Сильная топология оператора

В функциональном анализе , разделе математики , топология сильных операторов , часто сокращенно SOT , представляет собой локально выпуклую топологию на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H, индуцированную полунормами вида $T\mapsto \|Tx\|$ , поскольку x изменяется в H .

Эквивалентно, это самая грубая топология , такая, что для каждого фиксированного x в H карта оценки $T\mapsto Tx$ (принимающий значения в H ) непрерывен в T. Эквивалентность этих двух определений можно увидеть, заметив, что подбаза для обеих топологий задается множествами $U(T_{0},x,\epsilon )=\{T:\|Tx-T_{0}x\|<\epsilon \}$ (где T ₀ — любой ограниченный оператор в H , x — любой вектор, а ε — любое положительное действительное число).

Говоря конкретным языком, это означает, что $T_{i}\to T$ в топологии сильных операторов тогда и только тогда, когда $\|T_{i}x-Tx\|\to 0$ для каждого x в H .

SOT сильнее, чем слабая операторная топология , и слабее, чем нормальная топология .

В SOT отсутствуют некоторые из лучших свойств, которыми обладает топология слабых операторов , но, поскольку она более сильна, в этой топологии иногда легче что-то доказывать. Ее также можно рассматривать как более естественную, поскольку это просто топология поточечной сходимости.

Топология SOT также обеспечивает основу для измеримого функционального исчисления , точно так же, как топология нормы обеспечивает непрерывное функциональное исчисление .

Линейные функционалы на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, непрерывные в SOT, в точности являются непрерывными в слабой операторной топологии (WOT). По этой причине замыкание выпуклого набора операторов в WOT совпадает с замыканием этого набора в SOT.

Этот язык переводится в свойства сходимости операторов гильбертового пространства. Для комплексного гильбертова пространства легко проверить с помощью поляризационного тождества, что из сильной операторной сходимости следует слабая операторная сходимость.

См. также

Ссылки

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Педерсен, Герт (1989). Анализ сейчас . Спрингер. ISBN 0-387-96788-5 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

v т и гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

v т и Двойственность и пространства линейных отображений
Basic concepts	Dual space Dual system Dual topology Duality Operator topologies Polar set Polar topology Topologies on spaces of linear maps
Topologies	Norm topology Dual norm Ultraweak/Weak-* Weak polar operator in Hilbert spaces Mackey Strong dual polar topology operator Ultrastrong
Main results	Banach–Alaoglu Mackey–Arens
Maps	Transpose of a linear map
Subsets	Saturated family Total set
Other concepts	Biorthogonal system