Направленная статистика

Статистика направлений (также круговая статистика или сферическая статистика ) — это раздел статистики , который занимается направлениями ( единичные векторы в евклидовом пространстве , R ^н ), оси ( линии, проходящие через начало координат в R ^н ) или вращения в R ^н . В более общем смысле, направленная статистика имеет дело с наблюдениями над компактными римановыми многообразиями, включая многообразие Штифеля .

Общую форму белка можно параметризовать как последовательность точек на единичной сфере . Показаны два вида сферической гистограммы таких точек для большой коллекции белковых структур. Статистическая обработка таких данных относится к области направленной статистики.

Тот факт, что 0 градусов и 360 градусов являются идентичными углами , так что, например, 180 градусов не являются разумным средним значением 2 градусов и 358 градусов, служит иллюстрацией того, что для анализа некоторых типов данных требуются специальные статистические методы (в данном случае случай, угловые данные). Другие примеры данных, которые можно рассматривать как направленные, включают статистику, включающую временные периоды (например, время суток, неделю, месяц, год и т. д.), направления по компасу, двугранные углы в молекулах, ориентации, вращения и т. д.

Круговые распределения

Основная статья: Круговое распространение

Любая функция плотности вероятности (pdf) $\ p(x)$ на линии можно «обернуть» окружность окружности единичного радиуса. То есть PDF-файл обернутой переменной

$$\theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]$$

является

$$p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.$$

Эту концепцию можно распространить на многомерный контекст путем расширения простой суммы до ряда $F$ суммы, охватывающие все измерения в пространстве признаков:

$$p_{w}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldsymbol {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}$$

где $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ это $k$-й евклидов базисный вектор.

В следующих разделах показаны некоторые соответствующие циклические распределения.

Круговое распределение фон Мизеса

Основная статья: распределение фон Мизеса

Распределение фон Мизеса — это круговое распределение, которое, как и любое другое круговое распределение, можно рассматривать как обертку определенного линейного распределения вероятностей вокруг круга. Основное линейное распределение вероятностей для распределения фон Мизеса математически неразрешимо; однако для статистических целей нет необходимости иметь дело с лежащим в основе линейным распределением. Полезность распределения фон Мизеса двояка: это наиболее математически понятное из всех круговых распределений, позволяющее упростить статистический анализ, и оно является близким приближением к завернутому нормальному распределению, которое, аналогично линейному нормальному распределению, важно, потому что это предельный случай суммы большого числа малых угловых отклонений. Фактически, распределение фон Мизеса часто называют «круговым нормальным» распределением из-за простоты его использования и его тесной связи с завернутым нормальным распределением.

PDF-файл дистрибутива фон Мизеса:

$$f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}$$

где $I_{0}$ — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

равномерное

Основная статья: Круговое равномерное распределение

Функция плотности вероятности (pdf) кругового равномерного распределения определяется выражением

$$U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.$$

Это также можно рассматривать как $\kappa =0$ фон Мизеса выше.

Обернутый нормальный дистрибутив

Основная статья: Обернутое нормальное распределение

PDF-файл завернутого нормального распределения (WN):

$$WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)$$

где μ и σ — среднее и стандартное отклонение развернутого распределения соответственно и $\vartheta (\theta ,\tau )$ — тэта-функция Якоби :

$$\vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}$$

где $w\equiv e^{i\pi \theta }$ и $q\equiv e^{i\pi \tau }.$

Завернутое распределение Коши

Основная статья: Завернутое распределение Коши

PDF-файл завернутого дистрибутива Коши (WC):

$$WC(\theta ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}$$

где $\gamma$ масштабный коэффициент и $\theta _{0}$ это пиковое положение.

Завернутое распределение Леви

Основная статья: Завернутое распределение Леви

PDF-файл завернутого дистрибутива Леви (WL):

$$f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}$$

где значение слагаемого считается равным нулю, когда $\theta +2\pi n-\mu \leq 0$, $c$ масштабный коэффициент и $\mu$ это параметр местоположения.

нормальное

Основная статья: Прогнозируемое нормальное распределение

Проецируемое нормальное распределение представляет собой круговое распределение, представляющее направление случайной величины с многомерным нормальным распределением, полученное путем радиальной проекции переменной на единичную (n-1)-сферу. В связи с этим, в отличие от других широко используемых круговых распределений, оно не является ни симметричным, ни унимодальным .

на многообразиях более

Три набора точек, выбранные из разных распределений Кента на сфере.

Также существуют распределения на двумерной сфере (например, распределение Кента ), N -мерная сфера ( распределение Мизеса–Фишера ) или тор ( двумерное распределение фон Мизеса ).

Матричное распределение фон Мизеса – Фишера является распределением на многообразии Штифеля и может использоваться для построения вероятностных распределений по матрицам вращения .

Распределение Бингама — это распределение по осям в N измерениях или, что то же самое, по точкам на ( N — 1)-мерной сфере с идентифицированными антиподами. Например, если N = 2, оси представляют собой ненаправленные линии, проходящие через начало координат на плоскости. В этом случае каждая ось разрезает единичный круг на плоскости (которая является одномерной сферой) в двух точках, которые являются антиподами друг друга. Для N = 4 распределение Бингама представляет собой распределение по пространству единичных кватернионов ( версоров ). Поскольку версор соответствует матрице вращения, распределение Бингема для N = 4 можно использовать для построения распределений вероятностей в пространстве вращений, как и распределение матрицы-фон Мизеса-Фишера.

Эти распределения используются, например, в геологии . кристаллография и биоинформатика .

Моменты

Необработанные векторные (или тригонометрические) моменты кругового распределения определяются как

$m_{n}=\operatorname {E} (z^{n})=\int _{\Gamma }P(\theta )z^{n}\,d\theta$

где $\Gamma$ любой интервал длины $2\pi$, $P(\theta )$ PDF и кругового распределения, $z=e^{i\theta }$. Поскольку интеграл $P(\theta )$ равно единице, а интервал интегрирования конечен, то моменты любого кругового распределения всегда конечны и корректно определены.

Аналогично определяются выборочные моменты:

${\overline {m}}_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}.$

Результирующий вектор совокупности, длина и средний угол определяются аналогично соответствующим параметрам выборки.

$\rho =m_{1}$

$R=|m_{1}|$

$\theta _{n}=\operatorname {Arg} (m_{n}).$

Кроме того, длины высших моментов определяются как:

$R_{n}=|m_{n}|$

тогда как угловые части высших моментов просто $(n\theta _{n}){\bmod {2}}\pi$. Длины всех моментов будут лежать между 0 и 1.

местоположения

Различные меры центральной тенденции и статистической дисперсии могут быть определены как для совокупности, так и для выборки, составленной из этой совокупности.

Центральная

Дополнительная информация: Среднее круговое.

Наиболее распространенной мерой местоположения является среднее круговое. Круговое среднее населения — это просто первый момент распределения, а среднее выборочное — это первый момент выборки. Выборочное среднее будет служить несмещенной оценкой среднего значения генеральной совокупности.

Когда данные сконцентрированы, медиану и моду можно определить по аналогии с линейным случаем, но для более рассредоточенных или мультимодальных данных эти концепции бесполезны.

Дисперсия

См. Также: метод Ямартино.

Наиболее распространенными мерами кругового распространения являются:

• The Круговая дисперсия . Для выборки круговая дисперсия определяется как:
  $${\overline {\operatorname {Var} (z)}}=1-{\overline {R}}$$
  и для населения
  $$\operatorname {Var} (z)=1-R$$
  Оба будут иметь значения от 0 до 1.
• The круговое стандартное отклонение
  $$S(z)={\sqrt {\ln(1/R^{2})}}={\sqrt {-2\ln(R)}}$$
  $${\overline {S}}(z)={\sqrt {\ln(1/{\overline {R}}^{2})}}={\sqrt {-2\ln({\overline {R}})}}$$
  со значениями от 0 до бесконечности. Это определение стандартного отклонения (а не квадратного корня из дисперсии) полезно, поскольку для завернутого нормального распределения оно является оценкой стандартного отклонения основного нормального распределения. Таким образом, это позволит стандартизировать круговое распределение, как и в линейном случае, для небольших значений стандартного отклонения. Это также относится к распределению фон Мизеса, которое близко приближается к завернутому нормальному распределению. Обратите внимание, что для небольших $S(z)$, у нас есть $S(z)^{2}=2\operatorname {Var} (z)$.
• The круговая дисперсия
  $$\delta ={\frac {1-R_{2}}{2R^{2}}}$$
  $${\overline {\delta }}={\frac {1-{{\overline {R}}_{2}}}{2{\overline {R}}^{2}}}$$
  со значениями от 0 до бесконечности. Эта мера разброса оказывается полезной при статистическом анализе дисперсии.

Распределение среднего

Учитывая набор N измерений $z_{n}=e^{i\theta _{n}}$ среднее значение z определяется как:

${\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}$

что может быть выражено как

${\overline {z}}={\overline {C}}+i{\overline {S}}$

где

${\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n}){\text{ and }}{\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})$

или, альтернативно, как:

${\overline {z}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}$

где

${\overline {R}}={\sqrt {{\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}}{\text{ and }}{\overline {\theta }}=\arctan({\overline {S}}/{\overline {C}}).$

Распределение среднего угла ( ${\overline {\theta }}$) для кругового PDF-файла P ( θ ) будет определяться следующим образом:

$P({\overline {C}},{\overline {S}})\,d{\overline {C}}\,d{\overline {S}}=P({\overline {R}},{\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}=\int _{\Gamma }\cdots \int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left[P(\theta _{n})\,d\theta _{n}\right]$

где $\Gamma$ находится на любом интервале длины $2\pi$ и интеграл подчиняется ограничению, которое ${\overline {S}}$ и ${\overline {C}}$ постоянны или, альтернативно, что ${\overline {R}}$ и ${\overline {\theta }}$ постоянны.

Расчет распределения среднего значения для большинства круговых распределений аналитически невозможен, и для проведения дисперсионного анализа необходимы численные или математические аппроксимации.

Центральная предельная теорема может быть применена к распределению выборочных средних. (основная статья: Центральная предельная теорема для направленной статистики ). Это можно показать что распределение $[{\overline {C}},{\overline {S}}]$ приближается к двумерному нормальному распределению в пределе большого размера выборки.

соответствия

Для циклических данных (например, равномерно ли они распределены):

• Тест Рэлея для унимодального кластера
• Тест Койпера на возможность мультимодальных данных.

См. также

• Коэффициент круговой корреляции
• Комплексное нормальное распределение
• Завернутое распространение

Книги по направленной статистике

• Батчелет, Э. (1981). Круговая статистика в биологии . Лондон: Академическая пресса . ISBN  0-12-081050-6 .
• Фишер, Нью-Йорк (1993). Статистический анализ круговых данных . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-35018-2 .
• Фишер, Нью-Йорк ; Льюис, Т.; Эмблтон, БЖЖ (1993). Статистический анализ сферических данных . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-45699-1 .
• Джаммаламадака, С. Рао; Сенгупта, А. (2001). Темы круговой статистики . Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  981-02-3778-2 . Проверено 15 мая 2011 г.
• Мардия, КВ ; Джапп, П. (2000). Статистика направления (2-е изд.). Джона Вили и Сыновей Лтд. ISBN  0-471-95333-4 .
• Лей, К.; Вердебу, Т. (2017). Современная направленная статистика . CRC Press Taylor & Francisco Group . ISBN  978-1-4987-0664-3 .