Изопериметрическое неравенство

В математике изопериметрическое неравенство представляет собой геометрическое неравенство , включающее периметр набора и его объема. В $n$-Сырное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ Неравенство снижает площадь поверхности или периметр $\operatorname {per} (S)$ набора $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ по его объему $\operatorname {vol} (S)$,

$\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}$,

где $B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ это единичная сфера . Равенство сохраняется только тогда, когда $S$ это сфера в $\mathbb {R} ^{n}$.

На самолете, т.е. Когда $n=2$Изопериметрическое неравенство связывает квадрат окружности закрытой кривой и площади плоской области, которую он прилагает. Изопериметрическая буквально означает «наличие того же периметра ». Конкретно в $\mathbb {R} ^{2}$Изопериметрическое неравенство утверждает, для длины L от закрытой кривой и области A планарной области, которую она прилагает, что

$L^{2}\geq 4\pi A,$

И это равенство удерживается тогда и только тогда, когда кривая - круг.

Изопериметрическая задача состоит в том, чтобы определить плоскую фигуру максимально возможной области, граница которой имеет указанную длину. Тесно связанная проблема Дидона просит область максимальной области, ограниченной прямой линией и криволинейной дугой , конечные точки которых принадлежат этой линии. Он назван в честь Dido , легендарного основателя и первой королевы Карфагена . Решение изопериметрической проблемы определяется кругом и было известно уже в древней Греции . Однако первое математически строгое доказательство этого факта было получено только в 19 веке. С тех пор было найдено много других доказательств.

Изопериметрическая проблема была расширена несколькими способами, например, на кривые на поверхностях и в области в более высоких пространствах. Возможно, наиболее знакомым физическим проявлением трехмерного изопериметрического неравенства является форма капли воды. А именно, капля обычно принимает симметричную круглую форму. Поскольку количество воды в капле фиксируется, поверхностное натяжение заставляет каплю в форму, которая минимизирует площадь поверхности капли, а именно круглую сферу.

Изопериметрическая проблема в плоскости

Если регион не выпуклый, «вмятина» в его границе может быть «перевернута», чтобы увеличить площадь региона, сохраняя при этом периметр неизменным.

Удлиненная форма может быть сделана более круглой, сохраняя его периметр фиксированным и увеличивая ее площадь.

Классическая изопериметрическая проблема восходит к древности. Проблема может быть указана следующим образом: среди всех закрытых кривых в плоскости фиксированного периметра, какая кривая (если таковая имеется) максимизирует площадь закрытой области? Этот вопрос может быть показан как эквивалент следующей задачи: среди всех закрытых кривых в плоскости, окружающей фиксированную область, какая кривая (если таковая имеется) сводит к минимуму периметр?

Эта проблема концептуально связана с принципом наименее действий в физике , поскольку она может быть пересмотрена: каков принцип действия, который заключает наибольшую область, с наибольшей экономикой усилий? Философ и ученый 15-го века, кардинал Николас из CUSA , считал вращательное действие, процесс, посредством которого генерируется круг , является наиболее прямым отражением в сфере сенсорных впечатлений, посредством которого создается вселенная. Немецкий астроном и астролог Йоханнес Кеплер призвал изопериметрический принцип в обсуждении морфологии солнечной системы в Mysterium cosmographicum ( Священная тайна Космоса , 1596).

Хотя круг, по -видимому, является очевидным решением проблемы, доказать этот факт довольно сложно. Первый прогресс к решению был достигнут швейцарским геометром Якобом Штайнером в 1838 году, используя геометрический метод, позже названный Симметризацией Штайнера . Штайнер показал, что если решение существовало, то это должен быть круг. Доказательство Штейнера было завершено позже несколькими другими математиками.

Штайнер начинает с некоторых геометрических конструкций, которые легко понятны; Например, можно показать, что любая закрытая кривая, включающая область, которая не является полностью выпуклой, может быть модифицирована, чтобы охватить большую площадь, «переворачивая» вогнутые области, чтобы они стали выпуклой. Далее можно показать, что любая закрытая кривая, которая не является полностью симметричной, может быть «наклоненной», так что она прилагает больше площади. Единственная форма, которая совершенно выпуктная и симметричная, - это круг, хотя само по себе это не представляет строгого доказательства теоремы изопериметрической (см. Внешние ссылки).

На самолете

Решение изопериметрической проблемы обычно выражается в форме неравенства , которое связывает длину L от закрытой кривой и область A планарной области, которую она прилагает. Изопериметрическое неравенство утверждает, что

$4\pi A\leq L^{2},$

и что равенство удерживается тогда и только тогда, когда кривая - это круг. Площадь диска радиуса r составляет πr ² и окружность круга составляет 2 πr , поэтому обе стороны неравенства равны 4 π ² Ведущий ² в этом случае.

Были найдены десятки доказательств изопериметрического неравенства. В 1902 году Hurwitz опубликовал короткое доказательство, используя серию Фурье , которая применяется к произвольным исправляемым кривым (не предполагается, что это гладко). Э. Шмидт дал элегантное прямое доказательство, основанное на сравнении плавной простой закрытой кривой с соответствующим кругом в 1938 году. Он использует только формулу длины дуги , выражение для области плоской области из теоремы Грина и неравенства Каши -Шварца .

Для данной закрытой кривой изопериметрический коэффициент определяется как соотношение ее площади и коэффициента круга, имеющего одинаковый периметр. Это равно

$Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}$

и изопериметрическое неравенство говорит, что Q ≤ 1. эквивалентно, изопериметрическое соотношение l ² / A - не менее 4 π для каждой кривой.

Изопериметрический коэффициент обычного N -Gon

$Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.$

Позволять $C$ Будьте гладкой регулярной выпуклой закрытой кривой. Тогда улучшенное изопетиметрическое неравенство указывает следующее

$L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,$

где $L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}$ обозначать длину $C$, площадь региона ограничена $C$ и ориентированная область Вигнера каустики $C$соответственно, и равенство сохраняется тогда и только тогда, когда $C$ это кривая постоянной ширины .

На сфере

Пусть C - простая закрытая кривая на сфере радиуса 1. Обозначите по длине C заключенной и по площади , C. в Сферическое изопериметрическое неравенство утверждает, что

$L^{2}\geq A(4\pi -A),$

и что равенство удерживается тогда и только тогда, когда кривая - это круг. На самом деле есть два способа измерения сферической области, заключенной на простую замкнутую кривую, но неравенство симметрично с уважением к взятию комплемента.

Это неравенство было обнаружено Полом Леви (1919), который также расширил его до более высоких измерений и общих поверхностей.

В более общем случае произвольного радиуса r он известен что

$L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.$

В евклидовом пространстве

Изопериметрическое неравенство утверждает, что сфера имеет наименьшую площадь поверхности на заданный объем. Учитывая ограниченный набор $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ с площадью поверхности $\operatorname {per} (S)$ и том $\operatorname {vol} (S)$, Изопериметрическое неравенство состояния

$\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n},$

где $B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ это единый мяч . Равенство удерживается, когда $S$ это мяч в $\mathbb {R} ^{n}$Полем При дополнительных ограничениях на наборе (например, выпуклость , регулярность , гладкая граница ), равенство сохраняется только для мяча. Но в полной общности ситуация сложнее. Соответствующий результат Schmidt (1949 , раздел 20.7) (для более простого доказательства см. Babler (1957) ), выяснен в Хадвигере (1957 , секта 5.2.5) следующим образом. Экстремльный набор состоит из мяча и «короны», который не способствует ни объему, ни на площадь поверхности. То есть равенство сохраняется для компактного набора $S$ тогда и только тогда $S$ содержит закрытый мяч $B$ так что $\operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)$ и $\operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).$ Например, «Корона» может быть кривой.

Доказательство неравенства следует непосредственно из неравенства Брунна -Минковского между набором $S$ И мяч с радиусом $\epsilon$IE $B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}$Полем Принимая неравенство Брунна -Минковского в силу $n$, вычитание $\operatorname {vol} (S)$ с обеих сторон, разделяя их на $\epsilon$и принимая предел как $\epsilon \to 0.$ ( Osserman (1978) ; Federer (1969 , §3.2.43)).

В полной общности ( Federer 1969 , §3.2.43), изопериметрическое неравенство утверждает, что для любого набора $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ чье закрытие имеет конечную меру Лебега

$n\,\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)$

где $M_{*}^{n-1}$ это ( n -1) - -мерное содержание Minkowski , l ^не является n -мерной мерой Лебегга, а ω _n -объем единичного мяча в $\mathbb {R} ^{n}$Полем Если граница S поддается исправлению , то содержание Minkowski -это ( n -1) -мерная мера Hausdorff .

N -мерное изопериметрическое неравенство эквивалентно (для достаточно гладких доменов) неравенству Соболев на $\mathbb {R} ^{n}$ с оптимальной постоянной:

$\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|$

для всех $u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})$.

В Hadamard Manifolds

Адамардные коллекторы полны просто подключенные коллекторы с неположительной кривизны. Таким образом, они обобщают евклидовое пространство $\mathbb {R} ^{n}$, который является коллектором хадамарда с нулевым кривизой. В 1970 -х и начале 80 -х годов Тьерри Обин , Миша Громов , Юрий Бураго и Виктор Залгаллер предположил, что евклидовое изопериметрическое неравенство

$\operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}$

держит для ограниченных наборов $S$ В Hadamard Manifolds, которые стали известны как гипоздания картана -хадамард . В измерении 2 это уже было создано в 1926 году Андре Вейлом был студентом Хадамарда , который в то время . В измерениях 3 и 4 догадка была доказана Брюсом Кляйнером в 1992 году, а Крис Крок в 1984 году соответственно.

В метрическом пространстве

Большая часть работы по изопетиметрической проблеме была выполнена в контексте гладких регионов в евклидовых пространствах , или в более общем плане в риманских коллекторах . Тем не менее, изопериметрическая проблема может быть сформулирована в гораздо большей общности, используя понятие содержания Минковски . Позволять $(X,\mu ,d)$ быть метрическим пространством меры : x - это метрическое пространство с метрическим D , а μ - мера бореля на x . Граничная мера , или содержание Минковского , измеримого подмножества a x как определяется инф

$\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},$

где

$A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}$

является расширением а ​ .

Изопериметрическая проблема в X спрашивает, насколько маленькая может $\mu ^{+}(A)$ быть для данного μ ( а ). Если X является евклидовой плоскостью с обычным расстоянием и мерой Лебега , то этот вопрос обобщает классическую изопериметрическую проблему для плоских областей, граница которых не обязательно гладкая, хотя ответ оказывается одинаковым.

Функция

$I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}$

называется изопетиметрическим профилем метрического пространства измерения $(X,\mu ,d)$Полем Изопериметрические профили были изучены для Cayley графиков дискретных групп и для специальных классов риманновых коллекторов (где обычно только регионы A рассматриваются с регулярной границей).

Для графиков

Основная статья: график расширителя

В теории графика изопериметрические неравенства лежат в основе изучения графиков расширителей , которые являются редкими графами , которые обладают сильными свойствами связности. Расширение конструкций породило исследования по чистой и прикладной математике, с несколькими приложениями к теории сложности , разработкой надежных компьютерных сетей и теорией кодов, корректирующих ошибки .

Изопериметрические неравенства для графиков связывают размер подмножествах вершин с размером их границы, что обычно измеряется по количеству ребра, оставляющих подмножество (расширение края) или по количеству соседних вершин (расширение вершины). Для графика $G$ и номер $k$Ниже приведены два стандартных изопериметрических параметров для графиков.

• Краевой изопериметрический параметр: $$\Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}$$
• Изопериметрический параметр вершины: $$\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}$$

Здесь $E(S,{\overline {S}})$ Обозначает набор уезжающих краев $S$ и $\Gamma (S)$ обозначает набор вершин, в которых есть сосед $S$Полем Изопериметрическая проблема состоит в том, чтобы понять, как параметры $\Phi _{E}$ и $\Phi _{V}$ Ведет для природных семей графиков.

Пример: изопериметрическое неравенство для гиперкубов

А $d$-Сятный гиперкуб $Q_{d}$ это график, все вершины - это логические векторы длины $d$, то есть набор $\{0,1\}^{d}$Полем Два таких вектора соединены краем в $Q_{d}$ Если они равны одному биту, то есть их расстояние в хмею точно одно. Ниже приведены изопериметрические неравенства для логического гиперкуба.

Edge изопериметрическое неравенство

Край Изопериметрическое неравенство гиперкуба $\Phi _{E}(Q_{d},k)\geq k(d-\log _{2}k)$Полем Эта граница плотная, как свидетельствует каждый набор $S$ это набор вершин любого подкуба $Q_{d}$.

Изопериметрическое неравенство вершины

Теорема Харпера Говорит, что шарики хмеля имеют наименьшую границу вершины среди всех наборов данного размера. Шары хэминга - это наборы, которые содержат все точки веса в максимум $r$ и никаких точек хмея веса больше, чем $r+1$ для некоторого целого числа $r$Полем Эта теорема подразумевает, что любой набор $S\subseteq V$ с

$|S|\geq \sum _{i=0}^{r}{d \choose i}$

удовлетворяет

$|S\cup \Gamma (S)|\geq \sum _{i=0}^{r+1}{d \choose i}.$

В качестве особого случая рассмотрим размеры набора $k=|S|$ формы

$k={d \choose 0}+{d \choose 1}+\dots +{d \choose r}$

для некоторого целого числа $r$Полем Тогда вышеизложенное подразумевает, что точный изопериметрический параметр вершины.

$\Phi _{V}(Q_{d},k)={d \choose r+1}.$

Изопериметрическое неравенство для треугольников

Изопериметрическое неравенство для треугольников с точки зрения периметра P и области T утверждают, что

$p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,$

с равенством для равностороннего треугольника . Это подразумевается через неравенство AM -GM , более сильное неравенство, которое также называлось изопериметрическим неравенством для треугольников:

$T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.$

Смотрите также

• Блашке -теорема -бельга
• Проблема Chaplygin : Изопериметрическая задача - это случай скорости скорости ветра с проблемой Chaplygin.
• Поток укорачивания кривой
• График расширителя
• Гауссовое изопериметрическое неравенство
• Изопериметрическое измерение
• Изопериметрическая точка
• Список неравенства треугольника
• Планарный теорема сепаратора
• Смешанный объем

Ссылки

• Блашке и светлая белая, элементарная дифференциальная геометрия (на немецком языке), 5 -е издание, полностью пересмотренное K. Light White. Основные учения математических наук, том 1. Springer-Verlag , Нью-Йорк Гейдельберг Берлин, 1973 ISBN   0-387-05889-3
• Bollobás, Béla (1986). Комбинаторика: установленные системы, гиперграфы, семейства векторов и комбинаторная вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-33703-8 .
• Бураго (2001) [1994], «Изопериметрическое неравенство» , Энциклопедия математики , Ems Press
• Калабро, Крис (2004). «Теорема Харпера» (PDF) . Получено 8 февраля 2011 года .
• Капогна, Лука; Донателла Даниэлли; Скотт Полс; Джереми Тайсон (2007). Введение в группу Гейзенберга и субримановую изопериметрическую проблему . Birkhäuser Verlag . ISBN  978-3-7643-8132-5 .
• Феннел, Вернер ; Боннес, Томми (1934). Теория выпуклых тел . Результаты математики и ее пограничных областей. Vol.
• Фенхель, Вернер ; Боннесен, Томми (1987). Теория выпуклых тел . Москва, Айдахо: Л. Борон, К. Кристенсон и Б. Смит. BCS Associates. ISBN  9780914351023 .
• Федерер, Герберт (1969). Теория геометрических мер . Springer-Verlag. ISBN  3-540-60656-4 . .
• Громов, М .: «Изопериметрическое неравенство Пола Леви». Приложение C в метрических структурах для римановых и нериманновых пространств . На основе французского оригинала 1981 года. С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французов Шоном Майклом Бейтсом. Прогресс в математике, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1999.
• Хадвигер, Хьюго (1957). Лекции по содержанию, поверхности и изопетиметрии . Springer Publishing House. Полем
• Гуори, Шломо; Линиал, Натан ; Widgerson, Avi (2006). «Графики расширителя и их приложения» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 43 (4): 439–561. doi : 10.1090/s0273-0979-06-01126-8 .
• Лидер, Имре (1991). «Дискретные изопериметрические неравенства». Материалы симпозий в прикладной математике . Тол. 44. С. 57–80.
• Оссерман, Роберт (1978). «Изопериметрическое неравенство» . Бык Амер. Математика Соц ​ 84 (6): 1182–1238. doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14553-4 . Полем
• Zwierzyński, Michał (2016). «Улучшенное изопериметрическое неравенство и каустик Wigner плоских овалов». J. Math. Анальный. Приложение ​ 442 (2): 726–739. Arxiv : 1512.06684 . doi : 10.1016/j.jmaa.2016.05.016 . S2CID   119708226 .
• Шмидт, Эрхард (1949). «Неравенство Брунн-Минковскиш и его зеркальное изображение, а также изопериметрическое свойство Hugel в европейской и неэдичной геометрии. II». Математика ​ 2 (3–4): 171–244. Doi : 10.1002/mana.19490020308 . Полем
• Baebler, F. (1957). «Проблема Zum isoperimetrischen». Архи Математика (Базель) . 8 : 52–65. doi : 10.1007/bf01898439 . S2CID   123704157 . Полем

Внешние ссылки

• История изопериметрической проблемы при конвергенции
• Treiberg: несколько доказательств изопериметрического неравенства
• Изопериметрическая теорема в Cut-the-tonot