Условное обозначение : на протяжении всей статьи I обозначает единичный интервал S. н n -сфера и D н n - диск. Кроме того, на протяжении всей статьи предполагается, что пробелы являются разумными ; это может означать, например, что пространство представляет собой комплекс CW или компактно порожденное слабо хаусдорфово пространство . Точно так же не делается никаких попыток дать окончательное определение спектра . Симплициальное множество не рассматривается как пространство; т.е. мы обычно различаем симплициальные множества и их геометрические реализации.
Трюк Александра создает часть карты ограничений. , Top обозначает группу гомеоморфизмов ; а именно, сечение задается отправкой гомеоморфизма к гомеоморфизму
.
Этот раздел на самом деле является обратным к гомотопии. [1]
3. Клеточная гомология – это (каноническая) гомология комплекса CW. Обратите внимание, что это относится к комплексам CW, а не к пространствам в целом. Клеточная гомология легко вычислима; это особенно полезно для пространств с естественным клеточным разложением, таких как проективные пространства или грассманиан.
гомотопия цепи
Даны карты цепочек между цепными комплексами модулей цепная гомотопия s из f в g представляет собой последовательность гомоморфизмов модулей удовлетворяющий . Его еще называют гомотопическим оператором .
карта цепи
Карта цепочки между цепными комплексами модулей представляет собой последовательность гомоморфизмов модулей который коммутирует с дифференциалами; то есть, .
цепная гомотопическая эквивалентность
Цепное отображение, которое является изоморфизмом с точностью до гомотопии цепи; то есть, если ƒ : C → D — цепное отображение, то это цепная гомотопическая эквивалентность, если существует цепное отображение g : D → C такое, что g ƒ и ƒ g являются цепными гомотопными тождественным гомоморфизмам на C и D. , соответственно.
изменение волокна
Замена слоя расслоения p — это гомотопическая эквивалентность с точностью до гомотопии между слоями p , индуцированная путем в базе.
Пусть Vect( X ) — множество классов изоморфизма векторных расслоений на X . Мы можем просмотреть как контравариантный функтор из Top в Set, отправив карту ƒ: X → Y на обратный вариант ƒ * вдоль него. Тогда характеристический класс является естественным преобразованием Vect в функтор когомологий H * . Явно, каждому векторному расслоению E мы приписываем класс когомологий, скажем, c ( E ). Назначение естественно в том смысле, что ƒ * с( Е ) = с(ƒ * И ).
Грубо говоря, классифицирующее пространство — это пространство, представляющее некоторый контравариантный функтор, определенный в категории пространств; например, является классифицирующим пространством в смысле это функтор который отправляет пространство в набор классов изоморфизма вещественных векторных расслоений в пространстве.
Если E — кольцевой спектр, то кольцом его коэффициентов является кольцо .
последовательность коволокон
Последовательность коволокна — это любая последовательность, эквивалентная последовательности для некоторого ƒ, где — это приведенный конус отображения ƒ (называемый кослоем ƒ).
кофибрантное приближение
кофибрация
Карта является корасслоением , если оно удовлетворяет свойству: учитывая и гомотопия такой, что , существует гомотопия такой, что . [3] Корасслоение инъективно и является гомеоморфизмом своего образа.
Спектр E является связным , если для всех отрицательных целых чисел q .
пространство конфигурации
постоянный
Постоянный пучок в пространстве X — это пучок на X такое, что для некоторого множества A и некоторого отображения , естественная карта является биективным для любого x в X .
Пространство стягиваемо , если тождественное отображение пространства гомотопно постоянному отображению.
покрытие
1. Отображение p : Y → X является покрытием или накрывающим отображением, если каждая точка имеет окрестность N покрываемую , равномерно p x ; это означает, что прообраз N представляет собой непересекающееся объединение открытых множеств, каждое из которых отображается в N. гомеоморфно
2. Оно является n -листным, если каждый слой p −1 ( x ) имеет ровно n элементов.
4. Морфизм накрытия – это отображение над X . В частности, автоморфизм покрытия p : Y → X (также называемый преобразованием колоды ) — это отображение Y → Y над X , имеющее обратное; т. е. гомеоморфизм над X .
5. G -покрытием называется накрытие, возникающее в результате действия группы на пространстве X G , причем отображением покрытия является фактор-отображение X в пространство орбит X/G . Это понятие используется для формулировки универсального свойства: если X допускает универсальное накрытие (в частности, связное), то
Другой термин для обозначения автоморфизма накрытия.
деформация втягивается
Подпространство называется деформационным ретрактом X , если существует гомотопия такой, что это личность, и является тождеством (т.е. является отказом от в смысле теории категорий). Его называют сильным деформационным ретрактом, если, кроме того, удовлетворяет требованию, что это личность. Например, гомотопия показывает, что начало координат представляет собой сильную деформацию открытого шара B с центром в начале координат.
Аксиомы Эйленберга -Стинрода — это набор аксиом, которым должна удовлетворять любая теория когомологий (сингулярная, клеточная и т. д.). Ослабление аксиом (а именно отказ от аксиомы размерности) приводит к обобщенной теории когомологий .
Для данных D → B , E → B отображение ƒ: D → E над B является послойной гомотопической эквивалентностью если оно обратимо с точностью до гомотопии над B. , Основной факт состоит в том, что если D → B , E → B — расслоения, то гомотопическая эквивалентность из D в E является послойно-гомотопической эквивалентностью.
последовательность волокон
Последовательность волокон карты это последовательность где — гомотопический слой f ; т.е. обратный расслоение пространства путей вдоль ф .
Отображение p : E → B является расслоением , если для любой заданной гомотопии и карта такой, что , существует гомотопия такой, что . (Вышеупомянутое свойство называется свойством поднятия гомотопии .) Накрывающее отображение является основным примером расслоения.
последовательность расслоений
Один говорит является последовательностью расслоений, что означает, что p является расслоением и что F гомотопически эквивалентен гомотопическому слою p с некоторым пониманием базовых точек.
конечно доминируемый
фундаментальный класс
фундаментальная группа
Фундаментальная группа пространства X с базовой точкой x0 точке — это группа гомотопических классов петель x0 . в Это в точности первая гомотопическая группа группы ( X , x0 ) , поэтому она обозначается через .
фундаментальный группоид
Фундаментальный группоид пространства X — это категория, объектами которой являются точки X и чьи морфизмы x → y являются гомотопическими классами путей от x до y ; таким образом, набор всех морфизмов объекта x 0 в себя по определению является фундаментальной группой. .
Синоним слова «безосновательный». Например, пространство свободного пути пространства X относится к пространству всех отображений от I до X ; то есть, в то время как пространство путей базируемого пространства X состоит из таких карт, которые сохраняют базовую точку (т. е. 0 переходит в базовую точку X ).
Теорема Фрейденталя о подвеске
Для невырожденно базируемого пространства X теорема Фрейденталя о надстройке гласит: если X ( n -1)-связно, то гомоморфизм надстройки
является биективным при q < 2 n - 1 и сюръективным, если q = 2 n - 1.
Компактификация Фултона – Макферсона.
Компактификация Фултона -Макферсона конфигурационного пространства n . различных помеченных точек в компактном комплексном многообразии является естественной гладкой компактификацией, введенной Фултоном и Макферсоном
G -пространство — это пространство вместе с действием группы G (обычно удовлетворяющее некоторым условиям).
C-пространство
обобщенная теория когомологий
Обобщенная теория когомологий — это контравариантный функтор из категории пар пространств в категорию абелевых групп, который удовлетворяет всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, кроме аксиомы размерности.
1. Hauptvermutung , немецкое слово «основная гипотеза», является сокращением от die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie (основная гипотеза комбинаторной топологии). Он спрашивает, являются ли два симплициальных комплекса изоморфными, если они гомеоморфны. Это было опровергнуто Милнором в 1961 году.
2. Есть несколько вариантов; например, можно спросить, являются ли два PL-многообразия PL-изоморфными, если они гомеоморфны (что также неверно).
Два цикла гомологичны, если они принадлежат одному и тому же классу гомологии.
сфера гомологии
Сфера гомологии — это многообразие, имеющее гомологический тип сферы.
гомотопическая категория
Пусть C — подкатегория категории всех пространств. Тогда гомотопическая категория C C — это категория, класс объектов которой тот же, что и класс объектов , но множество морфизмов объекта x в объект y — это множество гомотопических классов морфизмов от x до y в С. Например, отображение является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является изоморфизмом в гомотопической категории.
гомотопический копредел
Гомотопический копредел — это гомотопически корректная версия копредела.
гомотопия над пространством B
Гомотопия ht такая для каждого фиксированного t ht , является отображением над B. что
гомотопическая эквивалентность
1. Отображение ƒ: X → Y является гомотопической эквивалентностью , если оно обратимо с точностью до гомотопии; то есть существует отображение g: Y → X такое, что g ∘ ƒ гомотопно тождественному отображению на X и ƒ ∘ g гомотопно тождественному отображению на Y .
2. Два пространства называются гомотопически эквивалентными, если между ними существует гомотопическая эквивалентность. Например, по определению пространство стягиваемо, если оно гомотопически эквивалентно точечному пространству .
1. Для базируемого пространства X пусть , множество гомотопических классов базовых отображений. Затем — множество компонент линейной связности X , является фундаментальной группой X и высшими) n -ми гомотопическими группами X являются ( .
2. Для базовых помещений , относительная гомотопическая группа определяется как пространства путей, которые начинаются в базовой точке и заканчиваются где-то в A. X Эквивалентно, это гомотопического слоя .
3. Если E — спектр, то
4. Если X — базируемое пространство, то стабильной k -й гомотопической группой X является . Другими словами, это k -я гомотопическая группа спектра надстройки X .
гомотопический откат
Гомотопический возврат — это частный случай гомотопического предела, который является гомотопически правильным возвратом.
гомотопический коэффициент
Если G — группа Ли , действующая на многообразии X , то фактор-пространство называется гомотопическим фактором (или борелевской конструкцией) X по G , где EG — универсальное расслоение G .
гомотопическая спектральная последовательность
гомотопическая сфера
Гомотопическая сфера — это многообразие, имеющее гомотопический тип сферы.
Кольцо Лазара L — это (огромное) коммутативное кольцо вместе с законом формальной группы ƒ, которое является универсальным среди всех законов формальной группы в том смысле, что любой формальный групповой закон g над коммутативным кольцом R получается посредством гомоморфизма колец L → R. отображение ƒ на g . Согласно теореме Квиллена, это также кольцо коэффициентов комплексного бордизма MU. Spec . L групповых называется пространством модулей формальных законов
2. Теорема Лефшеца о неподвижной точке гласит: для данного конечного симплициального комплекса K и его геометрической реализации X , если отображение не имеет неподвижной точки, то число Лефшеца функции f ; то есть,
равен нулю. Например, отсюда следует теорема Брауэра о неподвижной точке, поскольку число Лефшеца является единицей, поскольку высшие гомологии исчезают.
1. Модуль над групповым кольцом для некоторого базируемого пространства B ; другими словами, абелева группа вместе с гомоморфизмом .
2. Локальная система коэффициентов над базирующим пространством B с абелевой группой A представляет собой расслоение над B с дискретным A. слоем Если B допускает универсальное накрытие , то это значение совпадает со значением 1. в том смысле: каждая локальная система коэффициентов над B может быть задана как ассоциированное расслоение .
3. Уменьшенные версии вышеописанного получены за счет использования уменьшенного конуса и уменьшенного цилиндра.
4. Пространство путей отображения P p отображения p : E → B является обратным образом вдоль п . Если p — расслоение, то естественное отображение E → P p является послойной гомотопической эквивалентностью ; таким образом, можно заменить E пространством путей отображения, не меняя гомотопического типа слоя. Пространство путей отображения также называется коцилиндром отображения .
5. Как множество пространство отображений пространства X в пространство Y представляет собой множество всех непрерывных отображений из X в Y . Оно топологизировано таким образом, что пространство отображения является пространством; то есть объект в категории пространств, используемых в алгебраической топологии; например, категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств . Эта топология может быть или не быть компактно-открытой топологией.
Обобщенная теория когомологий E мультипликативна, если E * ( X ) — градуированное кольцо . Например, обычная теория когомологий и комплексная K- теория мультипликативны (на самом деле, теории когомологий, определяемые E ∞ -кольцами, мультипликативны.)
Базирующее пространство X является n -связным , если для всех целых чисел q ≤ n . Например, «1-связный» — это то же самое, что « односвязный ».
n -эквивалент
NDR-пара
Пара пробелов называется NDR-парой (=парой ретракта деформации окрестности), если существует отображение и гомотопия такой, что , , и .
Если A — замкнутое подпространство X , то пара является NDR-парой тогда и только тогда, когда является кофибрацией .
Для симплициальной группы G нормализованный цепной комплекс NG группы G задается формулой с n -м дифференциалом, заданным выражением ; интуитивно выбрасываем вырожденные цепи. [5] Его еще называют комплексом Мура .
1. Ориентационное накрытие (или ориентационное двойное накрытие) многообразия — это двулистное накрытие, так что каждому слою над x соответствуют два различных способа ориентации окрестности x .
2. Ориентация многообразия – это сечение ориентационного покрытия; т. е. последовательный выбор точки в каждом слое.
Класс эквивалентности путей (два пути эквивалентны, если они гомотопны друг другу).
путь подъема
Функция подъема пути для отображения p : E → B — это сечение где — путей отображения пространство p . Например, накрытие — это расслоение с единственной функцией подъема пути. Формально карта является расслоением тогда и только тогда, когда для нее существует функция подъема пути.
пространство пути
Пространство путей базового пространства X равно , пространство основанных карт, где базовая точка I равна 0. Другими словами, это (теоретико-множественный) слой над базовой точкой X . Проекция называется расслоением пространства путей , слой которого над базовой точкой X является пространством петель . См. также отображение пространства пути .
Система Постникова — это последовательность расслоений, такая, что все предыдущие многообразия имеют исчезающие гомотопические группы ниже заданной размерности.
Не совсем точный термин. Но это может означать, например, что G дискретна и каждая точка G- пространства имеет окрестность V такую, что для каждого g в G , не являющегося единичным элементом, gV пересекает V в конечном числе точек.
Учитывая отображение p : E → B , обратный образ p вдоль ƒ : X → B — это пространство это эквалайзер p (кратко говоря , и f ). Это пространство над X через проекцию.
Последовательность кукол
Последовательность Puppe относится к любой из последовательностей
где являются гомотопическим кослоем и гомотопическим слоем f .
то есть X и B склеены вдоль линии A через f . Отображение f обычно называют присоединяющим отображением.
Важный пример: B = D. н , А = S п -1 ; формирование такого выталкивания называется присоединением n -ячейки (имеется в виду n -диска) к X. в таком случае
2. Рационализация пространства X это, грубо говоря, локализация X — в нуле. Точнее, X 0 вместе с j : X → X 0 является рационализацией X , если отображение индуцированный j, является изоморфизмом векторных пространств и .
Уменьшенная подвеска базового пространства X — это потрясающий продукт. . Он связан с функтором цикла соотношением где это пространство цикла.
убрать
1. Ретрактом карты f называется карта r такая, что — тождество (другими словами, f — сечение r ).
2. Подпространство называется ретрактом, если отображение включения допускает отвод (см. #deformation retract ).
кольцевой спектр
Кольцевой спектр — это спектр, удовлетворяющий аксиомам кольца либо на носу, либо с точностью до гомотопии. Например, комплексная K-теория представляет собой кольцевой спектр.
Симплициальные гомологии — это (канонические) гомологии симплициального комплекса. Обратите внимание, что это применимо к симплициальным комплексам, а не к пространствам; ср. #сингулярная гомология .
инвариант подписи
единственное число
1. Для пространства X и абелевой группы π группа гомологий X сингулярная с коэффициентами из π равна
где – сингулярный цепной X ; комплекс т. е. кусок n -й степени — это свободная абелева группа, порожденная всеми отображениями от стандартного n симплекса к X. - Сингулярная гомология является частным случаем симплициальной гомологии ; для каждого пространства X существует сингулярный симплициальный комплекс X действительно , [6] чьи гомологии являются сингулярными гомологиями X .
Грубо говоря, последовательность пробелов вместе с картами (называемыми структурными картами) между последовательными членами; см. спектр (топология) .
сферический пучок
Сферическое расслоение — это расслоение, волокнами которого являются сферы.
спектр сферы
— Спектр сфер это спектр, состоящий из последовательности сфер. вместе с отображениями между сферами, заданными подвесками. Короче говоря, это спектр суспензии .
2. Если E — векторное расслоение на паракомпакте X , то пространство Тома из E получается сначала заменой каждого слоя его компактификацией, а затем схлопыванием базы X .
Теорема Ван Кампена гласит: если пространство X линейно связно и если x 0 — точка из X , то
где копредел пробегает некоторое открытое покрытие X , состоящее из линейно связных открытых подмножеств, содержащих x 0 , такое, что покрытие замкнуто при конечных пересечениях.
Отображение ƒ: X → Y базисных пространств является слабой эквивалентностью , если для каждого q индуцированное отображение является биективным.
клин
Для основанных пространств X , Y , клиновое произведение X и Y является сопроизведением X и Y ; конкретно, оно получается путем их непересекающегося объединения и последующего определения соответствующих базовых точек.
хорошо указан
Базируемое пространство является хорошо указанным (или невырожденно основанным), если включение базовой точки является корасслоением.
^ Пусть r , s обозначают ограничение и сечение. Для каждой f в , определять . Затем .
^ Несмотря на название, это может не быть алгебраическим многообразием в строгом смысле слова; например, оно не может быть неприводимым. Кроме того, без какого-либо предположения конечности G это всего лишь схема.
Баусфилд, АК; Кан, Д. М. (1987), Гомотопические пределы, пополнения и локализации , Конспекты лекций по математике, том. 304, Спрингер, ISBN 9783540061052
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: A292DE8F34828A50620A2B8275A3758C__1717839900 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_homotopy_equivalence Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Glossary of algebraic topology - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)