Дифференциальное уравнение

Не путать с Разностным уравнением .

Визуализация теплопередачи в корпусе насоса, созданная путем решения уравнения теплопроводности . Тепло генерируется внутри корпуса и охлаждается на границе, обеспечивая устойчивое распределение температуры.

В математике дифференциальное уравнение — это уравнение , которое связывает одну или несколько неизвестных функций и их производных . В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорость их изменения, а дифференциальное уравнение определяет связь между ними. Такие отношения распространены; поэтому дифференциальные уравнения играют заметную роль во многих дисциплинах, включая инженерное дело , физику , экономику и биологию .

Изучение дифференциальных уравнений состоит главным образом из изучения их решений (набора функций, удовлетворяющих каждому уравнению) и свойств их решений. Только простейшие дифференциальные уравнения разрешимы явными формулами; однако многие свойства решений данного дифференциального уравнения можно определить без их точного вычисления.

Часто, когда выражение для решений в замкнутой форме недоступно, решения можно аппроксимировать численно с помощью компьютеров. В теории динамических систем упор делается на качественный анализ систем, описываемых дифференциальными уравнениями, при этом множество численных методов разработано определения решений с заданной степенью точности.

История

Дифференциальные уравнения появились с изобретением исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем . В главе 2 своей работы 1671 года Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum : Ньютон перечислил три вида дифференциальных уравнений:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}$

Во всех этих случаях y — неизвестная функция от x (или от x ₁ и x ₂ ), а f — заданная функция.

Он решает эти и другие примеры, используя бесконечные ряды, и обсуждает неединственность решений.

Якоб Бернулли предложил дифференциальное уравнение Бернулли в 1695 году. Это обыкновенное дифференциальное уравнение вида

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

для которой в следующем году Лейбниц получил решение, упростив ее.

Исторически проблему вибрирующей струны, например, музыкального инструмента, изучали Жан ле Рон д'Аламбер , Леонард Эйлер , Даниэль Бернулли и Жозеф-Луи Лагранж . В 1746 году Даламбер открыл одномерное волновое уравнение , а через десять лет Эйлер открыл трехмерное волновое уравнение.

Уравнение Эйлера–Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с исследованием ими проблемы таутохрона . Это задача определения кривой, по которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки. Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке лагранжевой механики .

В 1822 году Фурье опубликовал свою работу по тепловому потоку в . «Аналитической теории тепла» в котором он основывал свои рассуждения на законе охлаждения Ньютона , а именно на том, что поток тепла между двумя соседними молекулами пропорционален чрезвычайно малой разнице их температур. В этой книге содержится предложение Фурье его уравнения теплопроводности для кондуктивной диффузии тепла. Это уравнение в частных производных теперь является обычной частью учебной программы по математической физике.

Пример

В классической механике движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют выражать эти переменные динамически (с учетом положения, скорости, ускорения и различных сил, действующих на тело) в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени.

В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения ) можно решить явно.

Примером моделирования реальной задачи с использованием дифференциальных уравнений является определение скорости мяча, падающего в воздухе, с учетом только силы тяжести и сопротивления воздуха. Ускорение мяча по направлению к земле равно ускорению силы тяжести минус замедление, вызванное сопротивлением воздуха. Гравитация считается постоянной, а сопротивление воздуха можно смоделировать как пропорциональное скорости мяча. Это означает, что ускорение мяча, которое является производной его скорости, зависит от скорости (а скорость зависит от времени). Нахождение скорости как функции времени включает решение дифференциального уравнения и проверку его достоверности.

Типы

Дифференциальные уравнения можно разделить на несколько типов. Помимо описания свойств самого уравнения, эти классы дифференциальных уравнений могут помочь в выборе подхода к решению. Обычно используемые различия включают в себя то, является ли уравнение обыкновенным или частным, линейным или нелинейным, гомогенным или гетерогенным. Этот список далеко не исчерпывающий; существует множество других свойств и подклассов дифференциальных уравнений, которые могут быть очень полезны в определенных контекстах.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные статьи: Обыкновенное дифференциальное уравнение и Линейное дифференциальное уравнение

Обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) — это уравнение, содержащее неизвестную функцию одной действительной или комплексной переменной x , ее производных и некоторых заданных функций от x . Неизвестная функция обычно представляется переменной ( часто обозначаемой y ), которая, следовательно, зависит от x . Таким образом, x часто называют независимой переменной уравнения. Термин « обычное » используется в отличие от термина « уравнение в частных производных» , которое может относиться к более чем одной независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, линейные относительно неизвестной функции и ее производных. Их теория хорошо разработана, и во многих случаях их решения можно выразить через интегралы .

Большинство ОДУ, встречающихся в физике, являются линейными. Следовательно, большинство специальных функций можно определить как решения линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ).

Поскольку, как правило, решения дифференциального уравнения не могут быть выражены выражением в замкнутой форме , численные методы для решения дифференциальных уравнений на компьютере обычно используются .

Уравнения в частных производных

Основная статья: Уравнение в частных производных

Уравнение в частных производных ( ЧДУ ) — это дифференциальное уравнение, которое содержит неизвестные функции многих переменных и их частные производные . (В отличие от обычных дифференциальных уравнений , которые имеют дело с функциями одной переменной и их производными.) УЧП используются для формулирования задач, включающих функции нескольких переменных, и либо решаются в замкнутой форме, либо используются для создания соответствующего компьютера. модель .

PDE можно использовать для описания широкого спектра явлений в природе, таких как звук , тепло , электростатика , электродинамика , поток жидкости , упругость или квантовая механика . Эти, казалось бы, разные физические явления могут быть формализованы аналогичным образом в терминах УЧП. Точно так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы , уравнения в частных производных часто моделируют многомерные системы . Стохастические уравнения в частных производных обобщают уравнения в частных производных для моделирования случайности .

Нелинейные дифференциальные уравнения

Основная статья: Нелинейные дифференциальные уравнения

Нелинейное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение, не являющееся линейным уравнением относительно неизвестной функции и ее производных (линейность или нелинейность в аргументах функции здесь не учитываются). Существует очень мало методов точного решения нелинейных дифференциальных уравнений; те, которые известны, обычно зависят от уравнения, имеющего определенную симметрию . Нелинейные дифференциальные уравнения могут демонстрировать очень сложное поведение в течение длительных интервалов времени, характерное для хаоса . Даже фундаментальные вопросы существования, единственности и расширяемости решений нелинейных дифференциальных уравнений, а также корректности начальных и краевых задач для нелинейных УЧП являются сложными проблемами, и их решение в частных случаях считается значительным достижением математической науки. теория (ср. существование и гладкость Навье – Стокса ). Однако если дифференциальное уравнение является правильно сформулированным представлением значимого физического процесса, то можно ожидать, что оно имеет решение.

Линейные дифференциальные уравнения часто появляются как приближения к нелинейным уравнениям. Эти приближения действительны только в ограниченных условиях. Например, уравнение гармонического осциллятора является приближением к нелинейному уравнению маятника, справедливому для колебаний малой амплитуды.

Порядок и степень уравнения

Порядок дифференциального уравнения — это высший порядок производной неизвестной функции, которая входит в дифференциальное уравнение. Например, уравнение, содержащее только производные первого порядка , является дифференциальным уравнением первого порядка , уравнение, содержащее производную второго порядка , — дифференциальным уравнением второго порядка и так далее.

Когда оно записано в виде полиномиального уравнения относительно неизвестной функции и ее производных, его степень дифференциального уравнения , в зависимости от контекста, представляет собой степень полинома по высшей производной неизвестной функции: или его полная степень в неизвестной функции и ее производных. В частности, линейное дифференциальное уравнение имеет степень один в обоих значениях, а нелинейное дифференциальное уравнение $y'+y^{2}=0$ имеет степень единицу для первого значения, но не для второго.

Дифференциальные уравнения, описывающие природные явления, почти всегда имеют в себе производные только первого и второго порядка, но есть некоторые исключения, такие как уравнение тонкой пленки , которое представляет собой уравнение в частных производных четвертого порядка.

Примеры

В первой группе примеров u — неизвестная функция от x , а c и ω — константы, которые предположительно известны. Две широкие классификации как обыкновенных уравнений, так и уравнений в частных производных состоят из различия между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями, а также между однородными дифференциальными уравнениями и гетерогенными .

• Гетерогенное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом:

  ${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$

• Однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

  ${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.$

• Однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом, описывающее гармонический осциллятор :

  ${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.$

• Гетерогенное нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

  ${\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.$

• Нелинейное (благодаря функции синуса) обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее движение маятника длины L :

  $L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.$

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y .

• Однородное линейное уравнение в частных производных первого порядка:

  ${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

• Однородное линейное уравнение в частных производных эллиптического типа с постоянными коэффициентами второго порядка, уравнение Лапласа :

  ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$

• Однородное нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, уравнение КдВ :

  ${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.$

Наличие решений

Решение дифференциальных уравнений не похоже на решение алгебраических уравнений . Мало того, что их решения часто неясны, но вопрос о том, являются ли решения уникальными или существуют вообще, также представляет значительный интерес.

Для задач с начальными значениями первого порядка теорема существования Пеано дает один набор обстоятельств, при которых существует решение. Учитывая любую точку $(a,b)$ в плоскости xy определите некоторую прямоугольную область $Z$, такой, что $Z=[l,m]\times [n,p]$ и $(a,b)$ находится внутри $Z$. Если нам дано дифференциальное уравнение ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$ и условие, что $y=b$ когда $x=a$, то существует локальное решение этой задачи, если $g(x,y)$ и ${\textstyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}$ оба непрерывны $Z$. Это решение существует на некотором интервале с центром в точке $a$. Решение может быть не единственным. (Другие результаты см. в разделе «Обыкновенное дифференциальное уравнение ».)

Однако это помогает нам только с проблемами начального значения первого порядка . Предположим, у нас есть линейная начальная задача n-го порядка:

$f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)$

такой, что

${\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}$

Для любого ненулевого $f_{n}(x)$, если $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ и $g$ непрерывны на некотором интервале, содержащем $x_{0}$, $y$ существует и является единственным.

Связанные понятия

• Дифференциальное уравнение с задержкой (DDE) — это уравнение для функции одной переменной, обычно называемой временем , в котором производная функции в определенный момент времени выражается через значения функции в более ранние моменты времени.
• Интегральные уравнения можно рассматривать как аналог дифференциальных уравнений, где вместо уравнения, включающего производные, уравнение содержит интегралы .
• Интегро -дифференциальное уравнение (IDE) — это уравнение, сочетающее в себе аспекты дифференциального уравнения и интегрального уравнения.
• Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — это уравнение, в котором неизвестной величиной является случайный процесс , а уравнение включает в себя некоторые известные случайные процессы, например, винеровский процесс в случае уравнений диффузии.
• Стохастическое уравнение в частных производных (SPDE) — это уравнение, которое обобщает СДУ, включив в него процессы пространственно-временного шума, с приложениями в квантовой теории поля и статистической механике .
• Ультраметрическое псевдодифференциальное уравнение — это уравнение, которое содержит p-адические числа в ультраметрическом пространстве . Математические модели, включающие ультраметрические псевдодифференциальные уравнения, используют псевдодифференциальные операторы вместо дифференциальных операторов .
• Дифференциально -алгебраическое уравнение (ДАУ) — это дифференциальное уравнение, состоящее из дифференциальных и алгебраических членов, заданных в неявной форме.

Связь с разностными уравнениями

См. Также: Исчисление шкалы времени.

Теория дифференциальных уравнений тесно связана с теорией разностных уравнений , в которой координаты принимают только дискретные значения, а связь включает значения неизвестной функции или функций и значения в близлежащих координатах. Многие методы численного решения дифференциальных уравнений или изучения свойств дифференциальных уравнений включают аппроксимацию решения дифференциального уравнения решением соответствующего разностного уравнения.

Приложения

Исследование дифференциальных уравнений — обширная область чистой и прикладной математики , физики и техники . Все эти дисциплины изучают свойства дифференциальных уравнений различных типов. Чистая математика фокусируется на существовании и единственности решений, тогда как прикладная математика подчеркивает строгое обоснование методов аппроксимации решений. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании практически каждого физического, технического или биологического процесса: от движения небесных тел до конструкции мостов и взаимодействия между нейронами. Дифференциальные уравнения, подобные тем, которые используются для решения реальных задач, не обязательно могут быть решаемы напрямую, то есть не иметь в замкнутой форме решений . Вместо этого решения можно аппроксимировать с помощью численных методов .

Многие фундаментальные законы физики и химии можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений. В биологии и экономике дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения сложных систем. Математическая теория дифференциальных уравнений впервые развивалась вместе с науками, в которых возникли уравнения и где их результаты нашли применение. Однако разнообразные проблемы, иногда возникающие в совершенно разных научных областях, могут привести к появлению одинаковых дифференциальных уравнений. Всякий раз, когда это происходит, математическую теорию, лежащую в основе уравнений, можно рассматривать как объединяющий принцип, лежащий в основе различных явлений. В качестве примера рассмотрим распространение света и звука в атмосфере и волн на поверхности пруда. Все они могут быть описаны одним и тем же уравнением в частных производных второго порядка , волновым уравнением , которое позволяет нам думать о свете и звуке как о формах волн, очень похожих на знакомые волны в воде. Теплопроводность, теорию которой разработал Джозефа Фурье , определяется другим уравнением в частных производных второго порядка, уравнением теплопроводности . Оказывается, многие диффузионные процессы, хотя и разные, но описываются одним и тем же уравнением; уравнение Блэка-Шоулза в финансах, например, связано с уравнением теплопроводности.

Количество дифференциальных уравнений, получивших название, в различных научных областях является свидетельством важности темы. См. Список именованных дифференциальных уравнений .

Программное обеспечение

Некоторые программы CAS могут решать дифференциальные уравнения. Вот команды, используемые в ведущих программах:

• Клен : dsolve
• Математика : DSolve[]
• Максима : ode2(equation, y, x)
• Мудрая Математика : desolve()
• Симпи : sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
• Рождество : desolve(y'=k*y,y)

См. также

• Точное дифференциальное уравнение
• Функционально-дифференциальное уравнение
• Исходное состояние
• Интегральные уравнения
• Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Численные методы для уравнений в частных производных
• Теорема Пикара–Линделёфа о существовании и единственности решений.
• Рекуррентное соотношение , также известное как «разностное уравнение».
• Абстрактное дифференциальное уравнение
• Система дифференциальных уравнений

Дальнейшее чтение

• Эбботт, П.; Нил, Х. (2003). Научитесь исчислению . стр. 266–277.
• Бланшар, П.; Девани, РЛ ; Холл, GR (2006). Дифференциальные уравнения . Томпсон.
• Бойс, В.; ДиПрима, Р. ; Мид, Д. (2017). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи . Уайли.
• Коддингтон, Э.А; Левинсон, Н. (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . МакГроу-Хилл.
• Инс, Э.Л. (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Дувр.
• Джонсон, В. (1913). Трактат об обыкновенных дифференциальных уравнениях и уравнениях в частных производных . Джон Уайли и сыновья. В коллекции исторической математики Мичиганского университета.
• Полянин А.Д.; Зайцев, В.Ф. (2003). Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN  1-58488-297-2 .
• Портер, Род-Айленд (1978). «XIX Дифференциальные уравнения». Дальнейший элементарный анализ .
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Дэниел Цвиллингер (12 мая 2014 г.). Справочник по дифференциальным уравнениям . Эльзевир Наука. ISBN  978-1-4832-6396-0 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с дифференциальными уравнениями, на Викискладе?
• Лекции по дифференциальным уравнениям MIT Open CourseWare Видео
• Онлайн-заметки / Дифференциальные уравнения Пол Докинз, Университет Ламара
• Дифференциальные уравнения , SOS Математика
• Введение в моделирование с помощью дифференциальных уравнений. Введение в моделирование с помощью дифференциальных уравнений. С критическими замечаниями.
• Математический помощник в веб- инструменте символьных ОДУ с использованием Maxima
• Точные решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
• Коллекция моделей ODE и DAE физических систем. Архивировано 19 декабря 2008 г. в моделях Wayback Machine MATLAB.
• Заметки о Diffy Qs: Дифференциальные уравнения для инженеров. Вводный учебник по дифференциальным уравнениям Иржи Лебла из UIUC.
• Список воспроизведения видео Академии Хана по дифференциальным уравнениям Темы, рассматриваемые в первом курсе курса дифференциальных уравнений.
• Плейлист MathDiscuss Video по дифференциальным уравнениям