Пол Коэн
Пол Дж. Коэн | |
---|---|
Рожденный | Лонг-Бранч, Нью-Джерси , США | 2 апреля 1934 г.
Умер | 23 марта 2007 г. Стэнфорд, Калифорния , США | (72 года)
Альма-матер | Чикагский университет ( MS , PhD ) |
Известный | Коэн заставляет Непрерывная гипотеза |
Награды | Премия Бошера (1964). Медаль Филдса (1966) Национальная медаль науки (1967) |
Научная карьера | |
Поля | Математика |
Учреждения | Стэндфордский Университет |
Докторантура | Антони Зигмунд |
Докторанты | История Питера |
Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 г. - 23 марта 2007 г.) [1] был американским математиком. Он наиболее известен своими доказательствами того, что континуума и аксиома выбора независимы гипотеза от теории множеств Цермело-Френкеля , за что он был награжден Медалью Филдса . [2]
Молодость образование и
Коэн родился в Лонг-Бранче, штат Нью-Джерси , в еврейской семье, иммигрировавшей в Соединенные Штаты из нынешней Польши ; он вырос в Бруклине . [3] [4] В 1950 году, в возрасте 16 лет, он окончил среднюю школу Стуйвесант в Нью-Йорке . [1] [4]
Затем Коэн учился в Бруклинском колледже с 1950 по 1953 год, но ушел, не получив степени бакалавра, когда узнал, что может начать учебу в аспирантуре Чикагского университета , проучившись всего за два года в колледже. В Чикаго Коэн получил степень магистра математики в 1954 году и степень доктора философии в 1958 году под руководством Антони Зигмунда . Название его докторской диссертации было «Темы теории единственности тригонометрических рядов» . [5]
преподавателем математики в Рочестерском университете В 1957 году, перед присуждением докторской степени, Коэн был назначен на год . Затем он провел 1958–59 учебный год в Массачусетском технологическом институте, а затем провел 1959–61 год в качестве научного сотрудника в Институте перспективных исследований в Принстоне. Это были годы, когда Коэн совершил ряд значительных математических прорывов. В работе «Факторизация в групповых алгебрах» (1959) он показал, что любая интегрируемая функция на локально компактной группе является сверткой двух таких функций, решая проблему, поставленную Вальтером Рудином . В работе Коэна (1960) он совершил значительный прорыв в решении гипотезы Литтлвуда. [6]
Коэн был членом Американской академии искусств и наук . [7] США Национальная академия наук , [8] и Американское философское общество . [9] 2 июня 1995 года Коэн получил степень почётного доктора факультета науки и технологий Уппсальского университета , Швеция . [10]
Карьера [ править ]
Коэн известен разработкой математического метода, называемого принуждением , который он использовал, чтобы доказать, что ни гипотеза континуума (CH), ни аксиома выбора не могут быть доказаны на основе стандартных аксиом Цермело-Френкеля (ZF) теории множеств . В сочетании с более ранней работой Гёделя это показало, что оба этих утверждения логически независимы от аксиом ZF: эти утверждения не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты на основе этих аксиом. В этом смысле гипотеза континуума неразрешима и является наиболее широко известным примером естественного утверждения, независимого от стандартных аксиом ZF теории множеств.
За свой результат в области гипотезы континуума Коэн получил медаль Филдса по математике в 1966 году, а также Национальную медаль науки в 1967 году. [11] Медаль Филдса, которую выиграл Коэн, по состоянию на 2022 год остается единственной медалью Филдса, присуждаемой за работы в области математической логики.
Помимо своей работы в области теории множеств, Коэн также внес много ценных вкладов в анализ. Он был удостоен премии Мемориала Бошера в области математического анализа в 1964 году за статью «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах ». [12] и дал свое имя факторизационной теореме Коэна-Хьюитта .
Коэн был профессором математики в Стэнфордском университете . Он был приглашенным докладчиком на ICM в 1962 году в Стокгольме и в 1966 году в Москве.
Ангус Макинтайр из Лондонского университета Королевы Марии заявил о Коэне: «Он был пугающе умен, и нужно было быть наивным или исключительно альтруистичным, чтобы поставить свою «самую сложную проблему» Полу, которого я знал в 60-х». Далее он сравнил Коэна с Куртом Гёделем , сказав: «В истории этого предмета не произошло ничего более драматичного, чем их работа». [13] Сам Гёдель написал письмо Коэну в 1963 году, в черновике которого говорилось: «Позвольте мне повторить, что мне действительно приятно читать ваше доказательство независимости [зависимости] гипотезы con[inuum]». Я думаю, что во всех существенных отношениях вы предоставили наилучшие доказательства, а это случается нечасто. Чтение вашего доказательства произвело на меня такое же приятное впечатление, как просмотр действительно хорошей пьесы». [14]
Гипотеза континуума
Изучая гипотезу континуума, Коэн сказал в 1985 году, что у него «было ощущение, что люди считали проблему безнадежной, поскольку не было нового способа построения моделей теории множеств. безумие даже думать о проблеме». [15]
Точка зрения, которая, по мнению автора [Коэна], может в конечном итоге быть принята, заключается в том, что CH явно ложна. Основная причина принятия аксиомы бесконечности, вероятно, заключается в том, что мы считаем абсурдным думать, что процесс добавления только одного множества за раз может исчерпать всю Вселенную. Аналогично и с высшими аксиомами бесконечности. Сейчас — это мощность множества счетных ординалов, и это всего лишь специальный и простейший способ генерации более высокого кардинала. Набор [континуум], напротив, порождается совершенно новым и более мощным принципом, а именно аксиомой набора мощностей . Неразумно ожидать, что любое описание большего кардинала, которое пытается построить этот кардинал на основе идей, вытекающих из аксиомы замены , может когда-либо достичь .
Таким образом больше, чем , где и т. д. Эта точка зрения касается как невероятно богатый набор, данный нам одной смелой новой аксиомой, к которой невозможно приблизиться каким-либо поэтапным процессом построения. Возможно, последующие поколения увидят проблему яснее и выскажутся более красноречиво.
«Непреходящий и мощный продукт» работы Коэна над гипотезой континуума, который использовался «бесчисленным количеством математиков». [15] известно как «принуждение» и используется для построения математических моделей для проверки заданной гипотезы на истинность или ложность.
Незадолго до смерти Коэн прочитал лекцию с описанием своего решения проблемы гипотезы континуума на конференции, посвященной столетнему юбилею Гёделя в 2006 году в Вене . [16]
Смерть [ править ]
У Коэна и его жены Кристины (урожденной Карлс) было трое сыновей. Коэн умер 23 марта 2007 года в Стэнфорде, штат Калифорния , после заболевания легких . [17]
Избранные публикации [ править ]
- Коэн, Пол Джозеф (1958). «Темы теории единственности тригонометрических рядов» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 июля 2011 г. Проверено 19 февраля 2010 г.
- Коэн, Пол Джозеф (1960). «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах». амер. Дж. Математика . 82 (2): 191–212. дои : 10.2307/2372731 . JSTOR 2372731 . МР 0133397 .
- Коэн, Пол Джозеф (декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Бибкод : 1963PNAS...50.1143C . дои : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ПМК 221287 . ПМИД 16578557 .
- Коэн, Пол Джозеф (январь 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, II» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. Бибкод : 1964PNAS...51..105C . дои : 10.1073/pnas.51.1.105 . ПМК 300611 . ПМИД 16591132 .
- Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 151. ИСБН 978-0-486-46921-8 .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Леви, Дон (28 марта 2007 г.). «Пол Коэн, обладатель высшей в мире премии по математике, умер в возрасте 72 лет» . Стэнфордский отчет . Проверено 31 октября 2007 г.
- ^ Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс .
- ^ Макинтайр, AJ «Пол Джозеф Коэн». Архивировано 25 декабря 2010 г. в Wayback Machine , Лондонское математическое общество . По состоянию на 3 марта 2011 г. «Происхождение Коэна было скромным. Он родился в Лонг-Бранч, штат Нью-Джерси, 2 апреля 1934 года в семье польских иммигрантов».
- ^ Перейти обратно: а б Альберс, Дональд Дж.; Александерсон, Джеральд Л .; Рид, Констанс , ред. (1990), «Пол Коэн», «Больше математических людей» , Харкорт Брейс Йованович, стр. 42–58 .
- ^ Коэн 1958 .
- ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Пол Джозеф Коэн» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ «Пол Джозеф Коэн» . Американская академия искусств и наук . Проверено 22 августа 2022 г.
- ^ «Пол Дж. Коэн» . www.nasonline.org . Проверено 22 августа 2022 г.
- ^ «История участников APS» . search.amphilsoc.org . Проверено 22 августа 2022 г.
- ^ «Почетный доктор – Уппсальский университет, Швеция» . www.uu.se. Проверено 21 марта 2018 г.
- ^ «Национальная медаль президента в области науки: сведения о получателе - NSF - Национальный научный фонд» . www.nsf.gov . Проверено 21 марта 2018 г.
- ^ Коэн 1960 .
- ^ Дэвидсон, Кей (30 марта 2007 г.). «Пол Коэн — профессор Стэнфорда, признанный математик» . Хроники Сан-Франциско . Проверено 31 октября 2007 г.
- ^ Соломон Феферман , Редакционный проект Gödel: синопсис [1] с. 11.
- ^ Перейти обратно: а б Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 31 октября 2007 г.
- ^ Видео лекции Пола Коэна, шесть частей, Столетие Гёделя, Вена, 2006 г., на YouTube
- ^ Пирс, Джереми (2 апреля 2007 г.). «Пол Дж. Коэн, первопроходец математики, умер в возрасте 72 лет» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 13 июня 2020 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Акихиро Канамори , « Коэн и теория множеств », Бюллетень символической логики , том 14, номер 3, сентябрь 2008 г.
- Сарнак, Питер (декабрь 2007 г.). «Вспоминая Пола Коэна» (PDF) . МАА Фокус . 27 (9). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки: 21–22. ISSN 0731-2040 . Проверено 31 мая 2009 г.
Внешние ссылки [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/34px-Wikiquote-logo.svg.png)
- О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Пол Джозеф Коэн» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- Пол Джозеф Коэн в проекте «Математическая генеалогия»
- paulcohen.org - памятный сайт, посвященный жизни Пола Коэна.
- Стэнфордский некролог
- 1934 рождения
- смертей в 2007 г.
- Американские математики XX века
- Американские математики XXI века
- Американские люди польско-еврейского происхождения
- Выпускники Бруклинского колледжа
- Медалисты Филдса
- Приглашенные ученые Института перспективных исследований
- Члены Национальной академии наук США
- Лауреаты Национальной медали науки
- Люди из Лонг-Бранч, Нью-Джерси
- Теоретики множеств
- Выпускники средней школы Стуйвесант
- Выпускники Чикагского университета
- Математики из Нью-Йорка (штат)
- Члены Американского философского общества