Изопериметрическое неравенство

В математике изопериметрическое неравенство — это геометрическое неравенство, включающее периметр множества и его объем. В $n$ -мерное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ нижнее неравенство ограничивает площадь поверхности или периметр $\operatorname {per} (S)$ из набора $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ по объему $\operatorname {vol} (S)$ ,

\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}

,

где $B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ представляет собой единичную сферу . Равенство имеет место только тогда, когда $S$ это сфера в $\mathbb {R} ^{n}$ .

В самолете, т.е. когда $n=2$ , изопериметрическое неравенство связывает квадрат окружности замкнутой кривой и площадь плоской области, которую она ограничивает. Изопериметрический буквально означает «имеющий одинаковый периметр ». Конкретно в $\mathbb {R} ^{2}$ , изопериметрическое неравенство гласит, что для длины L замкнутой кривой и площади A плоской области, которую она ограничивает, это

L^{2}\geq 4\pi A,

и это равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая представляет собой круг.

Изопериметрическая задача состоит в определении плоской фигуры наибольшей площади, граница которой имеет заданную длину. ^[1] Тесно связанная проблема Дидоны требует наличия области максимальной площади, ограниченной прямой линией и криволинейной дугой, конечные точки которой принадлежат этой линии. Он назван в честь Дидоны , легендарной основательницы и первой царицы Карфагена . Решение изопериметрической задачи дается окружностью и было известно еще в Древней Греции . Однако первое математически строгое доказательство этого факта было получено лишь в XIX веке. С тех пор было найдено множество других доказательств.

Изопериметрическая проблема была распространена разными способами, например, на кривые на поверхностях и на области в многомерных пространствах. Пожалуй, наиболее знакомым физическим проявлением трехмерного изопериметрического неравенства является форма капли воды. А именно, капля обычно принимает симметричную круглую форму. Поскольку количество воды в капле фиксировано, поверхностное натяжение заставляет каплю принимать форму, которая минимизирует площадь поверхности капли, а именно круглую сферу.

Изопериметрическая задача на плоскости

Классическая изопериметрическая задача восходит к античности. ^[2] Задачу можно сформулировать следующим образом: среди всех замкнутых кривых в плоскости фиксированного периметра какая кривая (если таковая имеется) максимизирует площадь своей замкнутой области? Можно показать, что этот вопрос эквивалентен следующей проблеме: какая из всех замкнутых кривых на плоскости, охватывающей фиксированную площадь, (если таковая имеется) минимизирует периметр?

Эта проблема концептуально связана с принципом наименьшего действия в физике , поскольку его можно переформулировать: каков принцип действия, охватывающий наибольшую площадь с наибольшей экономией усилий? ^{[ нужна ссылка ]} Философ и ученый XV века кардинал Николай Кузанский считал вращательное действие, процесс создания круга , самым прямым отражением в сфере чувственных впечатлений процесса создания Вселенной. Немецкий астроном и астролог Иоганн Кеплер применил изопериметрический принцип при обсуждении морфологии Солнечной системы в «Mysterium Cosmographicum» ( «Священная тайна космоса» , 1596 г.).

Хотя круг кажется очевидным решением проблемы, доказать этот факт довольно сложно. Первый прогресс в решении этой проблемы был достигнут швейцарским геометром Якобом Штайнером в 1838 году с использованием геометрического метода, позже названного симметризацией Штейнера . ^[3] Штейнер показал, что если решение существует, то это должен быть круг. Доказательство Штейнера было позже завершено несколькими другими математиками.

Штейнер начинает с некоторых геометрических построений, которые легко понять; например, можно показать, что любую замкнутую кривую, охватывающую не полностью выпуклую область , можно изменить, чтобы охватить большую площадь, «перевернув» вогнутые области так, чтобы они стали выпуклыми. Далее можно показать, что любую замкнутую кривую, которая не является полностью симметричной, можно «наклонить», чтобы она охватывала большую площадь. Единственная форма, которая является совершенно выпуклой и симметричной, — это круг, хотя это само по себе не является строгим доказательством изопериметрической теоремы (см. Внешние ссылки).

В самолете

Решение изопериметрической задачи обычно выражают в виде неравенства , связывающего длину L замкнутой кривой и площадь A плоской области, которую она ограничивает. Изопериметрическое неравенство утверждает, что

4\pi A\leq L^{2},

и что равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая представляет собой круг. Площадь диска радиуса R равна πR. ² а длина окружности равна 2 πR , поэтому обе части неравенства равны 4 π ²Р ² в этом случае.

Были найдены десятки доказательств изопериметрического неравенства. В 1902 году Гурвиц опубликовал краткое доказательство с использованием ряда Фурье , применимое к произвольным спрямляемым кривым (не предполагающимся гладкими). Элегантное прямое доказательство, основанное на сравнении гладкой простой замкнутой кривой с подходящей окружностью, было дано Э. Шмидтом в 1938 году. Оно использует только формулу длины дуги , выражение для площади плоской области из теоремы Грина и формулу Коши– Неравенство Шварца .

Для данной замкнутой кривой изопериметрический коэффициент определяется как отношение ее площади к площади круга, имеющего тот же периметр. Это равно

Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}

и изопериметрическое неравенство говорит, что Q ≤ 1. Эквивалентно, изопериметрическое отношение $L 2 / A$ не менее 4 $π$ для каждой кривой.

Изопериметрический фактор правильного n -угольника равен

Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.

Позволять $C$ — гладкая правильная выпуклая замкнутая кривая. Тогда улучшенное изопериметрическое неравенство утверждает следующее:

L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,

где $L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}$ обозначаем длину $C$ , площадь региона, ограниченная $C$ и ориентированная область каустики вигнеровской $C$ соответственно, и равенство имеет место тогда и только тогда, когда $C$ представляет собой кривую постоянной ширины . ^[4]

На сфере

Пусть C — простая замкнутая кривая на сфере радиуса 1. Обозначим через L длину C и через A площадь, ограниченную C . Сферическое изопериметрическое неравенство утверждает, что

L^{2}\geq A(4\pi -A),

и что равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая представляет собой круг. На самом деле существует два способа измерения сферической площади, ограниченной простой замкнутой кривой, но неравенство симметрично относительно дополнения.

Это неравенство было обнаружено Полем Леви (1919), который также распространил его на более высокие измерения и общие поверхности. ^[5]

В более общем случае произвольного радиуса R известно ^[6] что

L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.

В $\mathbb {R} ^{n}$

Изопериметрическое неравенство гласит, что сфера имеет наименьшую площадь поверхности в данном объеме. Учитывая ограниченное множество $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ с площадью поверхности $\operatorname {per} (S)$ и объем $\operatorname {vol} (S)$ , изопериметрическое неравенство утверждает

\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n},

где $B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ представляет собой единичный шар . Равенство имеет место, когда $S$ мяч в $\mathbb {R} ^{n}$ . При дополнительных ограничениях на множество (таких как выпуклость , регулярность , гладкая граница ) равенство справедливо только для шара. Но в целом ситуация сложнее. Соответствующий результат Шмидта (1949 , разд. 20.7) (более простое доказательство см. в Baebler (1957) ) поясняется у Хадвигера (1957 , разд. 5.2.5) следующим образом. Экстремальный набор состоит из шара и «короны», не вносящей вклада ни в объем, ни в площадь поверхности. То есть равенство справедливо для компактного множества $S$ тогда и только тогда, когда $S$ содержит закрытый шар $B$ такой, что $\operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)$ и $\operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).$ Например, «корона» может быть кривой.

Доказательство неравенства следует непосредственно из неравенства Брунна–Минковского между множеством $S$ и шар радиусом $\epsilon$ , то есть $B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}$ . Возведя неравенство Брунна–Минковского в степень $n$ , вычитая $\operatorname {vol} (S)$ с обеих сторон, разделив их на $\epsilon$ , и приняв предел как $\epsilon \to 0.$ ( Оссерман (1978) ; Федерер (1969 , §3.2.43)).

В полной общности ( Федерер 1969 , §3.2.43) изопериметрическое неравенство утверждает, что для любого множества $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ которого замыкание имеет конечную меру Лебега

n\,\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)

где $M_{*}^{n-1}$ — ( n -1)-мерное содержание Минковского , L ^н – n -мерная мера Лебега, а ω _n – объем единичного шара в $\mathbb {R} ^{n}$ . Если граница S спрямляема , то содержанием Минковского является ( n -1)-мерная мера Хаусдорфа .

-мерное n изопериметрическое неравенство эквивалентно (для достаточно гладких областей) неравенству Соболева на $\mathbb {R} ^{n}$ с оптимальной константой:

\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|

для всех $u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})$ .

В многообразиях Адамара

Многообразия Адамара — полные односвязные многообразия неположительной кривизны. Тем самым они обобщают евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ , которое является многообразием Адамара нулевой кривизны. В 1970-х и начале 80-х годов Тьерри Обен , Миша Громов , Юрий Бураго и Виктор Залгаллер выдвинули гипотезу о том, что евклидово изопериметрическое неравенство

\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}

справедливо для ограниченных множеств $S$ в многообразиях Адамара, которая стала известна как гипотеза Картана–Адамара .В измерении 2 это уже было установлено в 1926 году Андре Вейлем был учеником Адамара , который в то время .В размерностях 3 и 4 гипотеза была доказана Брюсом Кляйнером в 1992 году и Крисом Кроуком в 1984 году соответственно.

В метрическом пространстве меры

Большая часть работы по изопериметрической проблеме была проделана в контексте гладких областей евклидовых пространств или, в более общем плане, римановых многообразий . Однако изопериметрическую задачу можно сформулировать в гораздо большей общности, используя понятие содержания Минковского . Позволять $(X,\mu ,d)$ — метрическое пространство с мерой : X — пространство с метрикой d , а µ — борелевская мера на X. метрическое Граничная мера или содержание Минковского подмножества измеримого множества A X lim определяется как inf

\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},

где

A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}

является ε расширением A . -

Изопериметрическая задача в X спрашивает, насколько малым может быть $\mu ^{+}(A)$ быть для данного µ ( A ). Если X — евклидова плоскость с обычным расстоянием и мерой Лебега , то этот вопрос обобщает классическую изопериметрическую задачу на плоские области, граница которых не обязательно гладкая, хотя ответ оказывается тем же.

Функция

I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}

называется изопериметрическим профилем метрического пространства с мерой $(X,\mu ,d)$ . Изопериметрические профили изучались для графов Кэли дискретных групп и для специальных классов римановых многообразий (где обычно только области A рассматриваются с регулярной границей).

Для графиков

В теории графов изопериметрические неравенства лежат в основе изучения графов-расширителей , которые представляют собой разреженные графы с сильными свойствами связности. Конструкции расширителей породили исследования в области чистой и прикладной математики с несколькими приложениями к теории сложности , проектированию надежных компьютерных сетей и теории кодов, исправляющих ошибки . ^[7]

Изопериметрические неравенства для графов связывают размер подмножеств вершин с размером их границы, который обычно измеряется количеством ребер, выходящих из подмножества (расширение ребер) или количеством соседних вершин (расширение вершин). Для графика $G$ и номер $k$ , ниже приведены два стандартных изопериметрических параметра для графиков. ^[8]

Краевой изопериметрический параметр: $\Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}$
Изопериметрический параметр вершины: $\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}$

Здесь $E(S,{\overline {S}})$ обозначает множество ребер, выходящих $S$ и $\Gamma (S)$ обозначает множество вершин, имеющих соседа в $S$ . Изопериметрическая задача состоит в понимании того, как параметры $\Phi _{E}$ и $\Phi _{V}$ ведут себя для естественных семейств графов.

Пример: изопериметрические неравенства для гиперкубов.

The $d$ -мерный гиперкуб $Q_{d}$ - это граф, вершинами которого являются все логические векторы длины $d$ , то есть набор $\{0,1\}^{d}$ . Два таких вектора соединены ребром в $Q_{d}$ если они равны с точностью до одного бита, то есть их расстояние Хэмминга равно единице.Ниже приведены изопериметрические неравенства для булева гиперкуба. ^[9]

Краевое изопериметрическое неравенство

Краевое изопериметрическое неравенство гиперкуба имеет вид $\Phi _{E}(Q_{d},k)\geq k(d-\log _{2}k)$ . Эта граница жесткая, о чем свидетельствует каждый сет. $S$ это множество вершин любого подкуба $Q_{d}$ .

Вершинное изопериметрическое неравенство

Теорема Харпера ^[10] говорит, что шары Хэмминга имеют наименьшую границу вершин среди всех множеств данного размера. всех точек веса Хэмминга . Шары Хэмминга - это наборы, которые содержат не более $r$ и ни одна точка веса Хэмминга не превышает $r+1$ для некоторого целого числа $r$ . Из этой теоремы следует, что любое множество $S\subseteq V$ с

|S|\geq \sum _{i=0}^{r}{d \choose i}

удовлетворяет

|S\cup \Gamma (S)|\geq \sum _{i=0}^{r+1}{d \choose i}.

^[11]

В качестве особого случая рассмотрим наборы размеров $k=|S|$ формы

k={d \choose 0}+{d \choose 1}+\dots +{d \choose r}

для некоторого целого числа $r$ . Тогда из вышеизложенного следует, что точный изопериметрический параметр вершины равен

\Phi _{V}(Q_{d},k)={d \choose r+1}.

^[12]