Равный темперамент

Сравнение некоторых равных темпераментов. График занимает одну октаву по горизонтали (откройте изображение, чтобы просмотреть полную ширину), а каждый заштрихованный прямоугольник соответствует ширине одного шага шкалы. Отношения справедливых интервалов разделены в строках их простыми пределами .

12-тоновая хроматическая гамма равной темперации на C , восходящая на одну полную октаву, обозначенная только диезами.

Равная темперация - это музыкальная темперация или система настройки , которая аппроксимирует только интервалы , разделив октаву (или другой интервал) на ступени так, чтобы соотношение частот любой соседней пары нот было одинаковым. Эта система дает шаги шага , воспринимаемые как равные по размеру из-за логарифмических изменений частоты основного тона.

В классической музыке и западной музыке в целом наиболее распространенной системой настройки с 18 века была 12 равнотемперированных (также известная как 12 равнотемперированных тонов , 12 TET или 12 ET , неофициально сокращенно называемая 12 равных ), которая делит октаву на 12 частей, все из которых равны в логарифмическом масштабе , с соотношением, равным корню 12-й степени из 2, ( ¹² √ 2 ≈ 1,05946). Полученный в результате наименьший интервал ⁠ 1/12 ⁠ ширина или октавы, называется полутоном полутоном. В западных странах термин «равный темперамент» без оговорок обычно означает 12 ТЕТ .

В наше время 12 TET обычно настраивается относительно стандартной высоты 440 Гц, называемой A 440 , что означает, что одна нота A настроена на 440 герц , а все остальные ноты определяются как несколько полутонов от нее, либо выше. или ниже по частоте. Стандартная высота звука не всегда составляла 440 Гц; он значительно менялся и в целом увеличился за последние несколько сотен лет.

Другие равные темпераменты делят октаву по-разному. Например, некоторая музыка написана в 19 ТЕТ и 31 ТЕТ , тогда как в арабской системе тонов используется 24 ТЕТ .

Вместо того, чтобы делить октаву, равная темперация может также делить другой интервал, как, например, равнотемперированная версия шкалы Болена-Пирса , которая делит справедливый интервал октавы и квинты (соотношение 3:1), называемая « тритава» или « псевдооктава » в этой системе на 13 равных частей.

Для систем настройки, которые делят октаву поровну, но не являются приближениями только интервалов, термин «равное деление октавы » или EDO можно использовать .

Неладные струнные ансамбли , которые могут регулировать настройку всех нот, кроме открытых струн , и вокальные группы, у которых нет механических ограничений настройки, иногда используют настройку, намного более близкую к просто интонации, по акустическим причинам. Другие инструменты, такие как некоторые духовые , клавишные и ладовые инструменты, часто имеют примерно равную темперацию, тогда как технические ограничения не позволяют точно настроить. Некоторые духовые инструменты, которые могут легко и спонтанно изменять свой тон, особенно тромбоны , используют настройку, аналогичную настройке струнных ансамблей и вокальных групп.

Сравнение одинаковых темпераментов между 10 TET и 60 TET на каждом основном интервале малых простых пределов (красный: ⁠ 3 / 2 ⁠ , зеленый: ⁠ 5/4 , ⁠ : индиго ⁠ 7 / 4 ⁠ , желтый: ⁠ 11/8 , ⁠ : голубой ⁠ 13/8 ​ ⁠ ) . Каждый цветной график показывает, насколько велика ошибка (в центах) в ближайшем приближении соответствующего интервала (черная линия в центре). Две черные кривые, окружающие график с обеих сторон, обозначают максимально возможную ошибку, а серые внутри них — ее половину.

Общие свойства

В равной темперации расстояние между двумя соседними ступенями гаммы равно одному и тому же интервалу . Поскольку воспринимаемая идентичность интервала зависит от его соотношения , эта шкала с четными шагами представляет собой геометрическую последовательность умножений. ( Арифметическая последовательность интервалов не будет звучать равномерно и не позволит транспонировать ее в разные тональности .) В частности, наименьший интервал в равнотемперированной гамме - это соотношение:

$\ r^{n}=p\$

$\ r={\sqrt[{n}]{p\ }}\$

где соотношение r делит соотношение p (обычно октаву, которая составляет 2:1) на n равных частей. ( См. «Двенадцать тонов равной темперации» ниже. )

Весы часто измеряются в центах , которые делят октаву на 1200 равных интервалов (каждый из которых называется центом). Эта логарифмическая шкала упрощает сравнение различных систем настройки, чем сравнение соотношений, и широко используется в этномузыкологии . Основной шаг в центах для любого равного темперамента можно найти, взяв ширину p выше в центах (обычно октаву, ширина которой составляет 1200 центов), называемую ниже w , и разделив ее на n частей:

$\ c={\frac {\ w\ }{n}}\$

В музыкальном анализе материалу, принадлежащему к равной темпераменту, часто присваивается целочисленное обозначение , то есть для обозначения каждой высоты звука используется одно целое число. Это упрощает и обобщает обсуждение тонального материала в темпераменте точно так же, как логарифмирование умножения сводит его к сложению. Более того, применяя модульную арифметику , где модуль представляет собой количество делений октавы (обычно 12), эти целые числа можно свести к классам высоты звука , что устраняет различие (или признает сходство) между высотами звука с одинаковым названием, например , c равен 0 независимо от октавного регистра. Стандарт кодирования MIDI использует целочисленные обозначения нот.

Двенадцать тонов равного темперамента

Основная статья: 12 равных темпераментов

12-тоновая равнотемперированная система, которая делит октаву на 12 интервалов одинакового размера, является музыкальной системой, наиболее широко используемой сегодня, особенно в западной музыке.

История

Двум фигурам, которым часто приписывают достижение точного расчета равного темперамента, являются Чжу Цзайюй (также латинизированный как Чу-Цайю. Китайский: 朱載堉 ) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Ф.А. Каттнера, критика, отдающего должное Чжу, известно, что Чжу «представил очень точный, простой и гениальный метод арифметического расчета равнотемперированных монохордов в 1584 году» и что Стевин «предложил математическое определение равнотемперации плюс несколько менее точное вычисление соответствующих числовых значений в 1585 или позже».

События происходили независимо.

Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу. и предоставляет текстовые цитаты в качестве доказательства. В 1584 году Чжу писал:

Я основал новую систему. Я определяю один фут как число, из которого нужно извлечь остальные, и, используя пропорции, извлекаю их. Всего надо найти точные цифры для волынщиков за двенадцать операций.

Каттнер не согласен и отмечает, что его утверждение «нельзя считать правильным без существенных оговорок». Каттнер предполагает, что ни Чжу, ни Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни один из них не должен считаться его изобретателем.

Китай

Чжу Цзайюя Равномерная по темпераменту трубка

Китайские теоретики ранее придумали приближения для 12 ТЕТ , но Чжу был первым человеком, который математически определил 12 тонов, равных темпераменту. который он описал в двух книгах, изданных в 1580 г. и 1584. Нидхэм также дает расширенный отчет.

Чжу получил свой результат, последовательно разделив длину веревки и трубы на ¹² √ 2 ≈ 1,059463 , а для длины трубы на ²⁴ √ 2  ≈ 1.029302 , так, что после 12 делений (октавы) длина уменьшалась вдвое.

Чжу создал несколько инструментов, настроенных на его систему, в том числе бамбуковые трубы.

Европа

Одними из первых европейцев, выступавших за равный темперамент, были лютнисты Винченцо Галилей , Джакомо Горзанис и Франческо Спиначино , все из которых писали на нем музыку.

Саймон Стевин был первым, кто разработал 12 ТЕТ на основе корня двенадцатой степени из двух , который он описал в книге van de Spiegheling der Singconst ( ок. 1605 ), опубликованной посмертно в 1884 году.

Исполнители щипковых инструментов (лютнисты и гитаристы) обычно отдавали предпочтение равному темпераменту. в то время как другие были более разделены. В итоге победила 12-тоновая равнотемперация. Это позволило энгармонической модуляции , новым стилям симметричной тональности и политональности , атональной музыке , например, написанной с использованием 12-тоновой техники или сериализма , и джазу (по крайней мере, его фортепианному компоненту) развиваться и процветать.

Математика

Одна октава из 12 ТЕТ на монохорде.

В 12-тоновой равнотемперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона , т. е. соотношение частот интервала между двумя соседними нотами, равна корню двенадцатой степени из двух :

${\sqrt[{12}]{2\ }}=2^{\tfrac {1}{12}}\approx 1.059463$

Этот интервал делится на 100 центов.

Расчет абсолютных частот

См. Также: Частоты клавиш фортепиано.

Чтобы найти частоту P _n ноты в 12 TET , можно использовать следующую формулу:

$\ P_{n}=P_{a}\ \cdot \ {\Bigl (}\ {\sqrt[{12}]{2\ }}\ {\Bigr )}^{n-a}\$

В этой формуле P _n представляет высоту звука или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. P _a — частота эталонного тона. Индексы n и a — это метки, присвоенные желаемому шагу ( n ) и эталонному шагу ( a ). Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, которым присвоены последовательные полутона. Например, A ₄ фортепиано (настроенного на 440 Гц ), а C ₄ ( средняя C ), а F♯ (опорная высота) — это 49-я клавиша от левого конца ₄ — 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать для нахождения частоты C ₄ и F ♯ ₄ :

$P_{40}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(40-49)}\approx 261.626\ {\mathsf {Hz}}\$

$P_{46}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(46-49)}\approx 369.994\ {\mathsf {Hz}}\$

Преобразование частот в их равнотемперированные аналоги.

Чтобы преобразовать частоту (в Гц) в ее эквивалент 12 TET , можно использовать следующую формулу:

$\ E_{n}=E_{a}\ \cdot \ 2^{\ x}\ \quad$ где вообще $\quad \ x\ \equiv \ {\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ n\ }{a}}\right){\Biggr )}~.$

Сравнение интервалов в 12-ТЕТ только с интонацией

En _— частота звука равной темперации, а E _a — частота эталонного звука. Например, если мы примем опорную высоту тона равной 440 Гц, мы увидим, что E ₅ и C ♯ ₅ имеют следующие частоты соответственно:

$E_{660}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {7}{\ 12\ }}\right)}\ \approx \ 659.255\ {\mathsf {Hz}}\ \quad$ где в этом случае $\quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}\ 12\log _{2}\left({\frac {\ 660\ }{440}}\right)\ {\Biggr )}={\frac {7}{\ 12\ }}~.$

$E_{550}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {1}{\ 3\ }}\right)}\ \approx \ 554.365\ {\mathsf {Hz}}\ \quad$ где в этом случае $\quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.$

Сравнение только с интонацией

Интервалы 12 ТЕТ близко приближаются к некоторым интервалам только по интонации . Квинты и четверти почти неразличимо близки к интервалам, тогда как терции и шестые находятся дальше.

В следующей таблице размеры различных справедливых интервалов сравниваются с их равнотемперированными аналогами, выраженными как в пропорциях, так и в центах.

Название интервала	Точная стоимость в 12 TET	Десятичное значение в 12 TET	Вмешаться	Просто интонационный интервал	Центы в простой интонации	12 ТЕТ центов ошибка настройки
Унисон ( С )	2 0 ⁄ 12 = 1	1	0	⁠ 1 / 1 ⁠ = 1	0	0
Малая секунда ( D ♭ )	2 1 ⁄ 12 = 12 √ 2	1.059463	100	⁠ 16 / 15 ⁠ = 1.06666...	111.73	-11.73
Главный второй ( D )	2 2 ⁄ 12 = 6 √ 2	1.122462	200	⁠ 9 / 8 ⁠ = 1.125	203.91	-3.91
Минорная терция ( E ♭ )	2 3 ⁄ 12 = 4 √ 2	1.189207	300	⁠ 6 / 5 ⁠ = 1.2	315.64	-15.64
Основная треть ( E )	2 4 ⁄ 12 = 3 √ 2	1.259921	400	⁠ 5 / 4 ⁠ = 1.25	386.31	+13.69
Идеальная четвертая ( F )	2 5 ⁄ 12 = 12 √ 32	1.33484	500	⁠ 4 / 3 ⁠ = 1.33333...	498.04	+1.96
Тритон ( G ♭ )	2 6 ⁄ 12 = √ 2	1.414214	600	⁠ 64 / 45 ⁠ = 1.42222...	609.78	-9.78
Идеальная пятая часть ( G )	2 7 ⁄ 12 = 12 √ 128	1.498307	700	⁠ 3 / 2 ⁠ = 1.5	701.96	-1.96
Минорная шестая ( A ♭ )	2 8 ⁄ 12 = 3 √ 4	1.587401	800	⁠ 8 / 5 ⁠ = 1.6	813.69	-13.69
Мажор шестой ( А )	2 9 ⁄ 12 = 4 √ 8	1.681793	900	⁠ 5 / 3 ⁠ = 1.66666...	884.36	+15.64
Минорная септак ( B ♭ )	2 10 ⁄ 12 = 6 √ 32	1.781797	1000	⁠ 16 / 9 ⁠ = 1.77777...	996.09	+3.91
Мажорная седьмая ( B )	2 11 ⁄ 12 = 12 √ 2048	1.887749	1100	⁠ 15 / 8 ⁠ = 1.875	1088.270	+11.73
Октава ( С )	2 12 ⁄ 12 = 2	2	1200	⁠ 2 / 1 ⁠ = 2	1200.00	0

Семитоновое равное деление пятой части

Скрипки, альты и виолончели настроены по идеальным квинтам ( GDAE для скрипок и CGDA для альтов и виолончелей), что позволяет предположить, что соотношение полутонов у них несколько выше, чем в обычной 12-тоновой равнотемперации. Поскольку чистая квинта находится в соотношении 3:2 со своим основным тоном, а этот интервал состоит из семи ступеней, каждый тон находится в соотношении ⁷ √ ⁠ 3/2 соотношением ⁠ до следующего (100,28 цента), что обеспечивает идеальную квинту с соотношением 3:2, но слегка расширенную октаву с ≈ 517:258 или ≈ 2,00388:1 вместо обычных 2: 1, потому что 12 чистых пятых не равны семи октавам. Однако во время реальной игры скрипачи выбирают высоту звука на слух, и только четыре непрерывных звука струн гарантированно демонстрируют это соотношение 3:2.

Другие равные темпераменты

См. также: Звук 13.

Пяти-, семи- и девятитоновые темпераменты в этномузыкологии.

Приблизительно 7 ТЕТ

Пяти- и семитональная равнотемперация ( 5 TET и {{7 TET }} ), с и 171 цент шаги, соответственно, довольно распространены.

5 TET и 7 TET отмечают конечные точки допустимого диапазона настройки синтонической темперамента , как показано на рисунке 1 .

• В 5 TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 720 центов (в верхней части континуума настройки) и отмечает конечную точку континуума настройки , в которой ширина второстепенной секунды сжимается до ширины 0 центов.
• В 7 TET . темперированная идеальная квинта имеет ширину 686 центов (внизу континуума настройки) и отмечает конечную точку континуума настройки, в которой малая секунда расширяется до такой же ширины, как и большая секунда (по 171 центу каждая) ).

5 тонов и 9 тонов одинаковой темпераментности

По данным Кунста (1949), индонезийские гамеланы настроены на 5 ТЕТ , но по Худу (1966) и Макфи (1966) их настройка широко варьируется, а по Тензеру (2000) они содержат растянутые октавы . В настоящее время принято, что из двух основных систем настройки в музыке гамелан, слендро и пелог , только слендро несколько напоминает пятитоновую равнотемперированную, тогда как пелог весьма неравен; однако в 1972 году Сурджодининграт, Сударжана и Сусанто анализировали пелог как эквивалент 9-TET (шаги по 133 цента) ).

7-тональный равнотемперированный

Тайский от ксилофон, измеренный Мортоном в 1974 году, «отличался всего на плюс-минус 5 центов» 7 TET . По словам Мортона,

«Тайские инструменты фиксированной высоты звука настроены на равноотстоящую систему из семи тонов на октаву… Однако, как и в западной традиционной музыке, все высоты звука системы настройки не используются в одном режиме (часто называемом «гаммой»); в тайской системе пять из семи используются в основных тонах любого лада, таким образом устанавливая структуру неэквидистантных интервалов для этого лада».

Гамма южноамериканских индейцев из доинструментальной культуры, измеренная Бойлсом в 1969 году, характеризовалась семитональной равной темпераментностью 175 центов, что немного расширяет октаву, как и в инструментальной музыке гамелана.

В китайской музыке традиционно используется 7 TET .

Различные равные темпераменты

Система обозначений Исли Блэквуда для 16 равных темпераментов: интервалы обозначаются так же, как и те, к которым они аппроксимируются, и имеется меньше энгармонических эквивалентов.

Сравнение равных темпераментов от 9 до 25 лет.

19 ИЛИ

Многие инструменты созданы с использованием настройки 19 EDO . Эквивалентно ⁠ 1/3 треть и большая шестая отстают менее чем на ⁠ означает запятую , у него немного более плоская идеальная квинта (695 центов), но его малая одну пятую цента от простого, с самым низким EDO, который дает лучший минорный звук. третье и главное шестое место, чем 19 EDO, составляет 232 EDO. Его идеальная кварта (505 центов) на семь центов острее, чем просто интонация, и на пять центов острее, чем 12 EDO.

22 ИЛИ

22 EDO — это наименьший EDO, представляющий темперамент суперпитов (когда 7:4 и 16:9 — один и тот же интервал), и он близок к оптимальному генератору для темперамента дикобраза. Квинты настолько резкие, что мажорные и минорные интервалы, которые мы получаем из сложения квинт, будут такими же, как супермажорные и субминорные версии этих интервалов. На шаг ближе друг к другу находятся более «гармоничные» версии мажорной и минорной терций (5/4 и 6/5).

23 ИЛИ

23 EDO — это самый большой EDO, который не может аппроксимировать 3-ю, 5-ю, 7-ю и 11-ю гармоники (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) в пределах 20 центов. Но он очень хорошо приближает соотношения между ними (включая правильно настроенную минорную терцию 6/5), что делает его привлекательным для микротоналистов, ищущих необычную гармоническую территорию.

24 ИЛИ

24 EDO , четвертьтоновая шкала , особенно популярна, поскольку она представляет собой удобную точку доступа для композиторов, придерживающихся стандартной западной 12-тоновой тональности и практики нотной записи, которые также интересуются микротональностью. Поскольку 24 EDO содержит все высоты звука 12 EDO, музыканты используют дополнительные цвета, не теряя при этом тактики, доступные в 12-тоновой гармонии. То, что 24 кратно 12, также позволяет легко достичь 24 EDO инструментально, используя два традиционных инструмента 12 EDO, настроенных на четверть тона друг от друга, например два фортепиано, что также позволяет каждому исполнителю (или одному исполнителю играть на разных фортепиано каждой рукой) ), чтобы прочитать знакомую 12-тональную нотацию. Различные композиторы, в том числе Чарльз Айвз , экспериментировали с музыкой для четвертьтонового фортепиано. 24 EDO также очень хорошо аппроксимирует 11-ю и 13-ю гармоники, в отличие от 12 EDO.

26 ИЛИ

26 — это наименьшее количество равных делений октавы, которое почти полностью настраивает 7-ю гармонику (7:4). Хотя это средний темперамент, он очень плоский: четыре его идеальных квинты образуют нейтральную треть, а не мажорную треть. 26 EDO имеет две минорные трети и две минорные сексты и может быть альтернативным темпераментом для гармонии в парикмахерской .

27 ИЛИ

27 — это наименьшее количество равных делений октавы, которое однозначно представляет все интервалы, включающие первые восемь гармоник. Он смягчает септимальную запятую , но не синтонную запятую .

29 ИЛИ

29 - это наименьшее количество равных долей октавы, идеальная квинта которого ближе примерно к 12 EDO, в которой квинта имеет диез на 1,5 цента вместо бемоли на 2 цента. Его классическая мажорная треть примерно такая же неточная, как 12 EDO, но настроена на 14 центов ровно, а не на 14 центов выше. Он также настраивает 7-ю, 11-ю и 13-ю гармоники примерно на одинаковую величину, позволяя 29 EDO очень точно соответствовать таким интервалам, как 7:5, 11:7 и 13:11. Разрезание всех 29 интервалов пополам дает 58 EDO , что позволяет снизить ошибки для некоторых тонов.

31 ИЛИ

31 EDO был предложен Христианом Гюйгенсом и Адрианом Фоккером и представляет собой стандартизацию значения четверти запятой . 31 EDO не имеет такой точной идеальной квинты, как 12 EDO (например, 19 EDO), но его основные терции и второстепенные шестые части отстоят от точной менее чем на 1 цент. Он также обеспечивает хорошее согласование гармоник до 11, из которых седьмая гармоника особенно точна.

34 ИЛИ

34 EDO дает немного меньшие общие комбинированные ошибки аппроксимации до 3:2, 5:4, 6:5 и их инверсий, чем 31 EDO, несмотря на то, что он немного менее точно соответствует 5:4. 34 EDO неточно аппроксимирует седьмую гармонику или отношения, включающие 7, и не означает единицу, поскольку ее пятая гармоника является резкой, а не плоской. Это позволяет использовать тритон 600 центов, поскольку 34 — четное число.

41 ИЛИ

41 — второе по величине число равных долей октавы с лучшей идеальной квинтой, чем 12 EDO. Его классическая мажорная терция точнее, чем 12 EDO и 29 EDO, ровно на шесть центов. Это не тон, поэтому различает 10:9 и 9:8, а также классические и пифагорейские мажорные трети, в отличие от 31 EDO. Он более точен в пределе 13, чем 31 EDO.

46 ИЛИ

46 EDO обеспечивает мажорные терции и идеальные квинты, которые одновременно слегка резкие, и многие говорят, что это придает мажорным трезвучиям характерное яркое звучание. Гармоники до 11 находятся в пределах 5 центов с точностью до 10:9 и 9:5 на одну пятую цента от чистого. Поскольку это не система средних значений, она различает 10:9 и 9:8.

53 ИЛИ

53 EDO использовался лишь изредка, но он лучше приближает традиционные созвучия, чем 12, 19 или 31 EDO. Его чрезвычайно точные идеальные квинты делают его эквивалентом расширенной пифагорейской настройки , и он иногда используется в турецкой музыки теории . Однако он не соответствует техническим требованиям среднего темперамента, которые позволяют легко достичь хороших терций через цикл квинт. В 53 EDO самые согласные терции вместо этого достигаются с помощью пифагорейской уменьшенной кварты (CF ♭ ), поскольку это пример раскольнического темперамента , как и 41 EDO.

58 ИЛИ

58 равного темперамента является дублированием 29 EDO, который он содержит в качестве встроенного темперамента. Как и 29 EDO, он может очень точно сопоставлять такие интервалы, как 7:4, 7:5, 11:7 и 13:11, а также лучше аппроксимировать только трети и шестые доли.

72 ИЛИ

72 EDO хорошо аппроксимирует многие интонационные интервалы, обеспечивая почти эквиваленты 3-й, 5-й, 7-й и 11-й гармоникам. 72 EDO преподавали, писали и исполняли на практике Джо Манери и его ученики (чьи атональные наклонности обычно избегают каких-либо упоминаний просто об интонации ). Его можно рассматривать как расширение 12 EDO, поскольку 72 кратно 12. 72 EDO неточно аппроксимирует 13-ю гармонику или наиболее простые соотношения, включающие 13. Он содержит шесть копий 12 EDO, начинающихся на разных тонах, три копии 24 EDO. и две копии 36 EDO, которые сами кратны 12.

96 ИЛИ

96 EDO аппроксимирует все интервалы в пределах 6,25 цента, что едва различимо. Поскольку число, кратное 12, в восемь раз, его можно использовать полностью так же, как обычное 12 EDO. Его защищали несколько композиторов, особенно Хулиан Каррильо .

Другие равные части октавы, которые время от времени находили применение, включают 13 EDO , 15 EDO и 17 EDO .

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 являются знаменателями первых подходящих чисел log ₂ (3), поэтому 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 двенадцатые (и пятые), будучи в соответствующих равных темперациях, равных целому числу октав, являются лучшими приближениями 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 всего лишь двенадцатых/пятых, чем в любой равной темперации с меньшим количеством тонов.

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, ... (последовательность A060528 в OEIS ) - это последовательность делений октавы, которая обеспечивает все лучшее и лучшее приближение к идеальной квинте. Родственные последовательности, содержащие подразделения, аппроксимирующие другие справедливые интервалы, перечислены в сноске.

Равные темпераменты неоктавных интервалов

Равнотемперированная версия гаммы Болена-Пирса состоит из соотношения 3:1 (1902 цента), традиционно представляющего собой идеальную квинту плюс октаву (то есть идеальную двенадцатую часть), называемую в этой теории тритавой ( ), и разделить на 13 равных частей. Это обеспечивает очень близкое соответствие правильно настроенным соотношениям, состоящим только из нечетных чисел. Каждый шаг стоит 146,3 цента ( ), или ¹³ √ 3 .

Венди Карлос создала три необычных равных темперамента после тщательного изучения свойств возможных темпераментов с размером шага от 30 до 120 центов. Их называли альфа , бета и гамма . Их можно считать равными долями идеальной квинты. Каждый из них обеспечивает очень хорошую аппроксимацию нескольких интервалов. Размер их шага:

• альфа : ⁹ √ ⁠ 3 / 2 ⁠ (78,0 центов)
• бета : ¹¹ √ ⁠ 3 / 2 ⁠ (63,8 цента)
• гамма : ²⁰ √ ⁠ 3 / 2 ⁠ (35,1 цента)

Альфу и бета можно услышать в заглавном треке альбома Карлоса 1986 года Beauty in the Beast .

Пропорции между полутоном и целым тоном.

В этом разделе полутон и целый тон могут не иметь своих обычных 12 значений EDO, поскольку в нем обсуждается, как их можно смягчать разными способами, отличными от их справедливых версий, для создания желаемых отношений. Пусть количество шагов в полутоне равно s , а количество шагов в тоне равно t .

Существует ровно одно семейство равных темпераций, которое фиксирует полутон на любой правильной части целого тона, сохраняя при этом ноты в правильном порядке (это означает, что, например, C , D , E , F и F ♯ находятся в возрастающем порядке). порядок, если они сохраняют свои обычные отношения с C ). То есть привязка q к правильной дроби в отношении qt = s также определяет уникальное семейство одного равного темперамента и его кратных, которые удовлетворяют этому соотношению.

Например, где k — целое число, 12 k EDO устанавливает q = ⁠ 1 / 2 ⁠ , 19 тыс. ЭДО наборов q = ⁠ 1 / 3 ⁠ ​ и 31 k EDO наборов q = ⁠ 2/5 ​ ⁠ ​ . Наименьшие кратные в этих семействах (например, 12, 19 и 31 выше) обладают дополнительным свойством: не имеют нот за пределами квинтового круга . (В целом это не так; в 24 EDO полудиез и полубемоль не попадают в круг квинт, генерируемый, начиная с C. ) Крайними случаями являются 5 k EDO , где q = 0 и полутон становится унисон и 7 k EDO , где q = 1 , а полутон и тон — один и тот же интервал.

Зная, сколько ступеней составляет полутон и тон в этой равной темперации, можно найти количество ступеней в октаве. Равная темперация с вышеуказанными свойствами (в том числе отсутствие нот за пределами квинтового круга) делит октаву на 7 t - 2 с шагов , а чистую квинту - на 4 шага t - s . Если есть ноты вне квинтового круга, необходимо затем умножить эти результаты на n , количество непересекающихся квинтовых кругов, необходимых для генерации всех нот (например, две в 24 EDO , шесть в 72 EDO ). (Для этого нужно взять малый полутон: 19 EDO имеет два полутона, один из которых ⁠ 1/3 ⁠ тон существо и другое ⁠ 2 / 3 ⁠ . Точно так же 31 EDO имеет два полутона, один из которых ⁠ 2/5 ⁠ тон и существо другое ⁠  3  / 5 ⁠ ).

Самое маленькое из этих семейств — 12к , ЭДО и в частности , 12 ЭДО — это наименьшее равнотемперированное животное с вышеперечисленными свойствами. Кроме того, полутон составляет ровно половину целого тона, что является простейшим возможным соотношением. Это некоторые из причин, по которым 12 EDO стал наиболее часто используемым равнотемперативным темпераментом. (Другая причина заключается в том, что 12 EDO — это наименьший равный темперамент, близко приближающийся к 5-предельной гармонии, а следующим по величине является 19 EDO.)

Каждый выбор доли q для отношений приводит к ровно одному равному семейству темпераментов, но обратное неверно: 47 EDO имеет два разных полутона, один из которых ⁠ 1/7 тон , ⁠ а другой ⁠ 8 / 9 ⁠ , которые не являются дополнением друг друга, как в 19 EDO ( ⁠ 1/3 ​ ⁠ и ​ ⁠ 2/3 ​ ⁠ ) . Взятие каждого полутона приводит к разному выбору идеальной квинты.

Сопутствующие системы настройки

Обычные диатонические настройки

Рисунок 1: Континуум обычных диатонических строев , который включает в себя множество заметных строев «равной темпераментности».

Диатоническую настройку в 12 тонах равной темперации (12 ТЕТ ) можно обобщить до любой регулярной диатонической настройки, разделяющей октаву как последовательность шагов   T ts T t T s   (или некоторый круговой сдвиг или «вращение» ее). Чтобы называться обычной диатонической настройкой, каждый из двух полутонов ( s ) должен быть меньше любого из тонов ( больший тон , T , и меньший тон , t ). Запятая κ подразумевает соотношение размеров между большим и меньшим тонами: Выражается как частоты κ = ⁠   Т   / т ⁠ , или в центах   κ знак равно Т - т   .

Ноты в обычной диатонической настройке соединены в «квинтовую спираль», которая не замыкается (в отличие от квинтового круга в 12 ТЕТ ). Начиная с субдоминанты F (в тональности C идут три идеальные квинты — ), подряд F – C , C – G и G – D – каждая из которых представляет собой комбинацию некоторой перестановки меньших интервалов   TT ts . Три гармоничных квинты прерываются тяжелой квинтой D – A =   T tts   ( грейв означает «бемоль через запятую »), за которой следует еще одна чистая квинта, E – B , и еще одна тяжелая квинта, B – F ♯ , и затем снова начинаем с диезов с F ♯ – C ♯ ; тот же образец повторяется через диез, затем к двойным диезам и так далее до бесконечности. Но каждая октава полностью натуральных, полностью диезных или полностью двойных нот сглаживается на две запятые при каждом переходе от натурального к диезу или от одиночного диеза к двойному диезу и т. д. Модель также обратно-симметрична в бемолях: При понижении по четвертям паттерн взаимно обостряет ноты на две запятые при каждом переходе от натуральных нот к сглаженным нотам или от бемолей к двойным бемолям и т. д. Если оставить без изменений, две серьезные квинты в каждом блоке полностью натуральных нот или полностью диезов. , или бемольные ноты, «волчьи» интервалы : каждая из тяжелых квинтов расстроена на диатоническую запятую .

Поскольку запятая κ расширяет меньший тон   t = sc до более тона высокого   T = sc κ , октаву T можно   ts T t T s   разбить на последовательность   sc κ sc s sc κ sc sc κ s , (или его круговой сдвиг ) диатонических полутонов s , хроматических полутонов c и запятых   κ . Различные равные темпераменты изменяют размеры интервалов, обычно разбивая три запятые и затем перераспределяя их части на семь диатонических полутонов s или на пять хроматических полутонов c , или на оба s и c , с некоторой фиксированной пропорцией для каждого типа полутона. .

Последовательность интервалов s , c и κ можно неоднократно присоединять к самой себе в большую спираль из 12 квинтов и соединять на ее дальних концах путем небольших корректировок размера одного или нескольких интервалов, или оставить неизмененной с помощью случайные неидеальные квинты, ровно через запятую.

Преобразование диатонических строев в EDO

Равную темперацию можно создать, если размеры мажорного и минорного тонов ( T , t ) изменить так, чтобы они были одинаковыми (скажем, установив κ = 0 , а остальные расширить, чтобы по-прежнему заполнять октаву), и оба полутона ( s и c ) одинакового размера, то в результате получается двенадцать равных полутонов, по два на тон. В 12 TET полутон s равен ровно половине размера целых тонов того же размера T = t .

Некоторые промежуточные размеры тонов и полутонов также можно генерировать в системах равной темперации путем изменения размеров запятой и полутонов. В пределе получается 7 ТЕТ , когда размеры c и κ стремятся к нулю, при фиксированной октаве, и 5 ТЕТ в пределе, когда s и κ стремятся к нулю; 12 TET — это, конечно, случай   s = c   и   κ = 0 . Например:

5 ТЕТ и 7 ТЕТ

Есть два крайних случая, которые ограничивают эту структуру: когда s и κ уменьшаются до нуля при фиксированном размере октавы, результатом является ttttt , 5-тоновая равная темперация. По мере того, как буква s становится больше (и поглощает пространство, ранее использовавшееся для запятой κ ), в конечном итоге все шаги становятся одинакового размера, ttttttt , и в результате получается семитональная равномерная темпераментность. Эти две крайности не относятся к «обычным» диатоническим строям.

19 ТЕТ

Если диатонический полутон установлен в два раза больше хроматического полутона, т.е.   s = 2 c (в центах) и   κ = 0 , результат будет 19 TET , с одним шагом для хроматического полутона c , двумя шагами для диатонического полутона s. , три шага для тонов T = t , а общее количество шагов 3 T + 2 t + 2 s = 9 + 6 + 4 = 19 шагов. Встроенная 12-тональная подсистема близко соответствует исторически важной ⁠ 1/3 ⁠ запятая знаков означает систему .

31 ТЕТ

Если хроматический полутон составляет две трети размера диатонического полутона, т. е. c = ⁠ 2/3 двумя шагами для хроматического полутона, тремя шагами ⁠ s , с , при κ = 0 , результат равен 31 TET для диатонического полутона и пятью шагами для тона, где 3 T + 2 t + 2 s = 15+10+6 = 31 шаг . Встроенная 12-тональная подсистема близко соответствует исторически важной ⁠ 1/4 ​ ​ ⁠ запятая означала .

43 ТЕТ

Если хроматический полутон составляет три четверти размера диатонического полутона, т. е. c = ⁠ 3/4 , с тремя ступенями для хроматического полутона, четырьмя ступенями ⁠ для диатонического полутона s , при κ = 0 , результат равен 43 TET и семью ступенями для тона, где 3 T + 2 t + 2 s = 21 + 14 + 8 = 43. Встроенная 12-тональная подсистема очень близко приближается к ⁠ 1/5 один ⁠ означало абзац .

53 ТЕТ

Если хроматический полутон сделать такого же размера, как три запятые,   c = 3 κ   (в центах, по частоте   c = κ ³   ), то диатоника равна пяти запятым,   s = 5 κ , что делает меньший тон восемью запятыми t = s + c = 8 κ , а старший тон девять,   T = s + c + κ = 9 κ . Следовательно, 3 T + 2 t + 2 s = 27 κ + 16 κ + 10 κ = 53 κ по 53 шага по одной запятой каждый. Размер запятой/размер шага составляет   κ = ⁠ 1300 / 53 ⁠ ¢ ровно, или   κ = 22,642 ¢   ≈ 21,506 ¢, синтонная запятая . Это чрезвычайно близкое приближение к пятипредельной интонации и пифагорейской настройке, и оно является основой теории турецкой музыки .

См. также

• Просто интонация
• Музыкальная акустика
  (физика музыки)
• Музыка и математика
• Микротюнер
• Микротональная музыка
• Настройка фортепиано
• Список средних интервалов
• Диатонический и хроматический
• Электронный тюнер
• Музыкальный тюнинг

Источники

• Бойлз, Дж. (1969). «Терпеуа-песня». Этномузыкология . 13 : 42–47.
• Чо, Джин Джинсён (2003). Открытие музыкального равного темперамента в Китае и Европе в шестнадцатом веке . Льюистон, Нью-Йорк: Эдвин Меллен Пресс .
• Даффин, Росс В. (2007). Как равный темперамент разрушил гармонию (и почему вас это должно волновать ) Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: WWNorton & Company. ISBN  978-0-39306227-4 .
• Йоргенсен, Оуэн (1991). Тюнинг . Издательство Мичиганского государственного университета. ISBN  0-87013-290-3 .
• Сетарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, гамма (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Springer-Verlag. ISBN  1-85233-797-4 .
• Сурйодининграт, В.; Сударжана, П.Дж.; Сусанто, А. (1972). Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте . Джокьякарта, Индиана: Издательство Университета Гаджа Мада. Как цитирует «Гамелан-пелог Центральной Явы как пример негармонической музыкальной гаммы» . Telia.com . Нейронаука музыки. Архивировано из оригинала 27 января 2005 года . Проверено 19 мая 2006 г.
• Стюарт, П.Дж. (2006) [январь 1999 г.]. От галактики к галактике: Музыка сфер (Репортаж). 8096295 – через academia.edu. «Альтернативная ссылка 1» . 269108386 – через сайт Researchgate.net. «Альтернативная ссылка 2» – через документы Google.
• Храмов, Михаил (26–29 июля 2008 г.). Приближение к 5-ти пределам просто интонации . Компьютерное MIDI-моделирование в отрицательных системах равных делений октавы. Международная конференция СИГМАП-2008 . Порту . стр. 181–184. ISBN  978-989-8111-60-9 .

Дальнейшее чтение

• Гельмгольц, Х. (2005) [1877 (4-е изд. на немецком языке), 1885 г. (2-е изд. на английском языке)]. Об ощущениях звука как физиологической основе теории музыки . Перевод Эллиса, AJ (переиздание). Уайтфиш, Монтана: Издательство Келлингер. ISBN  978-1-41917893-1 . OCLC   71425252 – через Интернет-архив (archive.org).
  — Фундаментальный труд по акустике и восприятию звука. Особенно материал в Приложении XX: Дополнения переводчика , страницы 430–556, (страницы pdf 451–577) (см. также вики-статью On Sensations of Tone )

Внешние ссылки

• Введение в исторические настройки Кайла Ганна
• Xenharmonic вики об EDO и равных темпераментах
• Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
• А.Орландини: Музыкальная акустика
• «Темперамент» из приложения к циклопедии мистера Чемберса (1753 г.)
• Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг . (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
• Фрактальная микротональная музыка Джима Кукулы .
• Все существующие цитаты XVIII века об И.С. Бахе и темпераменте.
• Доминик Экерсли: « Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха »
• Ну темпераменты, основанные на определении Веркмайстера
• ПРЕДПОЧИТАЕМЫЕ ​ МОДСТВА ​ ШКАЛ S ​ ​ ПИТЕРА ​ БУХА ​