Преобразование Лоренца

В физике преобразования Лоренца представляют собой шестипараметрическое семейство линейных преобразований из системы координат в пространстве-времени в другую систему координат, которая движется с постоянной скоростью относительно первой. Соответствующее обратное преобразование затем параметризуется отрицательным значением этой скорости. Преобразования названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Наиболее распространенная форма преобразования, параметризованная действительной константой. $v,$ представляющая скорость, ограниченную $направлением x$ , выражается как ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} ${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$ где $(t, x, y, z)$ и $(t', x', y', z')$ — координаты события в двух кадрах с началами координат, совпадающими в точке $t$ = $t'$ =0, где штрихованный кадр равен видно из незаштрихованной системы координат как движущееся со скоростью $v$ вдоль $оси x$ , где $c$ — скорость света , и ${\textstyle \gamma =\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{-1}}$ является фактором Лоренца . Когда скорость $v$ намного меньше $c$ , фактор Лоренца незначительно отличается от 1, но когда $v$ приближается $к c$ , $\gamma$ растет без ограничений. значение $v$ должно быть меньше, чем $c$ Чтобы преобразование имело смысл, .

Выразив скорость как ${\textstyle \beta ={\frac {v}{c}},}$ эквивалентная форма преобразования: ^{[ 3 ]} ${\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\\y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}$

Системы отсчета можно разделить на две группы: инерциальные (относительное движение с постоянной скоростью) и неинерциальные (ускоряющиеся, движущиеся по криволинейным траекториям, вращательное движение с постоянной угловой скоростью и т. д.). Термин «преобразования Лоренца» относится только к преобразованиям между инерциальными системами отсчета, обычно в контексте специальной теории относительности.

В каждой системе отсчета наблюдатель может использовать локальную систему координат (в данном контексте обычно декартовы координаты ) для измерения длин и часы для измерения временных интервалов. Событие — это то, что происходит в определенной точке пространства в определенный момент времени или, более формально, в точке пространства-времени . Преобразования связывают пространственные и временные координаты события , измеренные наблюдателем в каждом кадре. ^{[ номер 1 ]}

Они заменяют преобразование Галилея ньютоновской физики , которая предполагает абсолютные пространство и время (см. теорию относительности Галилея ). Преобразование Галилея является хорошим приближением только при относительных скоростях, намного меньших скорости света. Преобразования Лоренца обладают рядом неинтуитивных особенностей, которых нет в преобразованиях Галилея. Например, они отражают тот факт, что наблюдатели, движущиеся с разными скоростями, могут измерять разные расстояния , прошедшее время и даже разный порядок событий , но всегда так, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность скорости света — один из постулатов специальной теории относительности .

Исторически преобразования были результатом попыток Лоренца и других объяснить, как скорость света не зависит от системы отсчета , и понять симметрию законов электромагнетизма . Преобразования позже стали краеугольным камнем специальной теории относительности .

Преобразование Лоренца является линейным преобразованием . Это может включать в себя вращение пространства; Преобразование Лоренца без вращения называется усилением Лоренца . В пространстве Минковского — математической модели пространства-времени в специальной теории относительности — преобразования Лоренца сохраняют пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями. Это свойство является определяющим свойством преобразования Лоренца. Они описывают только преобразования, при которых пространственно-временное событие в начале координат остается фиксированным. Их можно рассматривать как гиперболическое вращение пространства Минковского. Более общий набор преобразований, который также включает в себя переводы, известен как группа Пуанкаре .

История

Многие физики, в том числе Вольдемар Фойгт , Джордж Фицджеральд , Джозеф Лармор и Хендрик Лоренц. ^{[ 4 ]} сам — обсуждал физику, подразумеваемую этими уравнениями, с 1887 года. ^{[ 5 ]} В начале 1889 года Оливер Хевисайд показал на основе уравнений Максвелла , что электрическое поле, окружающее сферическое распределение заряда, должно перестать иметь сферическую симметрию , когда заряд начинает двигаться относительно светоносного эфира . Затем Фитцджеральд предположил, что результат Хевисайда об искажении можно применить к теории межмолекулярных сил. Несколько месяцев спустя Фитцджеральд опубликовал гипотезу о том, что движущиеся тела сжимаются, чтобы объяснить загадочный результат эксперимента Майкельсона и Морли, проведенного в 1887 году с эфиром и ветром . В 1892 году Лоренц независимо представил ту же идею в более подробной форме, которая впоследствии была названа гипотезой сокращения Фитцджеральда-Лоренца . ^{[ 6 ]} Их объяснение было широко известно до 1905 года. ^{[ 7 ]}

Лоренц (1892–1904) и Лармор (1897–1900), верившие в гипотезу светоносного эфира, также искали преобразование, при котором уравнения Максвелла остаются инвариантными при преобразовании из эфира в движущуюся систему отсчета. Они расширили гипотезу сокращения Фитцджеральда-Лоренца и обнаружили, что необходимо также изменить временную координату (« местное время »). Анри Пуанкаре дал физическую интерпретацию местного времени (в первом порядке по v / c , относительная скорость двух систем отсчета, нормированная на скорость света) как следствие синхронизации часов в предположении, что скорость света постоянна. в движущихся кадрах. ^{[ 8 ]} Считается, что Лармор был первым, кто понял решающее свойство замедления времени, присущее его уравнениям. ^{[ 9 ]}

В 1905 году Пуанкаре первым признал, что преобразование обладает свойствами математической группы . и он назвал его в честь Лоренца. ^{[ 10 ]} Позже в том же году Альберт Эйнштейн опубликовал то, что сейчас называется специальной теорией относительности , выведя преобразование Лоренца при предположениях принципа относительности и постоянства скорости света в любой инерциальной системе отсчета и отказавшись от механистического эфира как ненужного. . ^{[ 11 ]}

Вывод группы преобразований Лоренца.

Событие — это то , что происходит в определенной точке пространства-времени или, в более общем смысле, в самой точке пространства-времени. В любой инерциальной системе отсчета событие задается временной координатой ct и набором декартовых координат $x, y, z$ для указания положения в пространстве в этой системе отсчета. Нижние индексы отмечают отдельные события.

Эйнштейна Из второго постулата относительности (инвариантности c ) следует, что:

c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\quad {\text{(lightlike separated events 1, 2)}}

( Д1 )

во всех инерциальных системах отсчета для событий, связанных световыми сигналами . Величина слева называется пространственно-временным интервалом между событиями $a 1 = (t 1, x 1, y 1, z 1)$ и $a 2 = (t 2, x 2, y 2, z 2)$ . Интервал между любыми двумя событиями, не обязательно разделенными световыми сигналами, на самом деле инвариантен, т. е. не зависит от состояния относительного движения наблюдателей в разных инерциальных системах отсчета, что показывается с помощью однородности и изотропии пространства . Таким образом, искомое преобразование должно обладать свойством, которое:

{\begin{aligned}&c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}\\[6pt]={}&c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}\quad {\text{(all events 1, 2)}}.\end{aligned}}

( Д2 )

где $(t, x, y, z)$ — координаты пространства-времени, используемые для определения событий в одном кадре, а $(t ’, x ’, y ’, z ’)$ — координаты в другом кадре. Прежде всего заметим, что ( D2 ) выполняется, если $произвольная четверка$ чисел $b$ добавляется $к событиям a 1$ и $a 2$ . Такие преобразования называются перемещениями пространства-времени и далее здесь не рассматриваются. Затем можно заметить, что линейное решение, сохраняющее начало более простой задачи, решает и общую задачу:

{\begin{aligned}&c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\\[6pt]{\text{or}}\quad &c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}=c^{2}t'_{1}t'_{2}-x'_{1}x'_{2}-y'_{1}y'_{2}-z'_{1}z'_{2}\end{aligned}}

( Д3 )

(решение, удовлетворяющее первой формуле, автоматически удовлетворяет и второй; см. поляризационное тождество ). Поиск решения более простой задачи — это всего лишь вопрос поиска в теории классических групп , сохраняющих билинейные формы различной сигнатуры. ^{[ номер 2 ]} Первое уравнение в ( D3 ) можно записать более компактно как:

(a,a)=(a',a')\quad {\text{or}}\quad a\cdot a=a'\cdot a',

( Д4 )

где $(\cdot, \cdot)$ относится к билинейной форме сигнатуры $(1, 3)$ на $R 4$ раскрывается формулой правой части в ( D3 ). Альтернативное обозначение, определенное справа, называется релятивистским скалярным произведением . Пространство-время математически рассматривается как $R 4$ известно как пространство Минковского $M.$ наделенное этой билинейной формой , Таким образом, преобразование Лоренца является элементом группы $O(1, 3)$ , группы Лоренца или, для тех, кто предпочитает другую метрическую сигнатуру , $O(3, 1)$ (также называемой группой Лоренца). ^{[ номер 3 ]} У одного есть:

(a,a)=(\Lambda a,\Lambda a)=(a',a'),\quad \Lambda \in \mathrm {O} (1,3),\quad a,a'\in M,

( Д5 )

что и есть сохранение билинейной формы ( D3 ), из чего следует (в силу линейности $Λ$ и билинейности формы), что ( D2 ) выполняется. Элементами группы Лоренца являются вращения , повышения и их сочетания. Если учитывать сдвиги пространства-времени, то получается неоднородная группа Лоренца или группа Пуанкаре .

Общие сведения

Отношения между координатами пространства-времени со штрихом и без штриха представляют собой преобразования Лоренца , каждая координата в одной системе отсчета является линейной функцией всех координат в другой системе отсчета, а обратные функции представляют собой обратное преобразование. В зависимости от того, как кадры движутся относительно друг друга и как они ориентированы в пространстве относительно друг друга, в уравнения преобразования входят и другие параметры, описывающие направление, скорость и ориентацию.

Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной (равномерной) скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются бустами Лоренца или просто бустами , а параметром преобразования является относительная скорость между кадрами. Другой основной тип преобразования Лоренца - это вращение только в пространственных координатах, подобные ускорениям являются инерционными преобразованиями, поскольку относительного движения нет, рамки просто наклонены (а не вращаются непрерывно), и в этом случае величины, определяющие вращение, являются параметры преобразования (например, представление оси-угла или углы Эйлера и т. д.). Комбинация вращения и повышения представляет собой однородное преобразование , которое преобразует начало координат обратно в начало координат.

Полная группа Лоренца $O(3, 1)$ также содержит специальные преобразования, которые не являются ни поворотами, ни ускорениями, а скорее отражениями в плоскости, проходящей через начало координат. Можно выделить два из них; пространственная инверсия , при которой пространственные координаты всех событий меняются местами, и временная инверсия , при которой временная координата каждого события меняет знак.

Ускорения не следует путать с простыми перемещениями в пространстве-времени; в этом случае системы координат просто смещаются и относительного движения нет. Однако они также считаются симметриями, обусловленными специальной теорией относительности, поскольку они оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Комбинация вращения с ускорением, за которым следует сдвиг пространства-времени, представляет собой неоднородное преобразование Лоренца , элемент группы Пуанкаре, которую еще называют неоднородной группой Лоренца.

Физическая формулировка повышения Лоренца

Преобразование координат

«Неподвижный» наблюдатель в системе координат $F$ определяет события с координатами $t, x, y, z$ . Другая система отсчета $F'$ движется со скоростью $v$ относительно $F$ , и наблюдатель в этой «движущейся» системе отсчета $F'$ определяет события с помощью координат $t', x', y', z'$ .

Оси координат в каждом кадре параллельны ( $оси x$ и $x'$ параллельны, $оси y$ и $y'$ параллельны, а $оси z$ и $z'$ параллельны), остаются взаимно перпендикулярными, а относительное движение происходит вдоль совпадающих $xx '$ оси. При $t = t' = 0$ начало обеих систем координат одинаковое: $(x, y, z) = (x', y', z') = (0, 0, 0)$ . Другими словами, время и положение на этом мероприятии совпадают. Если все это верно, то говорят, что системы координат находятся в стандартной конфигурации или синхронизированы .

Если наблюдатель в $F$ записывает событие $t, x, y, z$ , то наблюдатель в $F'$ записывает то же событие с координатами ^{[ 13 ]}

Повышение Лоренца (

x

направление )

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

где $v$ — относительная скорость между кадрами в $направлении x$ , $c$ — скорость света , а $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (строчная гамма ) — фактор Лоренца .

Здесь $v$ — параметр преобразования, для данного буста это постоянное число, но может принимать непрерывный диапазон значений. В используемой здесь установке положительная относительная скорость $v > 0$ — это движение вдоль положительных направлений осей $xx'$ , нулевая относительная скорость $v = 0$ — отсутствие относительного движения, а отрицательная относительная скорость $v < 0$ — относительное движение вдоль отрицательных направлений оси $xx'$ . Величина относительной скорости $v$ не может равняться или превышать $c$ только субсветовые скорости $— c < v < c$ , поэтому допускаются . Соответствующий диапазон $γ$ составляет $1 \leq γ < \infty$ .

Преобразования не определены, если $v$ находится за пределами этих пределов. При скорости света ( $v = c$ ) $γ$ бесконечно, а быстрее света ( $v > c$ ) $γ$ — комплексное число , каждое из которых делает преобразования нефизическими. Пространственные и временные координаты являются измеримыми величинами и численно должны быть действительными числами.

В качестве активного преобразования наблюдатель в F ' замечает, что координаты события «увеличиваются» в отрицательных направлениях осей $xx'$ из-за $- v$ в преобразованиях. Это имеет эквивалентный эффект системы координат F', усиленной в положительных направлениях осей $xx'$ , в то время как событие не меняется и просто представляется в другой системе координат, пассивное преобразование .

Обратные отношения ( $t, x, y, z$ через $t', x', y', z'$ ) можно найти путем алгебраического решения исходного набора уравнений. Более эффективный способ — использовать физические принципы. Здесь $F'$ — «неподвижный» кадр, а $F$ — «движущийся» кадр. Согласно принципу относительности, не существует привилегированной системы отсчета, поэтому преобразования из $F'$ в $F$ должны принимать точно такую же форму, как преобразования из $F$ в $F'$ . Единственная разница в том, что $F$ движется со скоростью $- v$ относительно $F'$ (т. е. относительная скорость имеет ту же величину, но противоположно направлена). Таким образом, если наблюдатель в $F'$ отмечает событие $t', x', y', z'$ , то наблюдатель в $F$ отмечает то же событие с координатами

Обратное усиление Лоренца (

x

направление )

${\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z',\end{aligned}}$

а значение $γ$ остается неизменным. Этот «трюк» простого изменения направления относительной скорости с сохранением ее величины и замены штрихованных и нештрихованных переменных всегда применим к нахождению обратного преобразования каждого повышения в любом направлении.

Иногда удобнее использовать $β = v / c$ (строчная бета ) вместо $v$ , так что ${\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}$ что гораздо яснее показывает симметрию преобразования. Из разрешенных диапазонов $v$ и определения $β$ следует $-1 < β < 1$ . Использование $β$ и $γ$ является стандартным во всей литературе.

Преобразования Лоренца также можно получить способом, напоминающим круговые вращения в трехмерном пространстве, с использованием гиперболических функций . Для повышения в $направлении x$ результаты следующие:

Повышение Лоренца (

направление x

с быстротой

ζ

)

${\begin{aligned}ct'&=ct\cosh \zeta -x\sinh \zeta \\x'&=x\cosh \zeta -ct\sinh \zeta \\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

где $ζ$ (строчная дзета ) — параметр, называемый быстротой (используется множество других символов, включая $θ, φ, φ, η, ψ, ξ$ ). Учитывая сильное сходство с поворотами пространственных координат в трехмерном пространстве в декартовых плоскостях xy, yz и zx, усиление Лоренца можно рассматривать как гиперболическое вращение координат пространства-времени в декартовых плоскостях xt, yt и zt. 4D пространство Минковского . Параметр $ζ$ — это гиперболический угол вращения, аналогичный обычному углу круговых вращений. Это преобразование можно проиллюстрировать диаграммой Минковского .

Гиперболические функции возникают из разницы между квадратами времени и пространственных координат в пространственно-временном интервале, а не из суммы. Геометрическое значение гиперболических функций можно визуализировать, приняв $x = 0$ или $ct = 0$ в преобразованиях . Возводя в квадрат и вычитая результаты, можно получить гиперболические кривые постоянных значений координат, но изменяющихся $ζ$ , что параметризует кривые по тождеству $\cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.$

И наоборот, $оси ct$ и $x$ могут быть построены для переменных координат, но постоянного $ζ$ . Определение $\tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,$ обеспечивает связь между постоянным значением быстроты и наклоном оси $ct$ в пространстве-времени. Следствием этих двух гиперболических формул является тождество, соответствующее фактору Лоренца. $\cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.$

Сравнивая преобразования Лоренца по относительной скорости и быстроте или используя приведенные выше формулы, связи между $β$ , $γ$ и $ζ$ таковы: ${\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}$

Взятие обратного гиперболического тангенса дает быстроту $\zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.$

Поскольку $-1 < β < 1$ , отсюда следует $-\infty < ζ < \infty$ . Из соотношения между $ζ$ и $β$ положительная быстрота $ζ > 0$ — это движение вдоль положительных направлений осей $xx'$ , нулевая быстрота $ζ = 0$ — отсутствие относительного движения, а отрицательная быстрота $ζ < 0$ — относительное движение вдоль отрицательных направлений оси. $хх'$ оси.

Обратные преобразования получаются путем замены величин со штрихом и без штриха для переключения систем координат и отрицания быстроты $ζ \to - ζ,$ поскольку это эквивалентно отрицанию относительной скорости. Поэтому,

Обратное усиление Лоренца (

направление x

с быстротой

ζ

)

${\begin{aligned}ct&=ct'\cosh \zeta +x'\sinh \zeta \\x&=x'\cosh \zeta +ct'\sinh \zeta \\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}$

Обратные преобразования можно аналогичным образом визуализировать, рассмотрев случаи, когда $x' = 0$ и $ct' = 0$ .

До сих пор преобразования Лоренца применялись к одному событию . Если есть два события, между ними существует пространственное разделение и временной интервал. преобразований Лоренца следует Из линейности , что можно выбрать два значения пространственных и временных координат, к каждому можно применить преобразования Лоренца, а затем вычесть их, чтобы получить преобразования Лоренца разностей;

${\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta x-v\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}$ с обратными отношениями ${\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}$

где $Δ$ ( дельта в верхнем регистре ) указывает на разницу величин; например, $Δ x = x 2 - x 1$ для двух значений $координат x$ и так далее.

Эти преобразования различий, а не пространственных точек или моментов времени, полезны по ряду причин:

в расчетах и экспериментах измеряются или представляют интерес длины между двумя точками или интервалами времени (например, длина движущегося транспортного средства или время, необходимое для перемещения из одного места в другое),
преобразования скорости можно легко получить, сделав разницу бесконечно малой и разделив уравнения, и повторив процесс для преобразования ускорения,
если системы координат никогда не совпадают (т. е. не находятся в стандартной конфигурации), и если оба наблюдателя могут договориться о событии $t 0, x 0, y 0, z 0$ в $F$ и $t 0', x 0', y 0' , z 0'$ в $F'$ , то они могут использовать это событие в качестве начала координат, а разности координат пространства-времени — это разности между их координатами и этим началом координат, например, $Δ x = x - x 0$ , $Δ x' = x' - х 0'$ и т. д.

Физические последствия

Критическим требованием преобразований Лоренца является неизменность скорости света, факт, использованный при их выводе и содержащийся в самих преобразованиях. Если в $F$ уравнение для импульса света вдоль $направления x$ имеет вид $x = ct$ , то в $F'$ преобразования Лоренца дают $x' = ct'$ , и наоборот, для любого $- c < v < c$ .

Для относительных скоростей, намного меньших скорости света, преобразования Лоренца сводятся к преобразованию Галилея. ${\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}$ в соответствии с принципом соответствия . Иногда говорят, что нерелятивистская физика — это физика «мгновенного действия на расстоянии». ^{[ 14 ]}

Три нелогичных, но правильных предсказания преобразований таковы:

Относительность одновременности: Предположим, что два события происходят вдоль оси x одновременно ( $Δ t = 0$ ) в $F$ , но разделены ненулевым смещением $Δ x$ . Тогда в $F'$ мы находим, что $\Delta t'=\gamma {\frac {-v\,\Delta x}{c^{2}}}$ , поэтому события больше не являются одновременными с точки зрения движущегося наблюдателя.
Замедление времени: находятся часы в состоянии покоя $Предположим, что в F$ . Если временной интервал измеряется в одной и той же точке этого кадра, так что $Δ x = 0$ , то преобразования дают этот интервал в $F'$ как $Δ t' = γ Δ t$ . покоятся часы $Обратно, предположим, что в F'$ . Если интервал измеряется в одной и той же точке этого кадра, так что $Δ x' = 0$ , то преобразования дают этот интервал в F по формуле $Δ t = γ Δ t'$ . В любом случае, каждый наблюдатель измеряет временной интервал между тиканьями движущихся часов так, чтобы он был в $γ$ раз длиннее , чем временной интервал между тиканьями его собственных часов.
Сокращение длины: находится стержень, $Предположим, что в F$ выровненный вдоль оси x, длиной $Δ x$ . В $F'$ стержень движется со скоростью $- v$ , поэтому его длину необходимо измерить, выполнив два одновременных ( $Δ t' = 0$ ) измерения на противоположных концах. В этих условиях обратное преобразование Лоренца показывает, что $Δ x = γ Δ x'$ . В $F$ поскольку стержень покоится в $F.$ два измерения уже не одновременны, но это не имеет значения , Таким образом, каждый наблюдатель измеряет расстояние между конечными точками движущегося стержня так, чтобы оно было в $1/ γ$ раз короче , чем конечные точки идентичного стержня, покоящегося в его собственной системе отсчета. Сокращение длины влияет на любую геометрическую величину, связанную с длиной, поэтому с точки зрения движущегося наблюдателя площади и объемы также будут уменьшаться в направлении движения.

Векторные преобразования

Использование векторов позволяет компактно выражать положения и скорости в произвольных направлениях. Одиночный импульс в любом направлении зависит от полного вектора относительной скорости $v$ с величиной $| в | = v$ , который не может быть равен или превышать $c$ , так что $0 \leq v < c$ .

Изменяются только время и координаты, параллельные направлению относительного движения, а координаты, перпендикулярные, — нет. Имея это в виду, разделите вектор пространственного положения $r,$ измеренный в $F$ , и $r'$ , измеренный в $F'$ , каждый на компоненты, перпендикулярные (⊥) и параллельные (‖) $v$ , $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,$ тогда преобразования ${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}$ где $\cdot$ – скалярное произведение . Фактор Лоренца $γ$ сохраняет свое определение для ускорения в любом направлении, поскольку он зависит только от величины относительной скорости. Определение $β = v / c$ с величиной $0 \leq β < 1$ также используется некоторыми авторами.

Вводя единичный вектор $n = v / v = β / β$ в направлении относительного движения, относительная скорость равна $v = v n$ с величиной $v$ и направлением $n$ , а векторная проекция и отклонение дают соответственно $\mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

Накопление результатов дает полные преобразования,

Повышение Лоренца ( в направлении

n

с величиной

v

)

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \,.\end{aligned}}$

Проекция и отклонение также применимы к $r'$ . Для обратных преобразований поменяйте местами $r$ и $r'$ , чтобы переключить наблюдаемые координаты, и отмените относительную скорость $v \to - v$ (или просто единичный вектор $n \to - n,$ поскольку величина $v$ всегда положительна), чтобы получить

Обратное усиление Лоренца ( в направлении

n

с величиной

v

)

${\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {\mathbf {r} '\cdot v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+(\gamma -1)(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} +\gamma t'v\mathbf {n} \,,\end{aligned}}$

Единичный вектор имеет то преимущество, что упрощает уравнения для одного повышения, позволяет $либо v,$ либо $β,$ восстановить $когда это удобно, а параметризация быстроты немедленно получается путем замены β$ и $βγ$ . Для многократного буста это не удобно.

Векторное соотношение между относительной скоростью и быстротой: ^{[ 15 ]} ${\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,$ а «вектор быстроты» можно определить как ${\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,$ каждый из которых служит полезным сокращением в некоторых контекстах. Величина $ζ$ — это абсолютное значение скаляра быстроты, ограниченное $0 \leq ζ < \infty$ , что соответствует диапазону $0 \leq β < 1$ .

Преобразование скоростей

Определение координатных скоростей и фактора Лоренца по формуле

\mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}

взятие дифференциалов по координатам и времени векторных преобразований, а затем деление уравнений приводит к

\mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]

Скорости $u$ и $u'$ — это скорость некоторого массивного объекта. Они также могут быть для третьей инерциальной системы отсчета (скажем F »), и в этом случае они должны быть постоянными . Обозначим любой объект через X. Тогда X движется со скоростью $u$ относительно F или, что то же самое, со скоростью $u'$ относительно F', в свою очередь F' движется со скоростью $v$ относительно F. Обратные преобразования можно получить аналогичным образом: или, как и в случае с координатами положения, поменяйте местами $u$ и $u'$ и измените $v$ на $- v$ .

Преобразование скорости полезно в звездной аберрации , эксперименте Физо и релятивистском эффекте Доплера .

Преобразования ускорения Лоренца можно получить аналогичным образом, взяв дифференциалы векторов скорости и разделив их на дифференциал времени.

Преобразование других величин

В общем, для данных четырех величин $A$ и $Z = (Z x, Z y, Z z)$ и их усиленных по Лоренцу аналогов $A'$ и $Z' = (Z' x, Z' y, Z' z)$ соотношение форма $A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '$ подразумевает преобразование величин при преобразованиях Лоренца, аналогично преобразованию координат пространства-времени; ${\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}$

Разложение $Z$ (и $Z'$ ) на компоненты, перпендикулярные и параллельные $v$ , точно такое же, как и для вектора положения, как и процесс получения обратных преобразований (обмен $(A, Z)$ и $(A', Z')$ переключить наблюдаемые величины и изменить направление относительного движения на противоположное путем замены $n \mapsto - n$ ).

Величины $(A, Z)$ вместе составляют четырехвектор , где $A$ — «времяподобный компонент», а $Z$ — «пространственноподобный компонент». Примеры $A$ и $Z$ :

Четырехвекторный	$А$	$С$
Позиция четырехвекторная	Время (умноженное на $с$ ), $кт$	Вектор положения , $r$
Четырехимпульсный	Энергия (деленная на $c$ ), $E / c$	Импульс , $п$
Четырехволновой вектор	угловая частота (деленная на $c$ ), $ω / c$	волновой вектор , $к$
Четырехспиновый	(Без имени), $с т$	Вращение , $с$
Четырехточечный	Плотность заряда (умноженная на $c$ ), $ρc$	Плотность тока , $Дж$
Электромагнитный четырехпотенциальный	Электрический потенциал (деленный на $c$ ), $φ / c$	Магнитный векторный потенциал , $А$

Для данного объекта (например, частицы, жидкости, поля, материала), если $A$ или $Z$ соответствуют свойствам, специфичным для объекта, таким как его плотность заряда , плотность массы , спин и т. д., его свойства могут быть зафиксированы в системе покоя этот объект. Тогда преобразования Лоренца придают соответствующие свойства в системе отсчета, движущейся относительно объекта с постоянной скоростью. Это нарушает некоторые представления, которые считаются само собой разумеющимися в нерелятивистской физике. Например, энергия $E$ объекта является скаляром в нерелятивистской механике, но не в релятивистской механике, поскольку энергия изменяется при преобразованиях Лоренца; ее значение различно для различных инерциальных систем отсчета. В системе покоя объекта он имеет энергию покоя и нулевой импульс. В усиленном кадре его энергия другая, и кажется, что он имеет импульс. Точно так же в нерелятивистской квантовой механике спин частицы является постоянным вектором, но в релятивистской квантовой механике спин $s$ зависит от относительного движения. В системе покоя частицы псевдовектор спина можно зафиксировать как ее обычный нерелятивистский спин с нулевой времениподобной величиной. $st .$ , однако усиленный наблюдатель увидит ненулевой времениподобный компонент и измененный спин ^{[ 16 ]}

Не все величины инвариантны в форме, показанной выше, например, орбитальный момент $L$ не имеет времениподобной величины, равно как и электрическое поле $E$ , и магнитное поле $B.$ угловой Определение углового момента: $L = r \times p$ , а в усиленной системе отсчета измененный угловой момент равен $L' = r' \times p'$ . Применение этого определения с использованием преобразований координат и импульса приводит к преобразованию углового момента. Оказывается $L$ преобразуется с другой векторной величиной $N = (E / c 2) r - t p,$ связанное с ускорением, см. в разделе «Релятивистский угловой момент» подробности . В случае $полей E$ и $B$ преобразования невозможно получить напрямую с помощью векторной алгебры. Сила Лоренца является определением этих полей, и в $F$ это $F = q (E + v \times B)$ , а в $F'$ это $F' = q (E' + v' \times B')$ . Метод эффективного получения преобразований электромагнитного поля, который также иллюстрирует единицы измерения электромагнитного поля, использует тензорную алгебру, приведенную ниже .

Математическая формулировка

Везде заглавные буквы, выделенные курсивом и нежирные, представляют собой матрицы 4×4, а буквы, выделенные не курсивом, — это матрицы 3×3.

Однородная группа Лоренца

Запись координат в вектор-столбцах и метрики Минковского $η$ в виде квадратной матрицы $X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$ пространственно-временной интервал принимает вид (верхний индекс $T$ обозначает транспонирование ) $X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}$ и инвариантен относительно преобразования Лоренца $X'=\Lambda X$ где $Λ$ — квадратная матрица, которая может зависеть от параметров.

Набор Лоренца всех преобразований $\Lambda$ в этой статье обозначено ${\mathcal {L}}$ . Этот набор вместе с умножением матриц образует группу , в данном контексте известную как группа Лоренца . Кроме того, приведенное выше выражение $X \cdot X$ представляет собой квадратичную форму сигнатуры (3,1) в пространстве-времени, а группа преобразований, которая оставляет эту квадратичную форму инвариантной, представляет собой неопределенную ортогональную группу O(3,1), группу Ли . Другими словами, группа Лоренца равна O(3,1). Как представлено в этой статье, любые упомянутые группы Ли являются матричными группами Ли . В этом контексте операция композиции сводится к умножению матриц .

Из инвариантности пространственно-временного интервала следует $\eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda$ и это матричное уравнение содержит общие условия преобразования Лоренца, обеспечивающие инвариантность пространственно-временного интервала. Взяв определитель уравнения с помощью правила произведения ^{[ номер 4 ]} дает немедленно $\left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1$

Записав метрику Минковского в виде блочной матрицы, а преобразование Лоренца в самом общем виде: $\eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,$ выполнение умножения блочной матрицы позволяет получить общие условия на $Γ, a, b, M$ для обеспечения релятивистской инвариантности. Не так уж много информации можно извлечь напрямую из всех условий, однако один из результатов $\Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$ полезен; $б Т b \geq 0$ всегда, поэтому отсюда следует, что $\Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1$

Отрицательное неравенство может быть неожиданным, поскольку $Γ$ умножает временную координату, и это влияет на временную симметрию . Если выполнено положительное равенство, то $Γ$ является фактором Лоренца.

Определитель и неравенство обеспечивают четыре способа классификации ( преобразований Лоренца ) здесь для краткости LT . Любая конкретная ЛП имеет только один знак определителя и только одно неравенство. Существует четыре набора, которые включают в себя все возможные пары, заданные пересечениями ( «n»-образный символ, означающий «и») этих классифицирующих наборов.

Пересечение, ∩	Антихронные (или неортохронные) LT ${\mathcal {L}}^{\downarrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \leq -1\}$	Ортохронные LT ${\mathcal {L}}^{\uparrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \geq 1\}$
Правильные LT ${\mathcal {L}}_{+}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=+1\}$	Правильные антихронные LT ${\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }$	Правильные ортохронные LT ${\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }$
Неправильные LT ${\mathcal {L}}_{-}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=-1\}$	Неправильные антихронные LT ${\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }$	Неправильные ортохронные LT ${\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }$

где «+» и «-» обозначают знак определителя, а «↑» для ≥ и «↓» для ≤ обозначают неравенства.

Полная группа Лоренца распадается на объединение («u»-образный символ, означающий «или») четырех непересекающихся множеств . ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$

Подгруппа замкнута группы должна быть той же операцией группы (здесь умножение матриц). Другими словами, для двух преобразований Лоренца $Λ$ и $L$ из конкретной подгруппы составные преобразования Лоренца $Λ L$ и $L Λ$ должны находиться в той же подгруппе, что и $Λ$ и $L$ . Это не всегда так: композиция двух антихронных преобразований Лоренца ортохронна, а композиция двух несобственных преобразований Лоренца — собственная. Другими словами, пока множества ${\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }$ , ${\mathcal {L}}_{+}$ , ${\mathcal {L}}^{\uparrow }$ , и ${\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$ все образуют подгруппы, множества, содержащие несобственные и/или антихронные преобразования без достаточного количества собственных ортохронных преобразований (например, ${\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }$ , ${\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$ , ${\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }$ ) не образуют подгрупп.

Правильные преобразования

Если лоренц-ковариантный 4-вектор измерен в одной инерциальной системе отсчета с результатом $X$ , и то же измерение, выполненное в другой инерциальной системе отсчета (с той же ориентацией и началом координат), дает результат $X'$ , два результата будут связаны соотношением $X'=B(\mathbf {v} )X$ где матрица повышения $B(\mathbf {v} )$ представляет собой преобразование Лоренца без вращения между незаштрихованными и заштрихованными кадрами и $\mathbf {v}$ - скорость штрихованной системы координат, если смотреть со стороны незаштрихованной системы координат. Матрица имеет вид ^{[ 17 ]} $B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{x}/c&-\gamma v_{y}/c&-\gamma v_{z}/c\\-\gamma v_{x}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{y}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{x}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{z}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{x}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{y}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {\beta }}^{T}\\-\gamma {\vec {\beta }}&I+(\gamma -1){\dfrac {{\vec {\beta }}{\vec {\beta }}^{T}}{\beta ^{2}}}\end{bmatrix}},$

где ${\textstyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$ - величина скорости и ${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ является фактором Лоренца. Эта формула представляет собой пассивное преобразование, поскольку описывает, как координаты измеряемой величины изменяются от незаштрихованной системы к штрихованной системе координат. Активное преобразование определяется выражением $B(-\mathbf {v} )$ .

Если кадр $F'$ увеличивается со скоростью $u$ относительно кадра $F$ , а другой кадр $F'$ увеличивается со скоростью $v$ относительно $F'$ , то отдельные повышения будут $X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X$ и композиция двух бустов соединяет координаты в $F "$ и $F$ , $X''=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.$ Последовательные преобразования действуют слева. Если $u$ и $v$ коллинеарны ( параллельны или антипараллельны вдоль одной и той же линии относительного движения), матрицы повышения коммутируют : $B (v) B (u) = B (u) B (v)$ . Это составное преобразование является еще одним усилением $B (w)$ , где $w$ коллинеарно $u$ и $v$ .

Если $u$ и $v$ не коллинеарны, а направлены в разные стороны, ситуация существенно усложняется. Повышение Лоренца по разным направлениям не коммутирует: $B (v) B (u)$ и $B (u) B (v)$ не равны. Хотя каждая из этих композиций не является единичным повышением, каждая композиция по-прежнему является преобразованием Лоренца, поскольку сохраняет пространственно-временной интервал. Оказывается, композиция любых двух усилений Лоренца эквивалентна повышению, за которым или которому предшествует вращение пространственных координат, в форме $R (ρ) B (w)$ или $B (w) R (ρ)$ . w $переменные$ и $w$ — составные скорости , а $ρ$ и $ρ$ — параметры вращения (например, оси-угла , углы Эйлера и т. д.). Вращение в форме блочной матрицы просто $\quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,$ где $R (ρ)$ — матрица трехмерного вращения , которая вращает любой трехмерный вектор в одном смысле (активное преобразование) или, что эквивалентно, систему координат в противоположном смысле (пассивное преобразование). Непросто и связать $w$ и $ρ$ (или $и$ ρ $)$ с исходными параметрами повышения $u$ w $v$ . В составе бустов $матрица R$ называется вращением Вигнера и порождает прецессию Томаса . В этих статьях приводятся явные формулы для составных матриц преобразования, включая выражения для $w, ρ, w, ρ$ .

В этой статье представление оси-угла используется $для ρ$ . Вращение происходит вокруг оси в направлении единичного вектора $e$ на угол $θ$ (положительный против часовой стрелки, отрицательный по часовой стрелке, согласно правилу правой руки ). «Вектор оси-угла» ${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e}$ будет служить полезным сокращением.

Сами по себе пространственные вращения также являются преобразованиями Лоренца, поскольку они оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Как и ускорения, последовательные вращения вокруг разных осей не коммутируют. В отличие от усилений, комбинация любых двух вращений эквивалентна одному вращению. Некоторые другие сходства и различия между матрицами повышения и вращения включают в себя:

inverses : $B (v) -1 = B (- v)$ (относительное движение в противоположном направлении) и $R (θ) -1 = R (- θ)$ (вращение в обратную сторону вокруг той же оси)
тождественное преобразование для отсутствия относительного движения/вращения: $B (0) = R (0) = I$
единицы определитель : $det(B) = det(R) = +1$ . Это свойство делает их правильными преобразованиями.
симметрия матрицы : $B$ симметричен (равен транспонированию ), а $R$ несимметричен, но ортогонален (транспонирован равняется обратному , $R Т = Р -1$ ).

Наиболее общее правильное преобразование Лоренца $Λ(v, θ)$ включает в себя одновременно повышение и вращение и является несимметричной матрицей. В особых случаях $Λ(0, θ) = R (θ)$ и $Λ (v, 0) = B (v)$ . Явный вид общего преобразования Лоренца записывать громоздко и здесь приводиться не будет. Тем не менее, выражения в замкнутой форме для матриц преобразования будут приведены ниже с использованием теоретико-групповых аргументов. Будет проще использовать параметризацию быстроты для повышения, и в этом случае пишут $Λ(ζ, θ)$ и $B (ζ)$ .

Группа Ли СО ⁺(3,1)

Набор трансформаций $\{B({\boldsymbol {\zeta }}),R({\boldsymbol {\theta }}),\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\}$ с умножением матриц, поскольку операция композиции образует группу, называемую «ограниченной группой Лоренца», и представляет собой специальную неопределенную ортогональную группу SO. ⁺(3,1). (Знак плюс указывает, что сохраняется ориентация временного измерения).

Для простоты взгляните на бесконечно малое усиление Лоренца в направлении x (исследование повышения в любом другом направлении или вращения вокруг любой оси следует идентичной процедуре). Бесконечно малое повышение - это небольшое повышение, отличающееся от идентичности, полученное путем разложения Тейлора матрицы повышения до первого порядка относительно $ζ = 0$ , $B_{x}=I+\zeta \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}+\cdots$ где не показанные члены более высокого порядка пренебрежимо малы, поскольку $ζ$ мало, а $B x$ — это просто матрица повышения в направлении x . Производная матрицы — это матрица производных (элементов по одной и той же переменной), и понятно, что производные сначала находятся, а затем оцениваются при $ζ = 0$ , $\left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}=-K_{x}\,.$

На данный момент $K x$ определяется этим результатом (его значение будет объяснено позже). В пределе бесконечного числа бесконечно малых шагов конечное преобразование буста в виде матричной экспоненты. получается $B_{x}=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\zeta }{N}}K_{x}\right)^{N}=e^{-\zeta K_{x}}$ где предельное определение экспоненты использовалось (см. также характеристики экспоненциальной функции ). В более общем плане ^{[ кол. 5 ]}

$B({\boldsymbol {\zeta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }\,,\quad R({\boldsymbol {\theta }})=e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\,.$

Вектор оси-угла $θ$ и вектор быстроты $ζ$ представляют собой шесть непрерывных переменных, которые составляют параметры группы (в этом конкретном представлении), а генераторами группы являются $K = (K x, K y, K z)$ и $J = (J x, J y, J z)$ , каждые векторы матриц с явными формами ^{[ номер 6 ]}

${\begin{alignedat}{3}K_{x}&={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\\[10mu]J_{x}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{alignedat}}$

Все они определяются аналогично $K x$ выше, хотя знаки минус в повышающих генераторах являются обычными. Физически генераторы группы Лоренца соответствуют важным симметриям в пространстве-времени: $J$ — генераторы вращения , соответствующие угловому моменту , а $K$ — буст-генераторы , соответствующие движению системы в пространстве-времени. Производная любой гладкой кривой $C (t)$ с $C (0) = I$ в группе, зависящей от некоторого параметра группы $t$ относительно этого параметра группы, оцененного при $t = 0$ , служит определением соответствующего генератора группы $G$ , и это отражает бесконечно малую трансформацию от идентичности. Гладкую кривую всегда можно рассматривать как экспоненту, поскольку экспонента всегда плавно отображает $G$ обратно в группу через $t \to exp(tG)$ для всех $t$ ; эта кривая снова даст $G$ при дифференцировании при $t = 0$ .

Разложение экспонент в ряд Тейлора дает $B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}$ $R({\boldsymbol {\theta }})=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}\,.$ которые компактно воспроизводят матрицы повышения и вращения, как указано в предыдущем разделе.

Было заявлено, что общее собственное преобразование Лоренца является продуктом ускорения и вращения. На бесконечно малом уровне произведение ${\begin{aligned}\Lambda &=(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{aligned}}$ является коммутативным, поскольку требуются только линейные члены (продукты типа $(θ \cdot J)(ζ \cdot K)$ и $(ζ \cdot K)(θ \cdot J)$ считаются членами более высокого порядка и ими можно пренебречь). Предельный переход, как и раньше, приводит к конечному преобразованию в виде экспоненты $\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }.$

Обратное также верно, но разложение конечного общего преобразования Лоренца на такие множители нетривиально. В частности, $e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\neq e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} },$ потому что генераторы не коммутируют. Описание того, как найти факторы общего преобразования Лоренца через повышение и вращение в принципе (это обычно не дает внятного выражения в терминах генераторов $J$ и $K$ ), см. Вращение Вигнера . Если, с другой стороны, разложение дается через образующие и нужно найти произведение через образующие, то формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа применяется .

Алгебра Ли so(3,1)

Генераторы Лоренца можно складывать или умножать на действительные числа, чтобы получить больше генераторов Лоренца. Другими словами, совокупность всех генераторов Лоренца $V=\{{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \}$ вместе с операциями обычного сложения матриц и умножения матрицы на число образует векторное пространство над действительными числами. ^{[ номер 7 ]} Генераторы $J x, J y, J z, K x, K y, K z$ образуют базисный набор V , а компоненты векторов оси-угла и быстроты $θ x, θ y, θ z, ζ x, ζ y, ζ z$ , — координаты генератора Лоренца относительно этого базиса. ^{[ номер 8 ]}

Три коммутационных соотношения генераторов Лоренца: $[J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad [K_{x},K_{y}]=-J_{z}\,,\quad [J_{x},K_{y}]=K_{z}\,,$ где скобка $[A, B] = AB - BA$ известна как коммутатор , а другие отношения могут быть найдены путем циклических перестановок компонентов x, y, z (т.е. замены x на y, y на z и z на х, повтор).

Эти коммутационные соотношения и векторное пространство образующих удовлетворяют определению алгебры Ли. ${\mathfrak {so}}(3,1)$ . Таким образом, алгебра Ли определяется как векторное пространство V над полем чисел и с бинарной операцией [ , ] (в данном контексте называемой скобкой Ли ) над элементами векторного пространства, удовлетворяющей аксиомам билинейности , альтернация и тождество Якоби . Здесь операция [, ] — это коммутатор, который удовлетворяет всем этим аксиомам, векторное пространство — это набор генераторов Лоренца V, как указано ранее, а поле — это набор действительных чисел.

Связь терминологии, используемой в математике и физике: Генератор группы — это любой элемент алгебры Ли. Групповой параметр — это компонента координатного вектора, представляющая произвольный элемент алгебры Ли относительно некоторого базиса. Таким образом, базис — это набор образующих, являющийся базисом алгебры Ли в обычном смысле векторного пространства.

Экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли, $\exp \,:\,{\mathfrak {so}}(3,1)\to \mathrm {SO} (3,1),$ обеспечивает взаимно однозначное соответствие между достаточно малыми окрестностями начала алгебры Ли и окрестностями единичного элемента группы Ли. В случае группы Лоренца экспоненциальное отображение — это просто матричная экспонента . В глобальном масштабе экспоненциальное отображение не является взаимно однозначным, но в случае группы Лоренца оно сюръективно (онто). Следовательно, любой групповой элемент в компоненте связности тождества может быть выражен как экспонента элемента алгебры Ли.

Неправильные преобразования

Преобразования Лоренца также включают инверсию четности. $P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}$ что сводит на нет только все пространственные координаты и обращение времени $T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}$ что отменяет только временную координату, поскольку эти преобразования оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Здесь $I$ — трехмерная единичная матрица . Оба они симметричны, являются своими обратными (см. инволюцию (математика) ), и каждый имеет определитель -1. Это последнее свойство делает их неправильными преобразованиями.

Если $Λ$ — собственное ортохронное преобразование Лоренца, то $T Λ$ — несобственное антихронное, $P Λ$ — несобственное ортохронное и $TP Λ = PT Λ$ — собственное антихронное.

Неоднородная группа Лоренца

Две другие пространственно-временные симметрии не были учтены. Чтобы пространственно-временной интервал был инвариантным, его можно показать ^{[ 18 ]} что необходимо и достаточно, чтобы преобразование координат имело вид $X'=\Lambda X+C$ где C — постоянный столбец, содержащий переводы во времени и пространстве. Если C ≠ 0, это неоднородное преобразование Лоренца или преобразование Пуанкаре . ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} Если C = 0, это однородное преобразование Лоренца . Преобразования Пуанкаре в этой статье далее не рассматриваются.

Тензорная формулировка

Контравариантные векторы

Записав общее матричное преобразование координат в виде матричного уравнения ${\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}$ позволяет преобразовывать другие физические величины, которые невозможно выразить в виде четырехвекторов; например, тензоры или спиноры любого порядка в 4-мерном пространстве-времени, которые необходимо определить. В соответствующих обозначениях тензорного индекса приведенное выше матричное выражение имеет вид ${x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },$

где нижние и верхние индексы обозначают ковариантные и контравариантные компоненты соответственно, ^{[ 21 ]} и соглашение о суммировании применяется . Стандартным соглашением является использование греческих индексов, которые принимают значение 0 для компонентов времени и 1, 2, 3 для компонентов пространства, тогда как латинские индексы просто принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов (противоположное для Ландау и Лифшиц). Обратите внимание, что первый индекс (читается слева направо) соответствует в матричном обозначении индексу строки . Второй индекс соответствует индексу столбца.

Матрица преобразования универсальна для всех четырехвекторов , а не только для четырехмерных координат пространства-времени. Если $A$ — любой четырехвектор, то в тензорных индексных обозначениях ${A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.$

Альтернативно, пишут $A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.$ в котором индексы со штрихом обозначают индексы A в штрихованном кадре. Для общего $n$ -компонентного объекта можно написать ${X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,$ где $Π$ — подходящее представление группы Лоренца , $матрица размера n \times n$ для каждого $Λ$ . В этом случае индексы не следует рассматривать как индексы пространства-времени (иногда называемые индексами Лоренца), и они имеют значения от $1$ до $n$ . Например, если $X$ — биспинор , то индексы называются индексами Дирака .

Ковариантные векторы

Существуют также векторные величины с ковариантными индексами. Они обычно получаются из соответствующих им объектов с контравариантными индексами посредством операции понижения индекса ; например, $x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },$ где $η$ — метрический тензор . (Связанная статья также предоставляет дополнительную информацию о том, что на самом деле представляет собой операция повышения и понижения индексов с математической точки зрения.) Обратное это преобразование определяется выражением $x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },$ где, если рассматривать его в виде матрицы, $η примечание$ является обратным к $η µν$ . Дело в том, что $η примечание = η μν$ . Это называется повышением индекса . Чтобы преобразовать ковариантный вектор $A µ$ , сначала повысьте его индекс, затем преобразуйте его по тому же правилу, что и для контравариантных $4$ -векторов, затем, наконец, понизьте индекс; ${A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.$

Но $\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },$

То есть это $(μ, ν)$ -компонента обратного преобразования Лоренца. Определяют (в виде обозначений), ${\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },$ и можно в этой записи написать ${A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.$

Теперь о тонкости. Подразумеваемое суммирование в правой части ${A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }$ пробегает индекс строки матрицы, представляющей $Λ -1$ . Таким образом, с точки зрения матриц это преобразование следует рассматривать как обратную транспозицию Λ $,$ действующую на вектор-столбец $A µ$ . То есть в чисто матричной записи $A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.$

Это означает, что ковариантные векторы (считаемые матрицами-столбцами) преобразуются в соответствии с двойственным представлением стандартного представления группы Лоренца. Это понятие обобщается на общие представления, просто замените $Λ$ на $Π(Λ)$ .

Тензоры

Если $A$ и $B$ — линейные операторы в векторных пространствах $и$ V $,$ то линейный оператор $A \otimes B$ может быть определен на тензорном произведении U $U$ и $V$ , обозначенном $U \otimes V$ согласно ^{[ 22 ]}

$(A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv,\qquad u\in U,v\in V,u\otimes v\in U\otimes V.$ (Т1)

Отсюда сразу ясно, что если $u$ и $v$ — четырехвекторы в $V$ , то $u \otimes v \in T 2 V \equiv V \otimes V$ преобразуется как

$u\otimes v\rightarrow \Lambda u\otimes \Lambda v={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\otimes {\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }u^{\nu }\otimes v^{\sigma }\equiv {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }w^{\nu \sigma }.$ (Т2)

На втором этапе используется билинейность тензорного произведения, а на последнем этапе определяется 2-тензор на компонентной форме, или, скорее, он просто переименовывает тензор $u \otimes v$ .

Эти наблюдения очевидным образом обобщаются на большее количество факторов, и, используя тот факт, что общий тензор в векторном пространстве $V$ можно записать как сумму коэффициентов (компонент!), умноженных на тензорные произведения базисных векторов и базисных ковекторов, можно прийти к закон преобразования для любой тензорной величины $T$ . Это дано ^{[ 23 ]}

$T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}={\Lambda ^{\alpha '}}_{\mu }{\Lambda ^{\beta '}}_{\nu }\cdots {\Lambda ^{\zeta '}}_{\rho }{\Lambda _{\theta '}}^{\sigma }{\Lambda _{\iota '}}^{\upsilon }\cdots {\Lambda _{\kappa '}}^{\zeta }T_{\sigma \upsilon \cdots \zeta }^{\mu \nu \cdots \rho },$ (Т3)

где $Λ x' п$ определено выше. Эту форму обычно можно свести к форме для общих $n$ -компонентных объектов, приведенной выше, с одной матрицей ( $Π(Λ)$ ), работающей с векторами-столбцами. Эта последняя форма иногда предпочтительнее; например, для тензора электромагнитного поля.

Преобразование электромагнитного поля

Преобразования Лоренца также можно использовать, чтобы проиллюстрировать, что магнитное поле $B$ и электрическое поле $E$ являются просто разными аспектами одной и той же силы — электромагнитной силы , как следствие относительного движения между электрическими зарядами и наблюдателями. ^{[ 24 ]} Тот факт, что электромагнитное поле проявляет релятивистские эффекты, становится очевидным, если провести простой мысленный эксперимент. ^{[ 25 ]}

Наблюдатель измеряет заряд в состоянии покоя в системе отсчета F. Наблюдатель обнаружит статическое электрическое поле. Поскольку заряд в этой системе координат неподвижен, электрический ток отсутствует, поэтому наблюдатель не наблюдает никакого магнитного поля.
Другой наблюдатель в системе F 'движется со скоростью $v$ относительно F и заряда. Этот наблюдатель видит другое электрическое поле, потому что заряд движется со скоростью $- v$ в системе покоя. Движение заряда соответствует электрическому току , поэтому наблюдатель в системе F' также видит магнитное поле.

Электрические и магнитные поля трансформируются иначе, чем пространство и время, но точно так же, как релятивистский угловой момент и вектор ускорения.

Тензор напряженности электромагнитного поля имеет вид $F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{x}&-{\frac {1}{c}}E_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{z}\\{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(SI units, signature }}(+,-,-,-){\text{)}}.$ в единицах СИ . В теории относительности гауссова система единиц часто предпочтительнее единиц СИ, даже в текстах, в которых основным выбором единиц являются единицы СИ, поскольку в ней электрическое поле $E$ и магнитная индукция $B$ имеют одни и те же единицы, создавая видимость электромагнитного поля. тензор более естественный. ^{[ 26 ]} Рассмотрим усиление Лоренца в $направлении x$ . Это дано ^{[ 27 ]} ${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(Gaussian units, signature }}(-,+,+,+){\text{)}},$ где тензор поля отображается рядом для упрощения использования в манипуляциях ниже.

Общий закон преобразования (Т3) принимает вид $F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.$

Для магнитного поля получаем ${\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{x}\\&=B_{x},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{z})+1\times \gamma B_{y}=\gamma B_{y}+\beta \gamma E_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{y}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_{y}+\gamma \times 1\times B_{z}=\gamma B_{z}-\beta \gamma E_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{z}\end{aligned}}$

Результаты по электрическому полю ${\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{x})+\gamma \gamma E_{x}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{x})+\gamma ^{2}E_{x}=E_{x}(1-\beta ^{2})\gamma ^{2}\\&=E_{x},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{y}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{z}=\gamma E_{y}-\beta \gamma B_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{y}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{z}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{y})=\gamma E_{z}+\beta \gamma B_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{z}.\end{aligned}}$

Здесь $β = (β, 0, 0)$ используется . Эти результаты можно обобщить ${\begin{aligned}\mathbf {E} _{\parallel '}&=\mathbf {E} _{\parallel }\\\mathbf {B} _{\parallel '}&=\mathbf {B} _{\parallel }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot },\end{aligned}}$ и не зависят от сигнатуры метрики. Для единиц СИ замените $E → .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}Е ⁄ с$ . Миснер, Торн и Уилер (1973) называют эту последнюю форму представлением $3 + 1$ , в отличие от геометрического представления, представленного тензорным выражением. $F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu },$ и подчеркните легкость, с которой $3 + 1$ можно получить и понять результаты, которых трудно достичь с помощью представления . Только объекты, которые имеют четко определенные свойства преобразования Лоренца (фактически при любом плавном преобразовании координат), являются геометрическими объектами. С геометрической точки зрения электромагнитное поле представляет собой шестимерный геометрический объект в пространстве-времени в отличие от двух взаимозависимых, но отдельных трехвекторных полей в пространстве и времени . Поля $E$ (только) и $B$ (только) не имеют четко определенных свойств преобразования Лоренца. Математической основой являются уравнения (T1) и (T2), которые немедленно приводят к (T3) . Следует отметить, что штрихованные и нештрихованные тензоры относятся к одному и тому же событию в пространстве-времени . Таким образом, полное уравнение с зависимостью от пространства-времени имеет вид $F^{\mu '\nu '}\left(x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }\left(\Lambda ^{-1}x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }(x).$

Сокращение длины влияет на плотность заряда $ρ$ и плотность тока $J$ , а замедление времени влияет на скорость потока заряда (тока), поэтому распределения заряда и тока должны соответствующим образом трансформироваться при повышении напряжения. Оказывается, они трансформируются точно так же, как четыре вектора пространства-времени и энергии-импульса: ${\begin{aligned}\mathbf {j} '&=\mathbf {j} -\gamma \rho v\mathbf {n} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right),\end{aligned}}$

или, в более простом геометрическом представлении, $j^{\mu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }j^{\mu }.$

Плотность заряда преобразуется как временная составляющая четырехвектора. Это вращательный скаляр. Плотность тока является 3-векторной.

Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Спиноры

Уравнение (T1) остается неизменным для любого представления группы Лоренца, включая биспинорное представление. В (T2) просто заменяются $все вхождения Λ$ биспинорным представлением $Π(Λ)$ ,

${\begin{aligned}u\otimes v\rightarrow \Pi (\Lambda )u\otimes \Pi (\Lambda )v&={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }u^{\beta }\otimes {\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }\\&={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }u^{\beta }\otimes v^{\sigma }\\&\equiv {\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }w^{\beta \sigma }\end{aligned}}$ (Т4)

Приведенное выше уравнение могло бы, например, представлять собой преобразование состояния в пространстве Фока, описывающее два свободных электрона.

Трансформация общих полей

Общее невзаимодействующее многочастичное состояние (состояние пространства Фока) в квантовой теории поля преобразуется по правилу ^{[ 28 ]}

{\begin{aligned}&U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\\={}&e^{-ia_{\mu }\left[(\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots \right]}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\left(\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}\left[W(\Lambda ,p_{1})\right]D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}\left[W(\Lambda ,p_{2})\right]\cdots \right)\Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2};\cdots },\end{aligned}}

( 1 )

где $W (Λ, p)$ — вигнеровское вращение , а $D (Дж)$ является $(2 j + 1)$ -мерным представлением $SO(3)$ .

См. также

Сноски

^ Можно представить, что в каждой инерциальной системе отсчета есть наблюдатели, расположенные в пространстве, каждый из которых имеет синхронизированные часы и находится в состоянии покоя в определенной инерциальной системе отсчета. Эти наблюдатели затем отчитываются в центральный офис, где собираются все отчеты. Когда говорят о конкретном наблюдателе, имеется в виду тот, кто имеет, по крайней мере в принципе, копию этого отчета. См., например, Сард (1970) .
^ Отдельные требования трех уравнений приводят к трем различным группам. Второе уравнение удовлетворяется для сдвигов пространства-времени в дополнение к преобразованиям Лоренца, приводящим к группе Пуанкаре или неоднородной группе Лоренца . Первое уравнение (или второе, ограниченное светоподобным разделением) приводит к еще большей группе — конформной группе пространства-времени.
^ Группы $O(3, 1)$ и $O(1, 3)$ изоморфны. Широко распространено мнение, что выбор между двумя метрическими сигнатурами не имеет физического значения, хотя некоторые объекты, относящиеся к $O(3, 1)$ и $O(1, 3)$ соответственно, например, алгебры Клиффорда, соответствующие различным сигнатурам билинейные формы, связанные с двумя группами, неизоморфны.
^ Для двух квадратных матриц $A$ и $B$ ) $det(AB = det(A)det(B)$
^ Явно, ${\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} =\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{z}K_{z}$ ${\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} =\theta _{x}J_{x}+\theta _{y}J_{y}+\theta _{z}J_{z}$
^ В квантовой механике , релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля для этих матриц используется другое соглашение; все правые части умножаются на коэффициент мнимой единицы $i = \sqrt -1$ .
^ До сих пор термин «вектор» относился исключительно к « евклидову вектору », примерами являются положение $r$ , скорость $v$ и т. д. Термин «вектор» применяется гораздо шире, чем евклидовы векторы, векторы-строки или столбцы и т. д., см. Линейный алгебра и векторное пространство для деталей. Генераторы группы Ли также образуют векторное пространство над полем чисел (например, вещественных чисел , комплексных чисел ), поскольку линейная комбинация генераторов также является генератором. Они просто живут в другом пространстве, чем векторы положения в обычном трехмерном пространстве.
^ В обычном трехмерном позиционном пространстве вектор положения $r = x e x + y e y + z e z$ выражается как линейная комбинация декартовых единичных векторов $e x, e y, e z, которые образуют базис, и декартовых единичных векторов e x , e y , e z$ , которые образуют базис, и декартовых координаты $x, y, z$ являются координатами относительно этого базиса.

Примечания

^ Рао, К.Н. Шриниваса (1988). Группы вращения и Лоренца и их представления для физиков (иллюстрированное издание). Джон Уайли и сыновья. п. 213. ИСБН 978-0-470-21044-4 . Уравнение 6-3.24, стр. 210
^ Форшоу и Смит, 2009 г.
^ Коттингем и Гринвуд 2007 , с. 21
^ Лоренц 1904 г.
^ О'Коннор и Робертсон, 1996 г.
^ Браун 2003
^ Ротман 2006 , стр. 112f.
^ Дарригол 2005 , стр. 1–22
^ Макроссан 1986 , стр. 232–34
^ Ссылка находится в следующей статье: Пуанкаре 1905 , стр. 1504–1508.
^ Эйнштейн 1905 , стр. 891–921.
^ Янг и Фридман, 2008 г.
^ Форшоу и Смит, 2009 г.
^ Эйнштейн 1916 г.
^ Барут 1964 , с. 18–19
^ Чайчян и Хагедорн 1997 , с. 239
^ Фурри, Вашингтон (1 ноября 1955 г.). «Преобразование Лоренца и прецессия Томаса» . Американский журнал физики . 23 (8): 517–525. Бибкод : 1955AmJPh..23..517F . дои : 10.1119/1.1934085 . ISSN 0002-9505 .
^ Вайнберг 1972 г.
^ Вайнберг 2005 , стр. 55–58.
^ Олссон 2011 , стр. 3–9.
^ Деннери и Кшивицкий 2012 , стр. 138.
^ Зал 2003 , Глава 4
^ Кэрролл 2004 , с. 22
^ Грант и Филлипс, 2008 г.
^ Гриффитс 2007
^ Джексон 1975 , с. ^{[ нужна страница ]}
^ Миснер, Торн и Уиллер, 1973 г.
^ Вайнберг 2002 , Глава 3.

Ссылки

Веб-сайты

О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1996), История специальной теории относительности
Браун, Харви Р. (2003), Майкельсон, Фитцджеральд и Лоренц: новый взгляд на истоки теории относительности

Статьи

Кушинг, Дж. Т. (1967). «Векторные преобразования Лоренца» . Американский журнал физики . 35 (9): 858–862. Бибкод : 1967AmJPh..35..858C . дои : 10.1119/1.1974267 .
Макфарлейн, Эй Джей (1962). «Об ограниченной группе Лоренца и гомоморфно связанных с ней группах». Журнал математической физики . 3 (6): 1116–1129. Бибкод : 1962JMP.....3.1116M . дои : 10.1063/1.1703854 . hdl : 2027/mdp.39015095220474 .
Ротман, Тони (2006), «Затерянные в тени Эйнштейна» (PDF) , American Scientist , 94 (2): 112f
Дарригол, Оливье (2005), «Происхождение теории относительности» (PDF) , Séminaire Poincaré , 1 : 1–22, Бибкод : 2006eins.book....1D , doi : 10.1007/3-7643-7436- 5_1 , ISBN 978-3-7643-7435-8
Макроссан, Майкл Н. (1986), «Заметки об относительности до Эйнштейна» , Бр. Дж. Филос. наук. , 37 (2): 232–34, CiteSeerX 10.1.1.679.5898 , doi : 10.1093/bjps/37.2.232 , заархивировано из оригинала 29 октября 2013 г. , получено 2 апреля 2007 г.
Пуанкаре, Анри (1905), «О динамике электрона» , Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences , 140 : 1504–1508.
Эйнштейн, Альберт (1905), «К электродинамике движущихся тел» (PDF) , Annals of Physics , 322 (10): 891–921, Бибкод : 1905AnP...322..891E , doi : 10.1002/andp.19053221004 . См. также: английский перевод .
Лоренц, Хендрик Антон (1904). «Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью, меньшей скорости света» . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук . 6 : 809–831.
Эйнштейн, А. (1916). Теория относительности: специальная и общая теория . Проверено 23 января 2012 г. Эйнштейн, А. (1916). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Three Rivers Press (опубликовано в 1995 г.). ISBN 978-0-517-88441-6 – через Справочный архив Альберта Эйнштейна.
Унгар, А.А. (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы преобразований Лоренца». Основы физики письма . 1 (1): 55–89. Бибкод : 1988FoPhL...1...57U . дои : 10.1007/BF00661317 . ISSN 0894-9875 . S2CID 121240925 . уравнение (55).
Унгар, А.А. (1989). «Парадокс релятивистского скоростного состава и вращение Томаса». Основы физики . 19 (11): 1385–1396. Бибкод : 1989FoPh...19.1385U . дои : 10.1007/BF00732759 . S2CID 55561589 .
Унгар, А.А. (2000). «Релятивистский принцип взаимности составных скоростей». Основы физики . 30 (2): 331–342. CiteSeerX 10.1.1.35.1131 . дои : 10.1023/А:1003653302643 . S2CID 118634052 .
Мокану, CI (1986). «Некоторые трудности в рамках релятивистской электродинамики». Архив электротехники . 69 (2): 97–110. дои : 10.1007/bf01574845 . S2CID 123543303 .
Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского скоростного состава и вращении Томаса». Основы физики . 5 (5): 443–456. Бибкод : 1992FoPhL...5..443M . дои : 10.1007/bf00690425 . S2CID 122472788 .
Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей, том I. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55001-7 .

Книги

Барут, Асим Орхан (1964). Электродинамика и классическая теория полей и частиц . Макмиллан. ISBN 978-0-486-64038-9 .
Деннери, Филипп; Кшивицкий, Андре (2012). Математика для физиков . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-15712-2 .
Коттингем, Западная Нью-Йорк; Гринвуд, Д.А. (2007). Введение в стандартную модель физики элементарных частиц (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-46221-1 .
Янг, HD; Фридман, РА (2008). Университетская физика - с современной физикой (12-е изд.). Пирсон Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-50130-1 .
Халперн, А. (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаум. Мак Грау Хилл. п. 688. ИСБН 978-0-07-025734-4 .
Форшоу, младший; Смит, АГ (2009). Динамика и относительность . Манчестерская серия по физике. John Wiley & Sons Ltd., стр. 124–126. ISBN 978-0-470-01460-8 .
Уилер, Дж.А. ; Тейлор, Э. Ф. (1971). Физика пространства-времени . Фриман. ISBN 978-0-7167-0336-5 .
Уилер, Дж.А. ; Торн, Канзас ; Миснер, CW (1973). Гравитация . Фриман. ISBN 978-0-7167-0344-0 .
Кэрролл, С.М. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности (иллюстрированное издание). Эддисон Уэсли. п. 22. ISBN 978-0-8053-8732-2 .
Грант, И.С.; Филлипс, WR (2008). «14». Электромагнетизм . Манчестерская физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9 .
Гриффитс, диджей (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2 .
Холл, Брайан С. (2003). Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение . Спрингер . ISBN 978-0-387-40122-5 .
Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . Уайли. ISBN 978-0-471-92567-5 .
Вайнберг, С. (2008), Космология , Wiley, ISBN 978-0-19-852682-7
Вайнберг, С. (2005), Квантовая теория полей (3 тома) , том. 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-67053-1
Олссон, Т. (2011), Релятивистская квантовая физика , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-76726-2
Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. Классическая механика (2-е изд.). Ридинг MA: Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-02918-5 .
Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . стр. 542–545 . ISBN 978-0-471-43132-9 .
Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . стр. 9–12. ISBN 0-7506-2768-9 .
Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1977) [1963]. «15». Фейнмановские лекции по физике . Том. 1. Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-02117-2 .
Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1977) [1964]. «13». Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-02117-2 .
Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0 .
Риндлер, В. (2006) [2001]. «Глава 9». Специальная, общая и космологическая теория относительности (2-е изд.). Даллас: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-856732-5 .
Райдер, Л.Х. (1996) [1985]. Квантовая теория поля (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521478144 .
Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0805384918 .
Сексл, RU; Урбантке, Гонконг (2001) [1992]. Теория относительности, Группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц . Спрингер. ISBN 978-3211834435 .
Гургульон, Эрик (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц к астрофизике . Спрингер. п. 213. ИСБН 978-3-642-37276-6 .
Чайчян, Масуд; Хагедорн, Рольф (1997). Симметрия в квантовой механике: От углового момента к суперсимметрии . ИоП. п. 239. ИСБН 978-0-7503-0408-5 .
Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9 .

Дальнейшее чтение

Эрнст, А.; Сюй, Ж.-П. (2001), «Первое предложение Фойгта 1887 года об универсальной скорости света» (PDF) , Китайский журнал физики , 39 (3): 211–230, Бибкод : 2001ChJPh..39..211E , заархивировано из оригинала ( PDF) от 16 июля 2011 г.
Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2004), Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.), Бельмонт, [Калифорния]: Brooks/Cole, стр. 546–579, ISBN 978-0-534-40896-1
Фойгт, Вольдемар (1887), «О принципе Доплера», Новости Королевского научного общества в Геттингене , 2 : 41–51.

Внешние ссылки

Вывод преобразований Лоренца . Эта веб-страница содержит более подробный вывод преобразования Лоренца с особым акцентом на групповые свойства.
Парадокс специальной теории относительности . Эта веб-страница представляет проблему, решением которой является преобразование Лоренца, графически представленное на следующей странице.
Относительность. Архивировано 29 августа 2011 г. в Wayback Machine - глава из онлайн-учебника.
Деформационный симулятор специальной теории относительности . Компьютерная программа, демонстрирующая преобразования Лоренца на предметах повседневного пользования.
Анимационный клип на YouTube, визуализирующий преобразование Лоренца.
Видео MinutePhysics на YouTube, объясняющее и визуализирующее преобразование Лоренца с помощью механической диаграммы Минковского.
Интерактивный график на Desmos (график), показывающий преобразования Лоренца с виртуальной диаграммой Минковского
Интерактивный график на Desmos, показывающий преобразования Лоренца с точками и гиперболами.
Кадры Лоренца, анимация Джона де Пиллиса. Онлайн Flash-анимации систем Галилея и Лоренца, различных парадоксов, явлений ЭМ-волн и т. д .

[4] Можно представить, что в каждой инерциальной системе отсчета есть наблюдатели, расположенные в пространстве, каждый из которых имеет синхронизированные часы и находится в состоянии покоя в определенной инерциальной системе отсчета. Эти наблюдатели затем отчитываются в центральный офис, где собираются все отчеты. Когда говорят о конкретном наблюдателе, имеется в виду тот, кто имеет, по крайней мере в принципе, копию этого отчета. См., например, Сард (1970) .

[13] Отдельные требования трех уравнений приводят к трем различным группам. Второе уравнение удовлетворяется для сдвигов пространства-времени в дополнение к преобразованиям Лоренца, приводящим к группе Пуанкаре или неоднородной группе Лоренца . Первое уравнение (или второе, ограниченное светоподобным разделением) приводит к еще большей группе — конформной группе пространства-времени.

[14] Группы $O(3, 1)$ и $O(1, 3)$ изоморфны. Широко распространено мнение, что выбор между двумя метрическими сигнатурами не имеет физического значения, хотя некоторые объекты, относящиеся к $O(3, 1)$ и $O(1, 3)$ соответственно, например, алгебры Клиффорда, соответствующие различным сигнатурам билинейные формы, связанные с двумя группами, неизоморфны.

[20] Для двух квадратных матриц $A$ и $B$ ) $det(AB = det(A)det(B)$

[22] Явно, ${\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} =\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{z}K_{z}$ ${\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} =\theta _{x}J_{x}+\theta _{y}J_{y}+\theta _{z}J_{z}$

[23] В квантовой механике , релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля для этих матриц используется другое соглашение; все правые части умножаются на коэффициент мнимой единицы $i = \sqrt -1$ .

[24] До сих пор термин «вектор» относился исключительно к « евклидову вектору », примерами являются положение $r$ , скорость $v$ и т. д. Термин «вектор» применяется гораздо шире, чем евклидовы векторы, векторы-строки или столбцы и т. д., см. Линейный алгебра и векторное пространство для деталей. Генераторы группы Ли также образуют векторное пространство над полем чисел (например, вещественных чисел , комплексных чисел ), поскольку линейная комбинация генераторов также является генератором. Они просто живут в другом пространстве, чем векторы положения в обычном трехмерном пространстве.

[25] В обычном трехмерном позиционном пространстве вектор положения $r = x e x + y e y + z e z$ выражается как линейная комбинация декартовых единичных векторов $e x, e y, e z, которые образуют базис, и декартовых единичных векторов e x , e y , e z$ , которые образуют базис, и декартовых координаты $x, y, z$ являются координатами относительно этого базиса.

[1] Рао, К.Н. Шриниваса (1988). Группы вращения и Лоренца и их представления для физиков (иллюстрированное издание). Джон Уайли и сыновья. п. 213. ИСБН 978-0-470-21044-4 . Уравнение 6-3.24, стр. 210

[2] Форшоу и Смит, 2009 г.

[3] Коттингем и Гринвуд 2007 , с. 21

[5] Лоренц 1904 г.

[6] О'Коннор и Робертсон, 1996 г.

[7] Браун 2003

[8] Ротман 2006 , стр. 112f.

[9] Дарригол 2005 , стр. 1–22

[10] Макроссан 1986 , стр. 232–34

[11] Ссылка находится в следующей статье: Пуанкаре 1905 , стр. 1504–1508.

[12] Эйнштейн 1905 , стр. 891–921.

[15] Янг и Фридман, 2008 г.

[16] Форшоу и Смит, 2009 г.

[17] Эйнштейн 1916 г.

[18] Барут 1964 , с. 18–19

[19] Чайчян и Хагедорн 1997 , с. 239

[21] Фурри, Вашингтон (1 ноября 1955 г.). «Преобразование Лоренца и прецессия Томаса» . Американский журнал физики . 23 (8): 517–525. Бибкод : 1955AmJPh..23..517F . дои : 10.1119/1.1934085 . ISSN 0002-9505 .

[26] Вайнберг 1972 г.

[27] Вайнберг 2005 , стр. 55–58.

[28] Олссон 2011 , стр. 3–9.

[29] Деннери и Кшивицкий 2012 , стр. 138.

[30] Зал 2003 , Глава 4

[31] Кэрролл 2004 , с. 22

[32] Грант и Филлипс, 2008 г.

[33] Гриффитс 2007

[34] Джексон 1975 , с. ^{[ нужна страница ]}

[35] Миснер, Торн и Уиллер, 1973 г.

[36] Вайнберг 2002 , Глава 3.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ номер 1 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ номер 2 ]

[ номер 3 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ номер 4 ]

[ 17 ]

[ кол. 5 ]

[ номер 6 ]

[ номер 7 ]

[ номер 8 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]