Решётчатая модель (финансы)

Биномиальная решетка для капитала с формулами CRR

Дерево для ( встроенного ) опциона на облигации, возвращающего OAS (черный и красный): короткая ставка — максимальное значение; динамика стоимости облигаций ясно показывает приближение к номиналу

В финансах . используется решетчатая модель это метод, применяемый для оценки производных инструментов , где дискретного времени требуется модель . Для опционов на акции типичным примером может быть ценообразование американского опциона , где решение об исполнении опциона требуется «в любое» время (в любое время) до и включая срок погашения. С другой стороны, непрерывная модель, такая как Блэк-Шоулз , позволит оценить только европейские опционы , исполнение которых приходится на дату погашения опциона . Для процентных деривативов решетки дополнительно полезны, поскольку они решают многие проблемы, возникающие при работе с непрерывными моделями, например, приведение к номиналу . Этот метод также используется для оценки некоторых экзотических опционов , где из-за зависимости выигрыша от траектории выплаты методы Монте-Карло для оценки опционов не могут учитывать оптимальные решения о прекращении производного инструмента путем досрочного исполнения. хотя сейчас существуют методы решения этой проблемы .

Акции и товарные деривативы

Древовидная оценка опциона на акции: 1. Постройте дерево цен акций: Либо прямая конструкция, применяющая повышающий или понижающий коэффициент ( $u$ или $d$) к текущей цене, так что в следующем периоде цена либо будет $S_{up}=S\cdot u$ или $S_{down}=S\cdot d$; или учитывая, что дерево рекомбинируется, непосредственно через $S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}}$, где $N_{u}$ - это количество повышающихся тиков и $N_{d}$ это количество даун-тиков. 2. Постройте соответствующее дерево вариантов: в каждом последнем узле дерева, т. е. по истечении срока действия опциона, стоимость опциона представляет собой просто его внутреннюю стоимость, или стоимость исполнения; на более ранних узлах значение определяется ожиданием , $C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i+1}+(1-p)C_{t,i-1})\,$, p — вероятность движения вверх; где неевропейская стоимость равна большей из этой суммы и стоимости исполнения с учетом соответствующей стоимости собственного капитала.

В общем, подход состоит в том, чтобы разделить время между настоящим моментом и истечением срока действия опциона на N дискретных периодов. В определенный момент времени n модель имеет конечное число результатов в момент времени n + 1, так что каждое возможное изменение состояния мира между n и n + 1 фиксируется в ветви. Этот процесс повторяется до тех пор, пока каждый возможный путь между n = 0 и n = N. не будет отображен Затем вероятности оцениваются для каждого пути от n до n + 1. Результаты и вероятности движутся назад по дереву до тех пор, пока не будет рассчитана справедливая стоимость опциона на сегодняшний день.

Для акций и товаров применение выглядит следующим образом. Первый шаг — проследить эволюцию ключевой базовой переменной (переменных) опциона, начиная с сегодняшней спотовой цены , чтобы этот процесс соответствовал ее волатильности; логнормальное броуновское движение с постоянной волатильностью. Обычно предполагается Следующий шаг — рекурсивная оценка опциона: шаг назад от последнего временного шага, где у нас есть стоимость исполнения в каждом узле; и применение нейтральной к риску оценки на каждом более раннем узле, где стоимость опциона представляет собой взвешенную по вероятности текущую стоимость верхних и нижних узлов на более позднем временном шаге. Более подробную информацию см. в разделе Модель ценообразования биномиальных опционов § Метод , а также в разделе Рациональное ценообразование § Оценка, нейтральная к риску, для вывода логики и формул.

Как указано выше, решетчатый подход особенно полезен при оценке американских опционов , где выбор , досрочно ли исполнить опцион или оставить его, может быть смоделирован для каждой дискретной комбинации время/цена; это также верно и для бермудских опционов . По тем же причинам реальные опционы и опционы на акции сотрудников часто моделируются с использованием решетчатой ​​структуры, хотя и с измененными допущениями. В каждом из этих случаев третьим шагом является определение того, будет ли опцион исполнен или удержан, а затем применить это значение в рассматриваемом узле. некоторые экзотические опционы , например, барьерные опционы Здесь также легко моделируются ; для других опций, зависящих от пути , моделированию предпочтение отдается . (Хотя были разработаны древовидные методы. )

Простейшей решетчатой ​​моделью является модель ценообразования биномиальных опционов ; стандартный («канонический» ) метод предложен Коксом , Россом и Рубинштейном (CRR) в 1979 году; формулы см. на диаграмме. Разработано более 20 других методов. каждый из которых «выведен на основе различных предположений» относительно изменения цены базового актива. В пределе , по мере увеличения количества временных шагов, они сходятся к логарифмически нормальному распределению и, следовательно, дают «ту же» цену опциона, что и цена Блэка-Шоулза: чтобы достичь этого, они будут различными способами стремиться согласоваться с центральным значением базового актива. моменты , необработанные моменты и/или лог-моменты на каждом временном шаге, измеренные дискретно . Дальнейшие улучшения предназначены для достижения стабильности относительно Блэка-Шоулза при изменении количества временных шагов. Фактически, более поздние модели построены на прямой конвергенции с моделью Блэка-Шоулза.

Вариантом бинома является триномиальное дерево . разработан Фелимом Бойлом в 1986 году. Здесь цена акции может оставаться неизменной в течение определенного периода времени, и тогда оценка опциона основывается на стоимости акции в верхнем, нижнем и среднем узлах на более позднем временном этапе.Что касается биномиального метода, существует аналогичный (хотя и меньший) набор методов. Рассматривается триномиальная модель. для получения более точных результатов, чем биномиальная модель, когда моделируется меньшее количество временных шагов, и поэтому используется, когда скорость вычислений или ресурсы могут быть проблемой. Для ванильных вариантов по мере увеличения количества шагов результаты быстро сходятся, и тогда предпочтение отдается биномиальной модели из-за ее более простой реализации. Для экзотических вариантов триномиальная модель (или ее адаптации) иногда более стабильна и точна, независимо от размера шага.

Различные греки можно оценить прямо на решетке, где чувствительности рассчитываются с помощью конечных разностей . Дельта и гамма , являющиеся чувствительностью стоимости опциона к цене, аппроксимируются с учетом различий между ценами опционов (с соответствующими спотовыми ценами) за один и тот же временной шаг. Тета , чувствительность ко времени, также оценивается с учетом цены опциона в первом узле дерева и цены опциона для того же места на более позднем временном шаге. (Второй временной шаг для триномиального, третий для биномиального. В зависимости от метода, если «фактор понижения» не является обратным «коэффициенту повышения», этот метод не будет точным.) Для rho чувствительность к процентным ставкам и вега , чувствительность к волатильности входных данных, измерение является косвенным, так как значение должно быть рассчитано второй раз на новой решетке, построенной с немного измененными входными данными - и чувствительность здесь также возвращается через конечную разность. См. также Fugit — расчетное время тренировки, которое обычно рассчитывается с использованием решетки.

Когда важно учесть волатильность или поверхность , подразумеваемые деревья можно построить . Здесь дерево решено таким образом, что оно успешно воспроизводит выбранные (все) рыночные цены для различных страйков и экспираций. Таким образом, эти деревья «гарантируют, что все европейские стандартные опционы (со сроками исполнения и сроками погашения, совпадающими с узлами дерева) будут иметь теоретическую стоимость, соответствующую их рыночным ценам». Используя калиброванную решетку, можно затем оценить опционы с комбинациями страйк/срок погашения, не котируемыми на рынке, так, чтобы эти цены соответствовали наблюдаемым моделям волатильности. Существуют оба подразумеваемых биномиальных дерева , часто Рубинштейна (R-IBT), IBT и подразумеваемые трехчленные деревья , часто Дерман -Кани -Крисс (DKC; заменяет DK-IBT ). Первый легче построить, но он соответствует только одной зрелости; последний будет согласовываться с известными (или интерполированными ) ценами на всех временных шагах и узлах, но в то же время требует их. (DKC по сути представляет собой дискретизированную модель локальной волатильности .)

Что касается построения, то для R-IBT первым шагом является восстановление «предполагаемых конечных риск-нейтральных вероятностей» спотовых цен. Затем, исходя из предположения, что все пути, ведущие к одному и тому же конечному узлу, имеют одинаковую нейтральную к риску вероятность, к каждому конечному узлу прикрепляется «вероятность пути». После этого «это так же просто, как один-два-три», и трехшаговая обратная рекурсия позволяет восстановить вероятности узла для каждого временного шага. Затем оценка опциона происходит стандартным образом, с заменой на p . Для DKC первым шагом является восстановление государственных цен, соответствующих каждому узлу дерева, чтобы они соответствовали наблюдаемым ценам опционов (т. е. поверхности волатильности). После этого для каждого узла находят верхнюю, нижнюю и среднюю вероятности так, что: их сумма равна 1; спотовые цены, соседние по времени, изменяются нейтрально к риску, включая дивидендную доходность ; государственные цены аналогично «растут» по безрисковой ставке. (Решение здесь является итеративным для каждого шага времени, а не одновременным.) Что касается R-IBT, оценка опциона тогда осуществляется с помощью стандартной обратной рекурсии.

В качестве альтернативы биномиальные деревья Эджворта. допускать указанный аналитиками асимметрию и эксцесс в доходности спотовых цен; см. серию Эджворта . Этот подход полезен, когда поведение базового актива (заметно) отклоняется от нормального. Связанное использование - калибровка дерева по улыбке волатильности (или поверхности) путем «разумного выбора». Из значений параметров — оцененных здесь, опционы с разными страйками будут возвращать разную подразумеваемую волатильность. Для оценки американских опционов конечное распределение, созданное Эджвортом, можно комбинировать с R-IBT. Этот подход ограничен набором пар асимметрии и эксцесса, для которых доступны действительные распределения. Более поздние биномиальные деревья Джонсона используйте «семейство» распределений Джонсона , поскольку оно способно вместить все возможные пары.

Для нескольких базовых элементов полиномиальные решетки могут быть построены, хотя количество узлов увеличивается экспоненциально с увеличением количества базовых элементов. В качестве альтернативы опционы «Корзина » могут оцениваться с использованием «приблизительного распределения». , например, через дерево Эджворта (или Джонсона).

Процентные деривативы

Древовидная оценка опциона на облигации: 0. Построить дерево процентных ставок, которое, как описано в тексте, будет соответствовать текущей временной структуре процентных ставок. 1. Постройте соответствующее дерево цен облигаций, в котором базовая облигация оценивается в каждом узле методом «обратной индукции»: в конечных узлах стоимость облигации равна просто номинальной стоимости (или 1 доллару США) плюс купон (в центах), если это применимо; если дата облигации и дата дерева не совпадают, они затем дисконтируются до начала временного шага с использованием короткой ставки для конкретного узла; в каждом более раннем узле это дисконтированная ожидаемая стоимость узлов на более позднем временном шаге плюс купонные выплаты в течение текущего временного шага, дисконтированные аналогично началу временного шага. 2. Постройте соответствующее дерево опционов на облигации, в котором опцион на облигацию оценивается в основном так же, как опцион на акции: при наступлении срока опциона стоимость зависит от денежности всех узлов на этом временном этапе; в более ранних узлах стоимость является функцией ожидаемой стоимости опциона в узлах на более позднем временном шаге, дисконтированной по короткой ставке текущего узла; где неевропейская стоимость равна большей из этой суммы и стоимости исполнения с учетом соответствующей стоимости облигации.

Решетки обычно используются при оценке опционов на облигации , свопов и других процентных деривативов. В этих случаях оценка в основном аналогична приведенной выше, но требует дополнительного, нулевого шага построения дерева процентных ставок, на котором затем основывается цена базового актива. Следующий шаг также отличается: базовая цена здесь строится посредством «обратной индукции», т.е. течет назад от срока погашения, накапливая приведенную стоимость запланированных денежных потоков в каждом узле, в отличие от движения вперед от даты оценки, как указано выше. Последний этап — оценка опциона — осуществляется в обычном порядке. Графику смотрите вверху, а описание — сбоку.

Исходная решетка строится путем дискретизации либо модели с короткими ставками , такой как Hull-White или Black Derman Toy , либо модели, основанной на форвардной ставке , такой как рыночная модель LIBOR или HJM . Что касается справедливости, для этих моделей также можно использовать триномиальные деревья; обычно это относится к деревьям Халла-Уайта.

Под HJM, условие отсутствия арбитража подразумевает, что существует мартингальная вероятностная мера , а также соответствующее ограничение на «коэффициенты дрейфа» форвардных ставок. Они, в свою очередь, являются функциями волатильности форвардных ставок. «Простое» дискретное выражение поскольку дрейф тогда позволяет выразить форвардные ставки в биномиальной решетке. Для этих моделей, основанных на форвардных курсах, в зависимости от допущений о волатильности решетка может не рекомбинироваться. (Это означает, что «движение вверх», за которым следует «движение вниз», не даст того же результата, что и «движение вниз», за которым следует «движение вверх».) В этом случае Решетку иногда называют в виде «куста», а количество узлов растет экспоненциально в зависимости от количества временных шагов. Для модели рынка Libor также доступна методология рекомбинированного биномиального дерева.

Что касается моделей с короткими ставками, они, в свою очередь, подразделяются на дополнительные категории: они будут либо основаны на равновесии ( Васичек и CIR ), либо безарбитражны ( Хо-Ли и последующие ). Это различие: для моделей, основанных на равновесии, кривая доходности является выходным сигналом модели, тогда как для моделей без арбитража кривая доходности является входными данными для модели. В первом случае подход заключается в «калибровке» параметров модели таким образом, чтобы цены облигаций, полученные с помощью модели в ее непрерывной форме, лучше всего соответствовали наблюдаемым рыночным ценам. Затем дерево строится как функция этих параметров.В последнем случае калибровка осуществляется непосредственно на решетке: подгонка осуществляется как к текущей временной структуре процентных ставок (т.е. кривой доходности ), так и к соответствующей структуре волатильности .Здесь калибровка означает, что дерево процентных ставок воспроизводит цены облигаций с нулевым купоном — и любых других ценных бумаг, чувствительных к процентной ставке, — используемых при построении кривой доходности ; обратите внимание на параллель с подразумеваемыми деревьями капитала, приведенными выше, и сравните Bootstrapping (finance) .Для моделей, предполагающих нормальное распределение (таких как Хо-Ли), калибровка может выполняться аналитически, тогда как для логарифмически нормальных моделей калибровка осуществляется с помощью алгоритма поиска корня ; см., например, описание в рамке модели Black-Derman-Toy .

Структура волатильности, т. е. вертикальное расстояние между узлами, здесь отражает волатильность ставок в течение квартала или другого периода, соответствующего временному шагу решетки. (Некоторые аналитики используют « реализованную волатильность », т.е. ставки, применимые исторически для данного временного шага; чтобы быть последовательными с точки зрения рынка, аналитики обычно предпочитают использовать текущие цены верхнего предела процентных ставок и подразумеваемую волатильность для Black-76 - цены каждый компонент каплета ; см. «Потолок процентной ставки § Подразумеваемая волатильность ».)Учитывая эту функциональную связь с волатильностью, обратите внимание на результирующую разницу в построении по сравнению с деревьями, подразумеваемыми капиталом: для процентных ставок волатильность известна для каждого временного шага, а значения узлов (т.е. процентные ставки) должны быть рассчитаны для заданных нейтральных к риску вероятностей; с другой стороны, для капитала нельзя указать одну волатильность для каждого временного шага, т. е. у нас есть «улыбка», и дерево строится путем решения вероятностей, соответствующих указанным значениям базового актива в каждом узле.

После калибровки решетка процентных ставок затем используется для оценки различных инструментов с фиксированным доходом и деривативов. Подход к опционам на облигации описан отдельно — обратите внимание, что этот подход решает проблему притяжения к номинальной стоимости , возникающую при подходах закрытой формы; см. модель Блэка – Шоулза § Оценка опционов на облигации . Для свопов логика почти идентична: свопы заменяют облигации на этапе 1, а свопы — опционами на облигации на этапе 2.Для кэпов (и флоритов) этапы 1 и 2 объединяются: в каждом узле значение основано на соответствующих узлах на более позднем этапе, плюс для любого кэплета ( флорита ), наступающего на данном временном шаге, разница между его эталонными значениями. ставка и короткая ставка в узле (и отражающая соответствующую долю количества дней и обмененную номинальную стоимость). Для с возможностью отзыва и облигаций продажи потребуется третий шаг: в каждом узле временного шага учитывать влияние встроенного опциона на цену облигации и/или цену опциона перед шагом назад на один временной шаг. (И отметив, что эти варианты не являются взаимоисключающими, и поэтому в облигацию может быть включено несколько вариантов; гибридные ценные бумаги рассматриваются ниже.) Для других, более экзотических процентных деривативов , аналогичные корректировки вносятся в этап 1 и далее. О «греках», в основном о капитале, см. в следующем разделе.

Альтернативный подход к моделированию опционов на (американские) облигации, особенно с доходностью к погашению (YTM), использует модифицированные методы решетки акций. Здесь аналитик строит дерево CRR YTM, применяя предположение о постоянной волатильности, а затем рассчитывает цену облигации как функцию этой доходности в каждом узле; Таким образом, цены здесь приближаются к номиналу. Второй шаг — затем включить любую временную структуру волатильности путем построения соответствующего дерева DKC (на основе каждого второго временного шага в дереве CRR: поскольку DKC является триномиальным, а CRR — биномиальным), а затем использовать его для оценки опциона.

После мирового финансового кризиса 2007–2012 годов ценообразование свопов (как правило) находится в рамках « многокривой », тогда как раньше оно не было единой кривой «самодисконтирования»; см. Процентный своп § Оценка и ценообразование . Здесь выплаты устанавливаются как функция ставки LIBOR, специфичной для срока рассматриваемого , а дисконтирование производится по ставке OIS . Чтобы учесть это в решетчатой ​​структуре, ставка OIS и соответствующая ставка LIBOR совместно моделируются в трехмерном дереве, построенном таким образом, чтобы ставки свопа LIBOR соответствовали друг другу. После выполнения нулевого шага оценка будет продолжаться в основном так же, как и раньше, с использованием шагов 1 и далее, но здесь с денежными потоками, основанными на «измерении» LIBOR, и дисконтированием с использованием соответствующих узлов из «измерения» OIS.

Гибридные ценные бумаги

Гибридные ценные бумаги , включающие в себя как акции, так и облигации, также оцениваются с использованием деревьев. Для конвертируемых облигаций (CB) подход Цивериотиса и Фернандеса (1998 г.) состоит в том, чтобы разделить стоимость облигации в каждом узле на компонент «капитала», возникающий в ситуациях, когда CB будет конвертирован, и компонент «долга», возникающий в ситуациях, когда CB погашается. Соответственно, деревья-близнецы строятся, где дисконтирование производится по безрисковой ставке и с поправкой на кредитный риск соответственно, а сумма представляет собой стоимость CB. Существуют и другие методы, которые аналогичным образом сочетают дерево типа акций с деревом коротких ставок. Альтернативный подход, первоначально опубликованный Goldman Sachs (1994), не разделяет компоненты, а, скорее, дисконтирование осуществляется по безрисковой и рискованной процентной ставке, взвешенной с учетом вероятности конверсии, в пределах одного дерева. См. Конвертируемая облигация § Оценка , Условная конвертируемая облигация .

В более общем смысле, капитал можно рассматривать как опцион колл на фирму: когда стоимость фирмы меньше стоимости непогашенного долга, акционеры предпочли бы не погашать долг фирмы; в противном случае они предпочли бы погасить долг, а не ликвидировать его (т.е. реализовать свой выбор ). Здесь для анализа капитала были разработаны решетчатые модели. особенно в отношении проблемных фирм . акционеров Кроме того, что касается ценообразования корпоративного долга, отношения между ограниченной ответственностью и потенциальными разбирательствами по Главе 11 также были смоделированы с помощью решетки.

Расчет «греков» для процентных деривативов происходит так же, как и для собственного капитала. Однако существует дополнительное требование, особенно для гибридных ценных бумаг: а именно, оценить чувствительность, связанную с общими изменениями процентных ставок. Для облигации со встроенным опционом стандартные доходности к погашению на основе расчеты дюрации и выпуклости не учитывают, как изменения процентных ставок изменят денежные потоки в результате исполнения опциона. Для решения этой проблемы эффективная длительность и -выпуклость вводятся . Здесь, как и в случае с ро и вега, рассмотренными выше, дерево процентных ставок перестраивается для параллельного сдвига кривой доходности вверх, а затем вниз , и эти показатели рассчитываются численно с учетом соответствующих изменений стоимости облигаций.

Библиография

• Дэвид Ф. Баббел (1996). Оценка финансовых инструментов, чувствительных к процентным ставкам (1-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-1883249151 .
• Джеральд Бютоу; Фрэнк Фабоцци (2000). Оценка процентных свопов и свопов . Джон Уайли . ISBN  978-1883249892 .
• Джеральд Бьютоу и Джеймс Сочаки (2001). Модели временной структуры с использованием биномиальных деревьев . Исследовательский фонд AIMR ( Институт CFA ). ISBN  978-0-943205-53-3 .
• Лес Клюлоу; Крис Стрикленд (1998). Реализация производных моделей . Нью-Джерси: Уайли . ISBN  978-0-471-96651-7 .
• Рама Конт, изд. (2010). Древовидные методы в финансах, Энциклопедия количественных финансов (PDF) . Уайли. ISBN  978-0-470-05756-8 .
• Фрэнк Фабоцци (1998). Оценка ценных бумаг с фиксированным доходом и деривативов (3-е изд.). Джон Уайли . ISBN  978-1-883249-25-0 .
• Эспен Хауг (2006). Полное руководство по формулам ценообразования опционов . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN  978-0-07-138997-6 .
• Ричард Рендлман (2002). Прикладные деривативы: опционы, фьючерсы и свопы (1-е изд.). Уайли-Блэквелл. ISBN  978-0-631-21590-5 .
• Марк Рубинштейн (2000). Рубинштейн о производных (1-е изд.). Книги рисков . ISBN  978-1899332533 .
• Стивен Шрив (2004). Стохастическое исчисление в сфере финансов I: биномиальная модель ценообразования активов . Спрингер. ISBN  978-0387249681 .
• Дональд Дж. Смит (2017). Оценка в мире CVA, DVA и FVA: Учебное пособие по долговым ценным бумагам и производным процентным ставкам . Всемирная научная. ISBN  978-9813222748 .
• Джон ван дер Хук и Роберт Дж. Эллиотт (2006). Биномиальные модели в финансах . Спрингер. ISBN  978-0-387-25898-0 .