✖


Jump to content

Евклид

Edit links
Страница полузащищена
Послушайте эту статью
(Перенаправлено с Евклида )

О философе см. Евклид Мегарский . Чтобы узнать о других значениях, см. Евклид (значения) .
Евклид
Евклид
Евклид Хусепе де Рибера , ок. 1630–1635 гг. [ 1 ]
Годы активности эт. 300 г. до н.э.
Известный
Различные концепции
Научная карьера
Поля Математика ( Геометрия )

Евклид ( / ˈ j uː k l ɪ d / ; греческий : Εὐκλείδης ; эт. 300 г. до н.э.) был древнегреческим математиком, работавшим как геометр и логик . [ 2 ] Считается «отцом геометрии». [ 3 ] он в основном известен благодаря трактату «Элементы» , в котором заложены основы геометрии , которая в значительной степени доминировала в этой области до начала 19 века. Его система, теперь называемая евклидовой геометрией , включала новые инновации в сочетании с синтезом теорий более ранних греческих математиков, в том числе Евдокса Книдского , Гиппократа Хиосского , Фалеса и Теэтета . Наряду с Архимедом и Аполлонием Пергским Евклид обычно считается одним из величайших математиков древности и одним из самых влиятельных в истории математики .

О жизни Евклида известно очень мало, и большая часть информации поступает от ученых Прокла и Паппа из Александрии много столетий спустя. Средневековые исламские математики придумали причудливую биографию, а средневековые византийские ученые и ученые раннего Возрождения приняли его за более раннего философа Евклида из Мегары . Сейчас общепринято, что он провел свою карьеру в Александрии и жил около 300 г. до н.э., после . учеников Платона и до Архимеда Есть предположение, что Евклид учился в Платонической академии , а затем преподавал в Музее ; его считают связующим звеном между ранней платонической традицией в Афинах и позднейшей традицией в Александрии.

В «Элементах» Евклид вывел теоремы из небольшого набора аксиом . Он также написал работы по перспективе , коническим сечениям , сферической геометрии , теории чисел и математической строгости . В дополнение к « Элементам » Евклид написал центральный ранний текст в оптики области «Оптика» и менее известные работы, включая «Данные» и «Феномены» . Авторство Евклида « О разделении фигур и катоптрике» подвергается сомнению. Считается, что он написал много утраченных произведений .

Жизнь

Традиционное повествование

Деталь впечатления Рафаэля от Евклида, обучавшего студентов Афинской школы (1509–1511).

Английское имя «Евклид» является англизированной версией древнегреческого имени Евклид ( Εὐκλείδης ) . [ 4 ] [ а ] Оно происходит от « eu- » ( εὖ ; «хорошо») и «klês» ( -κλῆς ; «слава»), что означает «знаменитый, славный». [ 6 ] В английском языке под метонимией «Евклид» может означать его самую известную работу, » Евклида «Начала , или ее копию. [ 5 ] и иногда является синонимом «геометрии». [ 2 ]

Как и у многих древнегреческих математиков , подробности жизни Евклида по большей части неизвестны. [ 7 ] Его считают автором четырех, в основном дошедших до нас, трактатов — « Элементы » , «Оптика» , «Данные» , «Явления» , — но, кроме этого, о нем ничего достоверно не известно. [ 8 ] [ б ] Традиционное повествование в основном следует рассказу Прокла 5-го века нашей эры в его «Комментариях к Первой книге «Начал» Евклида» , а также нескольким анекдотам из Паппа Александрийского в начале 4-го века. [ 4 ] [ с ]

По словам Прокла, Евклид жил вскоре после нескольких последователей Платона ( ум. 347 до н. э.) и до математика Архимеда ( ок. 287 – ок. 212 до н. э.); [ д ] в частности, Прокл поместил Евклида во время правления Птолемея I ( годы правления 305/304–282 до н. э.). [ 7 ] [ 8 ] [ и ] Дата рождения Евклида неизвестна; некоторые ученые оценивают около 330 [ 11 ] [ 12 ] или 325 г. до н. э., [ 2 ] [ 13 ] но другие воздерживаются от спекуляций. [ 14 ] Предполагается, что он был греческого происхождения. [ 11 ] но место его рождения неизвестно. [ 15 ] [ ж ] Прокл считал, что Евклид следовал платоновской традиции , но однозначного подтверждения этому нет. [ 17 ] Маловероятно, что он был современником Платона, поэтому часто предполагается, что он получил образование у учеников Платона в Платоновской Академии в Афинах. [ 18 ] Историк Томас Хит поддержал эту теорию, отметив, что наиболее способные геометры жили в Афинах, в том числе многие из тех, на чьих работах основывался Евклид; [ 19 ] историк Михалис Сиаларос считает это простой гипотезой. [ 4 ] [ 20 ] В любом случае содержание работы Евклида демонстрирует знакомство с платоновской традицией геометрии. [ 11 ]

В своем «Сборнике » Папп упоминает, что Аполлоний учился у учеников Евклида в Александрии , и это было воспринято как подразумевающее, что Евклид работал и основал там математическую традицию . [ 8 ] [ 21 ] [ 19 ] Город был основан Александром Македонским в 331 году до нашей эры. [ 22 ] а правление Птолемея I с 306 г. до н. э. придало ему стабильность, которая была относительно уникальной на фоне хаотичных войн за раздел империи Александра . [ 23 ] Птолемей начал процесс эллинизации и заказал многочисленные постройки, построив огромный музей , который был ведущим центром образования. [ 15 ] [ г ] Предполагается, что Евклид был одним из первых ученых Музея. [ 22 ] Дата смерти Евклида неизвестна; Было высказано предположение, что он умер c. 270 г. до н.э. [ 22 ]

Самобытность и историчность

Картина Доменико Мароли 1650-х годов «Евклид из Мегары, si traveste da donna per recarsi ad Atene a seguire le lezioni di Socrate» [ Евклид из Мегары, одетый как женщина, чтобы послушать учение Сократа в Афинах ]. В то время философ Евклид и математик Евклид ошибочно считались одним и тем же человеком, поэтому на этой картине на столе изображены математические объекты. [ 25 ]

Евклида часто называют «Евклидом Александрийским», чтобы отличить его от более раннего философа Евклида Мегарского , ученика Сократа, включенного в диалоги Платона, с которым его исторически отождествляли. [ 4 ] [ 14 ] Валерий Максим , римский составитель анекдотов I века нашей эры, ошибочно заменил имя Евклида на Евдокса (4 век до нашей эры) как математика, к которому Платон отправлял тех, кто спрашивал, как удвоить куб . [ 26 ] Возможно, на основании этого упоминания о математическом Евклиде примерно на столетие раньше, Евклида перепутали с Евклидом Мегарским в средневековых византийских источниках (ныне утерянных). [ 27 ] в конечном итоге это привело к тому, что Евклиду-математику были приписаны подробности биографий обоих мужчин и описан как Megarensis ( букв.   « Мегарский » ). [ 4 ] [ 28 ] Византийский ученый Теодор Метохит ( ок. 1300 г. ) явно отождествил двух Евклидов, как и печатник Эрхард Ратдольт в 1482 году, в издании «Элементов», изданном Кампаном Новарским , в латинском переводе « Элементов» . [ 27 ] После математика Бартоломео Замберти [ фр ; де ] добавил большую часть дошедших до нас биографических фрагментов о Евклиде к предисловию своего перевода « Элементов» 1505 года , последующие публикации передали это определение. [ 27 ] Более поздние ученые эпохи Возрождения, особенно Питер Рамус , переоценили это утверждение, доказав его ложность из-за проблем в хронологии и противоречий в ранних источниках. [ 27 ]

Средневековые арабские источники содержат огромное количество информации о жизни Евклида, но совершенно не поддаются проверке. [ 4 ] Большинство ученых считают их сомнительной подлинностью; [ 8 ] Хит, в частности, утверждает, что беллетризация была сделана для укрепления связи между уважаемым математиком и арабским миром. [ 17 ] Есть также множество анекдотических историй, касающихся Евклида, все с неопределенной историчностью, которые «изображают его добрым и нежным стариком». [ 29 ] Самым известным из них является рассказ Прокла о том, как Птолемей спросил Евклида, есть ли более быстрый путь к изучению геометрии, чем чтение его « Начал» , на что Евклид ответил: «Нет царской дороги к геометрии». [ 29 ] Этот анекдот вызывает сомнения, поскольку очень похожее взаимодействие Менехма и Александра Великого записано у Стобея . [ 30 ] Оба отчета были написаны в V веке нашей эры, ни один из них не указывает на его источник, и ни один из них не встречается в древнегреческой литературе. [ 31 ]

Любая точная датировка деятельности Евклида ок. 300 г. до н.э. ставится под сомнение из-за отсутствия современных ссылок. [ 4 ] Самая ранняя оригинальная ссылка на Евклида содержится в вступительном письме Аполлония к Коникам (начало II века до н.э.): «Третья книга Коников содержит множество удивительных теорем, которые полезны как для синтеза, так и для определения числа решений твердых локусов. Большинство из них, и лучшие из них, являются новыми, и когда мы их обнаружили, мы поняли, что Евклид не произвел синтеза локуса по трем и четырем линиям, а лишь случайный фрагмент. это, и даже это не было сделано удачно». [ 26 ] Предполагается, что « Элементы» по крайней мере частично находились в обращении к III веку до нашей эры, поскольку Архимед и Аполлоний считают некоторые из их положений само собой разумеющимися; [ 4 ] однако Архимед использует более старый вариант теории пропорций, чем тот, который содержится в « Началах» . [ 8 ] Самые старые физические копии материалов, включенных в « Элементы» , датируемые примерно 100 годом нашей эры, можно найти на фрагментах папируса, раскопанных в древней куче мусора из Оксиринха , римский Египет . Самые старые из сохранившихся прямых ссылок на Элементы только во II веке нашей эры в работах, даты которых точно известны, датируются Галеном и Александром Афродисиасским ; к тому времени это был стандартный школьный текст. [ 26 ] Некоторые древнегреческие математики упоминают Евклида по имени, но обычно его называют «ὁ στοιχειώτης» («автор « Начал »). [ 32 ] В средние века некоторые ученые утверждали, что Евклид не был исторической личностью и что его имя возникло в результате искажения греческих математических терминов. [ 33 ]

Работает

Элементы

Основная статья: Элементы Евклида
Фрагмент папируса Евклида, «Начал» датированный ок. 75–125 годы нашей эры . Найденная в Оксиринхе диаграмма сопровождает Книгу II, Предложение 5. [ 34 ]

Евклид наиболее известен своим трактатом из тринадцати книг « Элементы » ( греч . Στοιχεῖα ; Stoicheia ), который считается его выдающимся произведением . [ 3 ] [ 35 ] Большая часть его содержания происходит от более ранних математиков, в том числе Евдокса , Гиппократа Хиосского , Фалеса и Теэтета , в то время как другие теоремы упоминаются Платоном и Аристотелем. [ 36 ] Трудно отличить работу Евклида от работ его предшественников, особенно потому, что « Начала», по сути, вытеснили гораздо более раннюю и ныне утраченную греческую математику. [ 37 ] [ ч ] Классик Маркус Аспер заключает, что «очевидно, достижение Евклида состоит в сборе принятых математических знаний в убедительный порядок и добавлении новых доказательств для заполнения пробелов», а историк Серафина Куомо описала это как «резервуар результатов». [ 38 ] [ 36 ] Несмотря на это, Сиаларос далее отмечает, что «на удивление плотная структура «Элементов » демонстрирует авторский контроль, выходящий за рамки простого редактора». [ 9 ]

обсуждается В «Элементах» не только геометрия, как иногда полагают. [ 37 ] Традиционно он делится на три темы: плоская геометрия (книги 1–6), основы теории чисел (книги 7–10) и геометрия твердого тела (книги 11–13), хотя книга 5 (книги 1–6) и 10 (об иррациональных линиях). не совсем подходят под эту схему. [ 39 ] [ 40 ] Сердцем текста являются разбросанные по нему теоремы . [ 35 ] Используя терминологию Аристотеля, их можно разделить на две категории: «первые принципы» и «вторые принципы». [ 41 ] В первую группу входят утверждения, помеченные как «определение» ( греч . ὅρος или ὁρισμός ), «постулат» ( αἴτημα ) или «общее понятие» ( κοινὴ ἔννοια ); [ 41 ] [ 42 ] только первая книга включает постулаты, позже известные как аксиомы , и общие понятия. [ 37 ] [ я ] Вторая группа состоит из положений, представленных вместе с математическими доказательствами и диаграммами. [ 41 ] Неизвестно, задумывал ли Евклид « Начала» как учебник, но метод изложения делает их естественными. [ 9 ] В целом авторский голос остается общим и безличным. [ 36 ]

Содержание

Постулаты Евклида и общие понятия [ 43 ]
Нет. Постулаты
Пусть постулируется следующее:
1 Чтобы провести прямую линию из любой точки в любую точку [ Дж ]
2 Чтобы создать конечную прямую линию непрерывно по прямой
3 Описать круг с любым центром и расстоянием
4 Что все прямые углы равны между собой
5 Это, если прямая линия, падающая на две прямые, составит
внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов,
две прямые линии, если их производить бесконечно, встречаются на этой стороне
на каких углах меньше двух прямых углов
Нет. Общие понятия
1 Вещи, равные одному и тому же, равны и друг другу
2 Если к равным прибавить равные, то целые станут равными
3 Если из равных вычесть равные, то остатки станут равными
4 Вещи, совпадающие друг с другом, равны друг другу
5 Целое больше части
См. Также: Основы геометрии.

Первая книга «Начал » является основой всего текста. [ 37 ] Он начинается с серии из 20 определений основных геометрических понятий, таких как линии , углы и различные правильные многоугольники . [ 44 ] Затем Евклид представляет 10 предположений (см. таблицу справа), сгруппированных в пять постулатов (аксиом) и пять общих понятий. [ 45 ] [ к ] Эти предположения призваны обеспечить логическую основу каждой последующей теоремы, т.е. служить аксиоматической системой . [ 46 ] [ л ] Общие понятия касаются исключительно сравнения величин . [ 48 ] Хотя постулаты с 1 по 4 относительно просты, [ м ] Пятый постулат известен как постулат параллельности и особенно известен. [ 48 ] [ н ] Книга 1 также включает 48 положений, которые можно условно разделить на: относящиеся к основным теоремам и конструкциям геометрии плоскостей и конгруэнтности треугольников (1–26); параллельные линии (27–34); площади и треугольников 35–45 ) ( параллелограммов ; и теорема Пифагора (46–48). [ 48 ] Последнее из них включает самое раннее сохранившееся доказательство теоремы Пифагора, которое Сиалар описал как «удивительно тонкое». [ 41 ]

Книга 2 традиционно понимается как посвященная « геометрической алгебре », хотя эта интерпретация активно обсуждается с 1970-х годов; критики называют эту характеристику анахронизмом, поскольку основы даже зарождающейся алгебры возникли много столетий спустя. [ 41 ] Вторая книга имеет более целенаправленную направленность и в основном содержит алгебраические теоремы для описания различных геометрических фигур. [ 37 ] [ 48 ] Он фокусируется на площади прямоугольников и квадратов (см. Квадратура ) и приводит к геометрическому предшественнику закона косинусов . [ 50 ] Книга 3 посвящена кругам, а в 4-й обсуждаются правильные многоугольники , особенно пятиугольник . [ 37 ] [ 51 ] Книга 5 является одним из наиболее важных разделов работы и представляет то, что обычно называют «общей теорией пропорций». [ 52 ] [ о ] В книге 6 «теория отношений » используется в контексте геометрии плоскости. [ 37 ] Он почти полностью построен на первом предложении: [ 53 ] «Треугольники и параллелограммы, находящиеся ниже одной высоты, являются друг для друга как свои основания». [ 54 ]

Пять Платоновых тел , основополагающие компоненты твердотельной геометрии , представленные в книгах 11–13.

Начиная с книги 7, математик Бенно Артманн [ де ] отмечает, что «Евклид начинает заново. Ничего из предыдущих книг не используется». [ 55 ] Теория чисел описана в книгах с 7 по 10, первая из которых начинается с набора из 22 определений четности , простых чисел и других понятий, связанных с арифметикой. [ 37 ] Книга 7 включает алгоритм Евклида — метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. [ 55 ] В 8-й книге обсуждаются геометрические прогрессии , а в 9-й книге содержится утверждение, теперь называемое теоремой Евклида , о том, что существует бесконечно много простых чисел . [ 37 ] Из « Элементов» книга 10, безусловно, самая большая и сложная, в ней рассматриваются иррациональные числа в контексте величин. [ 41 ]

Последние три книги (11–13) в основном посвящены твердотельной геометрии . [ 39 ] Представляя список из 37 определений, Книга 11 контекстуализирует следующие два. [ 56 ] Хотя ее основополагающий характер напоминает Книгу 1, в отличие от последней она не содержит аксиоматической системы или постулатов. [ 56 ] Три раздела Книги 11 включают материалы по объемной геометрии (1–19), телесным углам (20–23) и параллелепипедным телам (24–37). [ 56 ]

Другие работы

Построение Евклидом правильного додекаэдра.

Помимо «Начал» до наших дней сохранилось как минимум пять произведений Евклида. Они следуют той же логической структуре, что и Elements , с определениями и доказанными утверждениями.

  • Катоптрика касается математической теории зеркал, особенно изображений, формируемых в плоских и сферических вогнутых зеркалах, хотя ее атрибуция иногда ставится под сомнение. [ 57 ]
  • Данные ) — ( греч . Δεδομένα это довольно короткий текст, в котором рассказывается о природе и значении «данной» информации в геометрических задачах. [ 57 ]
  • О разделениях ( греч . Περὶ Διαιρέσεων ) сохранилось лишь частично в арабском переводе и касается разделения геометрических фигур на две или более равные части или на части в заданных соотношениях . Она включает тридцать шесть предложений и подобна коникам Аполлония . [ 57 ]
  • « Оптика» ( греч . Ὀπτικά ) — самый ранний из сохранившихся греческих трактатов о перспективе. Он включает в себя вводное обсуждение геометрической оптики и основных правил перспективы . [ 57 ]
  • « Феномены» ( греч . Φαινόμενα ) — трактат по сферической астрономии , сохранившийся на греческом языке; оно похоже на «На движущейся сфере» Автолика Питанского , расцвет которого произошел около 310 г. до н.э. [ 57 ]

Потерянные работы

Четыре других произведения достоверно приписываются Евклиду, но они утеряны. [ 9 ]

  • « Коники » ( греч . Κωνικά ) представляли собой обзор из четырех книг по коническим сечениям , который позже был заменен более полной одноименной трактовкой Аполлония. [ 58 ] [ 57 ] О существовании произведения известно прежде всего от Паппа, который утверждает, что первые четыре книги « Коники » Аполлония во многом основаны на более ранних работах Евклида. [ 59 ] Это утверждение было подвергнуто сомнению историком Александром Джонсом [ де ] из-за скудных доказательств и отсутствия других подтверждений рассказа Паппа. [ 59 ]
  • Псевдария букв ( греч . Ψευδάρια ; .   « Заблуждения » ) была — согласно Проклу в (70.1–18) — текстом по геометрическим рассуждениям , написанным, чтобы посоветовать новичкам избегать распространенных заблуждений. [ 58 ] [ 57 ] О его конкретном содержании известно очень мало, за исключением его объема и нескольких сохранившихся строк. [ 60 ]
  • ( «Поризмы» греч . Πορίσματα ; букв .   « Следствия » ), основанные на отчетах Паппа и Прокла, вероятно, представляли собой трактат из трех книг, содержащий примерно 200 положений. [ 58 ] [ 57 ] Термин « поризм » в этом контексте относится не к следствию , а к «третьему типу предложений — промежуточному между теоремой и проблемой, — цель которого состоит в том, чтобы обнаружить особенность существующей геометрической сущности, например , чтобы найти центр круга». [ 57 ] Математик Мишель Шасл предположил, что эти ныне утраченные положения включают содержание, связанное с современными теориями трансверсалей и проективной геометрии . [ 58 ] [ п ]
  • Содержание Surface Loci ( греч . Τοποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) практически неизвестно, если не считать предположений, основанных на названии работы. [ 58 ] Гипотеза, основанная на более поздних отчетах, предполагает, что, среди прочего, обсуждались конусы и цилиндры. [ 57 ]

Наследие

Смотрите также: Список вещей, названных в честь Евклида.
Обложка Оливера Бирна 1847 года . цветного издания «Элементов»

Евклида обычно считают наряду с Архимедом и Аполлонием Пергским одними из величайших математиков древности. [ 11 ] Многие комментаторы называют его одной из самых влиятельных фигур в истории математики . [ 2 ] Геометрическая система, установленная Элементами , долгое время доминировала в этой области; однако сегодня эту систему часто называют « евклидовой геометрией », чтобы отличить ее от других неевклидовых геометрий, открытых в начале 19 века. [ 61 ] Среди многих однофамильцев Евклида — » Европейского космического агентства (ЕКА) космический корабль «Евклид . [ 62 ] лунный кратер Евклид , [ 63 ] и малая планета 4354 Евклид . [ 64 ]

«Элементы » часто считают после Библии наиболее часто переводимой, публикуемой и изучаемой книгой в западного мира . истории [ 61 ] Аристотеля Наряду с «Метафизикой » « Начала» являются, пожалуй, самым успешным древнегреческим текстом и доминирующим учебником по математике в средневековом арабском и латинском мире. [ 61 ]

Первое английское издание «Элементов » было опубликовано в 1570 году Генри Биллингсли и Джоном Ди . [ 27 ] Математик Оливер Бирн известную версию «Элементов» , опубликовал в 1847 году озаглавленную «Первые шесть книг «Элементов Евклида», в которых вместо букв для большего удобства учащихся используются цветные диаграммы и символы» , которая включала цветные диаграммы, предназначенные для увеличения его педагогический эффект. [ 65 ] Дэвид Гильберт является автором современной аксиоматизации «Элементов » . [ 66 ]

Ссылки

Примечания

  1. ^ В современном английском языке «Евклид» произносится как / ˈ j uː k l ɪ d / . [ 5 ]
  2. ↑ Евклида Творчество также включает трактат «О разделениях» , который фрагментированно сохранился в более позднем арабском источнике. [ 9 ] является автором множества утраченных работ . Он также [ 9 ]
  3. ↑ Часть информации Паппа Александрийского о Евклиде теперь утеряна и сохранилась в Комментариях Прокла « к Первой книге «Начал» Евклида» . [ 10 ]
  4. ^ Прокл, вероятно, работал на основе (ныне утерянной) истории математики IV века до нашей эры, написанной Теофрастом и Евдемом Родосским . Прокл явно упоминает Амикла из Гераклеи, Менехма и его брата Динострата , Тевдия из Магнезии , Афинея из Кизика , Гермотима из Колофона и Филиппа из Менды и говорит, что Евклид появился «вскоре после» этих людей.
  5. ^ См. Heath 1981 , стр. 354 — английский перевод рассказа Прокла о жизни Евклида.
  6. ↑ Более поздние арабские источники утверждают, что он был греком, родившимся в современном Тире, Ливан , хотя эти сведения считаются сомнительными и спекулятивными. [ 8 ] [ 4 ] См. Heath 1981 , с. 355 для английского перевода арабского отчета. Долгое время считалось, что он родился в Мегаре, но в эпоху Возрождения был сделан вывод, что его спутали с философом Евклидом из Мегары . [ 16 ] см . § Личность и историчность
  7. ↑ войдет Позже в состав музея знаменитая Александрийская библиотека , но она, вероятно, была основана позже, во время правления Птолемея II Филадельфа (285–246 до н. э.). [ 24 ]
  8. ^ Доступная сегодня версия Elements Теон также включает «постевклидову» математику, вероятно, добавленную позже более поздними редакторами, такими как математик Александрийский в 4 веке. [ 36 ]
  9. ↑ Использование термина «аксиома» вместо «постулат» связано с решением Прокла сделать это в его весьма влиятельном комментарии к « Элементам» . Прокл также заменил термин «гипотеза» вместо «общего понятия», хотя и сохранил «постулат». [ 42 ]
  10. ^ См. Также: Евклидово соотношение.
  11. ^ Различие между этими категориями не сразу ясно; постулаты могут просто относиться конкретно к геометрии, тогда как общие понятия имеют более общий характер. [ 45 ]
  12. ^ Математик Жерар Венема отмечает, что эта аксиоматическая система не является полной: «Евклид предполагал больше, чем просто то, что он утверждал в постулатах». [ 47 ]
  13. ^ в Heath 1908 , стр. 195–201. Подробный обзор постулатов с 1 по 4 см.
  14. ^ Со времен античности о 5-м постулате было написано огромное количество научных работ, обычно математиками, пытавшимися доказать этот постулат, что отличало бы его от других, недоказуемых четырех постулатов. [ 49 ]
  15. ↑ Большая часть Книги 5, вероятно, была получена от более ранних математиков, возможно, от Евдокса. [ 41 ]
  16. ^ см. в Jones 1986 , стр. 547–572. Дополнительную информацию о поризмах

Цитаты

  1. ^ Гетти .
  2. ^ Jump up to: а б с д Бруно 2003 , с. 125 .
  3. ^ Jump up to: а б Сиаларос 2021 , § «Резюме».
  4. ^ Jump up to: а б с д и ж г час я Сиаларос 2021 , § «Жизнь».
  5. ^ Jump up to: а б ВОЗРАСТ и .
  6. ^ ВОЗРАСТ б .
  7. ^ Jump up to: а б Хит 1981 , с. 354.
  8. ^ Jump up to: а б с д и ж Аспер 2010 , § абз. 1.
  9. ^ Jump up to: а б с д и Сиаларос 2021 , § «Работы».
  10. ^ Хит 1911 , с. 741.
  11. ^ Jump up to: а б с д Болл 1960 , с. 52 .
  12. ^ Сиаларос 2020 , с. 141.
  13. ^ Гулдинг 2010 , с. 125.
  14. ^ Jump up to: а б Сморинский 2008 , с. 2.
  15. ^ Jump up to: а б Бойер 1991 , с. 100 .
  16. ^ Гулдинг 2010 , с. 118.
  17. ^ Jump up to: а б Хит 1981 , с. 355.
  18. ^ Гулдинг 2010 , с. 126.
  19. ^ Jump up to: а б Хит 1908 , с. 2 .
  20. ^ Сиаларос 2020 , стр. 147–148.
  21. ^ Сиаларос 2020 , с. 142.
  22. ^ Jump up to: а б с Бруно 2003 , с. 126 .
  23. ^ Болл 1960 , с. 51 .
  24. ^ Трейси 2000 , стр. 343–344.
  25. ^ Сиаларос 2021 , § «Жизнь» и примечание 5.
  26. ^ Jump up to: а б с Джонс 2005 .
  27. ^ Jump up to: а б с д и Гулдинг 2010 , с. 120.
  28. ^ Тайсбак и Ван дер Варден 2021 , § «Жизнь».
  29. ^ Jump up to: а б Бойер 1991 , с. 101 .
  30. ^ Бойер 1991 , с. 96.
  31. ^ Сиаларос 2018 , с. 90.
  32. ^ Хит 1981 , с. 357.
  33. ^ Болл 1960 , стр. 52–53 .
  34. ^ Фаулер 1999 , стр. 210–211.
  35. ^ Jump up to: а б Аспер 2010 , § абз. 2.
  36. ^ Jump up to: а б с д Аспер 2010 , § абз. 6.
  37. ^ Jump up to: а б с д и ж г час я Тайсбак и Ван дер Варден 2021 , § «Источники и содержание элементов » .
  38. ^ Куомо 2005 , с. 131.
  39. ^ Jump up to: а б Артманн 2012 , с. 3.
  40. ^ Аспер 2010 , § параграф. 4.
  41. ^ Jump up to: а б с д и ж г Сиаларос 2021 , § « Стихии ».
  42. ^ Jump up to: а б Янке 2010 , с. 18.
  43. ^ Хит 1908 , стр. 154–155.
  44. ^ Артманн 2012 , с. 3–4.
  45. ^ Jump up to: а б Вулф 1945 , с. 4.
  46. ^ Пиковер 2009 , с. 56.
  47. ^ Венема 2006 , с. 10.
  48. ^ Jump up to: а б с д Артманн 2012 , с. 4.
  49. ^ Хит 1908 , с. 202.
  50. ^ Кац и Михалович 2020 , с. 59.
  51. ^ Артманн 2012 , с. 5.
  52. ^ Артманн 2012 , стр. 5–6.
  53. ^ Артманн 2012 , с. 6.
  54. ^ Хит 1908b , с. 191.
  55. ^ Jump up to: а б Артманн 2012 , с. 7.
  56. ^ Jump up to: а б с Артманн 2012 , с. 9.
  57. ^ Jump up to: а б с д и ж г час я дж Сиаларос 2021 , § «Другие работы».
  58. ^ Jump up to: а б с д и Тайсбак и Ван дер Варден 2021 , § «Другие произведения».
  59. ^ Jump up to: а б Джонс 1986 , стр. 399–400.
  60. ^ Ачерби 2008 , с. 511
  61. ^ Jump up to: а б с Тайсбак и Ван дер Варден 2021 , § «Наследие».
  62. ^ «НАСА поставляет детекторы для космического корабля ЕКА Евклид» . Лаборатория реактивного движения . 9 мая 2017 г.
  63. ^ «Справочник планетарной номенклатуры | Евклид» . usgs.gov . Международный астрономический союз . Проверено 3 сентября 2017 г.
  64. ^ «4354 Евклид (2142 PL)» . Центр малых планет . Проверено 27 мая 2018 г.
  65. ^ Хоуз и Колпас 2015 .
  66. ^ Hähl & Peters 2022 , § параграф. 1.

Источники

Книги
Статьи
Онлайн
Послушайте эту статью ( 13 минут )
Duration: 12 minutes and 43 seconds.
Разговорная иконка Википедии
Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 29 сентября 2020 г. ( 29 сентября 2020 г. ) и не отражает последующие изменения.
( Аудио помощь · Больше устных статей )
Работает
Элементы ​
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Euclid&oldid=1233939106"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: cea9c6457bd7ee4c4547d84709d76545__1720711980
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ce/45/cea9c6457bd7ee4c4547d84709d76545.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Euclid - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)