Парадокс Сорита

Парадокс соритов: если куча уменьшается на одно зерно за раз, возникает вопрос: в какой именно момент она перестает считаться кучей?

Парадокс соритов ( / s oʊ ˈ r aɪ t iː z / ; иногда известный как парадокс кучи ) — парадокс , возникающий в результате расплывчатых предикатов . Типичная рецептура включает в себя кучу песка , из которого зерна удаляются по отдельности. Если предположить, что удаление одного зерна не приводит к тому, что куча больше не будет считаться кучей, парадокс состоит в том, чтобы рассмотреть, что происходит, когда процесс повторяется достаточное количество раз, чтобы осталось только одно зерно: остается ли это все еще кучей? Если нет, то когда он превратился из кучи в некучу?

Оригинальная формулировка и вариации

Парадокс кучи

Слово сориты ( греч . σωρείτης ) происходит от греческого слова, означающего «куча» ( греч . σωρός ). Парадокс назван так из-за своей первоначальной характеристики, приписываемой Евбулиду Милетскому . Парадокс заключается в следующем: рассмотрим кучу песка, из которой зерна удаляются по отдельности. Можно построить аргумент, используя предпосылки , следующим образом:

1 000 000 песчинок — это куча песка (посылка 1)

Куча песка минус одно зерно — все равно куча. (Предпосылка 2)

Повторное применение Посылки 2 (каждый раз начиная с одной песчинки меньше) в конечном итоге заставляет принять вывод , что куча может состоять всего из одной песчинки. Рид (1995) отмечает, что «аргумент сам по себе является кучей или соритами шагов modus ponens »:

1 000 000 зерен — это куча.

Если 1 000 000 зерен — это куча, то 999 999 зерен — это куча.

Итак, 999 999 зерен — это куча.

Если 999 999 зерен — это куча, то 999 998 зерен — это куча.

Итак, 999 998 зерен — это куча.

Если ...

...Так что 1 зерно - это куча.

Вариации

Цветовой градиент, иллюстрирующий парадокс соритов: любые соседние цвета неразличимы человеческим глазом.

Тогда напряжение между малыми изменениями и большими последствиями порождает парадокс соритов... Существует множество вариаций... [некоторые из которых допускают] рассмотрение разницы между тем, чтобы быть... (вопрос факта ) и казаться... (вопрос восприятия ).

Другая формулировка состоит в том, чтобы начать с песчинки, которая явно не является кучей, а затем предположить, что добавление одной песчинки к чему-то, что не является кучей, не приводит к тому, что оно становится кучей. Индуктивно этот процесс можно повторять сколько угодно раз, даже не создавая кучу. Более естественная формулировка этого варианта состоит в том, чтобы предположить, что существует набор цветных фишек, в котором два соседних чипа слишком мало различаются по цвету, чтобы человеческое зрение могло их различить. Тогда, исходя из этой предпосылки, люди не смогут различать какие-либо цвета.

Удаление одной капли из океана не сделает его «не океаном» (это все равно океан), но поскольку объем воды в океане конечен, в конце концов, после достаточного удаления, остается даже литр воды. все еще океан.

Этот парадокс можно реконструировать для самых разных предикатов, например, с «высокий», «богатый», «старый», «синий», «лысый» и так далее. Бертран Рассел утверждал, что весь естественный язык, даже логические связи, расплывчат; более того, репрезентации пропозиций расплывчаты.

Заблуждение континуума

( Заблуждение континуума также известное как заблуждение бороды ). ошибка рисования линий или ошибка точки принятия решения ) — неформальное заблуждение, связанное с парадоксом соритов. Оба заблуждения заставляют ошибочно отвергать расплывчатое утверждение просто потому, что оно не настолько точно, как хотелось бы. Сама по себе неясность не обязательно означает недействительность. Заблуждением является утверждение, что два состояния или состояния не могут считаться отдельными (или не существуют вообще), поскольку между ними существует континуум состояний.

Строго говоря, парадокс соритов относится к ситуациям, когда существует множество дискретных состояний (классически от 1 до 1 000 000 песчинок, следовательно, 1 000 000 возможных состояний), тогда как ошибка континуума относится к ситуациям, когда существует (или кажется, что существует) континуум состояний. , например, температура. Существуют ли какие-либо континуумы ​​в физическом мире, это классический вопрос атомизма , и хотя и ньютоновская физика , и квантовая физика есть некоторые предложения моделируют мир как непрерывный, в квантовой гравитации , такие как петлевая квантовая гравитация , которые предполагают, что понятия непрерывной длины не применимы на планковской длине , и, таким образом, то, что кажется континуумом, может быть просто пока еще неразличимыми дискретными состояниями.

Что касается ошибки континуума, предполагается, что континуум на самом деле существует, хотя это, как правило, незначительное различие: в общем, любой аргумент против парадокса соритов также может быть использован против ошибки континуума. Один из аргументов против этого заблуждения основан на простом контрпримере : существуют лысые люди и люди, которые не лысые. Другой аргумент заключается в том, что при каждой степени изменения состояний степень состояния меняется незначительно, и эти небольшие изменения накапливаются, чтобы перевести состояние из одной категории в другую. Например, возможно, добавление рисового зернышка приведет к тому, что вся группа риса станет «чуть больше» кучки, и достаточно небольших изменений подтвердят статус кучи группы – см. нечеткую логику .

Предлагаемые резолюции

Отрицание существования куч

Можно возразить против первой посылки, отрицая, что 1 000 000 песчинок образуют кучу. Но 1 000 000 — это просто произвольно большое число, и аргумент применим к любому такому числу. Таким образом, ответ должен прямо отрицать существование таких вещей, как кучи. Питер Унгер защищает это решение. Однако А. Дж. Айер отверг эту идею, когда ее представил Унгер: «Если мы будем рассматривать все как состоящее из атомов и думать, что Унгер состоит не из клеток, а из атомов, составляющих клетки, тогда, как Дэвид Виггинс, указал По моему мнению, аналогичный аргумент можно использовать, чтобы доказать, что Унгер не только не существует, но идентичен всему, что существует. Нам нужно только заменить предпосылку, что вычитание одного атома из тела Унгера никогда ничего не дает. Разница в его существовании состоит в том, что добавление к нему хотя бы одного атома тоже не имеет никакого значения».

Установка фиксированной границы

Обычный первый ответ на парадокс — назвать кучей любой набор зерен, в котором содержится больше определенного количества зерен. Если бы кто-то определил «фиксированную границу» на уровне 10 000 зерен, то можно было бы утверждать, что для значений менее 10 000 это не куча; за 10000 и более, то это куча.

зерен кажется незначительной Коллинз утверждает, что такие решения неудовлетворительны, поскольку разница между 9 999 и 10 000 . Граница, где бы она ни была установлена, остается произвольной, и поэтому ее точность вводит в заблуждение. Это вызывает возражения как с философской, так и с лингвистической точки зрения: первая из-за ее произвольности, а вторая - потому что естественный язык просто не используется.

Непознаваемые границы (или эпистемизм )

Тимоти Уильямсон и Рой Соренсен утверждают, что существуют фиксированные границы, но они обязательно непознаваемы.

Сверхоцененность

Супероценочность — это метод борьбы с ирреферентными сингулярными терминами и неопределенностью . Это позволяет сохранить обычные тавтологические законы даже при работе с неопределенными истинностными значениями. В качестве примера предложения об ирреференциальном термине в единственном числе рассмотрим предложение « Пегас любит солодку ».Поскольку имя « Пегас » не относится к этому предложению , никакое истинностное значение не может быть присвоено этому предложению; в мифе нет ничего, что могло бы оправдать такое назначение. Однако есть некоторые утверждения о « Пегасе », которые, тем не менее, имеют определенные истинностные значения, например: « Пегас любит солодку или Пегас не любит солодку ». Это предложение является примером тавтологии». $p\vee \neg p$", т.е. действительная схема " $p$ или нет- $p$«. Согласно сверхоцененности, оно должно быть истинным независимо от того, имеют ли его компоненты истинностное значение или нет.

Допуская предложения без определенных значений истинности, супероценизм избегает смежных случаев, например, когда n песчинок является кучей песка, а n -1 песчинок - нет;например, « 1000 песчинок — это куча » можно считать пограничным случаем, не имеющим определенного значения истинности. Тем не менее, сверхоценочность способна трактовать предложение типа « 1000 песчинок — это куча или 1000 песчинок — не куча » как тавтологию, т. е. приписывать ему значение «истина» .

Математическое объяснение

Позволять $v$ быть классической оценкой, определенной для каждого атомарного предложения языка $L$, и пусть $At(x)$ быть числом различных атомарных предложений в $x$. Тогда для каждого предложения $x$, самое большее $2^{At(x)}$ могут существовать различные классические оценки. Переоценка $V$ - это функция преобразования предложений в истинностные значения, такая, что предложение $x$ является сверхверным (т.е. $V(x)={\text{True}}$) тогда и только тогда, когда $v(x)={\text{True}}$ для каждой классической оценки $v$; то же самое и для супер-ложного. В противном случае, $V(x)$ не определено, т. е. ровно тогда, когда существуют две классические оценки $v$ и $v'$ такой, что $v(x)={\text{True}}$ и $v'(x)={\text{False}}$.

Например, пусть $L\;p$ быть формальным переводом фразы « Пегас любит лакрицу ». Тогда существует ровно две классические оценки $v$ и $v'$ на $L\;p$, а именно. $v(L\;p)={\text{True}}$ и $v'(L\;p)={\text{False}}$. Так $L\;p$ не является ни сверхправдой, ни сверхложью. Однако тавтология $L\;p\lor \lnot L\;p$ оценивается как ${\text{True}}$ по каждой классической оценке; следовательно, это сверхправда. Аналогично, формализация приведенного выше предложения о куче $H\;1000$ не является ни сверхправдой, ни сверхложью, но $H\;1000\lor \lnot H\;1000$ это суперправда.

Пробелы в истине, перенасыщение и многозначная логика

Другой метод — использовать многозначную логику . В данном контексте проблема в принципе бивалентности : песок либо куча, либо не куча, без каких-либо оттенков серого. Вместо двух логических состояний, кучи и не-кучи , может использоваться трехзначная система, например куча , неопределенная и не-куча . Ответом на это предложенное решение является то, что трехзначные системы по-настоящему не разрешают парадокс, поскольку все еще существует разделительная линия между кучей и неопределенностью , а также между неопределенностью и не-кучей . Третье истинностное значение можно понимать либо как разрыв истинностного значения , либо как избыток истинностного значения .

Альтернативно, нечеткая логика предлагает непрерывный спектр логических состояний, представленных в единичном интервале действительных чисел [0,1] — это многозначная логика с бесконечно большим количеством значений истинности, и, таким образом, песок постепенно переходит от «определенно кучи». до "точно не кучи", с оттенками в промежуточной области. Нечеткие изгороди используются для разделения континуума на области, соответствующие классам, таким как определенно куча , в основном куча , частично куча , слегка куча и не куча . Хотя проблема остается в том, где проходят эти границы; например, при каком количестве зерен песок начинает «определенно» превращаться в кучу.

Гистерезис

Другой метод, предложенный Раффманом, заключается в использовании гистерезиса , то есть знания о том, с чего начался сбор песка. Эквивалентные количества песка можно назвать кучами или нет, в зависимости от того, как они туда попали. Если большая куча (бесспорно описываемая как куча) уменьшается медленно, она до некоторой степени сохраняет свой «статус кучи», даже если фактическое количество песка сокращается до меньшего числа зерен. Например, 500 зерен — это куча, а 1000 зерен — куча. Эти состояния будут пересекаться. Таким образом, если кто-то сводит его из кучи в кучу, это будет куча, уменьшающаяся до 750 . В этот момент можно было бы перестать называть это кучей и начать называть это кучей. Но если заменить одно зерно, оно не превратится мгновенно обратно в кучу. При подъеме куча оставалась бы до 900 зерен. Выбранные числа произвольны; дело в том, что одна и та же сумма может быть как кучей, так и кучей в зависимости от того, какой она была до изменения. Обычно гистерезис используется в термостате для кондиционирования воздуха: переменный ток устанавливается на температуру 77 °F, а затем охлаждает воздух до температуры чуть ниже 77 °F, но не активируется снова мгновенно, когда воздух нагревается до 77,001 °F. ждет почти до 78 °F, чтобы предотвратить повторное мгновенное изменение состояния.

Консенсус группы

Значение слова «куча» можно установить, обратившись к консенсусу . Уильямсон в своем эпистемическом решении парадокса предполагает, что значение расплывчатых терминов должно определяться их групповым использованием. Метод консенсуса обычно утверждает, что совокупность зерен представляет собой такую ​​же «кучу», как и доля людей в группе, которые так считают. Другими словами, вероятность того, что любая коллекция будет считаться кучей, — это ожидаемое значение распределения мнения группы.

Группа может решить, что:

• Одна песчинка сама по себе не является кучей.
• Большая коллекция песчинок представляет собой кучу.

Между двумя крайностями отдельные члены группы могут не соглашаться друг с другом по поводу того, можно ли назвать какую-либо конкретную коллекцию «кучей». Тогда коллекцию нельзя будет однозначно назвать « кучей» или «не кучей». Это можно считать обращением к описательной лингвистике, а не к прескриптивной лингвистике , поскольку она решает проблему определения на основе того, как население использует естественный язык. Действительно, если доступно точное предписывающее определение «кучи», тогда групповой консенсус всегда будет единогласным, и парадокса не произойдет.

Резолюции в теории полезности

скрывать « X более или одинаково красный, чем Y » моделируется как квазитранзитивное отношение ≈: неразличимо, >: явно более красный
И Х	f10	е20	д30	с40	б50	а60
f10	≈	≈	>	>	>	>
е20	≈	≈	≈	>	>	>
д30		≈	≈	≈	>	>
с40			≈	≈	≈	>
б50				≈	≈	≈
а60					≈	≈

В экономической области теории полезности парадокс соритов возникает, когда исследуются модели предпочтений человека.В качестве примера Роберта Дункана Люса легко найти человека, скажем Пегги, который предпочитает в своем кофе 3 грамма (то есть 1 кубик ) сахара 15 граммам (5 кубиков), однако обычно он будет безразличен. между 3,00 и 3,03 граммами, а также между 3,03 и 3,06 граммами и так далее, а также, наконец, между 14,97 и 15,00 граммами.

Экономисты приняли две меры, чтобы избежать парадокса соритов в таких условиях.

• Используются сравнительные , а не положительные формы свойств. В приведенном выше примере намеренно не содержится утверждений типа «Пегги нравится чашка кофе с 3 граммами сахара» или «Пегги не нравится чашка кофе с 15 граммами сахара». Вместо этого в нем говорится: «Пегги больше любит чашку кофе с 3 граммами сахара, чем чашку с 15 граммами сахара».
• Экономисты различают предпочтение («Пегги нравится... больше, чем...») от безразличия («Пегги нравится... столько же, сколько...») и не считают последнее отношение транзитивным . В приведенном выше примере сокращение «чашка кофе с x граммами сахара» через « c _x », а «Пегги безразлично между c _x и c _y » как « c _x ≈ c _y », факты c _3,00 ≈ c _3,03 и с _3,03 ≈ с _3,06 и ... и с _14,97 ≈ с _15,00 не подразумевают с _3,00 ≈ с _15,00 .

Было введено несколько видов отношений для описания предпочтения и безразличия, не сталкиваясь с парадоксом соритов.Люси определил полупорядки и исследовал их математические свойства; Амартия Сен выполнил аналогичную задачу для квазитранзитивных отношений . Сокращение фразы «Пегги любит c _x больше, чем c _y » как « c _x > c _y » и сокращение « c _x > c _y или c _x ≈ c _y » до « c _x ≥ c _y », разумно, что соотношение «>» является полупорядком, а ≥ квазитранзитивен.И наоборот, по заданному полупорядку > отношение безразличия ≈ можно восстановить, определив c _x ≈ c _y , если ни c _x > c _y, ни c _y > c _x . Аналогично, по заданному квазитранзитивному отношению ≥ отношение безразличия ≈ можно восстановить, определив c _x ≈ c _y, если оба c _x ≥ c _y и c _y ≥ c _x . Эти реконструируемые ≈ отношения обычно не транзитивны.

В таблице справа показано, как приведенный выше пример цвета можно смоделировать как квазитранзитивное отношение ≥. Цветовые различия преувеличены для удобства чтения. цвет X Говорят, что более или одинаково красный, чем цвет Y, если ячейка таблицы в строке X и столбце Y не пуста. В этом случае, если он содержит «≈», то X и Y выглядят неотличимо равными, а если он содержит «>», то X выглядит явно более красным, чем Y . Отношение ≥ представляет собой дизъюнктное объединение симметричного отношения ≈ и транзитивного отношения >. Используя транзитивность >, знание обоих f10 > д30 и д30 > b50 позволяет сделать вывод, что f10 > б50 . Однако, поскольку ≥ не транзитивно, «парадоксальный» вывод типа « d30 ≥ е20 и е20 ≥ f10 , следовательно d30 ≥ f10 " больше невозможно. По той же причине, например " d30 ≈ е20 и е20 ≈ f10 , следовательно d30 ≈ f10 "больше не является действительным выводом. Точно так же, чтобы разрешить исходный вариант парадокса кучи с помощью этого подхода, отношение " зерна X являются скорее кучей, чем зерна Y " можно считать квазитранзитивным, а не транзитивным.

См. также

• Двусмысленность
• Кипящая лягушка
• Закрытая концепция
• Нечеткая концепция
• Я знаю это, когда вижу это
• Неточный язык
• Список заблуждений
• Ставка Локи
• Виды колец
• Корабль Тесея
• Скользкий склон
• Соломинка, сломавшая спину верблюду

Библиография

• Барнс, Дж. (1982). «Медицина, опыт и логика». В Барнсе, Дж.; Бруншвиг, Дж.; Бернит, МФ; Шофилд, М. (ред.). Наука и предположения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета .
• Блэк, Макс (1970). Пределы точности . Итака, Нью-Йорк: Издательство Корнельского университета. ISBN  978-0-8014-0602-7 .
• Бернс, Линда Клэр (1991). Неясность: исследование естественных языков и парадокса Соритов . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-0-7923-1489-9 .
• Бернит, Майлз (1982). «15. Боги и кучи». В Шофилде, М.; Нуссбаум, MC (ред.). Язык и Логос . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 315– .
• Коллинз, Рори (2018). «О границах неопределенности и неясности границ» (PDF) . Философский журнал колледжа Вассар . 5 :30–44 . Проверено 21 июня 2018 г.
• Джафаров, Этибар Н.; Джафаров, Дамир Д. (2013). «Парадокс Сорита: поведенческий подход» (PDF) . В Рудольфе, Ли (ред.). Качественная математика для социальных наук: математические модели для исследования культурной динамики . стр. 105–136. дои : 10.4324/9780203100806 . ISBN  9780415444828 .
• Герла (2001). Нечеткая логика: математические инструменты для приближенного рассуждения . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-0-7923-6941-7 .
• Людвиг, Кирк; Рэй, Грег (2002). «Неопределенность и парадокс Соритов». Философские перспективы . 16 : 419–461. JSTOR   3840922 .
• Нувен, Рик; Ройдж, Роберт ван; Зауэрланд, Ули; Шмитц, Ганс-Кристиан (2009). Международный семинар по неопределенности в общении (ViC; проводится в рамках ESSLLI) . ЛНАИ. Том. 6517. Спрингер. ISBN  978-3-642-18445-1 .
• Омс, Сержи; Зардини, Элия, ред. (2019). Парадокс Сорита . Издательство Кембриджского университета.
• Сейнсбери, РМ (2009). Парадоксы (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ; Раздел 3

Внешние ссылки

• Залта, Эдвард Н. (ред.). «Парадокс Сорита» . Стэнфордская энциклопедия философии . Доминик Хайд.
• Сандра ЛаФав: открытые и закрытые концепции и ошибка континуума