Распределение Максвелла – Больцмана

Эта статья об уровнях энергии и скорости частиц. Для энергетических состояний системы см. Распределение Больцмана .

Максвелл – Больцман

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$a>0$
Поддерживать	$x\in (0;\infty )$
PDF	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {x^{2}}{a^{3}}}\,\exp \left({\frac {-x^{2}}{2a^{2}}}\right)$ (где exp — показательная функция )
CDF	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {x}{a}}\,\exp \left({\frac {-x^{2}}{2a^{2}}}\right)$ (где erf — функция ошибок )
Иметь в виду	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$
Режим	${\sqrt {2}}a$
Дисперсия	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$
асимметрия	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$
Избыточный эксцесс	$\gamma _{2}={\frac {4(-96+40\pi -3\pi ^{2})}{(3\pi -8)^{2}}}$
Энтропия	$\ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}$

В физике (в частности, в статистической механике ) распределение Максвелла-Больцмана , или распределение Максвелла (иан) — это особое распределение вероятностей, названное в честь Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана .

Впервые он был определен и использован для описания скоростей частиц в идеализированных газах , где частицы свободно движутся внутри неподвижного контейнера, не взаимодействуя друг с другом, за исключением очень коротких столкновений , при которых они обмениваются энергией и импульсом друг с другом или со своей тепловой средой. Термин «частица» в этом контексте относится только к газообразным частицам ( атомам или молекулам ), и предполагается, что система частиц достигла термодинамического равновесия . Энергии таких частиц соответствуют так называемой статистике Максвелла-Больцмана , а статистическое распределение скоростей получается путем приравнивания энергий частиц к кинетической энергии .

Математически распределение Максвелла-Больцмана представляет собой распределение хи с тремя степенями свободы (компонентами вектора скорости в евклидовом пространстве ) с параметром масштаба, измеряющим скорость в единицах, пропорциональных квадратному корню из $T/m$ (соотношение температуры и массы частицы).

Распределение Максвелла-Больцмана является результатом кинетической теории газов , которая дает упрощенное объяснение многих фундаментальных свойств газа, включая давление и диффузию . Распределение Максвелла-Больцмана в основном применимо к скоростям частиц в трех измерениях, но оказывается, что оно зависит только от скорости ( величины скорости) частиц. Распределение вероятностей скоростей частиц указывает, какие скорости более вероятны: случайно выбранная частица будет иметь скорость, случайно выбранную из распределения, и с большей вероятностью будет находиться в одном диапазоне скоростей, чем в другом. Кинетическая теория газов применима к классическому идеальному газу , который представляет собой идеализацию реальных газов. В реальных газах существуют различные эффекты (например, взаимодействия Ван-дер-Ваальса , вихревой поток, релятивистские пределы скорости и квантовые обменные взаимодействия ), которые могут сделать их распределение скоростей отличным от формы Максвелла-Больцмана. Однако разреженные газы при обычных температурах ведут себя очень близко к идеальному газу, и распределение скоростей Максвелла является отличным приближением для таких газов. Это справедливо и для идеальной плазмы , представляющей собой ионизированные газы достаточно малой плотности.

Распределение было впервые получено Максвеллом в 1860 году на эвристических основаниях. Позже Больцман, в 1870-х годах, провел значительные исследования физической природы этого распределения. Распределение можно получить на том основании, что оно максимизирует энтропию системы. Список производных:

1. Распределение вероятностей максимальной энтропии в фазовом пространстве с ограничением сохранения средней энергии $\langle H\rangle =E;$
2. Канонический ансамбль .

Функция распределения

Для системы, содержащей большое количество идентичных невзаимодействующих нерелятивистских классических частиц, находящихся в термодинамическом равновесии, доля частиц внутри бесконечно малого элемента трехмерного пространства скоростей d ³ v , с центром на векторе скорости $\mathbf {v}$ величины $v$, определяется $$f(\mathbf {v} )~d^{3}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{3}\mathbf {v} ,$$ где:

• m – масса частицы;
• k _B – постоянная Больцмана ;
• Т – термодинамическая температура ;
• $f(\mathbf {v} )$ — функция распределения вероятностей, правильно нормированная так, что ${\textstyle \int f(\mathbf {v} )\,d^{3}\mathbf {v} }$ по всем скоростям равна единице.

Плотность вероятности скорости зависит от скоростей нескольких благородных газов при температуре 298,15 К (25 ° C). По оси Y указано значение в с/м, так что площадь под любым участком кривой (которая представляет вероятность нахождения скорости в этом диапазоне) безразмерна.

Элемент пространства скоростей можно записать как $d^{3}\mathbf {v} =dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$, для скоростей в стандартной декартовой системе координат или как $d^{3}\mathbf {v} =v^{2}\,dv\,d\Omega$ в стандартной сферической системе координат, где $d\Omega =\sin {v_{\theta }}~dv_{\phi }~dv_{\theta }$ является элементом телесного угла и ${\textstyle v^{2}=|\mathbf {v} |^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$.

Функция распределения Максвелла для частиц, движущихся только в одном направлении, если это направление равно x , равна $$f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~dv_{x},$$ который можно получить путем интегрирования трехмерной формы, приведенной выше, по v _y и v _z .

Признавая симметрию $f(v)$, можно проинтегрировать по телесному углу и записать вероятностное распределение скоростей в виде функции

$$f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).$$

Эта функция плотности вероятности дает вероятность на единицу скорости найти частицу со скоростью, близкой к v . Это уравнение представляет собой просто распределение Максвелла – Больцмана (приведенное в информационном окне) с параметром распределения ${\textstyle a={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}\,.}$ Распределение Максвелла – Больцмана эквивалентно распределению хи с тремя степенями свободы и параметром масштаба. ${\textstyle a={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}\,.}$

Простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет распределение: $${\begin{aligned}0&=k_{\text{B}}Tvf'(v)+f(v)\left(mv^{2}-2k_{\text{B}}T\right),\\[4pt]f(1)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right);\end{aligned}}$$

или в безразмерном представлении: $${\begin{aligned}0&=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]f(1)&={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}$$ С помощью метода средних значений Дарвина-Фаулера распределение Максвелла-Больцмана получается как точный результат.

Моделирование двумерного газа, релаксирующего в направлении распределения скоростей Максвелла – Больцмана.

Релаксация к двумерному распределению Максвелла – Больцмана.

Для частиц, которые могут двигаться в плоскости, распределение скорости определяется выражением

$$P(s<|\mathbf {v} |<s+ds)={\frac {ms}{k_{\text{B}}T}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)ds$$

Это распределение используется для описания систем, находящихся в равновесии. Однако большинство систем изначально не находятся в равновесном состоянии. Эволюция системы к равновесному состоянию определяется уравнением Больцмана . Уравнение предсказывает, что для короткодействующих взаимодействий равновесное распределение скоростей будет следовать распределению Максвелла – Больцмана. Справа показано моделирование молекулярной динамики (МД), в котором 900 частиц твердых сфер вынуждены двигаться по прямоугольнику. Они взаимодействуют посредством совершенно упругих столкновений . Система инициализируется вне равновесия, но распределение скоростей (синий цвет) быстро сходится к двумерному распределению Максвелла – Больцмана (оранжевый цвет).

Типичные скорости

Распределение Максвелла – Больцмана, соответствующее солнечной атмосфере. Массы частиц равны массе одного протона , m _p = 1,67 × 10 ⁻²⁷ кг ≈ 1 Да , а температура — эффективная температура фотосферы Солнца , Т = 5800 К. ${\tilde {V}}$, ${\bar {V}}$, и V _rms обозначают наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости соответственно. Их ценности ${\tilde {V}}$ ≈ 9,79 км/с , ${\bar {V}}$ ≈ 11,05 км/с и V _rms ≈ 12,00 км/с .

Средняя ​ скорость $\langle v\rangle$, наиболее вероятная скорость ( режим ) v _p и среднеквадратическая скорость ${\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ можно получить из свойств распределения Максвелла.

Это хорошо работает для почти идеальных гелий одноатомных газов, таких как , но также и для молекулярных газов, таких как двухатомный кислород . Это связано с тем, что, несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) из-за большего числа степеней свободы , их поступательная кинетическая энергия (и, следовательно, их скорость) не меняется.

• Наиболее вероятная скорость vp _— это скорость, которой с наибольшей вероятностью будет обладать любая молекула (той же массы m ) в системе, и она соответствует максимальному значению моде или f ( v ) . Чтобы его найти, вычислим производную ⁠ ${\tfrac {df}{dv}},$⁠ установите его на ноль и найдите v : $${\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)=0$$ с решением: $${\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}$$где:
  • R — газовая постоянная ;
  • M — молярная масса вещества, поэтому ее можно рассчитать как произведение массы на константу Авогадро NA m _{частицы} : $M=mN_{\mathrm {A} }.$

Для двухатомного азота ( N ₂ , основной компонент воздуха ) при комнатной температуре ( 300 К ) это дает $$v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\ {\text{J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.$$

• Средняя скорость — это ожидаемое значение распределения скорости, устанавливающее ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}}$: $${\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[1ex]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{3/2}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\[1.4ex]&={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$
• Средняя квадратичная скорость $\langle v^{2}\rangle$ второго порядка – необработанный момент распределения скорости. «Среднеквадратическая скорость» $v_{\mathrm {rms} }$ - квадратный корень из среднеквадратичной скорости, соответствующей скорости частицы со средней кинетической энергией , устанавливая ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}}$: $${\begin{aligned}v_{\mathrm {rms} }&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{1/2}\\[1ex]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{1/2}\\[1ex]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{1/2}\right]^{1/2}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[1ex]&={\sqrt {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}$$

Таким образом, типичные скорости связаны следующим образом: $$v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.$$

Среднеквадратическая скорость напрямую связана со скоростью звука c в газе соотношением $$c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},$$ где ${\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$ – показатель адиабаты , f – число степеней свободы отдельной молекулы газа. В приведенном выше примере двухатомный азот (приблизительно к воздуху ) при 300 К , $f=5$ и $$c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,$$ истинное значение для воздуха можно аппроксимировать, используя среднюю молярную массу воздуха ( 29 г/моль ), что дает 347 м/с при 300 К (поправки на переменную влажность составляют порядка 0,1–0,6%).

Средняя относительная скорость $${\begin{aligned}v_{\text{rel}}\equiv \langle |\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|\rangle &=\int \!d^{3}\mathbf {v} _{1}\,d^{3}\mathbf {v} _{2}\left|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right|f(\mathbf {v} _{1})f(\mathbf {v} _{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}$$ где трехмерное распределение скорости равно $$f(\mathbf {v} )\equiv \left[{\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{-3/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{k_{\text{B}}T}}\right).$$

Интеграл можно легко получить, перейдя к координатам $\mathbf {u} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}$ и $\mathbf {U} ={\tfrac {\mathbf {v} _{1}\,+\,\mathbf {v} _{2}}{2}}.$

Ограничения

Распределение Максвелла-Больцмана предполагает, что скорости отдельных частиц намного меньше скорости света, т.е. что $T\ll {\frac {mc^{2}}{k_{\text{B}}}}$. Для электронов температура электронов должна быть $T_{e}\ll 5.93\times 10^{9}~\mathrm {K}$.

Вывод и связанные с ним распределения

Статистика Максвелла – Больцмана

Основные статьи: статистика Максвелла – Больцмана § Выводы и распределение Больцмана

Первоначальный вывод Джеймса Клерка Максвелла, сделанный в 1860 году , был аргументом, основанным на молекулярных столкновениях кинетической теории газов , а также на определенных симметриях в функции распределения по скорости; Максвелл также выдвинул один из первых аргументов в пользу того, что эти молекулярные столкновения влекут за собой тенденцию к равновесию. По Максвеллу Людвиг Больцман в 1872 г. также вывел распределение на механических основаниях и утверждал, что газы должны со временем стремиться к этому распределению из-за столкновений (см. H-теорему ). Позже он (1877 г.) снова вывел распределение в рамках статистической термодинамики . Выводы в этом разделе аналогичны выводам Больцмана 1877 года, начиная с результата, известного как статистика Максвелла – Больцмана (из статистической термодинамики). Статистика Максвелла – Больцмана дает среднее количество частиц, находящихся в данном одночастичном микросостоянии . При определенных предположениях логарифм доли частиц в данном микросостоянии линейен по отношению энергии этого состояния к температуре системы: существуют константы $k$ и $C$ такой, что для всех $i$, $$-\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {E_{i}}{T}}+C.$$ Предположения этого уравнения заключаются в том, что частицы не взаимодействуют и являются классическими; это означает, что состояние каждой частицы можно рассматривать независимо от состояний других частиц. Кроме того, предполагается, что частицы находятся в тепловом равновесии.

Это соотношение можно записать в виде уравнения, введя нормирующий множитель:

$${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {E_{i}}{k_{\text{B}}T}}\right)}{\displaystyle \sum _{j}\exp \left(-{\tfrac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}\right)}}$$ ( 1 )

где:

• Ni _— ожидаемое число частиц в одночастичном микросостоянии i ,
• N – общее количество частиц в системе,
• E _i — энергия микросостояния i ,
• сумма по индексу j учитывает все микросостояния,
• T – равновесная температура системы,
• k _B — постоянная Больцмана .

Знаменатель в уравнении 1 является нормирующим коэффициентом, так что отношения $N_{i}:N$ в сумме дают единицу — другими словами, это своего рода статистическая сумма (для одночастичной системы, а не обычная статистическая сумма всей системы).

Поскольку скорость и скорость связаны с энергией, уравнение ( 1 ) можно использовать для вывода взаимосвязи между температурой и скоростями частиц газа. Все, что нужно, — это обнаружить плотность микросостояний по энергии, которая определяется разделением импульсного пространства на области одинакового размера.

Распределение вектора импульса

Потенциальная энергия принимается равной нулю, так что вся энергия находится в форме кинетической энергии. Связь между кинетической энергией и импульсом для массивных нерелятивистских частиц имеет вид

$$E={\frac {p^{2}}{2m}}$$ ( 2 )

где р ² квадрат вектора импульса p = [ p _x , p _y , p _z ] . Поэтому мы можем переписать уравнение ( 1 ) так:

$${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left(-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)$$ ( 3 )

где:

• Z — статистическая сумма , соответствующая знаменателю в уравнении 1 ;
• m – молекулярная масса газа;
• Т – термодинамическая температура;
• k _B — постоянная Больцмана .

распределение N _i : N пропорционально p функции плотности вероятности f _Это для нахождения молекулы с этими значениями компонентов импульса, поэтому:

$$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)$$ ( 4 )

Нормализующую константу можно определить, если учесть, что вероятность того, что молекула будет иметь некоторый импульс, должна быть равна 1. Интегрирование экспоненты в уравнении 4 по всем p _x , p _y и p _z дает коэффициент $$\iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mk_{\text{B}}T}}{\Bigr ]}^{3}$$

Итак, нормированная функция распределения:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)$   ( 6 )

Распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных. $p_{x}$, $p_{y}$, и $p_{z}$, с отклонением $mk_{\text{B}}T$. Кроме того, можно видеть, что величина импульса будет распределяться как распределение Максвелла – Больцмана, причем ${\textstyle a={\sqrt {mk_{\text{B}}T}}}$. Распределение Максвелла – Больцмана для импульса (или, что равно, для скоростей) можно получить более фундаментально, используя H-теорему в состоянии равновесия в рамках кинетической теории газов .

Распределение энергии

Распределение энергии оказывается впечатляющим

$$f_{E}(E)\,dE=f_{p}(\mathbf {p} )\,d^{3}\mathbf {p} ,$$ ( 7 )

где $d^{3}\mathbf {p}$ — бесконечно малый объем импульсов фазового пространства, соответствующий энергетическому интервалу dE . Используя сферическую симметрию дисперсионного уравнения энергии-импульса $E={\tfrac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}},$ это можно выразить через dE как

$d^{3}\mathbf {p} =4\pi |\mathbf {p} |^{2}d|\mathbf {p} |=4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE.$ ( 8 )

Используя тогда ( 8 ) в ( 7 ) и выражая все через энергию E , получаем $${\begin{aligned}f_{E}(E)dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[1ex]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)\,dE\end{aligned}}$$ и наконец

$f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)$   ( 9 )

Поскольку энергия пропорциональна сумме квадратов трех нормально распределенных компонентов импульса, это распределение энергии можно эквивалентно записать как гамма-распределение , используя параметр формы: $k_{\text{shape}}=3/2$ и параметр масштаба, $\theta _{\text{scale}}=k_{\text{B}}T.$

Используя теорему о равнораспределении , учитывая, что энергия равномерно распределена между всеми тремя степенями свободы в равновесии, мы также можем разделить $f_{E}(E)dE$ на набор распределений хи-квадрат , где энергия на степень свободы ε распределяется как распределение хи-квадрат с одной степенью свободы, $$f_{\varepsilon }(\varepsilon )\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon k_{\text{B}}T}}}~\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right)\,d\varepsilon$$

В состоянии равновесия это распределение будет справедливым для любого числа степеней свободы. Например, если частицы представляют собой диполи жесткой массы с фиксированным дипольным моментом, они будут иметь три поступательные степени свободы и две дополнительные вращательные степени свободы. Энергия в каждой степени свободы будет описываться согласно вышеуказанному распределению хи-квадрат с одной степенью свободы, а полная энергия будет распределяться согласно распределению хи-квадрат с пятью степенями свободы. Это имеет значение в теории удельной теплоемкости газа.

Распределение вектора скорости

Учитывая, что плотность вероятности скорости f _v пропорциональна функции плотности вероятности импульса по формуле

$$f_{\mathbf {v} }d^{3}\mathbf {v} =f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}\mathbf {v}$$

и используя p = m v, мы получаем

$f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2k_{\text{B}}T}}\right)$

что представляет собой распределение скорости Максвелла – Больцмана. Вероятность найти частицу со скоростью в бесконечно малом элементе [ dv _x , dv _y , dv _z ] относительно скорости v = [ v _x , v _y , v _z ] равна

$$f_{\mathbf {v} }{\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)}\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.$$

Как и импульс, это распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных. $v_{x}$, $v_{y}$, и $v_{z}$, но с отклонением ${\textstyle k_{\text{B}}T/m}$. Также можно видеть, что распределение скорости Максвелла – Больцмана для векторной скорости [ v _x , v _y , v _z ] — произведение распределений для каждого из трех направлений: $$f_{\mathbf {v} }{\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)}=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})$$ где распределение для одного направления равно $$f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).$$

Каждая компонента вектора скорости имеет нормальное распределение со средним значением $\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ и стандартное отклонение ${\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}}$, поэтому вектор имеет трехмерное нормальное распределение, особый вид многомерного нормального распределения со средним значением $\mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0}$ и ковариация ${\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\right)I}$, где $I$ — единичная матрица 3 × 3 .

Распределение по скорости

Распределение скорости Максвелла – Больцмана сразу следует из распределения вектора скорости, приведенного выше. Обратите внимание, что скорость $$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$$ и элемент объема в сферических координатах $$dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega$$ где $\phi$ и $\theta$ – сферические координатные углы вектора скорости. Интегрирование функции плотности вероятности скорости по телесным углам $d\Omega$ дает дополнительный коэффициент $4\pi$. Распределение скорости с заменой скорости на сумму квадратов компонент вектора:

$f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).$

В n -мерном пространстве

В n -мерном пространстве распределение Максвелла – Больцмана принимает вид: $$f(\mathbf {v} )~d^{n}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{n/2}\exp \left(-{\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{n}\mathbf {v}$$

Распределение скорости становится: $$f(v)~dv=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)v^{n-1}~dv$$ где $A$ является нормирующей константой.

Полезен следующий интегральный результат: $${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)dv&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a+1}{2}}\right)}}{2}}\end{aligned}}$$ где $\Gamma (z)$ это гамма-функция . Этот результат можно использовать для расчета моментов функции распределения скорости: $$\langle v\rangle ={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}~~{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}$$ что является самой средней скоростью ${\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

$${\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}\\[1ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+2}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}\\[1.2ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}\end{aligned}}$$ что дает среднеквадратическую скорость ${\textstyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}}.}$

Производная функции распределения скорости: $${\frac {df(v)}{dv}}=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{k_{\text{B}}T}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0$$

Это дает наиболее вероятную скорость ( режим ) ${\textstyle v_{\text{p}}={\sqrt {\left(n-1\right)k_{\text{B}}T/m}}.}$

См. также

• Квантовое уравнение Больцмана
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Распределение Максвелла – Юттнера
• Распределение Больцмана
• Распределение Рэлея
• Кинетическая теория газов

Дальнейшее чтение

• Типлер, Пол Аллен; Моска, Джин (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN  978-0-7167-8964-2 .
• Шавит, Артур; Гутфингер, Хаим (2009). Термодинамика: от концепций к приложениям (2-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4200-7368-3 . OCLC   244177312 .
• Айвз, Дэвид Дж. Г. (1971). Химическая термодинамика . Университетская химия. Макдональд Технический и научный. ISBN  0-356-03736-3 .
• Нэш, Леонард К. (1974). Элементы статистической термодинамики . Принципы химии (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-05229-9 .
• Уорд, Калифорния; Фанг, Г. (1999). «Выражение для прогнозирования потока испарения жидкости: подход статистической теории скорости». Физический обзор E . 59 (1): 429–440. дои : 10.1103/physreve.59.429 . ISSN   1063-651X .
• Рахими, П; Уорд, Калифорния (2005). «Кинетика испарения: подход статистической теории скорости». Международный журнал термодинамики . 8 (9): 1–14.

Внешние ссылки

• «Распределение скорости Максвелла» из демонстрационного проекта Wolfram в Mathworld