Обобщенное распределение экстремальных значений

Обозначения	${\textrm {GEV}}(\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )$
Параметры	μ ∈ ℝ — местоположение ,   σ > 0 — масштаб ,   ξ ∈ ℝ — форма .
Поддерживать	х € [ ц - ⁠   σ   / ξ ⁠ , +∞ ) , когда ξ > 0 ,   x ∈ ( −∞, +∞), когда ξ = 0 ,   x ∈ ( −∞, µ - ⁠   σ   / ξ ⁠ ] когда ξ < 0 .
PDF	$={\tfrac {1}{\ \sigma \ }}\ t(x)^{\xi +1}\ e^{-t(x)}\ ,$ где $\ t(x)\equiv {\begin{cases}\left[1+\xi \ \left(\ {\tfrac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\right)\right]^{-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}}&~{\mathsf {if}}~\xi \neq 0\ ,\\{}\\\exp \left(\ -{\tfrac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\ \right)&~{\mathsf {if}}~\xi =0\ ~.\\{}\end{cases}}$
CDF	$=e^{-t(x)}\ ,$ для $\ x\in$ поддержка ( см. выше )
Иметь в виду	$={\begin{cases}{}\\\mu +{\tfrac {\ \sigma \ (g_{1}-1)\ }{\xi }}&~{\mathsf {if}}~\xi \neq 0\ ,\xi <1\ ,\\{}\\\mu +\sigma \ \gamma &~{\mathsf {if}}~\xi =0\ ,\\{}\\\infty &~{\mathsf {if}}~\xi \geq 1\ ;\\{}\end{cases}}$ где г k ≡ Γ ( 1 - k ξ ) , ( см. Гамма - функция ) и $\ \gamma \$ — постоянная Эйлера .
медиана	$={\begin{cases}\mu +\sigma \cdot {\frac {\ (\ln 2)^{-\xi }\ -\ 1\ }{\xi }}&~{\mathsf {if}}~\xi \neq 0\ ,\\{}\\\mu -\sigma \cdot \ln \ln 2&~{\mathsf {if}}~\xi =0~.\\{}\end{cases}}$
Режим	$={\begin{cases}\mu +\sigma \cdot {\frac {\ (1+\xi )^{-\xi }\ -\ 1\ }{\xi }}&~{\mathsf {if}}~\xi \neq 0\ ,\\\mu &~{\mathsf {if}}~\xi =0~.\\{}\end{cases}}$
Дисперсия	$={\begin{cases}\sigma ^{2}\cdot {\tfrac {\ g_{2}-g_{1}^{2}\ }{\xi ^{2}}}&~{\mathsf {if}}~\xi \neq 0~{\mathsf {and}}~\xi <{\frac {\ 1\ }{2}}\ ,\\{}\\\sigma ^{2}\cdot {\frac {\ \pi ^{2}\ }{6}}&~{\mathsf {if}}~\xi =0\ ,\\{}\\\infty &~{\mathsf {if}}~\xi \geq {\tfrac {\ 1\ }{2}}~.\\{}\end{cases}}$
асимметрия	$={\begin{cases}\ \operatorname {sgn}(\xi )\cdot {\tfrac {\ g_{3}\ -\ 3\ g_{2}g_{1}\ +\ 2\ g_{1}^{3}\ }{\ \left(g_{2}\ -\ g_{1}^{2}\ \right)^{\tfrac {3}{2}}\ }}&~{\mathsf {if}}~\xi \neq 0~{\mathsf {and}}~\xi <{\tfrac {\ 1\ }{3}}\ ,\\{}\\{\frac {\ 12{\sqrt {6\ }}\ \zeta (3)\ }{\pi ^{3}}}&~{\mathsf {if}}~\xi =0\ ;\\{}\end{cases}}$ где $\ \operatorname {sgn}(x)\$ это знаковая функция и $\ \zeta (x)\$ это дзета-функция Римана
Избыточный эксцесс	$={\begin{cases}{}\\{\frac {\ g_{4}\ -\ 4\ g_{3}\ g_{1}\ +\ 6\ g_{1}^{2}g_{2}\ -\ 3\ g_{1}^{4}\ }{\left(g_{2}\ -\ g_{1}^{2}\right)^{2}}}&~{\mathsf {if}}~\xi \neq 0~{\mathsf {and}}~\xi <{\tfrac {\ 1\ }{4}}\ ,\\{}\\{\tfrac {12}{\ 5\ }}&~{\mathsf {if}}~\xi =0~.\\{}\end{cases}}$
Энтропия	$=\ \ln(\sigma )\ +\ \gamma \ \xi \ +\ \gamma \ +\ 1\$
МГФ	см. Муралидхаран, Соарес и Лукас (2011).
CF	см. Муралидхаран, Соарес и Лукас (2011).
Ожидаемый дефицит	$=\ {\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{\ \xi \ (1-p)\ }}\left[\Gamma _{L}\left(1-\xi \ ,\ln \left({\tfrac {\ 1\ }{p}}\right)\right)-(1-p)\right]&\ \xi \neq 0\\{\ }\\\mu +{\tfrac {\sigma }{\ 1-p\ }}\left(\ -p\ \ln(\ -\ln(p)\ )+li(p)\ \right)&~{\mathsf {if}}~\xi =0\ ;\\{\ }\end{cases}}$ где $\ \Gamma _{L}(a,b)=\int _{0}^{b}p^{a-1}\ e^{-p}\ \mathrm {d} p\$ – нижняя неполная гамма-функция и $\ li(x)=\int _{0}^{\alpha }{\tfrac {1}{\ \ln p\ }}\ \mathrm {d} p\$ – логарифмическая интегральная функция .

В теории вероятностей и статистике обобщенных экстремальных значений ( GEV ) распределение представляет собой семейство непрерывных распределений вероятностей, разработанное в рамках теории экстремальных значений для объединения семейств Гамбеля , Фреше и Вейбулла, также известных как распределения экстремальных значений типа I, II и III. По теореме о крайних значениях распределение GEV является единственно возможным предельным распределением правильно нормализованных максимумов последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. Обратите внимание, что должно существовать предельное распределение, для которого требуются условия регулярности в хвосте распределения. Несмотря на это, распределение GEV часто используется как приближение для моделирования максимумов длинных (конечных) последовательностей случайных величин.

В некоторых областях применения обобщенное распределение экстремальных значений известно как распределение Фишера-Типпета , названное в честь Рональда Фишера и БАК Типпета , которые распознали три различные формы, описанные ниже. Однако использование этого имени иногда ограничивается особым случаем распределения Gumbel . Происхождение общей функциональной формы для всех трех распределений восходит, по крайней мере, к Дженкинсону А.Ф. (1955), хотя якобы его также мог дать фон Мизес Р. (1936).

Спецификация

Используя стандартизированную переменную $\ s\equiv {\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\ ,$ где $\ \mu \ ,$ параметр местоположения может быть любым действительным числом и $\ \sigma >0\$ – параметр масштаба; тогда кумулятивная функция распределения распределения GEV равна

$$F(\ s;\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \!{\Bigl (}-e^{-s}{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi =0\ ,\\{}\\\exp \!{\Bigl (}-{\bigl (}1+\xi s{\bigr )}^{-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}}{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi \ s>-1\ ,\\{}\\0&~~{\text{ for }}~~\xi >0~~{\text{ and }}~~s\leq -{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\ ,\\{}\\1&~~{\text{ for }}~~\xi <0~~{\text{ and }}~~s\geq {\tfrac {1}{\ |\ \xi \ |\ }}\ ;\end{cases}}$$

где $\ \xi \ ,$ параметр формы может быть любым действительным числом. Таким образом, для $\ \xi >0\ ,$ выражение справедливо для $\ s>-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\ ,$ в то время как для $\ \xi <0\$ это действительно для $\ s<-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}~.$ В первом случае $\ -{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\$ – отрицательная нижняя конечная точка, где $\ F\$ равно 0 ; во втором случае, $\ -{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\$ – положительная верхняя конечная точка, где $F$ равно 1. Для $\ \xi =0\$ второе выражение формально неопределенно и заменяется первым выражением, которое является результатом взятия предела второго, как $\ \xi \to 0\$ в этом случае $\ s\$ может быть любым действительным числом.

В частном случае $\ x=\mu \ ,$ так $\ s=0\$ и $\ F(\ 0;\ \xi \ )=e^{-1}\ \approx 0.368\$ для любых ценностей $\ \xi \$ и $\ \sigma \$ возможно, имел.

Функция плотности вероятности стандартизованного распределения равна

$$f(\ s;\ \xi \ )={\begin{cases}e^{-s}\exp \!{\Bigl (}-e^{-s}{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi =0,\\{}\\{\Bigl (}\ 1+\xi s\ {\Bigr )}^{-\left(1+{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\right)}\ \exp \!{\Bigl (}-\left(1+\xi s\right)^{\tfrac {\ -1\ }{\xi }}{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi \ s>-1\ ,\\{}\\0&~~{\text{ otherwise; }}\end{cases}}$$

снова действителен для $\ s>-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\$ в случае $\ \xi >0\ ,$ и для $\ s<-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\$ в случае $\ \xi <0~.$ Плотность равна нулю за пределами соответствующего диапазона. В случае $\ \xi =0\$ плотность положительна на всей вещественной линии.

Поскольку кумулятивная функция распределения обратима, функция квантиля распределения GEV имеет явное выражение, а именно:

$$\ Q(\ p;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\mu -\sigma \ \ln \!{\Bigl (}-\ln(p)\ {\Bigr )}&~{\text{ for }}~\xi =0~{\text{ and }}~p\in (\ 0\ ,\ 1\ )\ ,\\{}\\\mu +\displaystyle {\frac {\ \sigma \ }{\ \xi \ }}\left({\Bigl (}-\ln(p)\ {\Bigr )}^{-\xi }-1\right)&~{\text{ for }}~\xi >0~{\text{ and }}~p\in [\ 0\ ,\ 1\ )\ ,\\{}&~~{\text{ or }}~\,\xi <0~{\text{ and }}~p\in \ (\ 0\ ,\ 1\ ]\ ;\end{cases}}$$

и, следовательно, функция плотности квантиля, $\ q\equiv {\frac {\;\mathrm {d} \ Q\;}{\mathrm {d} \ p}}\ ,$ является

$\ q(\ p;\ \sigma ,\ \xi \ )={\frac {\sigma }{\ {\Bigl (}-\ln(p)\ {\Bigr )}^{\xi +1}\ p\;}}\quad {\text{ for }}~~p\in (\ 0\ ,\ 1\ )\ ,$

действителен для $\ \sigma >0\$ и для любого реального $\ \xi ~.$

Сводная статистика

Вот некоторые простые статистические данные распределения:

$\operatorname {\mathbb {E} } (X)=\mu +(g_{1}-1){\frac {\sigma }{\xi }}$ для $\xi <1$

$\operatorname {Var} (X)=(g_{2}-g_{1}^{2}){\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}},$

$\operatorname {Mode} (X)=\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}[(1+\xi )^{-\xi }-1].$

Асимметрия 0 при ξ>

$\operatorname {skewness} (X)={\frac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}$

При ξ < 0 знак числителя меняется на противоположный.

Избыточный эксцесс равен:

$\operatorname {kurtosis\ excess} (X)={\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3~.$

где $\ g_{k}=\Gamma (1-k\ \xi )\ ,$ $\ k=1,2,3,4\ ,$ и $\ \Gamma (t)\$ это гамма-функция .

Связь с семьями Фреше, Вейбулл и Гумбель.

Параметр формы $\ \xi \$ управляет хвостовым поведением распределения. Подсемейства : определяются тремя случаями $\ \xi =0\ ,$ $\ \xi >0\ ,$ и $\ \xi <0\ ;$ они соответствуют, соответственно, Гумбеля , Фреше и Вейбулла семействам , чьи кумулятивные функции распределения показаны ниже.

• типа I или Gumbel , случай Распределение экстремальных значений $~\xi =0\ ,\quad$ для всех $\quad x\in {\Bigl (}\ -\infty \ ,\ +\infty \ {\Bigr )}\ :$

$F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ 0\ )=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\right)\right)~.$

• типа II или Фреше , случай Распределение экстремальных значений $~\xi >0\ ,\quad$ для всех $\quad x\in \left(\ \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\ ,\ +\infty \ \right)\ :$

Позволять $\quad \alpha \equiv {\tfrac {\ 1\ }{\xi }}>0\quad$ и $\quad y\equiv 1+{\tfrac {\xi }{\sigma }}(x-\mu )\ ;$

$F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}0&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\leq \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\\\exp \left(-{\frac {1}{~y^{\alpha }\ }}\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x>\mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}~.\end{cases}}$

• Тип III или обратное Вейбулла , случай распределение экстремальных значений $~\xi <0\ ,\quad$ для всех $\quad x\in \left(-\infty \ ,\ \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\ \right)\ :$

Позволять $\quad \alpha \equiv -{\tfrac {1}{\ \xi \ }}>0\quad$ и $\quad y\equiv 1-{\tfrac {\ |\ \xi \ |\ }{\sigma }}(x-\mu )\ ;$

$F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \left(-y^{\alpha }\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x<\mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\\1&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\geq \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}~.\end{cases}}$

В подразделах ниже отмечаются свойства этих распределений.

Модификация для минимумов, а не для максимумов

Теория здесь относится к максимумам данных, и обсуждаемое распределение представляет собой распределение экстремальных значений для максимумов. Обобщенное распределение экстремальных значений минимумов данных можно получить, например, заменив $\ -x\;$ для $\;x\;$ в функции распределения и вычитая кумулятивное распределение из единицы: То есть замените $\ F(x)\$ с $\ 1-F(-x)\$ . В результате мы получаем еще одно семейство дистрибутивов.

Альтернативное соглашение для распределения Вейбулла

Обычное распределение Вейбулла возникает в приложениях, связанных с надежностью, и получается из этого распределения с использованием переменной $\ t=\mu -x\ ,$ что дает строго положительную поддержку, в отличие от использования здесь в формулировке теории крайних ценностей. Это происходит потому, что обычное распределение Вейбулла используется для случаев, когда речь идет о минимумах данных , а не о максимумах данных. Распределение здесь имеет параметр сложения по сравнению с обычной формой распределения Вейбулла и, кроме того, обращено, так что распределение имеет верхнюю, а не нижнюю границу. Важно отметить, что в приложениях GEV верхняя граница неизвестна и поэтому должна быть оценена, тогда как при применении обычного распределения Вейбулла в приложениях надежности нижняя граница обычно равна нулю.

Диапазоны распределений

Обратите внимание на различия в интересующих диапазонах для трех распределений крайних значений: Гумбель не ограничен, Фреше имеет нижний предел, а перевернутый Вейбулл имеет верхний предел.Точнее, теория экстремальных значений (одномерная теория) описывает, какой из трех законов является предельным в соответствии с исходным законом X и в частности в зависимости от его хвоста.

Распределение переменных журнала

Связать тип I с типами II и III можно следующим образом: если кумулятивная функция распределения некоторой случайной величины $\ X\$ имеет тип II и имеет положительные числа в качестве носителя, т.е. $\ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ \alpha \ )\ ,$ тогда кумулятивная функция распределения $\ln X$ имеет тип I, а именно $\ F(\ x;\ \ln \sigma ,\ {\tfrac {1}{\ \alpha \ }},\ 0\ )~.$ Аналогично, если кумулятивная функция распределения $\ X\$ имеет тип III и имеет отрицательные числа в качестве поддержки, т.е. $\ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ -\alpha \ )\ ,$ тогда кумулятивная функция распределения $\ \ln(-X)\$ имеет тип I, а именно $\ F(\ x;\ -\ln \sigma ,\ {\tfrac {\ 1\ }{\alpha }},\ 0\ )~.$

Ссылка на логит-модели (логистическая регрессия)

Полиномиальные логит- модели и некоторые другие типы логистической регрессии можно сформулировать как скрытых переменных модели с переменными ошибок, распределенными как распределения Гамбеля (обобщенные распределения экстремальных значений типа I). Эта формулировка распространена в теории моделей дискретного выбора , которые включают логит-модели , пробит-модели и различные их расширения, и вытекает из того факта, что разница двух переменных с GEV-распределением типа I следует логистическому распределению , из которого функция логит — это функция квантиля . Таким образом, распределение GEV типа I играет в этих логит-моделях ту же роль, что и нормальное распределение в соответствующих пробит-моделях.

Характеристики

Кумулятивная функция распределения обобщенного распределения экстремальных значений решает уравнение постулата устойчивости . Обобщенное распределение экстремальных значений является частным случаем максимально-стабильного распределения и преобразованием минимально-стабильного распределения.

Приложения

• Распределение GEV широко используется для лечения «хвостовых рисков» в самых разных областях: от страхования до финансов. В последнем случае он рассматривался как средство оценки различных финансовых рисков с помощью таких показателей, как стоимость риска .

Распределение вероятностей GEV для максимального месячного однодневного количества осадков в октябре, Суринам.

• Однако было обнаружено, что результирующие параметры формы лежат в диапазоне, приводящем к неопределенным средним значениям и дисперсиям, что подчеркивает тот факт, что надежный анализ данных часто невозможен.
• В гидрологии распределение GEV применяется к экстремальным явлениям, таким как годовое максимальное количество осадков за один день и речной сток. Синее изображение, сделанное с помощью CumFreq , иллюстрирует пример подбора распределения GEV к ранжированному ежегодному максимальному количеству осадков за один день, демонстрируя также 90% доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде координат на графике в рамках кумулятивного частотного анализа .

Пример для нормально распределенных переменных

Позволять $\ \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\$ быть iid нормально распределенными случайными величинами со средним значением 0 и дисперсией 1 . Теорема Фишера -Типпета-Гнеденко. говорит нам, что $\ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\sim GEV(\mu _{n},\sigma _{n},0)\ ,$где

${\begin{aligned}\mu _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)\\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ n\ \mathrm {e} \ }}\right)-\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)~.\end{aligned}}$

Это позволяет нам оценить, например, среднее значение $\ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\$от среднего значения распределения GEV:

${\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \max \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ \right\}&\approx \mu _{n}+\gamma _{\mathsf {E}}\ \sigma _{n}\\&=(1-\gamma _{\mathsf {E}})\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)+\gamma _{\mathsf {E}}\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ e\ n\ }}\right)\\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{\ 2\pi \ \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)\ }}\right)~}}\ \cdot \ \left(1+{\frac {\gamma }{\ \log n\ }}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\ \log n\ }}\right)\right)\ ,\end{aligned}}$

где $\ \gamma _{\mathsf {E}}\$ – постоянная Эйлера–Машерони .

Связанные дистрибутивы

1. Если $\ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )\$ затем $\ mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\ m\sigma ,\ \xi )\$
2. Если $\ X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\ \sigma )\$ ( распределение Гумбеля ) тогда $\ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\$
3. Если $\ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\$ ( распределение Вейбулла ) тогда $\ \mu \left(1-\sigma \log {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\$
4. Если $\ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\$ затем $\ \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\$ ( распределение Вейбулла )
5. Если $\ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\$ ( Экспоненциальное распределение ) тогда $\ \mu -\sigma \log X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\$
6. Если $\ X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )\$ и $\ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )\$ затем $\ X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\$ (см. Логистическое распределение ).
7. Если $\ X\$ и $\ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )\$ затем $\ X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\$ (Сумма не является логистическим распределением).

Обратите внимание, что $\ \operatorname {\mathbb {E} } \{\ X+Y\ \}=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \operatorname {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ \right\}~.$

Доказательства

4. Пусть $\ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ ,$ тогда совокупное распределение $\ g(x)=\mu \left(1-\sigma \log {\frac {X}{\sigma }}\right)\$ является:

${\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu \left(1-\sigma \log {\frac {\ X\ }{\sigma }}\right)<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log {\frac {X}{\sigma }}>{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\sigma \exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\ \right\}\\&=\exp \left(-\left({\cancel {\sigma }}\exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\cdot {\cancel {\frac {1}{\sigma }}}\right)^{\mu }\right)\\&=\exp \left(-\left(\exp \left[{\frac {{\cancelto {\mu }{1}}-x/{\cancel {\mu }}}{\sigma }}\right]\right)^{\cancel {\mu }}\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[{\frac {\mu -x}{\sigma }}\right]\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[-s\right]\right),\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ,\end{aligned}}$

какой CDF для $\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)~.$

5. Пусть $\ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ ,$ тогда совокупное распределение $\ g(X)=\mu -\sigma \log X\$ является:

${\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu -\sigma \log X<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log X>{\frac {\mu -x}{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\ \right\}\\&=\exp \left[-\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\right]\\&=\exp \left[-\exp(-s)\right]\ ,\quad ~{\mathsf {where}}~\quad s\equiv {\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ;\end{aligned}}$

что представляет собой совокупное распределение $\ \operatorname {GEV} (\mu ,\sigma ,0)~.$

См. также

• Теория экстремальных значений (одномерная теория)
• Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко.
• Обобщенное распределение Парето
• Проблема немецких танков , противоположный вопрос о максимуме численности при условии максимума выборки
• Теорема Пикандса – Балкемы – Де Хаана.

Дальнейшее чтение

• Эмбрехтс, Пауль; Клуппельберг, Клаудия ; Микош, Томас (1997). Моделирование экстремальных событий для страхования и финансов . Берлин: Springer Verlag. ISBN  9783540609315 .
• Ледбеттер, М.Р., Линдгрен, Г. и Руцен, Х. (1983). Экстремумы и связанные с ними свойства случайных последовательностей и процессов . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90731-9 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Резник, С.И. (1987). Экстремальные значения, регулярные вариации и точечные процессы . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-96481-9 .
• Коулз, Стюарт (2001). Введение в статистическое моделирование экстремальных значений . Спрингер-Верлаг. ISBN  1-85233-459-2 .