Броуновское движение

Двумерное случайное блуждание адатома серебра по поверхности Ag(111)

Моделирование броуновского движения крупной частицы, аналогичной частице пыли, которая сталкивается с большим набором более мелких частиц, аналогичных молекулам газа, которые движутся с разными скоростями в разных случайных направлениях.

Броуновское движение – это хаотическое движение частиц , взвешенных в среде ( жидкости или газе ).

Эта модель движения обычно состоит из случайных колебаний положения частицы внутри подобласти жидкости с последующим перемещением в другую подобласть. За каждым перемещением следуют новые колебания внутри нового закрытого объема. Эта модель описывает жидкость, находящуюся в тепловом равновесии , определяемом данной температурой . Внутри такой жидкости не существует преимущественного направления потока (как в явлениях переноса ). моменты жидкости Точнее, общий линейный и угловой со временем остаются равными нулю. Кинетические энергии жидкости молекулярных броуновских движений вместе с энергиями молекулярных вращений и вибраций в сумме составляют калорическую составляющую внутренней энергии ( теорема о равнораспределении ).

Это движение названо в честь ботаника Роберта Брауна , который впервые описал это явление в 1827 году, рассматривая в микроскоп пыльцу растения Clarkia pulchella, погруженную в воду. В 1900 году французский математик Луи Башелье смоделировал стохастический процесс, ныне называемый броуновским движением, в своей докторской диссертации «Теория спекуляций» (Théorie de la spéculation), подготовленной под руководством Анри Пуанкаре . Затем, в 1905 году, физик-теоретик Альберт Эйнштейн опубликовал статью , в которой смоделировал движение частиц пыльцы как движение отдельных молекул воды , сделав один из своих первых крупных научных вкладов.

Направление силы атомной бомбардировки постоянно меняется, и в разное время частица сталкивается больше с одной стороны, чем с другой, что приводит к кажущемуся хаотическому характеру движения. Это объяснение броуновского движения послужило убедительным доказательством существования атомов и молекул и было дополнительно подтверждено экспериментально Жаном Перреном в 1908 году. Перрен был удостоен Нобелевской премии по физике в 1926 году «за работу по разрывной структуре материи».

Взаимодействия многих тел , которые приводят к броуновской модели, не могут быть решены с помощью модели, учитывающей каждую задействованную молекулу. только вероятностные модели, применимые к молекулярным популяциям . Следовательно, для его описания можно использовать Две такие модели статистической механики , принадлежащие Эйнштейну и Смолуховскому, представлены ниже. Другой, чисто вероятностный класс моделей — это класс моделей случайных процессов . Существуют последовательности как более простых, так и более сложных случайных процессов, которые сходятся (в пределе ) к броуновскому движению (см. случайное блуждание и теорему Донскера ).

История

Воспроизведено из книги Жана Батиста Перрена Les Atomes , показаны три записи движения коллоидных частиц радиусом 0,53 мкм, видимые под микроскопом. Последовательные позиции каждые 30 секунд соединяются отрезками прямых (размер ячейки 3,2 мкм).

В научной поэме римского философа-поэта Лукреция « О природе вещей » ( ок. 60 до н. э. ) есть замечательное описание движения частиц пыли в стихах 113–140 из Книги II. Он использует это как доказательство существования атомов:

Посмотрите, что происходит, когда солнечные лучи проникают в здание и освещают его затененные места. Вы увидите множество крошечных частиц, смешивающихся множеством способов... их танец является фактическим показателем скрытых от нашего зрения движений материи... Он возникает из-за атомов, которые движутся сами по себе [т. е. спонтанно ]. Тогда те малые составные тела, которые меньше всего удалены от импульса атомов, приходят в движение от воздействия их невидимых ударов и, в свою очередь, противостоят немного более крупным телам. Так движение поднимается от атомов и постепенно выходит на уровень наших чувств, так что в движение приходят те тела, которые мы видим в солнечных лучах, движимые ударами, которые остаются невидимыми.

Хотя смешивающееся, кувыркающееся движение частиц пыли вызвано в основном воздушными потоками, сверкающее, покачивающееся движение мелких частиц пыли вызвано главным образом истинной броуновской динамикой ; Лукреций «прекрасно описывает и объясняет броуновское движение на неверном примере».

Хотя Ян Ингенхауз описал неравномерное движение частиц угольной пыли на поверхности спирта в 1785 году, открытие этого явления часто приписывают ботанику Роберту Брауну в 1827 году. Браун изучал пыльцевые зерна растения Clarkia pulchella, взвешенные в воде под микроскоп, когда он наблюдал мельчайшие частицы, выбрасываемые пыльцевыми зернами, совершающие резкие движения. Повторив эксперимент с частицами неорганической материи, он смог исключить связь движения с жизнью, хотя его происхождение еще не было объяснено.

Первым, кто описал математику, лежащую в основе броуновского движения, был Торвальд Н. Тиле в статье о методе наименьших квадратов , опубликованной в 1880 году. За этим независимо последовал Луи Башелье в 1900 году в своей докторской диссертации «Теория спекуляций», в которой он представил стохастический анализ фондовых и опционных рынков. модель броуновского движения фондового рынка Часто цитируют , но Бенуа Мандельброт отверг ее применимость к движениям цен на акции отчасти потому, что они прерывисты.

Альберт Эйнштейн (в одной из своих статей 1905 года ) и Мариан Смолуховский (1906) довели решение проблемы до сведения физиков и представили его как способ косвенного подтверждения существования атомов и молекул. Их уравнения, описывающие броуновское движение, были впоследствии проверены экспериментальной работой Жана Батиста Перрена в 1908 году.

Теории статистической механики

Теория Эйнштейна

Теория Эйнштейна состоит из двух частей: первая часть состоит в формулировке уравнения диффузии для броуновских частиц, в котором коэффициент диффузии связан со среднеквадратичным смещением броуновской частицы, а вторая часть состоит в том, чтобы связать коэффициент диффузии к измеримым физическим величинам. Таким образом, Эйнштейн смог определить размер атомов и количество атомов в моле или молекулярную массу в граммах газа. В соответствии с законом Авогадро этот объем одинаков для всех идеальных газов и составляет 22,414 литра при стандартных температуре и давлении. Число атомов, содержащихся в этом объёме, называется числом Авогадро , и определение этого числа равносильно знанию массы атома, так как последняя получается путём деления молярной массы газа на число Авогадро. постоянный .

Характерные колоколообразные кривые диффузии броуновских частиц. Распределение начинается как дельта-функция Дирака , что указывает на то, что все частицы расположены в начале координат в момент времени t = 0. По мере увеличения t распределение выравнивается (хотя и остается колоколообразным) и в конечном итоге становится однородным в пределе времени. до бесконечности.

Первая часть аргументации Эйнштейна заключалась в том, чтобы определить, какое расстояние проходит броуновская частица за заданный интервал времени. Классическая механика не может определить это расстояние из-за огромного количества бомбардировок, которым подвергнется броуновская частица, примерно порядка 10. ¹⁴ столкновений в секунду.

Он рассматривал приращение положений частиц во времени. $\tau$ в одномерном ( x ) пространстве (с координатами, выбранными так, чтобы начало координат лежало в начальном положении частицы) как случайная величина ( $q$) с некоторой функцией плотности вероятности $\varphi (q)$ (т.е. $\varphi (q)$ - плотность вероятности скачка величины $q$, т. е. плотность вероятности изменения положения частицы от $x$ к $x+q$ в интервале времени $\tau$). Далее, предполагая сохранение числа частиц, он расширил плотность числа $\rho (x,t+\tau )$ (количество частиц в единице объема вокруг $x$) во время $t+\tau$ в ряду Тейлора , $${\begin{aligned}\rho (x,t+\tau )={}&\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}+\cdots \\[2ex]={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (x-q,t)\,\varphi (q)\,dq=\mathbb {E} _{q}{\left[\rho (x-q,t)\right]}\\[1ex]={}&\rho (x,t)\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (q)\,dq-{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,\int _{-\infty }^{\infty }q\,\varphi (q)\,dq+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \\[1ex]={}&\rho (x,t)\cdot 1-0+{\cfrac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \end{aligned}}$$где второе равенство по определению $\varphi$. Интеграл моменты в первом члене равен единице по определению вероятности, а второй и другие четные члены (т.е. первый и другие нечетные ) исчезают из-за симметрии пространства. То, что осталось, порождает следующее соотношение: $${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq+{\text{higher-order even moments.}}$$Где коэффициент после лапласиана , второй момент вероятности смещения $q$, интерпретируется как коэффициент диффузии массы D : $$D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq.$$Тогда плотность броуновских частиц ρ в точке x в момент времени t удовлетворяет уравнению диффузии : $${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},$$

Полагая, что N частиц стартуют из начала координат в начальный момент времени t = 0, уравнение диффузии имеет решение $$\rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right)}.$$Это выражение (которое представляет собой нормальное распределение со средним $\mu =0$ и дисперсия $\sigma ^{2}=2Dt$ обычно называют броуновским движением $B_{t}$) позволило Эйнштейну напрямую вычислить моменты . Видно, что первый момент исчезает, а это означает, что броуновская частица с одинаковой вероятностью будет двигаться как влево, так и вправо. Однако второй момент не равен нулю, поскольку он дается формулой $$\mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}=2Dt.$$Это уравнение выражает среднеквадратичное смещение через затраченное время и коэффициент диффузии. На основании этого выражения Эйнштейн пришел к выводу, что смещение броуновской частицы пропорционально не прошедшему времени, а ее квадратному корню. Его аргумент основан на концептуальном переходе от «ансамбля» броуновских частиц к «единственной» броуновской частице: мы можем говорить об относительном числе частиц в один момент времени точно так же, как и о времени, которое требуется броуновской частице, чтобы достичь заданной точки.

Вторая часть теории Эйнштейна связывает константу диффузии с физически измеримыми величинами, такими как среднеквадратичное смещение частицы за заданный интервал времени. Этот результат позволяет экспериментально определить число Авогадро и, следовательно, размер молекул. Эйнштейн анализировал динамическое равновесие, устанавливаемое между противоборствующими силами. Красота его аргументации в том, что конечный результат не зависит от того, какие силы участвуют в установлении динамического равновесия.

В своей первоначальной трактовке Эйнштейн рассматривал эксперимент с осмотическим давлением , но к тому же выводу можно прийти и другими способами.

Рассмотрим, например, частицы, взвешенные в вязкой жидкости в гравитационном поле. Гравитация имеет тенденцию заставлять частицы оседать, тогда как диффузия способствует их гомогенизации, перемещая их в области с меньшей концентрацией. Под действием силы тяжести частица приобретает скорость вниз v = µmg , где m — масса частицы, g — ускорение силы тяжести, а µ частицы — подвижность в жидкости. Джордж Стоукс показал, что подвижность сферической частицы радиуса r равна $\mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}$, где η — динамическая вязкость жидкости. В состоянии динамического равновесия и в гипотезе изотермической жидкости частицы распределяются согласно барометрическому распределению. $$\rho =\rho _{o}\,\exp \left({-{\frac {mgh}{k_{\text{B}}T}}}\right),$$где ρ − ρ _o — разность плотностей частиц, разделенных перепадом высот, $h=z-z_{o}$, k _B — постоянная Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной R к постоянной Авогадро NA ₎ , а T — абсолютная температура .

Перрен исследовал под микроскопом равновесие ( барометрическое распределение ) гранул (0,6 микрона ) гамбоги — вязкого вещества. Гранулы движутся против силы тяжести в области с более низкой концентрацией. Относительное изменение плотности, наблюдаемое в 10 микронах взвеси, эквивалентно тому, что происходит в 6 км воздуха.

Динамическое равновесие устанавливается потому, что чем сильнее частицы притягиваются гравитацией , тем больше у частиц тенденция мигрировать в области с более низкой концентрацией. Поток определяется законом Фика : $$J=-D{\frac {d\rho }{dh}},$$где J = ρv . Вводя формулу для ρ , находим, что $$v={\frac {Dmg}{k_{\text{B}}T}}.$$

В состоянии динамического равновесия эта скорость также должна быть равна v = µmg . Оба выражения для v пропорциональны mg , что отражает независимость вывода от типа рассматриваемых сил. Аналогично можно вывести эквивалентную формулу для одинаковых заряженных частиц с зарядом q в однородном электрическом поле величиной E , где mg заменено электростатической силой qE . Приравнивание этих двух выражений дает соотношение Эйнштейна для коэффициента диффузии, независимого от mg или qE или других подобных сил: $${\frac {\mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}}{2t}}=D=\mu k_{\text{B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.$$ первое равенство следует из первой части теории Эйнштейна, третье равенство следует из определения постоянной Больцмана как k _B = R / NA _Здесь , а четвертое равенство следует из формулы Стокса для подвижности. Измеряя среднеквадратичное смещение за определенный интервал времени вместе с универсальной газовой постоянной , температурой T , вязкостью η и радиусом частицы r постоянную Авогадро NA _R , можно определить .

Тип динамического равновесия, предложенный Эйнштейном, не был новым. Ранее на это указывал Дж. Дж. Томсон. в своей серии лекций в Йельском университете в мае 1903 года он отметил, что динамическое равновесие между скоростью, создаваемой градиентом концентрации, определяемым законом Фика, и скоростью, обусловленной изменением парциального давления, вызванным приведением ионов в движение, «дает нам метод определения постоянной Авогадро, которая не зависит от какой-либо гипотезы относительно формы или размера молекул или того, как они действуют друг на друга».

Выражение, идентичное формуле Эйнштейна для коэффициента диффузии, было найдено Вальтером Нернстом в 1888 году. в котором он выразил коэффициент диффузии как отношение осмотического давления к отношению силы трения и скорости, которую оно вызывает. Первое было приравнено к закону Ван'т-Гоффа, а второе - к закону Стокса . Он пишет $k'=p_{o}/k$ для коэффициента диффузии k′ , где $p_{o}$ - осмотическое давление, а k - отношение силы трения к молекулярной вязкости, которая, как он предполагает, определяется формулой Стокса для вязкости. Если ввести закон идеального газа на единицу объема для осмотического давления, формула станет идентичной формуле Эйнштейна. Использование закона Стокса в случае Нернста, а также у Эйнштейна и Смолуховского не является строго применимым, так как не применимо к случаю, когда радиус сферы мал по сравнению со средней длиной свободного пробега .

Поначалу предсказания формулы Эйнштейна были, казалось бы, опровергнуты серией экспериментов Сведберга в 1906 и 1907 годах, которые дали смещения частиц в 4-6 раз больше предсказанного значения, а также Анри в 1908 году, который обнаружил смещения в 3 раза большие, чем Предсказала формула Эйнштейна. Но предсказания Эйнштейна были окончательно подтверждены в серии экспериментов, проведенных Шодесейгом в 1908 году и Перреном в 1909 году. Подтверждение теории Эйнштейна представляло собой эмпирический прогресс кинетической теории тепла . По сути, Эйнштейн показал, что движение можно предсказать непосредственно из кинетической модели теплового равновесия . Важность теории заключалась в том, что она подтвердила представление кинетической теории о втором законе термодинамики как о по существу статистическом законе.

Продолжительность: 1 минута 53 секунды. 1:53

Модель броуновского движения траектории частицы красителя в воде.

Модель Смолуховского

Смолуховского. Теория броуновского движения исходит из той же предпосылки, что и Эйнштейн, и выводит то же распределение вероятностей ρ ( x , t ) для смещения броуновской частицы вдоль x за время t . Таким образом, он получает то же выражение для среднеквадратического смещения: $\mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}$. Однако, когда он связывает это с частицей массы m, движущейся со скоростью u , которая является результатом силы трения, подчиняющейся закону Стокса, он находит $$\mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}},$$где ц — коэффициент вязкости, а — радиус частицы. Связывание кинетической энергии $mu^{2}/2$ при тепловой энергии RT / N выражение для среднеквадратического смещения в 64/27 раз превышает найденное Эйнштейном. Дробь 27/64 так прокомментировал Арнольд Зоммерфельд в своей некрологии о Смолуховском: «Численный коэффициент Эйнштейна, отличающийся от Смолуховского на 27/64, можно только поставить под сомнение».

Смолуховский пытается ответить на вопрос, почему броуновская частица должна смещаться бомбардировками более мелких частиц, когда вероятности удара о нее в прямом и заднем направлениях равны.Если вероятность m выигрышей и n − m потерь подчиняется биномиальному распределению , $$P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},$$при равных априорных вероятностях 1/2 средний общий выигрыш равен $$\mathbb {E} {\left[2m-n\right]}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.$$

Если n достаточно велико, чтобы можно было использовать приближение Стирлинга в виде $$n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},$$тогда ожидаемый общий выигрыш составит $$\mathbb {E} {\left[2m-n\right]}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},$$показывая, что он увеличивается как квадратный корень из общей численности населения.

Предположим, что броуновская частица массы M окружена более легкими частицами массы m , движущимися со скоростью u . Тогда, рассуждает Смолуховский, при любом столкновении окружающей среды с броуновскими частицами скорость, передаваемая последним, будет равна мю / М . Это соотношение порядка 10. ⁻⁷ см/с . Но надо еще учитывать, что в газе будет более 10 ¹⁶ столкновений в секунду, а в жидкости еще больше, где мы ожидаем, что их будет 10 ²⁰ Столкновение за одну секунду. Некоторые из этих столкновений будут иметь тенденцию ускорять броуновскую частицу; другие будут стремиться замедлить его. Если среднее превышение одного вида столкновений или другого порядка 10 ⁸ до 10 ¹⁰ столкновений в одну секунду, то скорость броуновской частицы может составлять где-то между 10–1000 см/с . Таким образом, даже при том, что существуют равные вероятности для прямых и обратных столкновений, будет существовать общая тенденция поддерживать броуновскую частицу в движении, как и предсказывает теорема голосования.

Эти порядки величины неточны, поскольку они не учитывают скорость броуновской частицы U , которая зависит от столкновений, которые имеют тенденцию ускорять и замедлять ее. Чем больше U , тем сильнее будут столкновения, которые будут его тормозить, так что скорость броуновской частицы никогда не сможет неограниченно увеличиваться. Если бы такой процесс произошел, это было бы равносильно вечному двигателю второго типа. А поскольку применяется равнораспределение энергии, кинетическая энергия броуновской частицы $MU^{2}/2$, будет в среднем равна кинетической энергии окружающей частицы жидкости, $mu^{2}/2$.

В 1906 году Смолуховский опубликовал одномерную модель, описывающую частицу, испытывающую броуновское движение. Модель предполагает столкновения с M ≫ m , где M — масса пробной частицы, а m — масса одной из отдельных частиц, составляющих жидкость. Предполагается, что столкновения частиц ограничены одним измерением и что пробная частица с одинаковой вероятностью столкнется как слева, так и справа. Также предполагается, что каждое столкновение всегда приводит к одной и той же величине Δ V . Если N _R — количество столкновений справа, а N _L — количество столкновений слева, то после N столкновений скорость частицы изменится на Δ V (2 N _R − N ) . Тогда кратность просто определяется выражением: $${\binom {N}{N_{\text{R}}}}={\frac {N!}{N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}$$а общее количество возможных состояний равно 2 ^Н . Следовательно, вероятность попадания в частицу справа N _R раз равна: $$P_{N}(N_{\text{R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}$$

В результате своей простоты одномерная модель Смолуховского может только качественно описать броуновское движение. Для реальной частицы, испытывающей броуновское движение в жидкости, многие предположения неприменимы. Например, предположение о том, что в среднем происходит одинаковое количество столкновений справа и слева, терпит крах, когда частица начинает двигаться. Кроме того, в реальной ситуации будет существовать распределение различных возможных Δ V вместо одного.

Другие физические модели, использующие уравнения в частных производных

Уравнение диффузии дает аппроксимацию временной эволюции функции плотности вероятности , связанной с положением частицы, совершающей броуновское движение, согласно физическому определению. Приближение справедливо на коротких временных масштабах.

Эволюцию во времени положения самой броуновской частицы лучше всего описать с помощью уравнения Ланжевена — уравнения, которое включает в себя случайное силовое поле, представляющее воздействие тепловых флуктуаций растворителя на частицу. В динамике Ланжевена и броуновской динамике уравнение Ланжевена используется для эффективного моделирования динамики молекулярных систем, которые демонстрируют сильный броуновский компонент.

Смещение частицы, совершающей броуновское движение, получается путем решения уравнения диффузии при соответствующих граничных условиях и определения среднеквадратического значения решения. Это показывает, что смещение изменяется пропорционально квадратному корню из времени (а не линейно), что объясняет, почему предыдущие экспериментальные результаты, касающиеся скорости броуновских частиц, дали бессмысленные результаты. Неверно предполагалась линейная зависимость от времени.

Однако на очень коротких временных масштабах в движении частицы преобладает ее инерция, и ее смещение будет линейно зависеть от времени: Δ x = v Δ t . Таким образом, мгновенную скорость броуновского движения можно измерить как v = Δx / Δt , когда Δt << , τ где τ — время релаксации импульса. В 2010 году была успешно измерена мгновенная скорость броуновской частицы (стеклянной микросферы, захваченной в воздухе оптическим пинцетом ). Данные о скорости подтвердили распределение скоростей Максвелла-Больцмана и теорему о равнораспределении для броуновской частицы.

Астрофизика: движение звезд внутри галактик

В звездной динамике массивное тело (звезда, черная дыра и т. д.) может испытывать броуновское движение, реагируя на гравитационные силы окружающих звезд. Среднеквадратическая скорость V массивного объекта массой M связана со среднеквадратичной скоростью $v_{\star }$ звезд на заднем плане $$MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}$$где $m\ll M$ — масса фоновых звезд. Гравитационная сила массивного объекта заставляет близлежащие звезды двигаться быстрее, чем в противном случае, увеличивая как $v_{\star }$ и В. ​ По этой формуле прогнозируется , что броуновская скорость Sgr A* , сверхмассивной черной дыры в центре галактики Млечный Путь , составит менее 1 км/с. ⁻¹ .

Математика

Основная статья: Винеровский процесс

Продолжительность: 11 минут 7 секунд. 11:07

, подобного броуновскому движению Анимированный пример случайного блуждания по тору . В пределе масштабирования случайное блуждание приближается к винеровскому процессу согласно теореме Донскера .

В математике броуновское движение описывается винеровским процессом с непрерывным временем, , стохастическим процессом названным в честь Норберта Винера . Это один из самых известных процессов Леви ( случайные процессы со стационарными независимыми приращениями ), который часто встречается в чистой и прикладной математике, экономике и физике .

Единственная реализация трехмерного броуновского движения для времен 0 ≤ t ≤ 2

Винеровский процесс W _t характеризуется четырьмя фактами:

1. Ш ₀ = 0
2. W _t наверняка почти непрерывен
3. W _t имеет независимые приращения
4. $W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)$ (для $0\leq s\leq t$).

${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ обозначает нормальное распределение с ожидаемым значением μ и дисперсией σ ² . Условие наличия независимых приращений означает, что если $0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}$ затем $W_{t_{1}}-W_{s_{1}}$ и $W_{t_{2}}-W_{s_{2}}$ являются независимыми случайными величинами. Кроме того, для некоторой фильтрации ${\mathcal {F}}_{t}$, $W_{t}$ является ${\mathcal {F}}_{t}$ измеримый для всех $t\geq 0$.

Альтернативной характеристикой процесса Винера является так называемая характеристика Леви , которая гласит, что процесс Винера представляет собой почти наверняка непрерывный мартингал с W ₀ = 0 и квадратичной вариацией. $[W_{t},W_{t}]=t$.

Третья характеристика состоит в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого независимы. ${\mathcal {N}}(0,1)$ случайные переменные. Это представление можно получить с помощью теоремы Косамби–Карунена–Лоэва .

Винеровский процесс можно построить как предел масштабирования случайного блуждания или других случайных процессов с дискретным временем и стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Как и случайное блуждание, винеровский процесс рекуррентен в одном или двух измерениях (это означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат), тогда как он не рекуррентен в трех измерениях и выше. В отличие от случайного блуждания, оно масштабно-инвариантно .

Эволюция во времени положения самой броуновской частицы может быть приблизительно описана уравнением Ланжевена , уравнением, которое включает в себя случайное силовое поле, представляющее влияние тепловых флуктуаций растворителя на броуновскую частицу. На больших временных масштабах математическое броуновское движение хорошо описывается уравнением Ланжевена. В небольших временных масштабах инерционные в уравнении Ланжевена преобладают эффекты. Однако математическое броуновское движение лишено таких инерционных эффектов. В уравнении Ланжевена необходимо учитывать инерционные эффекты, иначе уравнение становится сингулярным. так что простое удаление члена инерции из этого уравнения не даст точного описания, а скорее приведет к своеобразному поведению, при котором частица вообще не движется.

D-мерное гауссово свободное поле было описано как «аналог броуновского движения в d-мерном времени».

Статистика

Броуновское движение можно смоделировать случайным блужданием .

В общем случае броуновское движение является марковским процессом и описывается стохастическим интегральным уравнением .

Характеристика Леви

Французский математик Поль Леви доказал следующую теорему, которая дает необходимое и достаточное условие непрерывности R ^н -значный случайный процесс X на самом деле является n -мерным броуновским движением. Следовательно, условие Леви фактически можно использовать как альтернативное определение броуновского движения.

Пусть X = ( X ₁ , ..., X _n ) — непрерывный случайный процесс в вероятностном пространстве (Ω, Σ, P ), принимающий значения в R ^н . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. X — броуновское движение относительно P , т. е. закон X относительно P такой же, как закон n -мерного броуновского движения, т. е. мера выталкивания X _∗ ( P ) является классической мерой Винера. на C ₀ ( [0, ∞) ; Р ^н ) .
2. оба
   1. X — мартингал относительно P (и своей естественной фильтрации ); и
   2. для всех 1 ≤ i , j ≤ n , X _i ( t ) X _j ( t ) − δ _ij t является мартингалом относительно P (и своей собственной естественной фильтрации ), где δ _ij обозначает дельту Кронекера .

Спектральный контент

Спектральный состав случайного процесса $X_{t}$ может быть найдена из спектральной плотности мощности , формально определяемой как $$S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\},$$где $\mathbb {E}$ означает ожидаемое значение . Спектральная плотность мощности броуновского движения равна $$S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}.$$где D — диффузии X . _t коэффициент Для естественных сигналов спектральный состав может быть найден из спектральной плотности мощности одной реализации с конечным доступным временем, т. е. $$S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2},$$что для индивидуальной реализации траектории броуновского движения обнаружено, что оно имеет ожидаемую ценность $\mu _{BM}(\omega ,T)$$$\mu _{\text{BM}}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]$$и дисперсия $\sigma _{\text{BM}}^{2}(\omega ,T)$$$\sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}\left[1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}\right].$$

При достаточно больших временах реализации ожидаемое значение спектра мощности одиночной траектории сходится к формально определенной спектральной плотности мощности $S(\omega )$, но его коэффициент вариации $\gamma =\sigma /\mu$ имеет тенденцию ${\sqrt {5}}/2$. Это подразумевает распределение $S^{(1)}(\omega ,T)$ является широким даже в бесконечном временном пределе.

Риманово многообразие

Броуновское движение на сфере

Инфинитезимальный генератор (и, следовательно, характеристический оператор ) броуновского движения на R ^н легко вычисляется как ⁠ 1/2 обозначает Δ ⁠ Δ где , оператор Лапласа . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев . Это наблюдение полезно при определении броуновского движения на m -мерном римановом многообразии ( M , g ) : броуновское движение на M определяется как диффузия на M, характеристический оператор которой ${\mathcal {A}}$ в локальных координатах x _i , 1 ≤ i ≤ m , определяется выражением ⁠ 1 / 2 ⁠ Δ _LB , где Δ _LB — оператор Лапласа–Бельтрами, заданный в локальных координатах формулой $$\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),$$где [ г ^ij ] = [ г _ij ] ⁻¹ в смысле обратной квадратной матрицы .

Узкий побег

Проблема узкого выхода — это повсеместная проблема в биологии, биофизике и клеточной биологии, которая имеет следующую формулировку: броуновская частица ( ион , молекула или белок ) ограничена ограниченной областью (отделением или клеткой) отражающей границей, за исключением небольшого окна, через которое он может убежать. Проблема узкого ухода заключается в вычислении среднего времени выхода. На этот раз время расходится по мере сжатия окна, что превращает расчет в задачу сингулярного возмущения .

См. также

• Броуновский мост : броуновское движение, которое необходимо для «перекрытия» определенных значений в определенное время.
• Броуновская ковариация
• Броуновская динамика
• Броуновское движение частиц золя
• Броуновский двигатель
• Броуновский шум
• Броуновский храповик
• Броуновская поверхность
• Броуновское дерево
• Броуновская паутина
• Вращательное броуновское движение
• клинамен
• Сложная система
• Уравнение непрерывности
• Уравнение диффузии
• Геометрическое броуновское движение
• Диффузия Ито : обобщение броуновского движения
• Уравнение Ланжевена
• Закон арксинуса Леви
• Местное время (математика)
• Задача многих тел
• Эффект Марангони
• Анализ отслеживания наночастиц
• Проблема узкого побега
• Осмос
• Случайное блуждание
• Эволюция Шрамма – Лёвнера
• Траектории одиночных частиц
• Отслеживание одиночных частиц
• Статистическая механика
• Стохастические эйлеровы лагранжевы методы : методы моделирования броуновского движения пространственно протяженных структур и гидродинамической связи.
• Стоксова динамика
• Поверхностная диффузия : тип ограниченного броуновского движения.
• Тепловое равновесие
• Термодинамическое равновесие
• Обнаружение триангуляции
• Эффект Тиндаля : явление, в котором участвуют частицы; используется для различения различных типов смесей.
• Ультрамикроскоп

Дальнейшее чтение

• Браун, Роберт (1828). «Краткий отчет о микроскопических наблюдениях, сделанных в июне, июле и августе 1827 года над частицами, содержащимися в пыльце растений; и об общем существовании активных молекул в органических и неорганических телах» (PDF) . Философский журнал . 4 (21): 161–173. дои : 10.1080/14786442808674769 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года. Также включает последующую защиту Брауном его первоначальных наблюдений, Дополнительные замечания об активных молекулах .
• Шодесиг, М. (1908). Броуновское движение и формула Эйнштейна. Comptes Rendus (на французском языке). 147 :1044–6.
• Кларк, П. (1976). «Атомизм против термодинамики». В Хаусоне, Колин (ред.). Метод и оценка в физических науках . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521211109 .
• Коэн, Рубен Д. (1986). «Самоподобие в броуновском движении и других эргодических явлениях» (PDF) . Журнал химического образования . 63 (11): 933–934. Бибкод : 1986JChEd..63..933C . дои : 10.1021/ed063p933 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
• Дубинс, Лестер Э.; Шварц, Гидеон (15 мая 1965 г.). «О непрерывных мартингалах» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 53 (3): 913–916. Бибкод : 1965PNAS...53..913D . дои : 10.1073/pnas.53.5.913 . JSTOR   72837 . ПМК   301348 . ПМИД   16591279 .
• Эйнштейн, А. (1956). Исследования по теории броуновского движения . Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-486-60304-9 . Проверено 6 января 2014 г.
• Анри, В. (1908). «Кинематографические исследования броуновского движения». Comptes Rendus (на французском языке) (146): 1024–6.
• Лукреций , «О природе вещей » в переводе Уильяма Эллери Леонарда . ( онлайн-версия , из Project Gutenberg . См. рубрику «Атомные движения»; этот перевод немного отличается от цитируемого).
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения . (PDF-версия этой распроданной книги, с веб-страницы автора.) Это в первую очередь математическая работа, но в первых четырех главах обсуждается история этой темы в эпоху от Брауна до Эйнштейна.
• Перл, П.; Коллетт, Б.; Барт, К.; Бильдербек, Д.; Ньюман, Д.; Сэмюэлс, С. (2010). «То, что видел Браун, и ты тоже можешь». Американский журнал физики . 78 (12): 1278–1289. arXiv : 1008.0039 . Бибкод : 2010AmJPh..78.1278P . дои : 10.1119/1.3475685 . S2CID   12342287 .
• Перрен, Дж. (1909). «Броуновское движение и молекулярная реальность». Анналы химии и физики . 8-я серия. 18 :5–114.
  • См. также книгу Перрена «Les Atomes» (1914).
• Смолуховский М. (1906). «К кинетической теории броуновского движения и подвески» . Анналы физики . 21 (14): 756–780. Бибкод : 1906АнП...326..756В . дои : 10.1002/andp.19063261405 .
• Сведберг, Т. (1907). Исследования по теории коллоидных растворов .
• Тайле, Теннесси
  • Датская версия: «Об использовании метода наименьших квадратов в некоторых случаях, когда усложнение определенных типов неравномерных источников случайных ошибок придает ошибкам «систематический» характер».
  • Французская версия: «О компенсации некоторых квазисистематических ошибок методами наименьших квадратов», изданная одновременно в Виденске. Сельск. Скр. 5. Рк., натурвид. ой мат. Ад. , 12:381–408, 1880.

Внешние ссылки

• Эйнштейн о броуновском движении
• Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видео.
• «Предсказание Эйнштейна, наконец, стало свидетелем столетие спустя» : тест для наблюдения за скоростью броуновского движения
• Крупномасштабная демонстрация броуновского движения