✖


Jump to content

Шкала Болена – Пирса

(Перенаправлено с Тритаве )
Аккорд только из шкалы Болена – Пирса: CGA, настроенный на гармоники 3, 5 и 7. «BP» над ключами указывает на нотацию Болена – Пирса. [ нужна ссылка ] Играть ⓘ
Тот же аккорд в обозначениях Бена Джонстона для простой интонации.

Шкала Болена-Пирса ( шкала BP ) — это музыкальная настройка и гамма , впервые описанная в 1970-х годах, которая предлагает альтернативу гаммам с повторением октав, типичным для западной и другой музыки. [1] в частности, равнотемперированная диатоническая гамма .

Интервал 3:1 (часто называемый новым названием тритава ) служит основным гармоническим соотношением, заменяя 2:1 диатонической гаммы (октава) идеальной двенадцатой квинтой (на октаву выше идеальной квинты). Для любой высоты звука, которая является частью шкалы BP, все высоты на одну или несколько тритав выше или ниже также являются частью системы и считаются эквивалентными.

Шкала BP делит тритаву на 13 ступеней, либо равнотемперированных (наиболее популярная форма), либо в правильно настроенной версии. шкалы BP По сравнению с октавно-повторяющимися шкалами интервалы более созвучны определенным типам акустических спектров . [ нужна ссылка ]

Масштаб был независимо описан Хайнцем Боленом . [2] Кес ван Пройен [3] и Джон Р. Пирс . Пирс, который вместе с Максом Мэтьюзом и другими опубликовал свое открытие в 1984 году. [4] переименовал шкалу Пирса 3579b и ее хроматический вариант в шкалу Болена-Пирса после изучения более ранней публикации Болена. Болен предложил ту же шкалу, основываясь на рассмотрении влияния сочетаний тонов на гештальт- восприятие интервалов и аккордов. [5]

Интервалы между классами высоты тона шкалы BP основаны на нечетных целочисленных соотношениях частот , в отличие от интервалов в диатонических гаммах, в которых используются как нечетные, так и четные соотношения, обнаруженные в гармоническом ряду . В частности, шаги шкалы BP основаны на соотношениях целых чисел, коэффициенты которых равны 3, 5 и 7. Таким образом, шкала содержит гармонии согласных, основанные на нечетных гармонических обертонах 3:5:7:9 ( играть ⓘ ). Аккорд, образованный соотношением 3:5:7 ( играть ⓘ ) выполняет почти ту же роль, что и аккорд 4:5:6 (мажорное трезвучие ). ⓘ ) делает в диатонических гаммах (3:5:7 = 1: ⁠1 + 2 / 3 ⁠ : ⁠2 + 1/3 : 5 и 4 ⁠ :6 = 2: ⁠2 + 1 / 2 ⁠ :3 = 1: ⁠1 + 1 / 4 ⁠ : ⁠1 + 1 / 2 ⁠ ).

Аккорды и модуляция

[ редактировать ]

3:5:7 Характер интонационной чувствительности аналогичен 4:5:6 (просто мажорный аккорд), более похож, чем минорный аккорд. [6] Это сходство предполагает, что наши уши также воспринимают 3:5:7 как согласную.

Таким образом, аккорд 3:5:7 можно считать мажорным трезвучием шкалы BP. Он аппроксимируется интервалом в 6 равнотемперированных полутонов ВР ( сыграйте один полутон ⓘ ) внизу и интервал в 4 равнотемперных полутона вверху (полутона 0, 6, 10; играть ⓘ ). Минорное трезвучие составляет соответственно 6 полутонов сверху и 4 полутона снизу (0, 4, 10; играть ⓘ ). 5:7:9 — первая инверсия мажорной триады (0, 4, 7; играйте ⓘ ). [7]

Исследование хроматических трезвучий, образованных из произвольных сочетаний 13 тонов хроматической гаммы у двенадцати музыкантов и двенадцати неподготовленных слушателей, показало, что полутона 0, 1, 2 наиболее диссонансным аккордом являются ( пьеса ⓘ ), но 0, 11, 13 ( играть ⓘ ) считался наиболее созвучным обучаемым (потому что он звучит как мажорное трезвучие с понижением октавы) и 0, 7, 10 ( играть ⓘ ) был оценен неподготовленными испытуемыми как наиболее созвучный. [8]

Каждый тон гаммы Pierce 3579b находится в мажорном и минорном трезвучии, за исключением тона II гаммы. Есть тринадцать возможных ключей. Модуляция возможна путем изменения одной ноты. Перемещение ноты II на один полутон вверх приводит к повышению тоники до ноты III (полутона 3), которую поэтому можно считать доминантой . Аналогом субдоминанты можно считать VIII (10 полутон ) . [7]

Тембр и тритава

[ редактировать ]
Семья кларнетов Болена-Пирса: сопрано, контра(бас) и тенор.

3:1 служит основным гармоническим соотношением, заменяя 2:1 диатонической гаммы ( октаву ). ( играть ⓘ ) Этот интервал представляет собой идеальную двенадцатую квинту в диатонической номенклатуре ( идеальная квинта при уменьшении на октаву), но поскольку эта терминология основана на размерах шагов и функциях, не используемых в шкале BP, его часто называют новым именем, тритава ( играть ⓘ ), в контексте BP, ссылаясь на его роль как псевдооктавы и используя префикс «три-» (три), чтобы отличить его от октавы. В обычных гаммах, если данная высота является частью системы, то все высоты на одну или несколько октав выше или ниже также являются частью системы и, кроме того, считаются эквивалентными . В шкале BP, если присутствует данная высота звука, то не присутствует ни одна из высот на одну или несколько октав выше или ниже, но все высоты на одну или несколько тритав выше или ниже являются частью системы и считаются эквивалентными.

Использование коэффициентов нечетных целых чисел в шкале BP подходит для тембров, содержащих только нечетные гармоники. Поскольку регистре спектр кларнета (в шалюмо ) состоит в основном из нечетных гармоник, а инструмент звучит на двенадцатой (или тритаве), а не на октаве, как это происходит у большинства других деревянных духовых инструментов, между ним и тембром существует естественное родство. Шкала Болена-Пирса. По предложению композитора Георга Хайду производитель кларнетов Стивен Фокс разработал первые кларнеты-сопрано Болена-Пирса и начал предлагать их на продажу в начале 2006 года. В 2010 году он выпустил первый тенор-кларнет BP (на шесть ступеней ниже сопрано) и первый эпсилон. кларнет (на четыре ступени выше сопрано) в 2011 году. На контр-кларнете (на одну тритаву ниже сопрано) сейчас (2020) играет Нора Мюллер, Любек, Германия.

Просто тюнинг

[ редактировать ]

Диатоническая шкала Болена – Пирса может быть построена с использованием следующих справедливых соотношений (на диаграмме показана шкала «Лямбда» (λ):

Примечание Имя С Д И Ф Г ЧАС Дж А Б С
Степень степень шкалы 1 степень шкалы 2 степень шкалы 3 степень шкалы 4 степень шкалы 5 степень шкалы 6 степень шкалы 7 степень шкалы 8 степень шкалы 9 степень шкалы 1
Соотношение 1:1 25:21 9:7 7:5 5:3 9:5 15:7 7:3 25:9 3:1
центы 0 301.85 435.08 582.51 884.36 1017.60 1319.44 1466.87 1768.72 1901.96
Миди С ⓘ Д ⓘ И ⓘ Ф ⓘ Г ⓘ ЧАС ⓘ Дж ⓘ А ⓘ Б ⓘ С ⓘ
Шаг Имя Т с С Т с Т С Т с
Соотношение 25:21 27:25 49:45 25:21 27:25 25:21 49:45 25:21 27:25
центы 301.85 133.24 147.43 301.85 133.24 301.85 147.43 301.85 133.24

сыграйте только по шкале Болена – Пирса «Лямбда» ⓘ контрастировать только с мажорной диатонической гаммой ⓘ

Простая шкала BP может быть построена из четырех перекрывающихся аккордов 3:5:7, например, V, II, VI и IV, хотя для создания аналогичной шкалы можно выбрать разные аккорды: [9] 

(5:3)(7:5)
V  IX  III
        |
       III VII I
               |
            VI I IV
                 |
                 IV VIII II

Темперамент Болена-Пирса

[ редактировать ]
« Хроматический круг » шкалы Болена – Пирса с отмеченной третьей модой шкалы лямбда. VII степень ошибочно отмечена дважды. [1]

Первоначально Болен выражал шкалу АД как в точной интонации , так и в равном темпераменте . Самой популярной формой стала темперированная . форма, разделяющая тритаву на тринадцать равных ступеней Каждый шаг 13 √ 3 = 3 1 ⁄ 13 = 1,08818… выше следующего, или 1200 log 2 (3 1 ⁄ 13 ) = 146,3… цента за шаг. Октава делится на дробное число шагов. Двенадцать одинаково темперированных ступеней на октаву используются в 12-тете . Шкалу Болена-Пирса можно описать как 8,202087-тет, поскольку полная октава (1200 центов), разделенная на 146,3… цента на шаг, дает 8,202087 шагов на октаву.

Разделение тритавы на 13 равных шагов смягчает или сводит к унисону оба интервала 245:243 (около 14 центов, иногда называемый минорным диезисом Болена-Пирса ) и 3125:3087 (около 21 цента, иногда называемого мажорным). Bohlen-Pierce diesis) точно так же, как деление октавы на 12 равных ступеней сводит как 81:80 ( синтоническая запятая ), так и 128:125 ( 5-предельная лимма ) к унисону. смягчает Линейный темперамент с семью пределами оба этих интервала; Получающийся в результате темперамент Болена-Пирса больше не имеет ничего общего с трехтавными эквивалентами или неоктавными гаммами, за исключением того факта, что он хорошо адаптирован к их использованию. Настройка из 41 равного шага на октаву ( 1200/41 = 29,27 . цента за шаг) было бы вполне логично для этого темперамента В такой настройке темперированная идеальная двенадцатая часть (1902,4 цента, примерно на полцента больше, чем просто двенадцатая) делится на 65 равных ступеней, что приводит к кажущемуся парадоксу: взятие каждой пятой ступени этого октавного строя дает превосходное приближение. к равномерной шкале BP, не основанной на октавах. Кроме того, интервал из пяти таких шагов генерирует (на основе октав) MOS (моменты симметрии) с 8, 9 или 17 нотами, а также 8-нотную шкалу (включающую степени 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 и 35 шкалы, равной 41) можно считать октавно-эквивалентной версией шкалы Болена-Пирса.

Интервалы и масштабные диаграммы

[ редактировать ]

Ниже приведены тринадцать нот гаммы (центы округлены до ближайшего целого числа):

Справедливо настроенный

Интервал (центов) 133 169 133 148 154 147 134 147 154 148 133 169 133
Название заметки С D ♭ Д И Ф G ♭ Г ЧАС J ♭ Дж А B ♭ Б С
Примечание (центов) 0 133 302 435 583 737 884 1018 1165 1319 1467 1600 1769 1902

Уравновешенный

Интервал (центов) 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146
Название заметки С C ♯ /D ♭ Д И Ф F ♯ /G ♭ Г ЧАС H ♯ /J ♭ Дж А A ♯ /B ♭ Б С
Примечание (центов) 0 146 293 439 585 732 878 1024 1170 1317 1463 1609 1756 1902

играйте на равных, сдержанная шкала Болена – Пирса ⓘ

Шаги Имя Интервал эквалайзера Центы в эквалайзере Просто интонационный интервал Традиционное имя Центы в простой интонации Разница
0 С 3 0 ⁄ 13 = 1.00 000 0.00 0 1:1 0 = 1.00 Унисон 000 0.00 −0 0.00
1 C♯/D♭ 3 1 ⁄ 13 = 1.09 0 146.30 27:25 = 1.08 Отличный клей 0 133.24 − 13.06
2 Д 3 2 ⁄ 13 = 1.18 0 292.61 25:21 = 1.19 Квази-темперированная минорная треть 0 301.85 0 −9.24
3 И 3 3 ⁄ 13 = 1.29 0 438.91 0 9:7 0 = 1.29 Семеричная мажорная треть 0 435.08 −0 3.83
4 Ф 3 4 ⁄ 13 = 1.40 0 585.22 0 7:5 0 = 1.40 Малый септимальный тритон 0 582.51 −0 2.71
5 F♯/G♭ 3 5 ⁄ 13 = 1.53 0 731.52 75:49 = 1.53 БП пятый 0 736.93 0 −5.41
6 Г 3 6 ⁄ 13 = 1.66 0 877.83 0 5:3 0 = 1.67 Просто мажор шестой 0 884.36 0 −6.53
7 ЧАС 3 7 ⁄ 13 = 1.81 1024.13 0 9:5 0 = 1.80 Большая всего лишь минорная седьмая 1017.60 −0 6.53
8 H♯/J♭ 3 8 ⁄ 13 = 1.97 1170.44 49:25 = 1.96 БП восьмой 1165.02 −0 5.42
9 Дж 3 9 ⁄ 13 = 2.14 1316.74 15:7 0 = 2.14 Семеричная минорная девятая 1319.44 0 −2.70
10 А 3 10 ⁄ 13 = 2.33 1463.05 0 7:3 0 = 2.33 Семеричная минимальная десятая 1466.87 0 −3.82
11 A♯/B♭ 3 11 ⁄ 13 = 2.53 1609.35 63:25 = 2.52 Квази-темперированная мажорная десятая часть 1600.11 −0 9.24
12 Б 3 12 ⁄ 13 = 2.76 1755.66 25:9 0 = 2.78 Классическая дополненная одиннадцатая 1768.72 −13.06
13 С 3 13 ⁄ 13 = 3.00 1901.96 0 3:1 0 = 3.00 Всего двенадцатый, "тритаве" 1901.96 −0 0.00

Музыка и композиция

[ редактировать ]
Октава 12-тет (слева) по сравнению с тритавой 13-тет (справа)

Как с эстетической точки зрения звучит музыка, использующая шкалу Болена-Пирса ? Дэйв Бенсон предполагает, что полезно использовать только звуки только с нечетными гармониками, включая кларнеты или синтезированные тоны, но утверждает, что, поскольку «некоторые интервалы звучат немного похоже на интервалы в [более знакомой] двенадцатитоновой гамме , но сильно расстроены». ", среднестатистический слушатель будет постоянно чувствовать, что "что-то не так" из-за социальных условий . [10]

Мэтьюз и Пирс приходят к выводу, что ясные и запоминающиеся мелодии могут быть составлены в гамме BP, что «контрапункт звучит нормально» и что «аккордовые пассажи звучат как гармония», предположительно означая прогрессию , «но без какого-либо большого напряжения или чувства разрешения». . [11] В их исследовании оценки созвучия, проведенном в 1989 году, оба интервала из пяти аккордов, которые обученные музыканты оценили как наиболее согласные, представляют собой примерно диатонические интервалы, что позволяет предположить, что их обучение повлияло на их выбор и что аналогичный опыт работы со шкалой BP аналогичным образом повлияет на их выбор. [8]

Композиции, использующие шкалу Болена-Пирса, включают «Чистоту», первую часть Кертиса Роудса » «Clang-Tint . [12] Среди других компьютерных композиторов, использующих шкалу BP, — Джон Эпплтон , Ричард Буланже ( «Торжественная песня для вечера» (1990)), Георг Хайду Хуана Рейеса , ppP (1999–2000), [13] Ами Радунской (1990), «Дикое и бесшабашное место» [14] Чарльз Карпентер ( Ловля лягушек (1994) и Сплат ), [15] [16] и Элейн Уокер ( «Люди-палки» (1991), «Песня о любви » и «Великое благо» (2011)). [17]

Дэвид Либерман, доцент кафедры архитектуры Университета Торонто , руководил разработкой «Стредичи», струнного инструмента, настроенного на шкалу Болена-Пирса. Пятиметровый инструмент использовался на концертах в Бостоне в 2012 году. [18]

Симпозиум

[ редактировать ]

С 7 по 9 марта 2010 года в Бостоне прошел первый симпозиум Болена-Пирса, организованный композитором Георгом Хайду ( Hochschule für Musik und Theater Hamburg ) и Бостонским микротональным обществом . Соорганизаторами выступили Бостонский институт Гете , Музыкальный колледж Беркли , Северо-Восточный университет и консерватория Новой Англии Музыкальная . В симпозиуме приняли участие Хайнц Болен, Макс Мэтьюз, Кларенс Барлоу , Кертис Роудс , Дэвид Вессель, Психея Луи, Ричард Буланже, Георг Хайду, Пол Эрлих , Рон Сворд, Джулия Вернц, Ларри Полански , Манфред Станке, Стивен Фокс, Элейн Уокер. Тодд Харроп, Гейл Янг, Йоханнес Кретц, Артуро Гролимунд, Кевин Фостер представили 20 докладов по истории и свойствам шкалы Болена-Пирса, исполнили более 40 композиций в новой системе и представили несколько новых музыкальных инструментов. Среди исполнителей были немецкие музыканты Нора-Луиза Мюллер и Акос Хоффман на кларнетах Болена-Пирса и Артуро Гролимунд на пан-флейте Болена-Пирса, а также канадский ансамбль tranSpectra и американо-американская ксенгармоническая группа ZIA под руководством Элейн Уокер.

Другие необычные настройки или гаммы.

[ редактировать ]

Другие неоктавные настройки, исследованные Боленом. [19] включить двенадцать шагов в тритаву, названную A12 Энрике Морено [20] 4:7:10. и на основе аккорда ⓘ , семь шагов в октаве ( 7-тет ) или аналогичные 11 шагов в тритаве и восемь шагов в октаве, на основе 5:7:9 . ⓘ и из которых будет использоваться только справедливая версия. Кроме того, пентаву можно разделить на восемь ступеней, что соответствует аккордам формы 5:9:13:17:21:25. [21] Шкала Болена 833 цента основана на последовательности Фибоначчи , хотя она была создана из комбинаций тонов , и содержит сложную сеть гармонических отношений за счет включения совпадающих гармоник сложенных интервалов 833 цента. Например, «ступень 10 оказывается идентичной октаве (1200 центов) основного тона, в то же время обладая золотым сечением ступени 3». [22]

Альтернативные гаммы могут быть указаны путем указания размера равных темперированных шагов, например, Венди Карлос на 78 центов альфа-шкала на 63,8 цента и бета-шкала , а также шкала на 88 центов Гэри Моррисона (13,64 шага на октаву или 14 на растянутую 1232 цента шкалу). октава). [23] Это дает альфа-шкалу 15,39 шагов на октаву и бета-шкалу 18,75 шагов на октаву. [24]

Расширения

[ редактировать ]

39-тоновое равное деление тритавы

[ редактировать ]

Пауль Эрлих предложил разделить каждый шаг Болена-Пирса на трети, чтобы тритава была разделена на 39 равных шагов вместо 13 равных шагов. Шкала, которую можно рассматривать как три равномерно расположенные шкалы Болена-Пирса, дает дополнительные нечетные гармоники. 13-ступенчатая гамма содержит нечетные гармоники 3:1; 5:3, 7:3; 7:5, 9:5; 9:7 и 15:7; в то время как 39-ступенчатая шкала включает в себя все это и многое другое (11:5, 13:5; 11:7, 13:7; 11:9, 13:9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 и 35:13), при этом почти все четные гармоники отсутствуют (включая 2:1; 3). :2, 5:2; 4:3, 8:3; 6:5, 8:5; 9:8, 11:8, 13:8 и 15:8). Размер этой шкалы составляет около 25 равных шагов с соотношением чуть больше октавы, поэтому каждый из 39 равных шагов немного меньше половины одного из 12 равных шагов стандартной шкалы. [25]

Количество равнотемперированных шагов Равномерный интервал Размер равнотемперированного интервала (центов) Справедливо произнесенный интервал Размер правильно произнесенного интервала (центов) Ошибка (центов)
91 12.9802 4437.90 13/1 4440.53 -2.63
85 10.9617 4145.29 11/1 4151.32 -6.03
69 6.9845 3365.00 7/1 3368.83 -3.83
57 4.9812 2779.78 5/1 2786.31 -6.53
49 3.9761 2389.64 4/1 2400.00 -10.36
39 3.0000 1901.96 3/1 1901.96 0.00
38 2.9167 1853.19 225/77 1856.39 -3.21
35/12 1853.18 0.00
32/11 1848.68 4.50
189/65 1847.85 5.34
37 2.8357 1804.42 99/35 1800.09 4.33
36 2.7569 1755.65 36/13 1763.38 -7.73
135/49 1754.53 1.12
11/7 1751.32 4.33
35 2.6803 1706.88 35/13 1714.61 -7.73
34 2.6059 1658.11 13/5 1654.21 3.90
33 2.5335 1609.35 63/25 1600.11 9.24
33/13 1612.75 -3.40
32 2.4631 1560.58 27/11 1554.55 6.03
31 2.3947 1511.81 12/5 1515.64 -3.83
117/49 1506.79 5.02
30 2.3282 1463.04 7/3 1466.87 -3.83
29 2.2635 1414.27 25/11 1421.31 -7.04
147/65 1412.77 1.51
28 2.2006 1365.51 11/5 1365.00 0.50
27 2.1395 1316.74 15/7 1319.44 -2.70
26 2.0801 1267.97 27/13 1265.34 2.63
25 2.0223 1219.20 99/49 1217.58 1.63
24 1.9661 1170.43 49/25 1165.02 5.41
23 1.9115 1121.67 21/11 1119.46 2.20
22 1.8584 1072.90 13/7 1071.70 1.20
21 1.8068 1024.13 9/5 1017.60 6.53
20 1.7566 975.36 135/77 972.03 3.33
7/4 968.83 6.54
19 1.7078 926.59 12/7 933.13 -6.54
77/45 929.92 -3.33
18 1.6604 877.83 5/3 884.36 -6.53
17 1.6143 829.06 21/13 830.25 -1.20
16 1.5694 780.29 11/7 782.49 -2.20
15 1.5258 731.52 75/49 736.93 -5.41
14 1.4835 682.75 49/33 684.38 -1.63
13 1.4422 633.99 13/9 636.62 -2.63
12 1.4022 585.22 7/5 582.51 2.70
11 1.3632 536.45 15/11 536.95 -0.50
10 1.3254 487.68 65/49 489.19 -1.51
33/25 480.65 7.04
9 1.2886 438.91 9/7 435.08 3.83
8 1.2528 390.14 49/39 395.17 -5.02
5/4 386.31 3.83
7 1.2180 341.38 11/9 347.41 -6.03
6 1.1841 292.61 13/11 289.21 3.40
25/21 301.85 -9.24
5 1.1512 243.84 15/13 247.74 -3.90
4 1.1193 195.07 39/35 187.34 7.73
3 1.0882 146.30 12/11 150.64 -4.33
49/45 147.43 -1.12
13/12 138.57 7.73
2 1.0580 97.54 35/33 101.87 -4.33
1 1.0286 48.77 65/63 54.11 -5.34
33/32 53.27 -4.50
36/35 48.77 0.00
77/75 45.56 3.21
0 1.0000 0.00 1/1 0.00 0.00

65-тоновое равное деление тритавы

[ редактировать ]

Разделение каждой ступени шкалы Болена-Пирса на квинты (так что тритава делится на 65 ступеней) дает очень точную октаву (41 ступень) и идеальную квинту (24 ступени), а также приближения для других справедливых интервалов. Шкала практически идентична 41-тональному равному делению октавы, за исключением того, что каждый шаг немного меньше (менее сотой доли цента на шаг).

Количество равнотемперированных шагов Равномерный интервал Размер равнотемперированного интервала (центов) Справедливо произнесенный интервал Размер правильно произнесенного интервала (центов) Ошибка (центов)
65 3.0000 1901.96 3/1 1901.9550 0.00
64 2.9497 1872.69 144/49 1866.2582 6.44
63 2.9003 1843.43 32/11 1848.6821 -5.25
62 2.8517 1814.17 20/7 1817.4878 -3.32
61 2.8039 1784.91 14/5 1782.5122 2.40
60 2.7569 1755.65 135/49 1754.5269 1.12
11/4 1751.3179 4.33
59 2.7107 1726.39 27/10 1719.5513 6.84
58 2.6653 1697.13 8/3 1698.0450 -0.92
57 2.6206 1667.87 21/8 1670.7809 -2.91
56 2.5767 1638.61 18/7 1635.0841 3.52
55 2.5335 1609.35 81/32 1607.8200 1.53
54 2.4910 1580.09 5/2 1586.3137 -6.23
53 2.4493 1550.82 27/11 1554.5471 -3.72
52 2.4082 1521.56 12/5 1515.6413 5.92
51 2.3679 1492.30 64/27 1494.1350 -1.83
50 2.3282 1463.04 7/3 1466.8709 -3.83
49 2.2892 1433.78 16/7 1431.1741 2.61
48 2.2508 1404.52 9/4 1403.9100 0.61
47 2.2131 1375.26 20/9 1382.4037 -7.14
46 2.1760 1346.00 24/11 1350.6371 -4.64
45 2.1395 1316.74 15/7 1319.4428 -2.70
44 2.1037 1287.48 21/10 1284.4672 3.01
43 2.0684 1258.22 33/16 1253.2729 4.94
42 2.0337 1228.96 55/27 1231.7667 -2.81
41 1.9996 1199.69 2/1 1200.0000 -0.31
40 1.9661 1170.43 49/25 1165.0244 5.41
39 1.9332 1141.17 27/14 1137.0391 4.13
38 1.9008 1111.91 40/21 1115.5328 -3.62
37 1.8689 1082.65 15/8 1088.2687 -5.62
36 1.8376 1053.39 11/6 1049.3629 4.03
35 1.8068 1024.13 9/5 1017.5963 6.53
34 1.7765 994.87 16/9 996.0900 -1.22
33 1.7468 965.61 7/4 968.8259 -3.22
32 1.7175 936.35 12/7 933.1291 3.22
31 1.6887 907.09 27/16 905.8650 1.22
30 1.6604 877.83 5/3 884.3587 -6.53
29 1.6326 848.56 18/11 852.5921 -4.03
28 1.6052 819.30 8/5 813.6863 5.62
27 1.5783 790.04 63/40 786.4222 3.62
26 1.5518 760.78 14/9 764.9159 -4.13
25 1.5258 731.52 32/21 729.2191 2.30
24 1.5003 702.26 3/2 701.9550 0.31
23 1.4751 673.00 81/55 670.1883 2.81
72/49 666.2582 6.74
22 1.4504 643.74 16/11 648.6821 -4.94
21 1.4261 614.48 10/7 617.4878 -3.01
20 1.4022 585.22 7/5 582.5122 2.70
19 1.3787 555.96 11/8 551.3179 4.64
18 1.3556 526.70 27/20 519.5513 7.14
17 1.3329 497.43 4/3 498.0450 -0.61
16 1.3105 468.17 21/16 470.7809 -2.61
15 1.2886 438.91 9/7 435.0841 3.83
14 1.2670 409.65 80/63 413.5778 -3.93
81/64 407.8200 1.83
13 1.2457 380.39 5/4 386.3137 -5.92
12 1.2249 351.13 11/9 347.4079 3.72
11 1.2043 321.87 6/5 315.6413 6.23
10 1.1841 292.61 32/27 294.1350 -1.53
9 1.1643 263.35 7/6 266.8709 -3.52
8 1.1448 234.09 8/7 231.1741 2.91
7 1.1256 204.83 9/8 203.9100 0.92
6 1.1067 175.57 10/9 182.4037 -6.84
5 1.0882 146.30 12/11 150.6371 -4.33
49/45 147.4281 -1.12
4 1.0699 117.04 15/14 119.4428 -2.40
16/15 111.7313 5.31
3 1.0520 87.78 21/20 84.4672 3.32
2 1.0344 58.52 28/27 62.9609 -4.44
33/32 53.2729 5.25
1 1.0170 29.26 49/48 35.6968 -6.44
50/49 34.9756 -5.71
55/54 31.7667 -2.51
56/55 31.1943 -1.93
64/63 27.2641 2.00
0 1.0000 0.00 1/1 0.0000 0.00

См. также

[ редактировать ]

Ссылки

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Пирс, Джон Р. (2001). «Созвучие и гаммы» . В Куке, Перри Р. (ред.). Музыка, познание и компьютеризированный звук: введение в психоакустику . МТИ Пресс. п. 183. ИСБН  978-0-262-53190-0 .
  2. ^ Болен, Хайнц (1978). «13 тонов в двенадцатеричной системе» . Акустика (на немецком языке). 39 (2). Штутгарт: С. Хирзель Издательство: 76–86 . Проверено 27 ноября 2012 г.
  3. ^ Пройен, Кес ван (1978). «Теория равнотемперированных весов» . Интерфейс . 7 : 45–56. дои : 10.1080/09298217808570248 . Проверено 27 ноября 2012 г.
  4. ^ Мэтьюз, М.В.; Робертс, Луизиана; Пирс, младший (1984). «Четыре новых гаммы, основанные на аккордах непоследовательного целого отношения» . Дж. Акуст. Соц. Являюсь. 75, С10(А) (С1): С10. Бибкод : 1984ASAJ...75...10M . дои : 10.1121/1.2021272 .
  5. ^ Мэтьюз, Макс В.; Пирс, Джон Р. (1989). «Шкала Болена-Пирса». У Мэтьюза, Макс В.; Пирс, Джон Р. (ред.). Современные направления компьютерных музыкальных исследований . МТИ Пресс. стр. 167. ИСБН  9780262631396 .
  6. ^ Мэтьюз и Пирс (1989) , стр. 165–166.
  7. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Мэтьюз и Пирс (1989) , стр. 169.
  8. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Мэтьюз и Пирс (1989) , стр. 171.
  9. ^ Мэтьюз; Пирс (1989). п. 170.
  10. ^ Бенсон, Дэйв. «Музыкальные гаммы и хлебопекарская дюжина». Музыка и математика . 28.06: 16.
  11. ^ Мэтьюз; Пирс (1989). п. 172.
  12. ^ Тралл, Майкл Войн (лето 1997 г.). «Синтез 96: 26-й Международный фестиваль электроакустической музыки». Компьютерный музыкальный журнал . 21 (2): 90–92 [91]. дои : 10.2307/3681110 . JSTOR   3681110 .
  13. ^ «Джон Пирс (1910–2002)». Компьютерный музыкальный журнал . 26, № 4 (Языки и среда для компьютерной музыки): 6–7. Зима 2002 года.
  14. ^ Дискография компакт-дисков Microtonal , Фонд Гюйгенса-Фоккера , получено 13 декабря 2016 г.
  15. ^ д'Эскриван, Хулио (2007). Коллинз, Ник (ред.). Кембриджский спутник электронной музыки . Кембриджские спутники музыки . п. 229. ИСБН  9780521868617 .
  16. ^ Бенсон, Дэйв (2006). Музыка: математическое предложение . п. 237. ИСБН  9780521853873 .
  17. ^ «Концерты» . Bohlen-Pierce-Conference.org . Проверено 27 ноября 2012 г.
  18. ^ «Дэвид Либерман участвует в ярмарке электрических полей и мини-производителей | Дэниелс» . www.daniels.utoronto.ca . Проверено 4 января 2023 г.
  19. ^ Болен (1978). сноска 26, стр. 84.
  20. ^ «Другие необычные весы» . Сайт Болена-Пирса . Проверено 27 ноября 2012 г. Цитирует: Морено, Энрике Игнасио (декабрь 1995 г.). «Внедрение пространств с равным шагом и вопрос расширенной цветности: экспериментальный подход». Диссертация . Стэнфордский университет: 12–22.
  21. ^ « Другие необычные весы », Сайт Болена-Пирса . Проверено 27 ноября 2012 г. Цитируется: Болен (1978). стр. 76–86.
  22. ^ Болен, Хайнц. «Шкала 833 цента» . Сайт Болена-Пирса . Проверено 27 ноября 2012 г.
  23. ^ Сетарес, Уильям (2004). Настройка, Тембр, Спектр, Масштаб . п. 60. ИСБН  1-85233-797-4 .
  24. ^ Карлос, Венди (2000) [1986]. «Вкладыш». Красавица в чудовище (CD). Венди Карлос. ОУР. 81552.
  25. ^ «Структуры шкалы BP» . Сайт Болена-Пирса . Проверено 27 ноября 2012 г.
[ редактировать ]
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bohlen–Pierce_scale&oldid=1236752873"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5cecdfd35012cf615ad1272c96d0ae44__1721978700
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5c/44/5cecdfd35012cf615ad1272c96d0ae44.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Bohlen–Pierce scale - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)