Эволюция Шрамма – Лёвнера

Эволюция Шрамма – Лёвнера в верхней полуплоскости с оттенком, указывающим $\log(\operatorname {Im} (g_{t}(z)))$

В теории вероятностей эволюция Шрамма -Лёвнера с параметром κ , также известная как стохастическая эволюция Лёвнера ( SLE _κ ), представляет собой семейство случайных плоских кривых, которые, как было доказано, являются пределом масштабирования множества двумерных решетчатых моделей в статистическая механика . Учитывая параметр κ и область в комплексной плоскости U , он дает семейство случайных кривых в U , причем κ контролирует, насколько сильно поворачивается кривая. Существует два основных варианта SLE: хордальный SLE , который дает семейство случайных кривых от двух фиксированных граничных точек, и радиальный SLE , который дает семейство случайных кривых от фиксированной граничной точки до фиксированной внутренней точки. Эти кривые определены так, чтобы удовлетворять конформной инвариантности области и марковскому свойству .

Он был открыт Одедом Шраммом ( 2000 ) как предполагаемый предел масштабирования плоского равномерного остовного дерева (UST) и вероятностных процессов планарного случайного блуждания со стиранием цикла (LERW) и разработан им вместе с Грегом Лоулером и Венделином Вернером в серия совместных статей.

Помимо UST и LERW, предполагается или доказано, что эволюция Шрамма-Лёвнера описывает предел масштабирования различных случайных процессов на плоскости, таких как критическая перколяция , критическая модель Изинга , модель двойного димера , самоизбегающие блуждания и другие. модели критической статистической механики , демонстрирующие конформную инвариантность. Кривые SLE представляют собой пределы масштабирования интерфейсов и других несамопересекающихся случайных кривых в этих моделях. Основная идея состоит в том, что конформная инвариантность и определенное марковское свойство, присущие таким случайным процессам, вместе позволяют закодировать эти плоские кривые в одномерное броуновское движение, бегущее на границе области (ведущая функция в дифференциальном уравнении Лёвнера). . Таким образом, многие важные вопросы о плоских моделях можно перевести в упражнения по исчислению Ито . несколько математически нестрогих предсказаний, сделанных физиками, использующими конформную теорию поля Действительно, с помощью этой стратегии было подтверждено .

Уравнение Лёвнера

Основная статья: Дифференциальное уравнение Лёвнера

Если $D$ — односвязная , открытая комплексная область не равная $\mathbb {C}$, и $\gamma$ представляет собой простую кривую $D$ начиная с границы (непрерывная функция с $\gamma (0)$ на границе $D$ и $\gamma ((0,\infty ))$ подмножество $D$), то для каждого $t\geq 0$, дополнение $D_{t}=D\smallsetminus \gamma ([0,t])$ из $\gamma ([0,t])$ односвязен и поэтому конформно изоморфен $D$ по теореме Римана об отображении . Если $f_{t}$ является подходящим нормализованным изоморфизмом из $D$ к $D_{t}$, то оно удовлетворяет дифференциальному уравнению, найденному Лёвнером (1923 , стр. 121) в его работе по гипотезе Бибербаха . Иногда удобнее использовать обратную функцию $g_{t}$ из $f_{t}$, которое является конформным отображением из $D_{t}$ к $D$.

В уравнении Лёвнера $z\in D$, $t\geq 0$, а граничные значения в момент времени $t=0$ являются $f_{0}(z)=z$ или $g_{0}(z)=z$. Уравнение зависит от движущей функции $\zeta (t)$ принимая значения в границах $D$. Если $D$ — единичный круг и кривая $\gamma$ параметризуется «емкостью», тогда уравнение Лёвнера имеет вид

${\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}$ или ${\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.$

Когда $D$ — верхняя полуплоскость, уравнение Лёвнера отличается от него заменой переменной и имеет вид

${\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}$ или ${\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.$

Функция вождения $\zeta$ и кривая $\gamma$ связаны

$f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ or }}\zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))$

где $f_{t}$ и $g_{t}$ расширяются за счет непрерывности.

Пример

Позволять $D$ быть верхней полуплоскостью и рассмотрим SLE ₀ , поэтому движущая функция $\zeta$ является броуновским движением с нулевой диффузией. Функция $\zeta$ таким образом, почти наверняка тождественно равен нулю и

$f_{t}(z)={\sqrt {z^{2}-4t}}$

$g_{t}(z)={\sqrt {z^{2}+4t}}$

$\gamma (t)=2i{\sqrt {t}}$

$D_{t}$ — верхняя полуплоскость с линией от 0 до $2i{\sqrt {t}}$ удаленный.

Эволюция Шрамма – Лёвнера

Эволюция Шрамма – Лёвнера представляет собой случайную кривую γ, заданную уравнением Лёвнера, как и в предыдущем разделе, для движущей функции

$\zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)$

где B ( t ) — броуновское движение на границе D , масштабированное некоторым вещественным κ . Другими словами, эволюция Шрамма – Лёвнера представляет собой вероятностную меру на плоских кривых, заданную как образ меры Винера при этом отображении.

В общем случае кривая γ не обязательно должна быть простой, и область D _t не является дополнением к γ ([0, t ]) в D , а вместо этого является неограниченным компонентом дополнения.

Существуют две версии SLE, в которых используются два семейства кривых, каждое из которых зависит от неотрицательного вещественного параметра κ :

• Хордальная SLE _κ , которая связана с кривыми, соединяющими две точки на границе области (обычно верхняя полуплоскость с точками, равными 0 и бесконечности).
• Радиальный SLE _κ , который связан с кривыми, соединяющими точку на границе области с точкой внутри (часто кривые, соединяющие 1 и 0 в единичном круге).

SLE зависит от выбора броуновского движения на границе области, и существует несколько вариантов в зависимости от того, какой тип броуновского движения используется: например, оно может начинаться в фиксированной точке или начинаться в равномерно распределенной точке на единице измерения. круг или может иметь встроенный дрифт и так далее. Параметр κ контролирует скорость диффузии броуновского движения, и поведение SLE критически зависит от его значения.

Двумя областями, наиболее часто используемыми в эволюции Шрамма-Лёвнера, являются верхняя полуплоскость и единичный диск. Хотя дифференциальные уравнения Лёвнера в этих двух случаях выглядят по-разному, они эквивалентны с точностью до замен переменных, поскольку единичный круг и верхняя полуплоскость конформно эквивалентны. Однако конформная эквивалентность между ними не сохраняет броуновское движение на их границах, используемое для эволюции Шрамма – Лёвнера.

Специальные значения κ

• При 0 ⩽ κ < 4 кривая γ( t ) является простой (с вероятностью 1).
• При 4 < κ < 8 кривая γ( t ) пересекает сама себя, и каждая точка содержится в петле, но кривая не заполняет пространство (с вероятностью 1).
• При κ ≥ 8 кривая γ( t ) заполняет пространство (с вероятностью 1).
• κ = 2 соответствует случайному блужданию со стертым циклом или, что то же самое, ветвям равномерного остовного дерева.
• Для κ = 8/3 SLE _κ обладает свойством ограничения и считается пределом масштабирования самоизбегающих случайных блужданий . Разновидностью этого является внешняя граница броуновского движения .
• κ = 3 — предел интерфейсов для модели Изинга .
• κ = 4 соответствует пути гармонического проводника и контурным линиям гауссова свободного поля .
• Интерфейс перколяции: создайте на плоскости ромб из шестиугольников одинакового размера. Раскрасьте его верхнюю и левую часть черным, а нижнюю и правую сторону белым. Затем раскрасьте остальные шестиугольники в «белый» или «черный» независимо с равной вероятностью 1/2. Существует граница между черным и белым, идущая снизу слева направо вверх. Предел масштабирования границы равен κ = 6.
• При κ = 6 SLE _κ обладает свойством локальности. Это возникает в масштабном пределе критической перколяции на треугольной решетке и, предположительно, на других решетках.
• κ = 8 соответствует пути, отделяющему равномерное остовное дерево от двойственного ему дерева.

Когда SLE соответствует некоторой конформной теории поля, параметр κ связан с центральным зарядом c конформной теории поля

$c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.$

Каждое значение c <1 соответствует двум значениям κ , одному значению κ от 0 до 4 и «двойному» значению 16/ κ больше 4. (см. Bauer & Bernard (2002a) Bauer & Bernard (2002b) ).

Беффара (2008) показал, что хаусдорфова размерность путей (с вероятностью 1) равна min(2, 1 + κ /8).

Формулы вероятности левого перехода для SLE _κ

Вероятность того, что хордальная SLE _κ γ окажется слева от неподвижной точки $x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb {H}$ было рассчитано Шраммом (2001a)

$\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}z_{0}]={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {4}{\kappa }})}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {8-\kappa }{2\kappa }})}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {4}{\kappa }},{\frac {3}{2}},-\left({\frac {x_{0}}{y_{0}}}\right)^{2}\right)$

где $\Gamma$ это гамма-функция и $_{2}F_{1}(a,b,c,d)$ — гипергеометрическая функция . Это было получено с использованием свойства мартингала

$h(x,y):=\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}x+iy]$

и лемму Ито, чтобы получить следующее уравнение в частных производных для $w:={\tfrac {x}{y}}$

${\frac {\kappa }{2}}\partial _{ww}h(w)+{\frac {4w}{w^{2}+1}}\partial _{w}h=0.$

Для κ = 4 правая часть равна $1-{\tfrac {1}{\pi }}\arg(z_{0})$, который использовался при построении гармонического проводника, а при κ = 6 получаем формулу Карди , которую Смирнов использовал для доказательства конформной инвариантности в перколяции .

Приложения

Лоулер, Шрамм и Вернер (2001b) использовали SLE ₆ , чтобы доказать гипотезу Мандельброта (1982) о том, что граница плоского броуновского движения имеет фрактальную размерность 4/3.

доказал, что критическая перколяция на треугольной решетке связана с SLE ₆ Станислав Смирнов . В сочетании с более ранними работами Гарри Кестена , это привело к определению многих критических показателей перколяции. Этот прорыв, в свою очередь, позволил провести дальнейший анализ многих аспектов этой модели.

случайное блуждание со стиранием цикла показали, что _{сходится к SLE 2.} Лоулер, Шрамм и Вернер Это позволило вывести многие количественные свойства случайного блуждания со стиранием цикла (некоторые из которых были получены ранее Ричардом Кеньоном). ). Было показано, что соответствующая случайная кривая Пеано, очерчивающая равномерное остовное дерево, сходится к SLE ₈ .

Роде и Шрамм показали, что κ связана с фрактальной размерностью кривой следующим соотношением

$d=1+{\frac {\kappa }{8}}.$

Моделирование

представлены компьютерные программы (Matlab) В этом репозитории GitHub для моделирования плоских кривых Schramm Loewner Evolution.

Дальнейшее чтение

• Беффара, Винсент (2008), «Размерность кривых SLE», The Annals of Probability , 36 (4): 1421–1452, arXiv : math/0211322 , doi : 10.1214/07-AOP364 , MR   2435854 , S2CID   226992
• Карди, Джон (2005), «SLE для физиков-теоретиков», Annals of Physics , 318 (1): 81–118, arXiv : cond-mat/0503313 , Bibcode : 2005AnPhy.318...81C , doi : 10.1016/j .aop.2005.04.001 , S2CID   17747133
• Голузина, Е.Г. (2001) [1994], «Метод Лёвнера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Гутлянский, В.Я. (2001) [1994], «Уравнение Лёвнера» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Кагер, Воутер; Ниенхейс, Бернард (2004), «Руководство по стохастической эволюции Лёвнера и ее приложениям», J. Stat. Физ. , 115 (5/6): 1149–1229, arXiv : math-ph/0312056 , Bibcode : 2004JSP...115.1149K , doi : 10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be , S2CID   7239233
• Лоулер, Грегори Ф. (2004), «Введение в стохастическую эволюцию Лёвнера» , Кайманович, Вадим А. (ред.), Случайные блуждания и геометрия , Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Берлин, стр. 261– 293, ISBN  978-3-11-017237-9 , MR   2087784 , заархивировано из оригинала 18 сентября 2009 г.
• Лоулер, Грегори Ф. (2005), Конформно-инвариантные процессы на плоскости , Математические обзоры и монографии, том. 114, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3677-4 , МР   2129588
• Лоулер, Грегори Ф. (2007), «Эволюция Шрамма – Лёвнера», arXiv : 0712.3256 [ math.PR ]
• Лоулер, Грегори Ф. , Стохастическая эволюция Лёвнера
• Лоулер, Грегори Ф. (2009), «Конформная инвариантность и двумерная статистическая физика», Bull. амер. Математика. Соц. , 46 : 35–54, doi : 10.1090/S0273-0979-08-01229-9
• Лоулер, Грегори Ф .; Шрамм, Одед ; Вернер, Венделин (2001b), «Размер плоской броуновской границы равен 4/3» , Mathematical Research Letters , 8 (4): 401–411, arXiv : math/0010165 , doi : 10.4310/mrl.2001.v8. n4.a1 , MR   1849257 , S2CID   5877745
• Лёвнер, К. (1923), «Исследования простых конформных отображений единичного круга. I» (PDF) , Ann. , 89 (1–2): 103–121, doi : 10.1007/BF01448091 , JFM   49.0714.01 , S2CID   121752388
• Мандельброт, Бенуа (1982), Фрактальная геометрия природы , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-1186-5
• Норрис, младший (2010), Введение в эволюцию Шрамма – Лёвнера (PDF)
• Поммеренке, Кристиан (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica/Mathematical Textbooks, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт (глава 6 посвящена классической теории уравнения Левнера)
• Шрамм, Одед (2000), «Пределы масштабирования случайных блужданий со стиранием цикла и однородных остовных деревьев», Israel Journal of Mathematics , 118 : 221–288, arXiv : math.PR/9904022 , doi : 10.1007/BF02803524 , MR   1776084 , S2CID   17164604 Оригинальная статья Шрамма, посвященная СКВ.
• Шрамм, Одед (2007), «Конформно-инвариантные пределы масштабирования: обзор и сборник проблем», Международный конгресс математиков. Том. Я , Евр. Математика. Soc., Цюрих, стр. 513–543, arXiv : math/0602151 , Bibcode : 2006math......2151S , doi : 10.4171/022-1/20 , ISBN  978-3-03719-022-7 , МР   2334202
• Вернер, Венделин (2004), «Случайные плоские кривые и эволюция Шрамма – Лёвнера», Лекции по теории вероятностей и статистике , Конспекты лекций по математике, том. 1840, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 107–195, arXiv : math.PR/0303354 , doi : 10.1007/b96719 , ISBN  978-3-540-21316-1 , МР   2079672
• Вернер, Венделин (2005), «Конформное ограничение и связанные с ним вопросы», Probability Surveys , 2 : 145–190, arXiv : math/0307353 , doi : 10.1214/154957805100000113 , MR   2178043
• Бауэр, Мишель ; Бернар, Денис (2002a), «Процессы роста SLEκ и конформные теории поля», Physics Letters B , 543 (1–2): 135–138, arXiv : math-ph/0206028 , doi : 10.1016/S0370-2693(02) 02423-1 , S2CID   16790280
• Бауэр, Мишель ; Бернар, Денис (2002b), «Конформные теории поля стохастических эволюций Лёвнера», Communications in Mathematical Physics , 239 (3): 493–521, arXiv : hep-th/0210015 , doi : 10.1007/s00220-003-0881-x , S2CID   119596360

Внешние ссылки

• Лоулер; Шрамм; Вернер (2001), Учебное пособие: SLE , Зал науки Лоуренса , Калифорнийский университет, Беркли. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) (видео лекции ИИГС)
• Шрамм, Одед (2001), Конформно-инвариантные пределы масштабирования и SLE , MSRI (Слайды из выступления).