Правильный икосаэдр

Правильный икосаэдр
Тип	Гироудлиненная бипирамида Дельтаэдр
Лица	20
Края	30
Вершины	12
Конфигурация вершин	$12\times \left(3^{5}\right)$
Группа симметрии	Икосаэдрическая симметрия $I_{h}$
Двугранный угол ( градусы )	138,190 (приблизительно)
Двойной многогранник	Правильный додекаэдр
Характеристики	выпуклый , композитный
Сеть

В геометрии правильный икосаэдр (или просто икосаэдр ) — это выпуклый многогранник , который можно построить из пятиугольной антипризмы , прикрепив к каждой из его пятиугольных граней две пятиугольные пирамиды с правильными гранями или поместив точки на куб. Получившийся многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней, 30 ребер и 12 вершин. Это пример платоновского тела и дельтаэдра . Икосаэдрический граф представляет собой скелет правильного икосаэдра.

Многие многогранники построены из правильного икосаэдра. Например, большая часть многогранника Кеплера-Пуансо построена путем огранки . Некоторые из тел Джонсона можно построить, удалив пятиугольные пирамиды. Правильный икосаэдр имеет множество отношений с другими платоновыми телами, одним из которых является правильный додекаэдр как его двойственный многогранник , и он имеет историческую подоплеку сравнительного измерения. Он также имеет много связей с другими многогранниками .

Внешний вид правильного икосаэдра можно встретить в природе, например, у вируса с оболочкой икосаэдрической формы и у радиолярий . Другими применениями правильного икосаэдра являются использование его сетки в картографии, двадцатигранных игральных кубиках, которые, возможно, были найдены в древние времена, и ролевых играх .

Строительство

Правильный икосаэдр можно построить, как и другие гироудлиненные бипирамиды , начав с пятиугольной антипризмы , прикрепив две пятиугольные пирамиды с правильными гранями к каждой из ее граней . Эти пирамиды закрывают пятиугольные грани, заменяя их пятью равносторонними треугольниками , так что полученный многогранник имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней. Этот процесс построения известен как гироудлинение .

Три взаимно перпендикулярных прямоугольника золотого сечения , ребра которых соединяют углы, образуют правильный икосаэдр.

Другой способ его построить — поставить две точки на каждой поверхности куба. На каждой грани нарисуйте сегментную линию между серединами двух противоположных ребер и найдите две точки на расстоянии золотого сечения от каждой средней точки. Эти двенадцать вершин описывают три взаимно перпендикулярные плоскости, между которыми проведены ребра. Из-за приведенных выше конструкций правильный икосаэдр является платоновым телом , семейством многогранников с правильными гранями . Многогранник, гранями которого являются только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, один из которых — правильный икосаэдр.

Правильный икосаэдр также можно построить, исходя из правильного октаэдра . Все треугольные грани правильного октаэдра ломаются, закручиваются под определенным углом и заполняются другими равносторонними треугольниками. Этот процесс известен как курносый , а правильный икосаэдр также известен как курносый октаэдр .

Одна из возможных систем декартовых координат для вершин правильного икосаэдра, дающая длину ребра 2, следующая: $$\left(0,\pm 1,\pm \varphi \right),\left(\pm 1,\pm \varphi ,0\right),\left(\pm \varphi ,0,\pm 1\right),$$ где $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ обозначает золотое сечение .

Характеристики

Измерение

3D модель правильного икосаэдра.

Внутренняя сфера выпуклого многогранника — это сфера внутри многогранника, касающаяся каждой грани. выпуклого Описанная сфера многогранника — это сфера, содержащая многогранник и касающаяся каждой вершины. выпуклого Средняя сфера многогранника — это сфера, касающаяся каждого ребра. Следовательно, учитывая, что длина ребра $a$ правильного икосаэдра, радиус сферы (inradius) $r_{I}$, радиус описанной сферы (circumradius) $r_{C}$, и радиус средней сферы (мидрадиус) $r_{M}$ соответственно: $$r_{I}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.756a,\qquad r_{C}={\frac {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}{2}}a\approx 0.951a,\qquad r_{M}={\frac {\varphi }{2}}a\approx 0.809a.$$

Площадь поверхности многогранника равна сумме каждой его грани. Следовательно, площадь поверхности правильных икосаэдров $A$ равна площади 20 равносторонних треугольников. Объем правильного икосаэдра $V$ получается путем вычисления объема всех пирамид с основанием треугольных граней и высоты с расстоянием от центроида треугольной грани до центра внутри правильного икосаэдра, описанного радиуса правильного икосаэдра; альтернативно, это можно определить, разрезав его на две правильные пятиугольные пирамиды и пятиугольную антипризму и сложив их объемы. Выражения обоих: $$A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660a^{2},\qquad V={\frac {5\varphi ^{2}}{6}}a^{3}\approx 2.182a^{3}.$$ Проблема, восходящая к древним грекам, состоит в том, чтобы определить, какая из двух фигур имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Проблему решили , среди прочих, Герой , Папп и Фибоначчи . Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат: соотношение объемов этих двух фигур такое же, как и соотношение площадей их поверхностей. В обоих томах есть формулы, включающие золотое сечение , но в разных степенях. Как оказалось, икосаэдр занимает меньший объём сферы (60,54%), чем додекаэдр (66,49%).

Двугранный угол правильного икосаэдра можно вычислить, сложив угол пятиугольных пирамид с правильными гранями и пятиугольной антипризмы. Двугранный угол пятиугольной антипризмы и пятиугольной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями составляет примерно 38,2 °. Двугранный угол пятиугольной антипризмы между пятиугольниками и треугольниками равен 100,8°, а двугранный угол пятиугольной пирамиды между теми же гранями равен 37,4°. Следовательно, для правильного икосаэдра двугранный угол между двумя соседними треугольниками на ребре, где прикреплены пятиугольная пирамида и пятиугольная антипризма, равен 37,4° + 100,8° = 138,2°.

Симметрия

Основная статья: Икосаэдральная симметрия

Полная симметрия икосаэдра имеет 15 зеркальных плоскостей (которые выглядят как большие голубые круги на этой сфере), встречающихся в определенном порядке. $\pi /5,\pi /3,\pi /2$ углы, делящие сферу на 120 фундаментальных областей треугольника . Есть 6 осей 5-го порядка (синие), 10 осей 3-го порядка (красные) и 15 осей 2-го порядка (пурпурные). Вершины правильного икосаэдра существуют в точках оси вращения 5-го порядка.

Группа вращательной симметрии правильного икосаэдра изоморфна из знакопеременной группе пяти букв. Эта неабелева простая группа — единственная нетривиальная нормальная подгруппа симметрической группы из пяти букв. Поскольку группа Галуа общего уравнения пятой степени изоморфна симметрической группе из пяти букв, а эта нормальная подгруппа проста и неабелева, общее уравнение пятой степени не имеет решения в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини использует этот простой факт, и Феликс Кляйн написал книгу, в которой использовалась теория икосаэдрических симметрий для получения аналитического решения общего уравнения пятой степени.

Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) известна как полная группа икосаэдра . Он изоморфен произведению группы вращательной симметрии и группы $C_{2}$ размера два, который создается отражением через центр икосаэдра.

Икосаэдрический граф

Икосаэдрический граф

Каждый платоновский граф , включая икосаэдрический граф , является многогранным графом . Это означает, что это плоские графы , графы, которые можно нарисовать на плоскости, не пересекая ее ребер; и они 3-вершинно связны , что означает, что удаление любых двух его вершин оставляет связный подграф. Согласно теореме Стейница , икосаэдрический граф, наделенный этими до сих пор свойствами, представляет собой скелет правильного икосаэдра.

Икосаэдрический граф является гамильтоновым , что означает, что он содержит гамильтонов цикл или цикл, который посещает каждую вершину ровно один раз.

Связанные многогранники

В других Платоновых телах

Помимо сравнения размеров правильного икосаэдра и правильного додекаэдра, они двойственны друг другу. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, поместив его вершины в центры граней додекаэдра, и наоборот.

Икосаэдр можно вписать в октаэдр, поместив 12 его вершин на 12 ребер октаэдра так, чтобы они делили каждое ребро на два золотых сечения . Поскольку золотые сечения неравны, существует пять различных способов сделать это последовательно, поэтому в каждый октаэдр можно вписать пять непересекающихся икосаэдров.

Икосаэдр с длиной ребра ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$ можно вписать в куб с единичной длиной ребра, разместив шесть его ребер (3 ортогональные противоположные пары) на квадратных гранях куба, с центром в центрах граней и параллельно или перпендикулярно краям квадрата. Поскольку ребер икосаэдра в пять раз больше, чем граней куба, существует пять способов сделать это последовательно, поэтому в каждый куб можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. Длины ребер куба и вписанного икосаэдра находятся в золотом сечении .

Звездчатость

Икосаэдр имеет большое количество звездочек . Коксетер и др. (1938) заявили, что для правильного икосаэдра было идентифицировано 59 звездочек. Первая форма — это сам икосаэдр. Один из них — правильный многогранник Кеплера–Пуансо . Три из них являются правильными составными многогранниками .

21 из 59 звезд

Грани икосаэдра расширялись наружу при пересечении плоскостей, определяя области в пространстве, как показано на этой звездчатой ​​диаграмме пересечений в одной плоскости.

Огранки

Большой додекаэдр , малый звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр .

Малый звездчатый додекаэдр , большой додекаэдр и большой икосаэдр — это три грани правильного икосаэдра. Они имеют одинаковое расположение вершин . Все они имеют 30 ребер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют одинаковое расположение ребер , но различаются гранями (треугольники и пятиугольники), как и малый звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы и треугольники).

Уменьшение

Тела Джонсона — это многогранники, все грани которых правильные, но не однородные. Это означает, что они не включают в себя архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . Некоторые из них построены с использованием удаления части правильного икосаэдра — процесса, известного как уменьшение . Это гироудлиненная пятиугольная пирамида , метабидиуменьшённый икосаэдр и трёхуменьшенный икосаэдр , которые удаляют одну, две и три пятиугольные пирамиды из икосаэдра соответственно. У аналогичного рассеченного правильного икосаэдра две смежные вершины уменьшены, оставив две трапециевидные грани, а у бифастигия удалены 2 противоположных набора вершин и 4 трапециевидные грани.

Отношения с 600-клеточным и другими 4-многогранниками

Икосаэдр — это размерный аналог , 600-ячеечного правильного 4-мерного многогранника . 600-ячеечная имеет икосаэдрические сечения двух размеров, и каждая из 120 ее вершин представляет собой икосаэдрическую пирамиду ; икосаэдр — это фигуры вершина 600-ячеистой .

Ячейка единичного радиуса 600 имеет тетраэдрические ячейки с длиной ребра ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}}$, 20 из которых встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду ( 4-пирамиду с икосаэдром в основании). Таким образом, 600-ячеечная содержит 120 икосаэдров с длиной ребра ${\textstyle {\frac {1}{\varphi }}}$. Ячейка с 600 ячейками также содержит кубы с единичной длиной ребра и октаэдры с единичной длиной ребра в качестве внутренних элементов, образованных ее хордами с единичной длиной . единичном радиусе В 120-ячеечном (еще одном правильном 4-многограннике, который одновременно является двойственным 600-ячеечному и составным из 5 600-ячеечных) мы находим все три вида вписанных икосаэдров (в додекаэдре, в октаэдре, и в кубе).

Полуправильный 4-многогранник, курносый 24-клеточный , имеет икосаэдрические ячейки.

Отношения с другими однородными многогранниками

Как упоминалось выше, правильный икосаэдр уникален среди платоновых тел, поскольку его двугранный угол составляет примерно $138.19^{\circ }$. Таким образом, подобно тому, как шестиугольники имеют углы не менее 120° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не удовлетворяет требованию, чтобы в вершине сходились хотя бы три грани и оставляли положительный дефект для складывания в В трех измерениях икосаэдры не могут быть использованы в качестве ячеек выпуклого правильного многомерия, так как, аналогично, по крайней мере три ячейки должны встретиться на ребре и оставить положительный дефект для сворачивания в четырех измерениях (вообще для выпуклый многогранник в n измерениях, по крайней мере три грани должны пересекаться в вершине и оставлять положительный дефект для свертывания в n -пространстве). Однако в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры можно использовать в качестве ячеек в полуправильных многогранниках (например, курносый 24-клеточный ), точно так же, как шестиугольники можно использовать в качестве граней в полуправильных многогранниках (например, в усеченный икосаэдр ). Наконец, к невыпуклым многогранникам не предъявляются такие же строгие требования, как к выпуклым многогранникам, и икосаэдры действительно являются ячейками многогранника. икосаэдрический 120-клеточный , один из десяти невыпуклых правильных полихор .

Существуют искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются правильными, но, тем не менее, являются однородными по вершинам . Они инвариантны относительно тех же вращений , что и тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны курносому кубу и курносому додекаэдру , включая некоторые формы, которые являются киральными , а некоторые — с $T_{h}$- симметричные, т.е. имеют разные плоскости симметрии от тетраэдра.

Появления

Двадцатигранные игральные кости египетского Птолемея с надписью на гранях греческими буквами.

и Z. Двадцатигранный кубик Скаттергорий, за исключением шести букв Q, U, V, X, Y

Игральные кости — это обычные объекты с разными многогранниками, один из них — правильный икосаэдр. Двадцатигранная игральная кость была найдена во многих древних временах. Одним из примеров являются игральные кости из «Птолемеев Египта», которые позже представляли собой греческие буквы, начертанные на гранях в период Греции и Рима. Другой пример был найден в сокровище Типу Султана , сделанном из золота и на каждой грани которого были написаны цифры. В некоторых ролевых играх , таких как Dungeons & Dragons , двадцатигранный кубик (обозначенный как d20 ) обычно используется для определения успеха или провала действия. Ему может быть присвоен номер от «0» до «9» дважды, и в этом виде он обычно служит десятигранным кубиком ( d10 ); большинство современных версий имеют маркировку от «1» до «20». Scattergories — еще одна настольная игра, в которой игрок называет категории на карточке с заданным временем. Именование таких категорий изначально происходит по буквам, содержащимся в каждой двадцатигранной игральной кости.

Икосаэдры радиолярий . Circogonia

Карта Димаксиона , созданная сеткой правильного икосаэдра.

Правильный икосаэдр также может появляться во многих областях науки следующим образом:

• В вирусологии вирус герпеса имеет икосаэдрическую оболочку . Внешняя белковая оболочка ВИЧ заключена в правильный икосаэдр, как и головка типичного миовируса . Несколько видов радиолярий, открытых Эрнстом Геккелем , описали свои раковины как различные правильные многогранники одинаковой формы; один из которых — икосаэдры Циркогонии , скелет которых по форме напоминает правильный икосаэдр.
• В химии клозо - карбораны представляют собой соединения , по форме напоминающие правильный икосаэдр. Двойникование кристаллов икосаэдрической формы также встречается в кристаллах, особенно в наночастицах . Многие бориды и аллотропы бора, такие как α- и β-ромбоэдрические, содержат икосаэдр бора B ₁₂ в качестве основной структурной единицы.
• В картографии Р. Бакминстер Фуллер использовал сетку правильного икосаэдра для создания карты, известной как карта Димаксиона , путем разделения сети на треугольники с последующим расчетом сетки на поверхности Земли и переносом результатов со сферы на многогранник. . Эта проекция была создана в то время, когда Фуллер осознал, что Гренландия меньше Южной Америки .
• В задаче Томсона о конфигурации минимальной энергии $n$ заряженные частицы на сфере, а для задачи Таммеса о построении сферического кода, максимизирующего наименьшее расстояние между точками, минимальное решение, известное как $n=12$ помещает точки в вершины правильного икосаэдра, вписанного в сферу . Эта конфигурация оказалась оптимальной для проблемы Таммеса, но строгое решение этого случая проблемы Томсона неизвестно.

Эскиз правильного икосаэдра Иоганна Кеплера

Кеплера . Платоническая твердотельная модель Солнечной системы

Как уже говорилось выше, правильный икосаэдр — одно из пяти Платоновых тел . Правильные многогранники известны с античности, но названы в честь Платона , который в своем диалоге «Тимей» отождествил их с пятью элементами , элементарным единицам которых приписывались эти формы: огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), вода (икосаэдр). , Земля (куб) и форма Вселенной в целом (додекаэдр). определили » Евклида « Элементы Платоновы тела и решили проблему нахождения отношения диаметра описанной сферы к длине ребра. Следуя их отождествлению с элементами Платона, Иоганн Кеплер в своих «Гармониках мира» нарисовал каждую из них, в частности правильный икосаэдр. В своей Mysterium Cosmographicum он также предложил модель Солнечной системы , основанную на размещении платоновых тел в концентрической последовательности увеличения радиуса вписанных и описанных сфер, радиусы которых определяли расстояние шести известных планет от общего центра. Порядок тел, от самого внутреннего к самому внешнему, состоял из: правильного октаэдра , правильного икосаэдра, правильного додекаэдра , правильного тетраэдра и куба .

Ссылки

• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР   0290245 .
• Бикл, Аллан (2020). Основы теории графов . Американское математическое общество . ISBN  9781470455491 .
• Боровик, Александр (2006). «Теория Кокстера: когнитивные аспекты». В Дэвисе, Чендлер; Эллерс, Эрих (ред.). Наследие Кокстера . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 17–43. ISBN  978-0821837221 .
• Букер, МЫ; Эгглтон, РБ (1969). «Платоновы тела (Решение задачи E2053)». Американский математический ежемесячник . 76 (2): 192. дои : 10.2307/2317282 . JSTOR   2317282 .
• Коксетер, HSM (1973). «2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимопоступательное движение» . Правильные многогранники (3-е изд.). Дуврские публикации. стр. 16–17. ISBN  0-486-61480-8 . МР   0370327 .
• Коксетер, HSM ; дю Валь, Патрик ; Флатер, ХТ; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том. 6. Исследования Университета Торонто (математическая серия).
• Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-55432-9 .
• Канди, Х. Мартин (1952). «Дельтаэдры». Математический вестник . 36 (318): 263–266. дои : 10.2307/3608204 . JSTOR   3608204 . S2CID   250435684 .
• Дронсковский, Ричард; Киккава, Шиничи; Штейн, Андреас (2017). Справочник по химии твердого тела, набор из 6 томов . Джон Сонс и Уайли. ISBN  978-3-527-69103-6 .
• Фланаган, Киран; Грегори, Дэн (2015). Эгоистичный, напуганный и глупый: перестаньте бороться с человеческой природой и повысьте свою производительность, вовлеченность и влияние . Джон Уайли и сыновья . ISBN  9780730312796 .
• Геккель, Э. (1904). Художественные формы природы (на немецком языке). См . здесь онлайн-книгу.
• Херрманн, Дайан Л.; Салли, Пол Дж. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4665-5464-1 .
• Хит, Томас Л. (1908). Тринадцать книг элементов Евклида (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета .
• Герц-Фишлер, Роджер (2013). Математическая история золотого числа . Публикации Courier Dover. ISBN  9780486152325 .
• Хофмайстер, Х. (2004). «Пятикратно сдвоенные наночастицы». Энциклопедия нанонауки и нанотехнологий . 3 : 431–452.
• Хопкинс, Брайан (2004). «Гамильтоновы пути на платоновых графах» . Международный журнал математики и математических наук . 2004 (30): 1613–1616. дои : 10.1155/S0161171204307118 .
• Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР   0185507 . Збл   0132.14603 .
• Джонс, Дэниел (2003) [1917]. Роуч, Питер; Хартманн, Джеймс; Сеттер, Джейн (ред.). Словарь английского произношения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  3-12-539683-2 .
• Каппрафф, Джей (1991). Связи: Геометрический мост между искусством и наукой (2-е изд.). Всемирная научная . ISBN  978-981-281-139-4 . </ref>
• Кляйн, Феликс (1888). Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-49528-6 , Дуврское издание {{cite book}}: CS1 maint: postscript (link), translated from Кляйн, Феликс (1884). Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени . Тойбнер.
• Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (1-е издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . ISBN  978-0-7679-0816-0 .
• Маклин, Кеннет Дж. М. (2007). Геометрический анализ платоновых тел и других полуправильных многогранников . Любящая исцеляющая пресса. ISBN  978-1-932690-99-6 .
• Минас-Нерпель, Мартина (2007). «Демотический вписанный икосаэдр из оазиса Дахле». Журнал египетской археологии . 93 (1): 137–148. дои : 10.1177/030751330709300107 . JSTOR   40345834 .
• Шавинина, Лариса В. (2013). Международный справочник Routledge по инновационному образованию . Рутледж. ISBN  978-0-203-38714-6 .
• Сильвестр, Джон Р. (2001). Геометрия: древняя и современная . Издательство Оксфордского университета.
• Симмонс, Джордж Ф. (2007). Gems исчисления: краткие жизни и памятная математика . Математическая ассоциация Америки. ISBN  9780883855614 .
• Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Том. 2. Дуврские публикации. ISBN  0-486-20430-8 .
• Спокойный, А.М. (2013). «Новые лигандные платформы, содержащие кластеры, богатые бором, в качестве органомиметических заместителей» . Чистая и прикладная химия . 85 (5): 903–919. doi : 10.1351/PAC-CON-13-01-13 . ПМЦ   3845684 . ПМИД   24311823 .
• Штайнмиц, Николь Ф.; Манчестер, Марианна (2011). Вирусные наночастицы: инструменты для материаловедения и биомедицины . Пан Стэнфордское издательство. ISBN  978-981-4267-94-6 .
• Штраус, Джеймс Х.; Штраус, Эллен Г. (2008). «Строение вирусов». Вирусы и болезни человека . Эльзевир. дои : 10.1016/b978-0-12-373741-0.50005-2 . ISBN  9780123737410 . S2CID   80803624 .
• Саттон, Дауд (2002). Платоновые и архимедовы тела . Деревянные книги. Издательство Блумсбери США. ISBN  9780802713865 .
• Стееб, Вилли-Ханс; Харди, Йорик; Танский, Игорь (2012). Проблемы и решения для групп, групп Ли, алгебр Ли с приложениями . Мировое научное издательство. ISBN  9789813104112 .
• Уайт, LL (1952). «Уникальное расположение точек на сфере». Американский математический ежемесячник . 59 (9): 606–611. дои : 10.1080/00029890.1952.11988207 . JSTOR   2306764 . МР   0050303 .

Внешние ссылки

• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3o5o – ike» .
• Хартли, Майкл. «Математические игры доктора Майка для детей» .
• К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Tulane.edu Обсуждение вирусной структуры и икосаэдра
• Многогранники оригами – модели, сделанные с помощью модульного оригами.
• Видео икосаэдрической зеркальной скульптуры
• [1] Принцип вирусной архитектуры

Известные звездочки икосаэдра
Обычный	Униформа двойная			Регулярные соединения			Обычная звезда	Другие
(Выпуклый) икосаэдр	Малый триамбический икосаэдр	Медиальный триамбический икосаэдр	Большой триамбический икосаэдр	Соединение пяти октаэдров	Соединение пяти тетраэдров	Соединение десяти тетраэдров	Большой икосаэдр	Раскопанный додекаэдр	Последняя звездочка
Звездчатый процесс на икосаэдре создает ряд родственных многогранников и соединений с икосаэдрической симметрией .