство цикла.

убрать

1. Ретрактом карты f называется карта r такая, что $r\circ f$ — тождество (другими словами, f — сечение r ).

2. Подпространство $A\subset X$ называется ретрактом, если отображение включения $A\hookrightarrow X$ допускает отвод (см. #deformation retract ).

кольцевой спектр

Кольцевой спектр — это спектр, удовлетворяющий аксиомам кольца либо на носу, либо с точностью до гомотопии. Например, комплексная K-теория представляет собой кольцевой спектр.

Рохлин

Инвариант Рохлина .

С

Продукт Самельсона

Тугой

1. Жан-Пьер Серр .

2. Тепличный класс .

3. Спектральная последовательность Серра .

простой

простая гомотопическая эквивалентность

Отображение ƒ: X → Y между конечными симплициальными комплексами (например, многообразиями) является простой гомотопической эквивалентностью, если оно гомотопно композиции конечного числа элементарных расширений и элементарных коллапсов . Гомотопическая эквивалентность является простой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда ее кручение Уайтхеда обращается в нуль.

симплициальное приближение

См. теорему о симплициальной аппроксимации .

симплициальный комплекс

См. симплициальный комплекс ; основным примером является триангуляция многообразия.

симплициальная гомология

Симплициальные гомологии — это (канонические) гомологии симплициального комплекса. Обратите внимание, что это применимо к симплициальным комплексам, а не к пространствам; ср. #сингулярная гомология .

инвариант подписи

единственное число

1. Для пространства X и абелевой группы π группа гомологий X сингулярная с коэффициентами из π равна

$\operatorname {H} _{*}(X;\pi )=\operatorname {H} _{*}(C_{*}(X)\otimes \pi )$

где $C_{*}(X)$– сингулярный цепной X ; комплекс т. е. кусок n -й степени — это свободная абелева группа, порожденная всеми отображениями $\triangle ^{n}\to X$от стандартного n симплекса к X. - Сингулярная гомология является частным случаем симплициальной гомологии ; для каждого пространства X существует сингулярный симплициальный комплекс X действительно , чьи гомологии являются сингулярными гомологиями X .

2. Функтор сингулярных симплексов – это функтор $\mathbf {Top} \to s\mathbf {Set}$ из категории всех пространств в категорию симплициальных множеств, то есть правосопряженный к функтору геометрической реализации .

3. Сингулярный симплициальный комплекс пространства X — это нормированный цепной комплекс сингулярного симплекса X. пространства

наклонный продукт

Аргумент о маленьком объекте

разбить продукт

Смэш -произведение основанных пространств X , Y равно $X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y$. Оно характеризуется присоединенным отношением

$\operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))$.

Спаниер – Уайтхед

Двойственность Спэньера –Уайтхеда .

спектр

Грубо говоря, последовательность пробелов вместе с картами (называемыми структурными картами) между последовательными членами; см. спектр (топология) .

сферический пучок

Сферическое расслоение — это расслоение, волокнами которого являются сферы.

спектр сферы

— Спектр сфер это спектр, состоящий из последовательности сфер. $S^{0},S^{1},S^{2},S^{3},\dots$вместе с отображениями между сферами, заданными подвесками. Короче говоря, это спектр суспензии $S^{0}$.

стабильная гомотопическая группа

См. группу #гомотопия .

Гомологии Стинрода

Гомологии Стинрода .

Операция Стинрода

Салливан

1. Деннис Салливан .

2. Гипотеза Салливана .

3.   Салливан, Деннис (1977), «Бесконечно малые вычисления в топологии» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi : 10.1007/BF02684341 , S2CID   42019745 — представляет теорию рациональной гомотопии (вместе со статьей Квиллена).

4. Алгебра Салливана в рациональной теории гомотопий.

спектр суспензии

Спектр подвески базируемого пространства X - это спектр, заданный формулой $X_{n}=\Sigma ^{n}X$.

стратифицированный

1. Стратифицированное пространство — это топологическое пространство со стратификацией.

2. Расслоенная теория Морса — это теория Морса, созданная в стратифицированном пространстве.

симметричный спектр

См. симметричный спектр .

симплектическая топология

симплектическая топология .

Т

телескоп

Том

1. Рене Том .

2. Если E — векторное расслоение на паракомпакте X , то пространство Тома ${\text{Th}}(E)$ из E получается сначала заменой каждого слоя его компактификацией, а затем схлопыванием базы X .

3. Изоморфизм Тома гласит: для каждого ориентируемого векторного расслоения E ранга n на многообразии X выбор ориентации ( класс Тома E ) индуцирует изоморфизм

${\widetilde {\operatorname {H} }}^{*+n}({\text{Th}}(E);\mathbb {Z} )\simeq \operatorname {H} ^{*}(X;\mathbb {Z} )$.

4. Тома . Первая и вторая изотопические леммы

5. Отображение Тома , первоначально называвшееся отображением «sans éclatement».

топологическая киральная гомология

передача

нарушение

триангуляция

триангуляция .

У

универсальный коэффициент

Теорема об универсальных коэффициентах .

с точностью до гомотопии

Утверждение справедливо в категории гомотопий , а не в категории пространств.

V

V-образный коллектор

Старый термин для орбифолда .

Ван Кампен

Теорема Ван Кампена гласит: если пространство X линейно связно и если x ₀ — точка из X , то

$\pi _{1}(X,x_{0})=\varinjlim \pi _{1}(U,x_{0})$

где копредел пробегает некоторое открытое покрытие X , состоящее из линейно связных открытых подмножеств, содержащих x ₀ , такое, что покрытие замкнуто при конечных пересечениях.

Ценности

Двойственность ценностей .

В

Вальдхаузен S-конструкция

Вальдхаузен S-конструкция .

Препятствие конечности стены

слабая эквивалентность

Отображение ƒ: X → Y базисных пространств является слабой эквивалентностью , если для каждого q индуцированное отображение $f_{*}:\pi _{q}X\to \pi _{q}Y$ является биективным.

клин

Для основанных пространств X , Y , клиновое произведение $X\wedge Y$X ​ и Y является сопроизведением X ​ и Y ; конкретно, оно получается путем их непересекающегося объединения и последующего определения соответствующих базовых точек.

хорошо указан

Базируемое пространство является хорошо указанным (или невырожденно основанным), если включение базовой точки является корасслоением.

Уайтхед

1. Дж.Х.К. Уайтхед .

2. Теорема Уайтхеда утверждает, что для комплексов CW гомотопическая эквивалентность — это то же самое, что и слабая эквивалентность .

3. Группа Уайтхеда .

4. Продукт Уайтхеда .

номер обмотки

1. номер обмотки .

Ссылки

• Адамс, Дж. Ф. (1974). Стабильная гомотопия и обобщенная гомология . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-00524-9 .
• Адамс, Дж. Ф. (1978). Бесконечные пространства циклов . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08206-5 .
• Борель, Арманд (21 мая 2009 г.). Когомологии пересечения . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-8176-4765-0 .
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Springer, ISBN  0-387-90613-4
• Баусфилд, АК; Кан, Д. М. (1987), Гомотопические пределы, пополнения и локализации , Конспекты лекций по математике, том. 304, Спрингер, ISBN  9783540061052
• Дэвис, Джеймс Ф.; Кирк, Пол. «Конспекты лекций по алгебраической топологии» (PDF) .
• Фултон, Уильям (2013). Алгебраическая топология: первый курс . Спрингер. ISBN  978-1-4612-4180-5 .
• Хэтчер, Аллен. «Алгебраическая топология» .
• Хесс, Кэтрин (2007). «Рациональная теория гомотопий: краткое введение». Взаимодействие теории гомотопий и алгебры . Современная математика. Том. 436. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 175–202. arXiv : math/0604626 . doi : 10.1090/conm/436/08409 (неактивен 12 мая 2024 г.). ISBN  978-0-8218-3814-3 . МР   2355774 . {{cite book}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на май 2024 г. ( ссылка )
• «Алгебраическая топология» (PDF) . Осень 2010 г. Лекции Майкла Хопкинса и заметки Ахила Мэтью, Гарвард.
• Лурье, Дж. (2015). «Алгебраическая K-теория и топология многообразия» . Математика 281 . Гарвардский университет.
• Лурье, Дж. (2011). «Теория хроматической гомотопии» . 252х . Гарвардский университет.
• Мэй, Дж. «Краткий курс алгебраической топологии» (PDF) .
• Мэй, Дж.; Понто, К. «Более краткая алгебраическая топология: локализация, пополнение и категории модели» (PDF) .
• Может; Сигурдссон. «Параметризованная теория гомотопий» (PDF) . (несмотря на название, оно содержит значительное количество общих результатов.)
• Рудяк, Юлий Б. (23 декабря 2014 г.). «Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях». arXiv : math/0105047 .
• Салливан, Деннис . «Геометрическая топология» (PDF) . заметки Массачусетского технологического института 1970 года
• Уайтхед, Джордж Уильям (1978). Элементы теории гомотопий . Тексты для аспирантов по математике. Том. 61 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. стр. XXI+744. ISBN  978-0-387-90336-1 . МР   0516508 .
• Викельгрен, Кирстен Грэм . «8803 Теория стабильной гомотопии» .

Дальнейшее чтение

• Хосе И. Бургос Хиль, Регуляторы Бейлинсона и Бореля
• о группах гомотопических сфер Лекции Дж. П. Левина

Внешние ссылки

• Алгебраическая топология: Путеводитель по литературе. Архивировано 17 декабря 2017 г. в Wayback Machine.