Очередь M/G/1

В теории массового обслуживания , дисциплине математической теории вероятностей , очередь M/G/1 представляет собой модель очереди, в которой поступления являются марковскими (модулируются пуассоновским процессом ), время обслуживания имеет и имеется общее распределение один сервер. . ^[1] Название модели записано в нотации Кендалла и является расширением очереди M/M/1 , где время обслуживания должно распределяться экспоненциально . Классическим применением очереди M/G/1 является моделирование производительности жесткого диска с фиксированной головкой . ^[2]

Определение модели

Очередь, представленная очередью M/G/1, представляет собой случайный процесс, пространство состояний которого представляет собой набор {0,1,2,3...}, где значение соответствует количеству клиентов в очереди, включая любые существа. служил. Переходы из состояния i в i +1 представляют собой приход нового требования: времена между такими поступлениями имеют экспоненциальное распределение с параметром λ. Переходы из состояния i в i - 1 представляют собой обслуженного клиента, окончание обслуживания и уход: продолжительность времени, необходимого для обслуживания отдельного клиента, имеет общую функцию распределения. Промежутки времени между прибытиями и периодами обслуживания являются случайными величинами , которые считаются статистически независимыми .

Политики планирования

Клиенты обычно обслуживаются в порядке очереди , другие популярные политики планирования включают в себя

совместное использование процессора , при котором все задания в очереди поровну делят между собой емкость службы.
обслуживается последним, первым обслуживается без приоритета, когда работа в обслуживании не может быть прервана
последний пришедший, первый обслуживаемый с приоритетом, когда работа в обслуживании прерывается более поздними поступлениями, но работа сохраняется ^[3]
обобщенное планирование приоритетного фона (FB), также известное как наименее достижимое обслуживание, при котором задания, которые на данный момент получили наименьшее время обработки, обслуживаются первыми, а задания, получившие равное время обслуживания, делят мощность обслуживания с использованием совместного использования процессора ^[3]
сначала самое короткое задание без вытеснения (SJF), когда задание наименьшего размера получает обслуживание и не может быть прервано до завершения обслуживания
вытесняющее сначала самое короткое задание, при котором в любой момент времени обслуживается задание с наименьшим исходным размером ^[4]
наименьшее оставшееся время обработки (SRPT), при котором следующим заданием для обслуживания является задание с наименьшими оставшимися требованиями к обработке. ^[5]

Политики обслуживания часто оцениваются путем сравнения среднего времени пребывания в очереди. Если время обслуживания, требуемое для заданий, известно по прибытии, то оптимальной политикой планирования является SRPT. ^[6]^: 296

Политику также можно оценивать с использованием меры справедливости. ^[7]

Длина очереди

Метод Поллачека-Хинчина

стационарного Производящая функция вероятности распределения длины очереди определяется уравнением преобразования Поллачека – Хинчина ^[2]

\pi (z)={\frac {(1-z)(1-\rho )g(\lambda (1-z))}{g(\lambda (1-z))-z}}

где g( s ) — преобразование Лапласа функции плотности вероятности времени обслуживания. ^[8] В случае очереди M/M/1 , где время обслуживания экспоненциально распределено с параметром µ , g( s ) = µ /( µ + s ).

Эту задачу можно решить для вероятностей отдельных состояний либо прямым вычислением, либо методом дополнительных переменных . Формула Поллачека -Хинчина дает среднюю длину очереди и среднее время ожидания в системе. ^[9]^[10]

Матричный аналитический метод

Рассмотрим встроенную цепь Маркова очереди M/G/1, где выбранные моменты времени находятся сразу после момента отправления. Обслуживаемый клиент (если он есть) получил ноль секунд обслуживания. Между отправлениями может быть 0, 1, 2, 3,... прибытия. Таким образом, из состояния i цепочка может перейти в состояние i – 1, i , i + 1, i + 2, .... ^[11] Встроенная цепь Маркова имеет матрицу перехода

P={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&\cdots \\a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&\cdots \\0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots \\0&0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&\cdots \\0&0&0&a_{0}&a_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

где

a_{v}=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda u}{\frac {(\lambda u)^{v}}{v!}}{\text{d}}F(u)~{\text{ for }}v\geq 0

F ) — распределение времени обслуживания, а λ — ( u пуассоновская скорость поступления заданий в очередь.

Цепи Маркова с порождающими матрицами или блочными матрицами такого вида называются цепями Маркова типа M/G/1, ^[12] термин, придуманный Марселем Ф. Нойтсом . ^[13]^[14]

Очередь M/G/1 имеет стационарное распределение тогда и только тогда, когда интенсивность трафика $\rho =\lambda \mathbb {E} (G)$ меньше 1, и в этом случае уникальное такое распределение имеет функцию, порождающую вероятность : ^[15]

G(s)={\frac {(1-\rho )(1-s)}{1-s/M_{S}(\lambda (s-1))}}

где $M_{S}$ – моментообразующая функция общего времени обслуживания. Стационарное распределение марковской модели типа M/G/1 можно вычислить с помощью матричного аналитического метода . ^[16]

Напряженный период

Напряженный период — это время, проведенное в штатах ${\textstyle 1,2,3,...}$ между визитами в штат ${\textstyle 0}$ . Ожидаемая продолжительность периода занятости равна ${\textstyle {\dfrac {1}{\mu -\lambda }}}$ где ${\textstyle {\dfrac {1}{\mu }}}$ ожидаемая продолжительность срока службы и ${\textstyle \lambda }$ скорость процесса Пуассона, управляющего прибытием. ^[17] Позволять $\phi (s)$ обозначают преобразование Лапласа периода занятости функции плотности вероятности (так что $\phi (s)$ также является преобразованием Лапласа–Стилтьеса кумулятивной функции распределения периода занятости). Затем $\phi (s)$ можно показать, что он подчиняется функциональному уравнению Кендалла ^[18]^[19]^: 92

\phi (s)=g[s+\lambda -\lambda \phi (s)]

где как указано выше ${\textstyle g}$ – преобразование Лапласа–Стилтьеса функции распределения времени обслуживания. Это соотношение может быть решено точно только в особых случаях (таких как очередь M/M/1 ), но для любого ${\textstyle s}$ ценность ${\textstyle \phi (s)}$ может быть вычислена и путем итерации с верхней и нижней границей численно рассчитана функция распределения. ^[20]

Время ожидания/ответа

Написание W ^*( s ) для преобразования Лапласа – Стилтьеса распределения времени ожидания, ^[21] задается преобразованием Поллачека – Хинчина как

W^{\ast }(s)={\frac {(1-\rho )sg(s)}{s-\lambda (1-g(s))}}

где g( s ) — преобразование Лапласа–Стилтьеса функции плотности вероятности времени обслуживания.

Теорема о прибытии

Поскольку прибытия определяются процессом Пуассона, теорема прибытия верна.

Несколько серверов

Многие метрики для очереди M/G/k с k серверами остаются открытой проблемой, хотя известны некоторые приближения и границы.

См. также

Ссылки

^ Гиттинс, Джон К. (1989). Индексы размещения многоруких бандитов . Джон Уайли и сыновья. п. 77. ИСБН 0471920592 .
^ Jump up to: ^а ^б Харрисон, Питер ; Патель, Нареш М. (1992). Моделирование производительности сетей связи и компьютерных архитектур . Аддисон-Уэсли.
^ Jump up to: ^а ^б Хархол-Балтер, М. (2012). «Планирование: упреждающая политика, не зависящая от размера». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . стр. 482–498. дои : 10.1017/CBO9781139226424.038 . ISBN 9781139226424 .
^ Хархол-Балтер, М. (2012). «Планирование: упреждающая политика, основанная на размере». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . стр. 508–517. дои : 10.1017/CBO9781139226424.040 . ISBN 9781139226424 .
^ Хархол-Балтер, М. (2012). «Планирование: SRPT и справедливость». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . стр. 518–530. дои : 10.1017/CBO9781139226424.041 . ISBN 9781139226424 .
^ Гаутам, Натараджан (2012). Анализ очередей: методы и приложения . ЦРК Пресс. ISBN 9781439806586 .
^ Вирман, А .; Хархол-Балтер, М. (2003). «Классификация политик планирования с точки зрения несправедливости в M / GI / 1» (PDF) . Обзор оценки производительности ACM SIGMETRICS . 31 : 238–249. дои : 10.1145/885651.781057 .
^ Петерсон, Джорджия; Чемберлен, РД (1996). «Производительность параллельных приложений в среде с общими ресурсами» . Распределенная системная инженерия . 3 : 9–19. дои : 10.1088/0967-1846/3/1/003 .
^ Поллачек, Ф. (1930). «Об одной задаче теории вероятностей». Математический журнал . 32 :64-75. дои : 10.1007/BF01194620 . S2CID 125053340 .
^ Хинчин, А. Ю. (1932). «Математическая теория стационарной очереди» . Математический сборник . 39 (4): 73–84 . Проверено 14 июля 2011 г.
^ Стюарт, Уильям Дж. (2009). Вероятность, цепи Маркова, очереди и моделирование . Издательство Принстонского университета. п. 510 . ISBN 978-0-691-14062-9 .
^ Нойтс, Марсель Ф. (1981). Матрично-геометрические решения в стохастических моделях: алгоритмический подход (Исследования Джона Хопкинса в области математических наук) . Издательство Университета Джонса Хопкинса . п. 2. ISBN 0-486-68342-7 .
^ Нойтс, М.Ф. (1989). «Структурированные стохастические матрицы типа M/G/1 и их приложения». Нью-Йорк: Марсель Декк. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Мейни, Б. (1998). «Решение цепей Маркова типа m/g/l: последние достижения и приложения». Коммуникации в статистике. Стохастические модели . 14 (1–2): 479–496. дои : 10.1080/15326349808807483 .
^ Гриметт, Греция ; Стирзакер, Д.Р. (1992). Вероятность и случайные процессы (второе изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 422. ИСБН 0198572220 .
^ Бини, Д.А.; Латуш, Ж.; Мейни, Б. (2005). Численные методы для структурированных цепей Маркова . doi : 10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001 . ISBN 9780198527688 .
^ Росс, Шелдон М.; Сешадри, Шридхар (1999). «Время попадания в очередь M/G/1» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 36 (3): 934–940. дои : 10.1239/яп/1029349991 . JSTOR 3215453 .
^ Абате, Дж.; Чоудри, GL; Уитт, В. (1995). «Расчет плотности периода занятости M/G/1 и распределения времени ожидания LIFO путем прямой инверсии числового преобразования» (PDF) . Письма об исследованиях операций . 18 (3): 113–119. дои : 10.1016/0167-6377(95)00049-6 .
^ Митрани, И. (1997). «Системы массового обслуживания: средняя производительность». Вероятностное моделирование . Издательство Кембриджского университета. стр. 74–121. дои : 10.1017/CBO9781139173087.004 . ISBN 9781139173087 .
^ Абате, Дж.; Уитт, В. (1992). «Решение функциональных уравнений вероятностного преобразования для числовой инверсии» (PDF) . Письма об исследованиях операций . 12 (5): 275–281. дои : 10.1016/0167-6377(92)90085-H .
^ Дэйгл, Джон Н. (2005). «Базовая система массового обслуживания M/G/1». Теория массового обслуживания с приложениями к пакетной телекоммуникации . стр. 159 –223. дои : 10.1007/0-387-22859-4_5 . ISBN 0-387-22857-8 .

[1] Гиттинс, Джон К. (1989). Индексы размещения многоруких бандитов . Джон Уайли и сыновья. п. 77. ИСБН 0471920592 .

[harrison-2] Jump up to: ^а ^б Харрисон, Питер ; Патель, Нареш М. (1992). Моделирование производительности сетей связи и компьютерных архитектур . Аддисон-Уэсли.

[hb30-3] Jump up to: ^а ^б Хархол-Балтер, М. (2012). «Планирование: упреждающая политика, не зависящая от размера». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . стр. 482–498. дои : 10.1017/CBO9781139226424.038 . ISBN 9781139226424 .

[4] Хархол-Балтер, М. (2012). «Планирование: упреждающая политика, основанная на размере». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . стр. 508–517. дои : 10.1017/CBO9781139226424.040 . ISBN 9781139226424 .

[5] Хархол-Балтер, М. (2012). «Планирование: SRPT и справедливость». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем . стр. 518–530. дои : 10.1017/CBO9781139226424.041 . ISBN 9781139226424 .

[gautam-6] Гаутам, Натараджан (2012). Анализ очередей: методы и приложения . ЦРК Пресс. ISBN 9781439806586 .

[7] Вирман, А .; Хархол-Балтер, М. (2003). «Классификация политик планирования с точки зрения несправедливости в M / GI / 1» (PDF) . Обзор оценки производительности ACM SIGMETRICS . 31 : 238–249. дои : 10.1145/885651.781057 .

[8] Петерсон, Джорджия; Чемберлен, РД (1996). «Производительность параллельных приложений в среде с общими ресурсами» . Распределенная системная инженерия . 3 : 9–19. дои : 10.1088/0967-1846/3/1/003 .

[9] Поллачек, Ф. (1930). «Об одной задаче теории вероятностей». Математический журнал . 32 :64-75. дои : 10.1007/BF01194620 . S2CID 125053340 .

[10] Хинчин, А. Ю. (1932). «Математическая теория стационарной очереди» . Математический сборник . 39 (4): 73–84 . Проверено 14 июля 2011 г.

[11] Стюарт, Уильям Дж. (2009). Вероятность, цепи Маркова, очереди и моделирование . Издательство Принстонского университета. п. 510 . ISBN 978-0-691-14062-9 .

[12] Нойтс, Марсель Ф. (1981). Матрично-геометрические решения в стохастических моделях: алгоритмический подход (Исследования Джона Хопкинса в области математических наук) . Издательство Университета Джонса Хопкинса . п. 2. ISBN 0-486-68342-7 .

[13] Нойтс, М.Ф. (1989). «Структурированные стохастические матрицы типа M/G/1 и их приложения». Нью-Йорк: Марсель Декк. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[14] Мейни, Б. (1998). «Решение цепей Маркова типа m/g/l: последние достижения и приложения». Коммуникации в статистике. Стохастические модели . 14 (1–2): 479–496. дои : 10.1080/15326349808807483 .

[15] Гриметт, Греция ; Стирзакер, Д.Р. (1992). Вероятность и случайные процессы (второе изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 422. ИСБН 0198572220 .

[16] Бини, Д.А.; Латуш, Ж.; Мейни, Б. (2005). Численные методы для структурированных цепей Маркова . doi : 10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001 . ISBN 9780198527688 .

[17] Росс, Шелдон М.; Сешадри, Шридхар (1999). «Время попадания в очередь M/G/1» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 36 (3): 934–940. дои : 10.1239/яп/1029349991 . JSTOR 3215453 .

[18] Абате, Дж.; Чоудри, GL; Уитт, В. (1995). «Расчет плотности периода занятости M/G/1 и распределения времени ожидания LIFO путем прямой инверсии числового преобразования» (PDF) . Письма об исследованиях операций . 18 (3): 113–119. дои : 10.1016/0167-6377(95)00049-6 .

[19] Митрани, И. (1997). «Системы массового обслуживания: средняя производительность». Вероятностное моделирование . Издательство Кембриджского университета. стр. 74–121. дои : 10.1017/CBO9781139173087.004 . ISBN 9781139173087 .

[20] Абате, Дж.; Уитт, В. (1992). «Решение функциональных уравнений вероятностного преобразования для числовой инверсии» (PDF) . Письма об исследованиях операций . 12 (5): 275–281. дои : 10.1016/0167-6377(92)90085-H .

[diagle-21] Дэйгл, Джон Н. (2005). «Базовая система массового обслуживания M/G/1». Теория массового обслуживания с приложениями к пакетной телекоммуникации . стр. 159 –223. дои : 10.1007/0-387-22859-4_5 . ISBN 0-387-22857-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

v т и Теория массового обслуживания
Одиночные узлы массового обслуживания	Д/М/1 хвост М/Д/1 хвост М/Д/Ц хвост Очередь М/М/1 Теорема Берка Очередь М/М/Ц Очередь М/М/∞ Очередь M/G/1 Формула Поллачека – Хинчина Матричный аналитический метод Очередь M/G/k Очередь G/M/1 Очередь G/G/1 Формула Кингмана Уравнение Линдли Разветвить очередь – присоединиться к ней Массовая очередь
Процессы прибытия	Точный процесс Пуассона Марковский процесс прибытия Рациональный процесс прибытия
Сети массового обслуживания	Сеть Джексона Уравнения дорожного движения Теорема Гордона – Ньюэлла Анализ среднего значения Алгоритм Бузена сеть Келли G-сеть Сеть BCMP
Политика обслуживания	ФИФО ЛИФО Совместное использование процессора Круговой Самая короткая работа следующая Кратчайшее оставшееся время
Ключевые понятия	Цепь Маркова с непрерывным временем Обозначения Кендалла Закон Литтла Решение в форме продукта Уравнение баланса Квазиобратимость Потоко-эквивалентный серверный метод Теорема о прибытии Метод разложения метод Бенеша
Предельные теоремы	Предел жидкости Теория среднего поля Приближение интенсивного движения Отраженное броуновское движение
Расширения	Жидкая очередь Многоуровневая сеть массового обслуживания Система опроса Состязательная сеть массового обслуживания Сеть потерь Очередь повторных попыток
Информационные системы	Буфер данных Эрланг (единица измерения) Распределение Эрланга Управление потоком (данные) Очередь сообщений Перегрузка сети Сетевой планировщик Конвейер (программное обеспечение) Качество обслуживания Планирование (вычисления) Телетрафик инжиниринг
Категория

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category