Распределение Вейбулла

Вейбулл (2-параметрический)

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\lambda \in (0,+\infty )\,$ шкала $k\in (0,+\infty )\,$ форма
Поддерживать	$x\in [0,+\infty )\,$
PDF	$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}$
CDF	$F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}$
Квантиль	$Q(p)=\lambda (-\ln(1-p))^{\frac {1}{k}}$
Иметь в виду	$\lambda \,\Gamma (1+1/k)\,$
медиана	$\lambda (\ln 2)^{1/k}\,$
Режим	${\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,,&k>1,\\0,&k\leq 1.\end{cases}}$
Дисперсия	$\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,$
асимметрия	${\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
Избыточный эксцесс	(см. текст)
Энтропия	$\gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,$
МГФ	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1$
CF	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$
Расхождение Кульбака – Лейблера	см. ниже

В теории вероятностей и статистике / распределение Вейбулла ˈ w aɪ b ʊ l / является непрерывным распределением вероятностей . Он моделирует широкий диапазон случайных величин, в основном таких как время до отказа или время между событиями. Примерами являются максимальное количество осадков за один день и время, которое пользователь проводит на веб-странице.

Распределение названо в честь шведского математика Валодди Вейбулла , подробно описавшего его в 1939 году. хотя он был впервые идентифицирован Рене Морисом Фреше и впервые применен Розином и Раммлером (1933) для описания распределения частиц по размерам .

Определение

Стандартная параметризация

Функция плотности вероятности Вейбулла случайной величины равна

$f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0,\end{cases}}$

где k > 0 — параметр формы , а λ > 0 — параметр масштаба распределения. Его дополнительная кумулятивная функция распределения представляет собой растянутую экспоненциальную функцию . Распределение Вейбулла связано с рядом других вероятностных распределений; в частности, он интерполирует между экспоненциальным распределением ( k = 1) и распределением Рэлея ( k = 2 и $\lambda ={\sqrt {2}}\sigma$).

Если величина X представляет собой «время до отказа», распределение Вейбулла дает распределение, для которого интенсивность отказов пропорциональна степени времени. Параметр формы k равен этой степени плюс единица, поэтому этот параметр можно интерпретировать непосредственно следующим образом:

• Значение $k<1\,$ указывает на то, что интенсивность отказов со временем уменьшается (как в случае эффекта Линди , который, однако, соответствует распределениям Парето а не распределения Вейбулла). Это происходит, если наблюдается значительная «детская смертность» или дефектные изделия выходят из строя рано, а частота отказов снижается с течением времени по мере того, как дефектные изделия отсеиваются из популяции. В контексте диффузии инноваций это означает негативную молву: функция риска представляет собой монотонно убывающую функцию доли усыновителей;
• Значение $k=1\,$ указывает на то, что интенсивность отказов постоянна во времени. Это может означать, что случайные внешние события вызывают смертность или неудачу. Распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному распределению;
• Значение $k>1\,$ указывает на то, что интенсивность отказов увеличивается со временем. Это происходит, если существует процесс «старения» или детали, которые с большей вероятностью выходят из строя с течением времени. В контексте распространения инноваций это означает положительную молву: функция риска представляет собой монотонно возрастающую функцию доли последователей. Функция сначала выпуклая, затем вогнутая с точкой перегиба при $(e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,$.

В области материаловедения параметр формы распределения сил известен как модуль Вейбулла . В контексте распространения инноваций распределение Вейбулла представляет собой «чистую» модель имитации/отвержения.

Альтернативные параметризации

Первая альтернатива

Приложения в медицинской статистике и эконометрике часто используют другую параметризацию. Параметр формы k такой же, как указано выше, а параметр масштаба равен $b=\lambda ^{-k}$. В этом случае для x ≥ 0 функция плотности вероятности равна

$f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},$

кумулятивная функция распределения

$F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},$

функция квантиля

$Q(p;k,b)=\left(-{\frac {1}{b}}\ln(1-p)\right)^{\frac {1}{k}},$

функция опасности

$h(x;k,b)=bkx^{k-1},$

и среднее значение

$b^{-1/k}\Gamma (1+1/k).$

Вторая альтернатива

Также можно найти вторую альтернативную параметризацию. Параметр формы k такой же, как и в стандартном случае, а параметр масштаба λ заменяется параметром скорости β = 1/ λ . Тогда для x ≥ 0 функция плотности вероятности равна

$f(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}e^{-(\beta x)^{k}}$

кумулятивная функция распределения

$F(x;k,\beta )=1-e^{-(\beta x)^{k}},$

функция квантиля

$Q(p;k,\beta )={\frac {1}{\beta }}(-\ln(1-p))^{\frac {1}{k}},$

а функция опасности равна

$h(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}.$

Во всех трех параметризациях опасность уменьшается при k < 1, увеличивается при k > 1 и остается постоянной при k = 1, и в этом случае распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному распределению.

Характеристики

Функция плотности

Вид функции плотности распределения Вейбулла резко меняется с изменением значения k . При 0 < k < 1 функция плотности стремится к ∞ при приближении x к нулю сверху и строго убывает. При k = 1 функция плотности стремится к 1/ λ при приближении x к нулю сверху и строго убывает. При k > 1 функция плотности стремится к нулю по мере приближения x к нулю сверху, возрастает до своей моды и убывает после нее. Функция плотности имеет бесконечный отрицательный наклон при x = 0, если 0 < k < 1, бесконечный положительный наклон при x = 0, если 1 < k < 2, и нулевой наклон при x = 0, если k > 2. Для k = 1 плотность имеет конечный отрицательный наклон при x = 0. Для k = 2 плотность имеет конечный положительный наклон при x = 0. Когда k стремится к бесконечности, распределение Вейбулла сходится к дельта-распределению Дирака с центром в точке x = λ. При этом асимметрия и коэффициент вариации зависят только от параметра формы. Обобщением распределения Вейбулла является гиперболатическое распределение типа III .

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения для распределения Вейбулла равна

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,$

для x ≥ 0 и F ( x ; k ; λ) = 0 для x < 0.

Если x = λ, то F ( x ; k ; λ) = 1 − e ⁻¹ ≈ 0,632 для всех значений k . И наоборот: при F ( x ; k ; λ ) = 0,632 значение x ≈ λ .

Функция квантиля (обратного кумулятивного распределения) для распределения Вейбулла:

$Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}$

для 0 ≤ p < 1.

Интенсивность отказов h (или функция опасности) определяется выражением

$h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.$

Среднее время наработки на отказ составляет

${\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).$

Моменты

логарифма Производящая момент функция случайной распределенной Вейбулла величины определяется выражением

$\operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)$

где Γ – гамма-функция . Аналогично, характеристическая функция журнала X определяется выражением

$\operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).$

В частности, n-й момент X определяется исходный выражением

$m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).$

и Среднее значение дисперсия случайной Вейбулла величины можно выразить как

$\operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$

и

$\operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.$

Асимметрия определяется

$\gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}$

где $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$, что также можно записать как

$\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$

где среднее значение обозначается µ , а стандартное отклонение обозначается σ .

Избыточный эксцесс определяется выражением

$\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}$

где $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$. Избыток эксцесса также можно записать как:

$\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3.$

Функция генерации момента

доступно множество выражений Для производящей функции момента самого X . В качестве степенного ряда , поскольку исходные моменты уже известны, мы имеем

$\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).$

Альтернативно можно попытаться разобраться непосредственно с интегралом

$\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.$

Если параметр k предполагается рациональным числом, выраженным как k = p / q , где p и q — целые числа, то этот интеграл можно вычислить аналитически. Заменив t на − t , можно найти

$\operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)$

где G — G-функция Мейера .

Характеристическая функция также была получена Muraleedharan et al. (2007) . Характеристическая функция и функция, генерирующая момент трехпараметрического распределения Вейбулла, также были получены Соаресом (2014) прямого подхода.

Минимумы

Позволять $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ быть независимыми и одинаково распределенными случайными величинами Вейбулла с масштабным параметром $\lambda$ и параметр формы $k$. Если минимум из этих $n$ случайные величины это $Z=\min(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$, то кумулятивное распределение вероятностей $Z$ данный

$F(z)=1-e^{-n(z/\lambda )^{k}}.$

То есть, $Z$ также будет распределено Вейбуллом с параметром масштаба $n^{-1/k}\lambda$ и с параметром формы $k$.

Трюки с репараметризацией

Исправьте некоторые $\alpha >0$. Позволять $(\pi _{1},...,\pi _{n})$ неотрицательны и не все равны нулю, и пусть $g_{1},...,g_{n}$ быть независимыми образцами ${\text{Weibull}}(1,\alpha ^{-1})$, затем

• $\arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}$
• $\min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Weibull}}\left(\left(\sum _{i}\pi _{i}\right)^{-\alpha },\alpha ^{-1}\right)$.

Энтропия Шеннона

Информационная энтропия определяется выражением

$H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$

где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони . Распределение Вейбулла — это максимальное распределение энтропии для неотрицательной действительной случайной величины с фиксированным ожидаемым значением x . ^к равный λ ^к и фиксированное ожидаемое значение ln( x ^к ), равный ln( λ ^к ) −  $\gamma$.

Расхождение Кульбака – Лейблера

Расхождение Кульбака – Лейблера между двумя распределениями Вейбулла определяется выражением

$D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1$

Оценка параметров

Обычный метод наименьших квадратов с использованием графика Вейбулла

сюжет Вейбулла

Соответствие распределения Вейбулла данным можно оценить визуально с помощью графика Вейбулла. График Вейбулла представляет собой график эмпирической кумулятивной функции распределения. ${\widehat {F}}(x)$ данных по специальным осям в виде графика Q–Q . Оси $\ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))$ против $\ln(x)$. Причиной такой замены переменных является то, что кумулятивную функцию распределения можно линеаризовать:

${\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}$

которая, как можно видеть, имеет стандартную форму прямой линии. Следовательно, если данные получены из распределения Вейбулла, то на графике Вейбулла ожидается прямая линия.

Существуют различные подходы к получению эмпирической функции распределения по данным: один метод заключается в получении вертикальной координаты для каждой точки с помощью ${\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}$ где $i$ - это ранг точки данных и $n$ количество точек данных.

Линейную регрессию также можно использовать для численной оценки согласия и оценки параметров распределения Вейбулла. Градиент напрямую информирует о параметре формы. $k$ и параметр масштаба $\lambda$ также можно сделать вывод.

Метод моментов

Коэффициент вариации распределения Вейбулла зависит только от параметра формы:

$CV^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}.$

Уравнивание объемов выборки $s^{2}/{\bar {x}}^{2}$ к $\sigma ^{2}/\mu ^{2}$, моментная оценка параметра формы $k$ можно прочитать либо из справочной таблицы, либо из графика $CV^{2}$ против $k$. Более точная оценка ${\hat {k}}$ можно найти с помощью алгоритма поиска корня для решения

${\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}={\frac {s^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}.$

Затем оценку момента масштабного параметра можно найти с использованием первого уравнения момента как

${\hat {\lambda }}={\frac {\bar {x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{\hat {k}}}\right)}}.$

Максимальная вероятность

Оценка максимального правдоподобия для $\lambda$ задан параметр $k$ является

${\widehat {\lambda }}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}$

Оценка максимального правдоподобия для $k$ является решением для k следующего уравнения

$0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}$

Это уравнение определяет ${\widehat {k}}$ только неявно, обычно нужно найти решение для $k$ числовыми средствами.

Когда $x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}$ являются $N$ крупнейшие наблюдаемые выборки из набора данных объемом более $N$ выборок, то оценка максимального правдоподобия для $\lambda$ задан параметр $k$ является

${\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})$

Кроме того, при этом условии оценка максимального правдоподобия для $k$ является

$0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}$

Опять же, поскольку это неявная функция, обычно нужно найти $k$ числовыми средствами.

Приложения

Используется распределение Вейбулла.

Подобрано кумулятивное распределение Вейбулла для максимального количества осадков за один день с помощью CumFreq , см. также подбор распределения.

Подогнанные кривые для данных временных рядов добычи нефти

• В анализе выживания
• В области проектирования надежности и анализа отказов
• В электротехнике для обозначения перенапряжения, возникающего в электрической системе.
• В промышленном проектировании для представления производства и поставки . сроков
• В теории экстремальных ценностей
• В прогнозировании погоды и ветроэнергетике для описания распределения скорости ветра , поскольку естественное распределение часто соответствует форме Вейбулла.
• В области проектирования систем связи
  • В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемых сигналов, создаваемой некоторыми типами помех.
  • Для моделирования каналов замирания в беспроводной связи, поскольку модель замирания Вейбулла , по-видимому, хорошо подходит для экспериментальных канала замирания. измерений
• При поиске информации для моделирования времени пребывания на веб-страницах.
• В общем страховании для моделирования размера претензий по перестрахованию и совокупного развития от асбестоза. убытков
• В прогнозировании технологических изменений (также известном как модель Шарифа-Ислама)
• В гидрологии распределение Вейбулла применяется к экстремальным явлениям, таким как годовое максимальное количество осадков за один день и речной сток.
• При анализе кривой снижения для моделирования кривой дебита нефти из сланцевых скважин.
• При описании размера частиц, образующихся в результате операций измельчения, измельчения и дробления , используется двухпараметрическое распределение Вейбулла, которое в этих приложениях иногда называют распределением Розина – Раммлера. В этом контексте он предсказывает меньше мелких частиц, чем логарифмически нормальное распределение , и, как правило, наиболее точен для узких распределений частиц по размерам. Интерпретация кумулятивной функции распределения заключается в том, что $F(x;k,\lambda )$ – массовая доля частиц диаметром меньше $x$, где $\lambda$ средний размер частиц и $k$ является мерой разброса размеров частиц.
• При описании случайных облаков точек (например, положений частиц в идеальном газе): вероятность найти ближайшую соседнюю частицу на расстоянии. $x$ от данной частицы задается распределением Вейбулла с $k=3$ и $\rho =1/\lambda ^{3}$ равна плотности частиц.
• При расчете скорости радиационно-индуцированных одиночных эффектов на борту космического корабля используется четырехпараметрическое распределение Вейбулла для согласования экспериментально измеренных данных вероятности поперечного сечения устройства со спектром линейной передачи энергии частиц . Первоначально аппроксимация Вейбулла использовалась из-за убеждения, что уровни энергии частиц соответствуют статистическому распределению, но позже это убеждение оказалось ложным. а аппроксимация Вейбулла продолжает использоваться из-за множества регулируемых параметров, а не из-за продемонстрированной физической основы.

Связанные дистрибутивы

• Если $W\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,k)$, то переменная $G=\log W$ распределен ли Гамбель (минимум) с параметром местоположения $\mu =\log \lambda$ и параметр масштабирования $\beta =1/k$. То есть, $G\sim \mathrm {Gumbel} _{\min }(\log \lambda ,1/k)$.
• Распределение Вейбулла — это обобщенное гамма-распределение, оба параметра формы которого равны k .
• Транслированное распределение Вейбулла (или трехпараметрическое распределение Вейбулла) содержит дополнительный параметр. Он имеет функцию плотности вероятности

  $f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k}}\,$

  для $x\geq \theta$ и $f(x;k,\lambda ,\theta )=0$ для $x<\theta$, где $k>0$ параметр формы , $\lambda >0$ является параметром масштаба и $\theta$ — параметр местоположения распределения. $\theta$ Значение устанавливает начальное время безотказной работы перед началом обычного процесса Вейбулла. Когда $\theta =0$, это сводится к двухпараметрическому распределению.
• Распределение Вейбулла можно охарактеризовать как распределение случайной величины $W$ такая, что случайная величина

  $X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}$

  — стандартное экспоненциальное распределение с интенсивностью 1.
• Это означает, что распределение Вейбулла также можно охарактеризовать как равномерное распределение : если $U$ равномерно распределен по $(0,1)$, то случайная величина $W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,$ распределяется ли Вейбулл с параметрами $k$ и $\lambda$. Обратите внимание, что $-\ln(U)$ здесь эквивалентно $X$ чуть выше. Это приводит к легко реализуемой численной схеме моделирования распределения Вейбулла.
• Распределение Вейбулла интерполирует экспоненциальное распределение с интенсивностью $1/\lambda$ когда $k=1$ и распределение Рэлея моды $\sigma =\lambda /{\sqrt {2}}$ когда $k=2$.
• Распределение Вейбулла (обычно достаточное в технике надежности ) представляет собой частный случай трехпараметрического возведенного в степень распределения Вейбулла , где дополнительный показатель степени равен 1. Возведенное в степень распределение Вейбулла допускает унимодальное . распределение Вейбулла в форме ванны и монотонная интенсивность отказов .
• Распределение Вейбулла является частным случаем обобщенного распределения экстремальных значений . Именно в связи с этим распределение впервые было идентифицировано Морисом Фреше в 1927 году. Близко родственное распределение Фреше , названное в честь этой работы, имеет функцию плотности вероятности

  $f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).$

• Распределение случайной величины, определяемое как минимум из нескольких случайных величин, каждая из которых имеет различное распределение Вейбулла, является поли-распределением Вейбулла .
• Распределение Вейбулла было впервые применено Розином и Раммлером (1933) для описания распределения частиц по размерам. Он широко используется в переработке полезных ископаемых для описания распределения частиц по размерам в процессах измельчения . В этом контексте кумулятивное распределение определяется выражением

  $f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}$

  где
  • $x$ размер частиц
  • $P_{\rm {80}}$ представляет собой 80-й процентиль распределения частиц по размерам.
  • $m$ – параметр, описывающий разброс распределения
• Из-за своей доступности в электронных таблицах он также используется там, где основное поведение на самом деле лучше моделируется с помощью распределения Эрланга .
• Если $X\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,{\frac {1}{2}})$ затем ${\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda }}})$ ( Экспоненциальное распределение )
• При тех же значениях k гамма-распределение принимает схожие формы, но распределение Вейбулла более платикуртное .

• С точки зрения распределения стабильного количества , $k$ можно рассматривать как параметр устойчивости Леви. Распределение Вейбулла можно разложить до интеграла от плотности ядра, где ядро ​​представляет собой либо распределение Лапласа. $F(x;1,\lambda )$ или распределение Рэлея $F(x;2,\lambda )$:

  $F(x;k,\lambda )={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,F(x;1,\lambda \nu )\left(\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right)\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,F(x;2,{\sqrt {2}}\lambda s)\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right)\,ds,&2\geq k>0;\end{cases}}$

  где ${\mathfrak {N}}_{k}(\nu )$ - стабильное распределение количества и $V_{k}(s)$ это стабильное распределение объемов .

См. также

• Дискретное распределение Вейбулла
• Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко.
• Логистическое распределение
• Распределение канифоли – Раммлера для гранулометрического анализа
• Распределение Рэлея
• Стабильное распределение количества

Библиография

• Фреше, Морис (1927), «О вероятностном законе максимального отклонения», Анналы Польского математического общества, Краков , 6 : 93–116 .
• Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1994), Непрерывные одномерные распределения. Том. 1 , Серия Уайли по вероятности и математической статистике: прикладная теория вероятности и статистика (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-58495-7 , МР   1299979
• Манн, Нэнси Р .; Шафер, Рэй Э.; Сингпурвалла, Нозер Д. (1974), Методы статистического анализа надежности и данных о жизни , Ряды Уайли по вероятности и математической статистике: прикладная вероятность и статистика (1-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-56737-0
• Муралидхаран, Г.; Рао, AD; Куруп, П.Г.; Наир, Н. Унникришнан; Синха, Мурани (2007), «Модифицированное распределение Вейбулла для моделирования и прогнозирования максимальной и значительной высоты волн», Coastal Engineering , 54 (8): 630–638, doi : 10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
• Розин, П.; Раммлер, Э. (1933), «Законы, регулирующие крупность порошкообразного угля», Журнал Института топлива , 7 : 29–36 .
• Сагиас, Северная Каролина; Карагианнидис, ГК (2005). «Многомерные распределения Вейбулла гауссова класса: теория и приложения в каналах с затуханием». Транзакции IEEE по теории информации . 51 (10): 3608–19. дои : 10.1109/TIT.2005.855598 . МР   2237527 . S2CID   14654176 .
• Вейбулл, В. (1951), «Статистическая функция распределения широкой применимости» (PDF) , Journal of Applied Mechanics , 18 (3): 293–297, Бибкод : 1951JAM....18..293W , doi : 10.1115 /1.4010337 .
• «Распределение Вейбулла» . Справочник по инженерной статистике . Национальный институт стандартов и технологий . 2008.
• Нельсон-младший, Ральф (5 февраля 2008 г.). «Диспергирование порошков в жидкостях, Часть 1, Глава 6: Распределение частиц по объему» . Проверено 5 февраля 2008 г.

Внешние ссылки

• «Распределение Вейбулла» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathpages – анализ Вейбулла
• Распределение Вейбулла
• Анализ надежности с помощью Weibull
• Интерактивная графика: одномерные отношения распределения
• Онлайн-построение вероятностного графика Вейбулла