Модель Черный–Дерман–Той

Короткая калибровка дерева в рамках БРЭ: Шаг 0. Установите нейтральную к риску вероятность движения вверх, p, равную 50%. Шаг 1. Для каждой входной ставки спотовой итеративно : отрегулировать скорость в самом верхнем узле на текущем временном шаге, i; найдите все остальные скорости на временном шаге, где они связаны с узлом непосредственно выше (ru _; rd _— рассматриваемый узел) через $\ln(r_{u}/r_{d})/2=\sigma _{i}{\sqrt {\Delta t}}$ (это расстояние между узлами соответствует p = 50%; Δt — длина временного шага); рекурсивно дисконтировать по дереву, используя ставку в каждом узле, т.е. посредством «обратной индукции», от рассматриваемого временного шага до первого узла в дереве (т.е. i=0); повторяйте до тех пор, пока дисконтированная стоимость в первом узле дерева не станет равной нулевой цене, соответствующей данной спотовой процентной ставке для i-го временного шага. Шаг 2. После решения сохраните эти известные короткие ставки и перейдите к следующему временному шагу (т. е. входной спотовой ставке), «выращивая» дерево до тех пор, пока оно не включит в себя полную входную кривую доходности.

В математических финансах модель Блэка -Дермана-Тоя ( BDT ) является популярной моделью с краткосрочной ставкой, используемой при оценке опционов на облигации , свопов и других производных процентных ставок ; см. Решетчатую модель (финансы) § Производные процентные ставки . Это однофакторная модель; то есть единственный стохастический фактор — короткая ставка — определяет будущую эволюцию всех процентных ставок. Это была первая модель, сочетающая возврат к среднему значению краткосрочной ставки с логарифмически нормальным распределением . ^[1] и до сих пор широко используется. ^[2]^[3]

История

Модель представили Фишер Блэк , Эмануэль Дерман и Билл Той. Впервые она была разработана для внутреннего использования компанией Goldman Sachs в 1980-х годах и опубликована в журнале Financial Analysts Journal в 1990 году. Личный отчет о разработке модели представлен в мемуарах Эмануэля Дермана «Моя жизнь как квант» . ^[4]

Формулы

В рамках BDT, используя биномиальную решетку , параметры модели калибруются так, чтобы они соответствовали как текущей временной структуре процентных ставок ( кривая доходности ), так и структуре волатильности для пределов процентных ставок (обычно это подразумевается ценами Black-76 для каждого компонента). каплет); смотри в сторону. Используя калиброванную решетку, можно затем оценить множество более сложных ценных бумаг, чувствительных к процентным ставкам, и производных процентных ставок .

Хотя изначально эта модель была разработана для среды на основе решетки, было показано, что она подразумевает следующее непрерывное стохастическое дифференциальное уравнение : ^[1]^[5]

d\ln(r)=\left[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)\right]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}

где,

r\,

= мгновенная короткая скорость в момент времени t

\theta _{t}\,

= стоимость базового актива на момент истечения срока действия опциона

\sigma _{t}\,

= мгновенная волатильность коротких ставок

W_{t}\,

= стандартное броуновское движение при нейтральной к риску вероятностной мере;

dW_{t}\,

его дифференциал .

Для постоянной (независящей от времени) волатильности коротких ставок: $\sigma \,$ , модель:

d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}

Одна из причин, по которой модель остается популярной, заключается в том, что «стандартные» алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона ( метод секущей ) или деление пополам , очень легко применяются для калибровки. ^[6] Соответственно, модель изначально была описана на алгоритмическом языке, а не с использованием стохастического исчисления или мартингалов . ^[7]

Ссылки

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б «Влияние различных моделей процентных ставок на показатели стоимости облигаций, Дж., Бьютоу и др.» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 октября 2011 г. Проверено 21 июля 2011 г.
^ Анализ фиксированного дохода , с. 410, в Google Книгах.
^ «Руководство по специальностям профессиональных актуариев Общества актуариев по управлению активами и пассивами» (PDF) . soa.org . Проверено 19 марта 2024 г.
^ «Моя жизнь как квант: размышления о физике и финансах» . Архивировано из оригинала 28 марта 2010 г. Проверено 26 апреля 2010 г.
^ «Чёрный-Дерман-Игрушка (БДТ)» . Архивировано из оригинала 24 мая 2016 г. Проверено 14 июня 2010 г.
^ Фелим Бойл , Кен Сенг Тан и Вэйдун Тиан (2001). Калибровка модели Блэка-Дермана-Тоя: некоторые теоретические результаты , Applied Mathematical Finance 8, 27–48 (2001).
^ «Интервью один на один с Эмануэлем Дерманом (Новости финансового инжиниринга)» . Проверено 9 июня 2021 г.

Статьи

Беннинга, С.; Винер, З. (1998). «Модели биномиальной временной структуры» (PDF) . Математика в образовании и исследованиях : том 7 № 3.
Блэк, Ф.; Дерман, Э.; Той, В. (январь – февраль 1990 г.). «Однофакторная модель процентных ставок и ее применение к опционам на казначейские облигации» (PDF) . Журнал финансовых аналитиков : 24–32. Архивировано из оригинала (PDF) 10 сентября 2008 г.
Бойл, П .; Тан, К.; Тиан, В. (2001). «Калибровка модели Блэка – Дермана – Той: некоторые теоретические результаты» (PDF) . Прикладные математические финансы : 8, 27–48. Архивировано из оригинала (PDF) 22 апреля 2012 г.
Халл, Дж. (2008). «Черная, Дерманская и игрушечная модель» (PDF) . Техническое примечание № 23 «Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты». Архивировано из оригинала (PDF) 29 января 2011 г. Проверено 8 апреля 2011 г.
Клозе, К.; Ли Цай (2003). «Реализация модели Блэка, Дермана и игрушки» (PDF) . Семинар «Финансовая инженерия», Венский университет.

Внешние ссылки

Функция R для вычисления дерева коротких ставок Блэка–Дермана–Тоя , Андреа Руберто
Онлайн: Генератор деревьев коротких ставок Блэка – Дермана – Той. Доктор Шинг Хинг Ман, Управление рисками Thomson-Reuters.
Онлайн: Оценка облигаций с использованием модели BDT Д-р Шинг Хинг Ман, Управление рисками Thomson-Reuters
Калькулятор Excel BDT и генератор деревьев , Серкан Гур

[Buetow-1] Перейти обратно: ^а ^б «Влияние различных моделей процентных ставок на показатели стоимости облигаций, Дж., Бьютоу и др.» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 октября 2011 г. Проверено 21 июля 2011 г.

[2] Анализ фиксированного дохода , с. 410, в Google Книгах.

[3] «Руководство по специальностям профессиональных актуариев Общества актуариев по управлению активами и пассивами» (PDF) . soa.org . Проверено 19 марта 2024 г.

[4] «Моя жизнь как квант: размышления о физике и финансах» . Архивировано из оригинала 28 марта 2010 г. Проверено 26 апреля 2010 г.

[5] «Чёрный-Дерман-Игрушка (БДТ)» . Архивировано из оригинала 24 мая 2016 г. Проверено 14 июня 2010 г.

[6] Фелим Бойл , Кен Сенг Тан и Вэйдун Тиан (2001). Калибровка модели Блэка-Дермана-Тоя: некоторые теоретические результаты , Applied Mathematical Finance 8, 27–48 (2001).

[7] «Интервью один на один с Эмануэлем Дерманом (Новости финансового инжиниринга)» . Проверено 9 июня 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Рынок облигаций
Bond Debenture Fixed income
Types of bonds by issuer	Agency bond Corporate bond Senior debt Subordinated debt Distressed debt Government bond Infrastructure bond Municipal bond Global bond
Types of bonds by payout	Accrual bond Auction rate security Callable bond Commercial paper Consol Contingent convertible bond Convertible bond Exchangeable bond Extendible bond Fixed rate bond Floating rate note High-yield debt Inflation-indexed bond Inverse floating rate note Lottery bond Perpetual bond Puttable bond Reverse convertible securities Zero-coupon bond
Bond valuation	Clean price Convexity Coupon Credit spread Current yield Dirty price Duration I-spread Mortgage yield Nominal yield Option-adjusted spread Risk-free bond Weighted-average life Yield curve Yield spread Yield to maturity Z-spread
Securitized products	Asset-backed security Collateralized debt obligation Collateralized mortgage obligation Commercial mortgage-backed security Mortgage-backed security
Bond options	Callable bond Convertible bond Embedded option Exchangeable bond Extendible bond Puttable bond
Institutions	Commercial Mortgage Securities Association (CMSA) International Capital Market Association (ICMA) Securities Industry and Financial Markets Association (SIFMA)

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category