Треугольная плитка

Треугольная плитка
Тип	Обычная плитка
Конфигурация вершин	3.3.3.3.3.3 (или 3 6 )
Конфигурация лица	V6.6.6 (или V6 3 )
Символ (ы) Шлефли	{3,6} {3 [3] }
Символ (ы) Витхоффа	6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
Диаграмма(ы) Кокстера	=
Симметрия	p6m , [6,3], (*632)
Симметрия вращения	р6 , [6,3] + , (632) р3 , [3 [3] ] + , (333)
Двойной	Шестиугольная плитка
Характеристики	Вершинно-транзитивный , ребро-транзитивный , грани-транзитивный

В геометрии треугольная мозаика или треугольная мозаика является одной из трех правильных мозаик евклидовой плоскости и единственной такой мозаикой, в которой составляющие формы не являются параллелогонами . Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60 градусам, шесть треугольников в одной точке занимают полные 360 градусов. Треугольная мозаика имеет Шлефли символ {3,6}.

Английский математик Джон Конвей назвал ее дельтилью , названной в честь треугольной формы греческой буквы дельта (Δ). Треугольную мозаику также можно назвать кишестилем с помощью операции kis , которая добавляет центральную точку и треугольники для замены граней гекстиля .

Это одно из трех правильных замощений плоскости . Два других — это квадратная мозаика и шестиугольная мозаика .

Равномерные раскраски

2-однородная треугольная мозаика, 4 цветных треугольника, относящаяся к геодезическому многограннику соотношением {3,6+} _2,0 .

Существует 9 различных однородных раскрасок треугольной мозаики. (Названия цветов по индексам на 6 треугольниках вокруг вершины: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Три из них можно получить из других путем повторения цветов: 111212 и 111112 из 12. 1213 от объединяя 1 и 3, при этом 111213 уменьшается с 121314.

Существует один класс архимедовых раскрасок , 111112 (отмечен *), который не является 1-однородным и содержит чередующиеся ряды треугольников, где каждый третий окрашен. Показанный пример является 2-однородным, но существует бесконечно много таких архимедовых раскрасок, которые можно создать произвольными сдвигами строк по горизонтали.

111111	121212	111222	112122	111112(*)
п6м (*632)	p3m1 (*333)	см (2*22)	р2 (2222)	р2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213
п31м (3*3)			п3 (333)

Решетчатая и круглая упаковка А2

Не путать со структурой кристаллической решетки A2 в системе классификации Strukturbericht .

А ^*
₂ решетка в виде трех треугольных мозаик: + +

Расположение вершин треугольной мозаики A2 _{решеткой} . называется Это двумерный случай симплектических сот .

А ^*
₂ решетка (также называемая A ³
₂ ) может быть построена объединением всех трех решеток A ₂ и эквивалентна решетке A ₂ .

+ + = двойственное =

Вершины треугольной мозаики являются центрами максимально плотной упаковки кругов . Каждый круг соприкасается с шестью другими кругами упаковки ( число поцелуя ). Плотность упаковки π ⁄ √ 12 или 90,69%. Ячейка Вороного треугольной мозаики представляет собой шестиугольник , поэтому мозаика Вороного , шестиугольная мозаика, имеет прямое соответствие упаковкам кругов.

Геометрические вариации

Треугольные мозаики могут быть созданы с использованием топологии {3,6}, эквивалентной обычной мозаике (6 треугольников вокруг каждой вершины). При одинаковых гранях ( face-transitivity ) и vertex-transitivity существует 5 вариаций. Данная симметрия предполагает, что все лица одного цвета.

• 
  Разносторонний треугольник
  p2 симметрия
• 
  Разносторонний треугольник
  симметрия ПМГ
• 
  Равнобедренный треугольник
  сммм симметрия
• 
  Прямоугольный треугольник
  сммм симметрия
• 
  Равносторонний треугольник
  p6m симметрия

Связанные многогранники и мозаики

Плоские мозаики связаны с многогранниками . Помещение меньшего количества треугольников в вершину оставляет зазор и позволяет сложить ее в пирамиду . Их можно расширить до Платоновых тел : пять, четыре и три треугольника в вершине определяют икосаэдр , октаэдр и тетраэдр соответственно.

Это замощение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3,n}, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

показывать * n 32 мутация симметрии правильных мозаик: {3, n }
Spherical				Euclid.	Compact hyper.		Paraco.	Noncompact hyperbolic
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Он также топологически связан как часть последовательности каталонских тел с конфигурацией граней Vn.6.6, а также продолжающейся в гиперболическую плоскость.

Версия 3.6.6

Версия 4.6.6

Версия 5.6.6

Версия 6.6.6

Версия 7.6.6

Конструкции Витгофа из шестиугольных и треугольных мозаик.

Как и в случае с однородными многогранниками, существует восемь однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильной шестиугольной мозаике (или двойной треугольной мозаике).

Если нарисовать плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, получится 8 форм, 7 из которых топологически различны. ( Усеченная треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

показывать Однородные шестиугольные/треугольные плитки
Fundamental domains	Symmetry: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Config.	63	3.12.12	(6.3)2	6.6.6	36	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

показывать Плитки треугольной симметрии
Wythoff	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 3 3 |	| 3 3 3
Coxeter
Image Vertex figure	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Родственные регулярные сложные апейрогоны

Есть 4 правильных сложных апейрогона , разделяющих вершины треугольной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p { q } r ограничены следующим образом: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, а вершинные фигуры являются r -угольными.

Первый состоит из двух ребер, следующие два представляют собой треугольные ребра, а последний имеет перекрывающиеся шестиугольные ребра.

2{6}6 или	3{4}6 или	3{6}3 или	6{3}6 или

Другие треугольные плитки

Есть также три мозаики Лавеса, состоящие из треугольников одного типа:

Кисромбилле Прямоугольные треугольники 30°-60°-90°

Кискадрилья Прямоугольные треугольники 45°-45°-90°

Кисделтиле Равнобедренные треугольники 30°-30°-120°

См. также

• Треугольные соты для плитки
• Симплектические соты
• Замощения правильных многоугольников
• Список однородных мозаик
• Изогрид (структурный проект с использованием треугольной черепицы)

Источники

• Коксетер, Правильные многогранники HSM (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN   0-486-61480-8 стр. 296, Таблица II: Обычные соты.
• Грюнбаум, Бранко и Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN  0-7167-1193-1 . (Глава 2.1: Правильные и равномерные замощения , стр. 58-65, глава 2.9 Архимедовы и равномерные раскраски, стр. 102–107)
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-Х . стр.35
• Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 [1]

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольная сетка» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Регулярная мозаика» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Равномерная мозаика» . Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «2D евклидовы мозаики x3o6o - trat - O2» .

скрывать Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И 2	Равномерная укладка плитки	{3 [3] }	д 3	HD 3	квартал 3	Шестиугольный
И 3	Равномерные выпуклые соты	{3 [4] }	д 4	HD 4	4 квартала
И 4	Униформа 4-сотовая	{3 [5] }	д 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеистые соты
И 5	Униформа 5-сотовая	{3 [6] }	д 6	HD 6	qδ 6
И 6	Униформа 6-сотовая	{3 [7] }	д 7	hδ 7	qδ 7	2 22
И 7	Униформа 7-сотовая	{3 [8] }	д 8	hδ 8	8 кварталов	1 33 • 3 31
И 8	Униформа 8-сотовая	{3 [9] }	д 9	HD 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
И 9	Униформа 9-сотовая	{3 [10] }	д 10	HD 10	10 кварталов
И 10	Униформа 10-сотовая	{3 [11] }	д 11	HD 11	qδ 11
И п -1	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 [н] }	δ н	hδ н	qδ н	1 лиц 2 • 2 лиц 1 • лиц 21