Rules for computing derivatives of functions
Это краткое изложение правил дифференциации то есть правила вычисления производной функции , в исчислении .
Если не указано иное, все функции являются функциями реальных чисел ( r ) , которые возвращают реальные значения; Хотя в более общем плане приведенные ниже формулы применяются везде, где они хорошо определены [ 1 ] [ 2 ] сложных чисел ( C ) . [ 3 ]
Для любого значения
c
{\displaystyle c}
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
c
{\displaystyle f(x)=c}
d
f
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0}
[ 4 ]
Позволять
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
c
{\displaystyle f(x)=c}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
(
c
)
−
(
c
)
h
=
lim
h
→
0
0
h
=
lim
h
→
0
0
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}}
Это показывает, что производная любой постоянной функции составляет 0.
[ редактировать ] Производной касающейся функции в точке является наклон линии, кривой в точке. Наклон постоянной функции равен нулю, потому что касательная линия к постоянной функции горизонтальна, а ее угол равен нулю.
Другими словами, значение постоянной функции y не будет изменяться, поскольку значение x увеличивает или уменьшается.
В каждой точке производное - это наклон линии , касающейся кривой в этой точке. ПРИМЕЧАНИЕ. Производная в точке A является положительной , где зеленый и приборный, отрицательный, где красный и пунктирный, и ноль , где черный и твердый. Для любых функций
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
h
(
x
)
=
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}
x
{\displaystyle x}
h
′
(
x
)
=
a
f
′
(
x
)
+
b
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}
В обозначениях Лейбниза это написано как:
d
(
a
f
+
b
g
)
d
x
=
a
d
f
d
x
+
b
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}
Специальные случаи включают:
Правило постоянного фактора
(
a
f
)
′
=
a
f
′
{\displaystyle (af)'=af'}
суммы Правило
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'}
разницы Правило
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}
Для функций
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}
x
{\displaystyle x}
h
′
(
x
)
=
(
f
g
)
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}
d
(
f
g
)
d
x
=
g
d
f
d
x
+
f
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}
Производная функции
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle h(x)=f(g(x))}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}
В обозначениях Лейбниза это написано как:
d
d
x
h
(
x
)
=
d
d
z
f
(
z
)
|
z
=
g
(
x
)
⋅
d
d
x
g
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
d
h
(
x
)
d
x
=
d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}
Сосредоточение внимания на понятии карт, и дифференциал - карта
D
{\displaystyle {\text{D}}}
[
D
(
f
∘
g
)
]
x
=
[
D
f
]
g
(
x
)
⋅
[
D
g
]
x
.
{\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}
Если функция F имеет обратную функцию g , что означает, что
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
f
(
g
(
y
)
)
=
y
,
{\displaystyle f(g(y))=y,}
g
′
=
1
f
′
∘
g
.
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}
В leibniz нотации это написано как
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}
[ редактировать ] Если
f
(
x
)
=
x
r
{\displaystyle f(x)=x^{r}}
r
≠
0
,
{\displaystyle r\neq 0,}
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
.
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}
Когда
r
=
1
,
{\displaystyle r=1,}
f
(
x
)
=
x
,
{\displaystyle f(x)=x,}
f
′
(
x
)
=
1.
{\displaystyle f'(x)=1.}
Объединение правила мощности с суммой и постоянными правилами позволяет вычислять производную любого полинома.
Производная
h
(
x
)
=
1
f
(
x
)
{\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}
f
h
′
(
x
)
=
−
f
′
(
x
)
(
f
(
x
)
)
2
{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}
F В обозначениях Лейбниза это написано
d
(
1
/
f
)
d
x
=
−
1
f
2
d
f
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}
Взаимное правило может быть получено либо из правила, либо из комбинации правила власти и правила цепи.
Если f g
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
g Это может быть получено из правила продукта и взаимного правила.
Правило элементарной власти значительно обобщает. Наиболее общим правилом власти является правило функциональной мощности : для любых функций F G
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
,
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
Где бы обе стороны хорошо определены.
Особые случаи
Если
f
(
x
)
=
x
a
{\textstyle f(x)=x^{a}\!}
f
′
(
x
)
=
a
x
a
−
1
{\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}
А Х
Взаимное правило может быть получено как особый случай, когда
g
(
x
)
=
−
1
{\textstyle g(x)=-1\!}
Производные экспоненциальных и логарифмических функций [ редактировать ]
d
d
x
(
c
a
x
)
=
a
c
a
x
ln
c
,
c
>
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}
Приведенное выше уравнение верно для всех C , но производная для
c
<
0
{\textstyle c<0}
d
d
x
(
e
a
x
)
=
a
e
a
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}
d
d
x
(
log
c
x
)
=
1
x
ln
c
,
c
>
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1}
Приведенное выше уравнение также верно для всех C
c
<
0
{\textstyle c<0\!}
d
d
x
(
ln
x
)
=
1
x
,
x
>
0.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}
d
d
x
(
ln
|
x
|
)
=
1
x
,
x
≠
0.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}
d
d
x
(
W
(
x
)
)
=
1
x
+
e
W
(
x
)
,
x
>
−
1
e
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e}.\qquad }
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
функция Wambert W
d
d
x
(
x
x
)
=
x
x
(
1
+
ln
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}
d
d
x
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
−
1
d
f
d
x
+
f
(
x
)
g
(
x
)
ln
(
f
(
x
)
)
d
g
d
x
,
if
f
(
x
)
>
0
,
and if
d
f
d
x
and
d
g
d
x
exist.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}}
d
d
x
(
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
(
.
.
.
)
f
n
(
x
)
)
=
[
∑
k
=
1
n
∂
∂
x
k
(
f
1
(
x
1
)
f
2
(
x
2
)
(
.
.
.
)
f
n
(
x
n
)
)
]
|
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
=
x
,
if
f
i
<
n
(
x
)
>
0
and
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}}
d
f
i
d
x
exists.
{\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}}
Логарифмическая производная - это еще один способ указать правило для дифференциации логарифма функции (используя правило цепи):
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
F Логарифмическая дифференциация - это метод, который использует логарифмы и правила его дифференциации для упрощения определенных выражений, прежде чем фактически применять производную. [ Цитация необходима
Логарифмы могут использоваться для удаления показателей, преобразования продуктов в суммы и преобразования деления в вычитание - каждый из которых может привести к упрощенному выражению для принятия производных.
d
d
x
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
cos
x
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
tan
x
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
csc
x
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}}
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d
d
x
sec
x
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}}
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d
d
x
cot
x
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
1
−
cot
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x}
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}}
Деривативы в таблице выше предназначены для того, когда диапазон обратного секунды
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]\!}
[
−
π
2
,
π
2
]
.
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}
Это часто бывает дополнительно определять обратную касательную функцию с двумя аргументами ,
arctan
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \arctan(y,x).}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle (x,y).}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
arctan
(
y
,
x
>
0
)
=
arctan
(
y
/
x
)
.
{\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x).}
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
y
=
x
x
2
+
y
2
and
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
x
=
−
y
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}
d
d
x
arsinh
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
tanh
x
=
sech
2
x
=
1
−
tanh
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d
d
x
csch
x
=
−
csch
x
coth
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d
d
x
sech
x
=
−
sech
x
tanh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d
d
x
coth
x
=
−
csch
2
x
=
1
−
coth
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x}
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
См. Гиперболические функции для ограничений на эти производные.
Гамма -функция
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}
Γ
′
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
ln
t
d
t
=
Γ
(
x
)
(
∑
n
=
1
∞
(
ln
(
1
+
1
n
)
−
1
x
+
n
)
−
1
x
)
=
Γ
(
x
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}}
с
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
функцией Digamma , выраженной в скобках выражения справа от
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
Функция Riemann Zeta
ζ
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
x
{\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}
ζ
′
(
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
ln
n
n
x
=
−
ln
2
2
x
−
ln
3
3
x
−
ln
4
4
x
−
⋯
=
−
∑
p
prime
p
−
x
ln
p
(
1
−
p
−
x
)
2
∏
q
prime
,
q
≠
p
1
1
−
q
−
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}
Предположим, что необходимо дифференцировать по сравнению с x функцию
F
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}
где функции
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
(
t
,
x
)
{\displaystyle (t,x)}
a
(
x
)
≤
t
≤
b
(
x
)
,
{\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}
Эта формула является общей формой интегрального правила Лейбниза и может быть получена с помощью
Фундаментальная теорема исчисления .
Существуют некоторые правила для вычисления N -й производной функций, где n является положительным целым числом. К ним относятся:
Если f и g дифференцируют n -times, то
d
n
d
x
n
[
f
(
g
(
x
)
)
]
=
n
!
∑
{
k
m
}
f
(
r
)
(
g
(
x
)
)
∏
m
=
1
n
1
k
m
!
(
g
(
m
)
(
x
)
)
k
m
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}
r
=
∑
m
=
1
n
−
1
k
m
{\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}
{
k
m
}
{\displaystyle \{k_{m}\}}
∑
m
=
1
n
m
k
m
=
n
{\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}
Если f и g дифференцируют n -times, то
d
n
d
x
n
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
d
n
−
k
d
x
n
−
k
f
(
x
)
d
k
d
x
k
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}
^ Calculus (5th Edition) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-07-150861-2 . ^ Усовершенствованное исчисление (3 -е издание) , Р. Реде, г -н Шпигель, серия схем Шаума, 2010, ISBN 978-07-162366-7 . ^ Сложные переменные , г -н Шпигель, С. Липшутц, JJ Schiller, D. Spellman, серия Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-07-161569-3 ^ «Правила дифференциации» . Университет Ватерлоо - CEMC Open Courseware . Получено 3 мая 2022 года .
Эти правила приведены во многих книгах, как по элементарному, так и в расширенном исчислении, в чистой и прикладной математике. Те, кто в этой статье (в дополнение к вышеуказанным ссылкам) можно найти в:
Математическое справочник по формулам и таблицам (3 -е издание) , S. Lipschutz, Mr Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-07-154855-7 . Кембриджский справочник по физике формул , Г. Воан, издательство Кембриджского университета, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . Математические методы для физики и инженерии , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 NIST Handbook по математическим функциям , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 .
![{\ displayStyle [{\ text {d}} (f \ circ g)] _ {x} = [{\ text {d}} f] _ {g (x)} \ cdot [{\ text {d}} g] _ {x} \ ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624f2d85795ec0b7c5d54e5dd6ed8fddcdcfca36)
![{\ displayStyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f_ {1} (x)^{f_ {2} (x)^{\ left (... \ right)^{f_ {n} (x)}}} \ right) = \ part \ partial _ {k = 1}}}}}} {\ \ \ partial \ {k = 1}}}} } {\ Частичный x_ {k}}} \ left (f_ {1} (x_ {1})^{f_ {2} (x_ {2})^{\ left (... \ right)^{f_ {n} (x_ {n})}} \ right) \ right) \ right] {\ vert } _ {x_ {1} = x_ {2} = ... = x_ {n} = x}, {\ text {if}} f_ {i <n} (x)> 0 {\ text {и}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e52623821c09e999ec428d4b2264ed2123e6c5c)
![{\ displayStyle [0, \ pi] \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb175ba2045ce5c320e0942973d0168dee16551a)
![{\ displaystyle \ left [-{\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c631b663bb72b84a42765b6c31c1de35cc75dc2c)
![{\ displayStyle [-\ pi, \ pi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\ displayStyle {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} [f (g (x))] = n! \ sum _ {\ {k_ {m} \}} f^{r)} (g (x)) \ prod _ {m = 1}^ {1} {k_ {m}!}} \ Left (g^{(m)} (x) \ right)^{k_ {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfcc1b623a73361d1291918e4cb9b09b1e1be5f3)
![{\ displaystyle {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} [f (x) g (x)] = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k} {\ frac {d^{nk}} {dx^{nk}}} f (x) {\ frac {d^{k}} {dx^{k}}} g (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63405be1615e41e5620d8b0c45f48b7dd7e6f2ef)