Аттрактор

Для других видов использования см. Аттрактор (устранение неоднозначности) .

«Странный аттрактор» перенаправляет здесь. Для других видов использования см. Странный аттрактор (устранение неоднозначности) .

Визуальное представление странного аттрактора . Еще одна визуализация того же трехмерного аттрактора - это видео . Код, способный нанести это доступен .

В математическом поле динамических систем аттрактор - это набор состояний, к которым имеет тенденцию развиваться, Для широкого спектра начальных условий системы. Значения системы, которые находятся достаточно близко к значениям аттрактора, остаются близкими, даже если они слегка нарушены.

В конечных системах эволюционирующая переменная может быть представлена ​​алгебраически как n -размерный вектор . Аттрактор -это область в n -мерном пространстве . В физических системах измерения N могут быть, например, двумя или тремя позиционными координатами для каждого из одного или нескольких физических объектов; В экономических системах это могут быть отдельные переменные, такие как уровень инфляции и уровень безработицы .

Если развивающаяся переменная составляет двух- или трехмерной, аттрактор динамического процесса может быть представлен геометрически в двух или трех измерениях (как, например, в трехмерном случае, изображенном справа). Аттрактор может быть точкой , конечным набором точек, кривой , коллектором или даже сложным набором с фрактальной структурой, известной как странный аттрактор (см. Странный аттрактор ниже). Если переменная является скаляр , аттрактор является подмножеством реальной линии чисел. Описание аттракторов хаотических динамических систем было одним из достижений теории хаоса .

Траектория . динамической системы в аттракторе не должна удовлетворять какие -либо особые ограничения, за исключением оставшихся на аттракторе, вперед во времени Траектория может быть периодической или хаотической . Если набор точек является периодическим или хаотичным, но поток по соседству находится вдали от набора, набор не является аттрактором, а вместо этого называется репеллером (или репеллером ).

Мотивация аттракторов

Динамическая система обычно описывается одним или несколькими дифференциальными или различными уравнениями . Уравнения данной динамической системы указывают его поведение в течение любого короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, часто необходимо интегрировать уравнения либо с помощью аналитических средств, либо через итерацию , часто с помощью компьютеров.

Динамические системы в физическом мире, как правило, возникают из диссипативных систем : если бы это было не для некоторой движущей силы, движение прекратилось бы. (Рассеяние может исходить от внутренних трения , термодинамических потерь или потери материала среди многих причин.) Диссипация и движущая сила имеют тенденцию балансировать, убивая начальные переходные процессы и ослабевают систему в его типичное поведение. Подмножество фазового пространства динамической системы, соответствующей типичному поведению, является аттрактором, также известным как привлечение или привлечение.

Инвариантные наборы и ограниченные наборы аналогичны концепции аттрактора. Инвариантный набор - это набор, который превращается в себя под динамикой. Аттракторы могут содержать инвариантные наборы. Лимитный набор - это набор точек, так что существует какое -то начальное состояние, которое в конечном итоге в конечном итоге близко к пределу набора (т.е. к каждой точке набора), когда время идет в бесконечность. Аттракторы представляют собой ограниченные наборы, но не все предельные наборы являются аттракторами: возможно, что некоторые точки системы сходились к пределу, но разные точки, когда они немного возмущены от лимитного набора, могут быть сбиты и никогда не возвращаются в окрестности Установка лимита.

Например, демпфированный маятник имеет две инвариантные точки: точка x ₀ минимальной высоты и точка x ₁ максимальной высоты. Точка x ₀ также является ограниченным набором, как сходится к ней траектории; Точка x ₁ не является ограниченным набором. Из -за рассеяния из -за сопротивления воздуха точка x ₀ также является аттрактором. Если бы не было рассеяния, x ₀ не будет аттрактором. Аристотель полагал, что объекты двигались только до тех пор, пока их толкали, что является ранней формулировкой диссипативного аттрактора.

Известно, что некоторые аттракторы хаотичны (см. Странный аттрактор ), и в этом случае эволюция любых двух различных точек аттрактора приводит к экспоненциально расходящимся траекториям , что усложняет прогноз, когда в системе присутствует даже самый маленький шум.

Математическое определение

Позволять $t$ представляйте время и пусть $f(t,\cdot )$ быть функцией, которая указывает динамику системы. То есть, если $a$ это точка в $n$-Сязное фазовое пространство, представляющее начальное состояние системы, затем $f(0,a)=a$ и для положительной ценности $t$, $f(t,a)$ является результатом эволюции этого состояния после $t$ единицы времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство - это плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ с координатами $(x,v)$, где $x$ это положение частицы, $v$ его скорость, $a=(x,v)$и эволюция дается

Привлечение цикла периода-3 и его непосредственного бассейна притяжения для определенной параметризации набора Юлии , которая отражает функцию f ( z ) = z ² + c . Три мрачных точка-это точки 3-х цикла, которые приводят друг к другу в последовательности, и итерация из любой точки в бассейне притягивания приводит к (обычно асимптотической) сходимости к этой последовательности из трех точек.

$f(t,(x,v))=(x+tv,v).\$

Аттрактор - это подмножество $A$ фазового пространства, характеризующегося следующими тремя условиями:

• $A$ Является инвариант ли $f$: если $a$ это элемент $A$ Тогда тоже $f(t,a)$, для всех $t>0$.
• Существует район ​ $A$ называемый бассейном притяжения , $A$ и обозначен $B(A)$, который состоит из всех пунктов $b$ это "введите" $A$ в пределе $t\to \infty$Полем Более формально, $B(A)$ это набор всех баллов $b$ В фазовом пространстве со следующим свойством:

Для любого открытого района $N$ из $A$, есть положительная постоянная $T$ так что $f(t,b)\in N$ для всех реальных $t>T$.

• Нет надлежащего (непусты) подмножества $A$ имея первые два свойства.

Поскольку бассейн притяжения содержит открытый набор , содержащий $A$, каждая точка, которая достаточно близко к $A$ привлекает $A$Полем Определение аттрактора использует метрику на фазовом пространстве, но полученное понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства. В случае $\mathbb {R} ^{n}$, обычно используется евклидовая норма.

Многие другие определения аттрактора встречаются в литературе. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительную меру (предотвращая точку быть аттрактором), другие ослабляют требование, чтобы $B(A)$ быть соседством.

Типы аттракторов

Аттракторы - это части или подмножества фазового пространства динамической системы . До 1960-х годов аттракторы считались простыми геометрическими подмножествами фазового пространства, например , точки , линии , поверхности и простые области трехмерного пространства . Более сложные аттракторы, которые не могут быть классифицированы как простые геометрические подмножества, такие как топологически дикие наборы, были известны в то время, но считались хрупкими аномалиями. Стивен Смейл смог показать, что его карта подковы была надежной и что его аттрактор имел структуру кантора .

Две простые аттракторы являются фиксированной точкой и ограниченным циклом . Аттракторы могут принять многие другие геометрические формы (подмножества Phase Space). Но когда эти наборы (или движения внутри них) не могут быть легко описаны как простые комбинации (например, пересечение и объединение ) фундаментальных геометрических объектов (например , линии , поверхности , сферы , тороиды , коллекторы ), то аттрактор называется странным аттрактором .

Фиксированная точка

Слабо привлечение фиксированной точки для комплексного числа, развивающегося в соответствии со сложным квадратичным полиномом . Фазовое пространство представляет собой горизонтальную комплексную плоскость; Вертикальная ось измеряет частоту, с которой посещаются точки в сложной плоскости. Точка в сложной плоскости непосредственно под пиковой частотой является аттрактор с фиксированной точкой.

Фиксированная точка функции или преобразования - это точка, которая отображается на себе функцией или преобразованием. Если мы рассматриваем эволюцию динамической системы как серию преобразований, то может быть или не быть точкой, которая остается фиксированной при каждом преобразовании. Окончательное состояние, в котором развивается динамическая система, соответствует притягивающей фиксированной точке функции эволюции для этой системы, такой как центральное нижнее положение затухаемого маятника , уровня и плоской линии воды в стекле или нижней части. Центр чаши, содержащий катящийся мрамор. Но фиксированная точка (ы) динамической системы не обязательно является аттрактором системы. Например, если чаша, содержащая холмистый мрамор, была перевернута, а мрамор был сбалансирован поверх чаши, центральное дно (теперь сверху) чаши - фиксированное состояние, но не аттрактор. Это эквивалентно разнице между стабильными и нестабильными равновесиями . В случае мрамора на вершине перевернутой чаши (холма) эта точка в верхней части чаши (холм) является фиксированной точкой (равновесие), но не аттрактор (нестабильное равновесие).

Кроме того, физические динамические системы с по крайней мере одной неподвижной точкой неизменно имеют несколько фиксированных точек и аттракторов из -за реальности динамики в физическом мире, включая нелинейную динамику жестки , , трения , шероховатости поверхности , деформации (как упругости так и пластичности ), и даже квантовая механика . В случае мрамора на вершине перевернутой чаши, даже если чаша кажется идеально полусферическим форма мрамора , а сферическая гораздо более сложные поверхности при исследовании под микроскопом, а их формы меняются или деформируются во время контакта. Видно, что любая физическая поверхность имеет грубую местность с несколькими пиками, долинами, седлами, хребтами, оврагами и равнинами. В этой поверхностной местности есть много моментов (и динамическая система такого грубого мрамора, катаясь по этой микроскопической местности), которые считаются стационарными или фиксированными точками, некоторые из которых классифицируются как аттракторы.

Конечное количество баллов

В системе дискретного времени аттрактор может принимать форму конечного числа точек, которые посещаются в последовательности. Каждый из этих точек называется периодической точкой . Это иллюстрируется логистической картой , которая в зависимости от ее конкретного значения параметра может иметь аттрактор, состоящий из 1 точки, 2 точек, 2 ^не точки, 3 балла, 3 × 2 ^не точки, 4 балла, 5 баллов или любое данное положительное целое число точек.

Предельный цикл

Основная статья: предельный цикл

Предельный цикл - это периодическая орбита непрерывной динамической системы, которая изолирована . Это касается циклического аттрактора . Примеры включают качели часов маятника и сердцебиение во время отдыха. Предельный цикл идеального маятника не является примером аттрактора ограниченного цикла, поскольку его орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника, вблизи любой точки периодической орбиты есть другая точка, которая принадлежит другой периодической орбите , поэтому первая орбита не привлекает. Для физического маятника при трении состояние покоя будет аттрактором с фиксированной точкой. вводит энергию Разница с маятником часов заключается в том, что там механизм выхода для поддержания цикла.

Van der Pol Фазовый портрет : цикл привлечения предельного цикла

Ограничить торус

В периодической траектории системы может быть более одной частоты через состояние ограниченного цикла. Например, в физике одна частота может определить скорость, с которой планета вращается на звезде, в то время как вторая частота описывает колебания на расстоянии между двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную фракцию (то есть они несоизмеримы ), траектория больше не закрыта, а ограниченный цикл становится предельным тором . Этот вид аттрактора называется n _t -torus, если существуют не _{совместимые} частоты. Например, вот 2-тору:

Временные ряды, соответствующие этому аттрактору, представляет собой квазипериодическую серию: дискретно отобранная сумма периодических функций N _T (не обязательно синусоидальные волны) с несоответствующими частотами. Такой временной ряд не имеет строгой периодичности, но его спектр мощности по -прежнему состоит только из острых линий.

Странный аттрактор

График странного аттрактора Лоренца для значений p = 28, σ = 10, b = 8/3

Аттрактор называется странным, если он имеет фрактальную структуру, то есть если он имеет неинтемерное измерение хаусдорфа . Это часто бывает, когда динамика на ней хаотична , но странные нехаотические аттракторы существуют . Если странный аттрактор хаотичен, демонстрируя чувствительную зависимость от начальных условий , то любые два произвольно близких альтернативных начальных точек на аттракторе, после любого из различных чисел итераций, приведут к точкам, которые произвольно находятся далеко друг от друга (в зависимости от ограничений аттрактор), и после того, как любое из разных чисел итераций приведет к точкам, которые произвольно близко друг к другу. Таким образом, динамическая система с хаотическим аттрактором является локально нестабильной, но глобально стабильной: как только некоторые последовательности вошли в аттрактор, близлежащие точки расходятся друг от друга, но никогда не отходили от аттрактора.

Термин странный аттрактор был придуман Дэвидом Руэлем и Флорисом Такенсом для описания аттрактора, возникающего в результате серии бифуркаций системы, описывающей поток жидкости. Странные аттракторы часто дифференцируются в нескольких направлениях, но некоторые похожи на канторную пыль и, следовательно, не дифференцируют. Странные аттракторы также могут быть обнаружены в присутствии шума, где они могут быть показаны, чтобы поддержать инвариантные случайные меры вероятности типа синай -руиль -бобов.

Примеры странных аттракторов включают аттрактора с двойной прокруткой , аттрактором Hénon , аттрактором Rössler и аттрактором Lorenz .

Аттракторы характеризуют эволюцию системы

Бифуркационная схема логистической карты . Аттрактор (ы) для любого значения параметра $r$ показаны на ординате в домене $0<x<1$Полем Цвет точки указывает на то, как часто точка $(r,x)$ посещается в течение 10 ⁶ Итерации: часто встречающиеся значения окрашены синим цветом, менее часто встречающиеся значения являются желтыми. Раздвоение появляется вокруг $r\approx 3.0$, вторая бифуркация (ведущая к четырем значениям аттрактора) вокруг $r\approx 3.5$Полем Поведение становится все более сложным для $r>3.6$, перемежается с областями более простого поведения (белые полосы).

Параметры динамического уравнения развиваются по мере того, как уравнение итератировано, и конкретные значения могут зависеть от начальных параметров. Примером является хорошо изученная логистическая карта , $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$, чьи бассейны притяжения для различных значений параметра $r$ показаны на рисунке. Если $r=2.6$, все начинается $x$ ценности $x<0$ быстро приведет к значениям функции, которые переходят к отрицательной бесконечности; начинающий $x$ ценности $x>1$ также пойдет в негативную бесконечность. Но для $0<x<1$ а $x$ значения быстро сходится к $x\approx 0.615$, т.е. в этом значении $r$, единственное значение $x$ является аттрактором для поведения функции. Для других значений $r$, более одного значения $x$ можно посетить: если $r$ 3,2, начальные значения $0<x<1$ приведет к значениям функций, которые чередуются между $x\approx 0.513$ и $x\approx 0.799$Полем При некоторых ценностях $r$, аттрактор - это единственная точка ( «фиксированная точка» ), на других значениях $r$ два значения $x$ посещаются в свою очередь ( раздробление периода ) или, в результате дальнейшего удвоения, любое число $k\times 2^{n}$ ценности $x$; в других ценностях $r$, любое заданное количество значений $x$ посещаются по очереди; Наконец, для некоторых значений $r$Посещается бесконечность точек. Таким образом, одно и то же динамическое уравнение может иметь различные типы аттракторов, в зависимости от его начальных параметров.

Бассейны притяжения

Бассейн аттрактора - это область фазового пространства , над которой определяются итерации, так что любая точка (любое начальное условие ) в этой области асимптотически была итерирована в аттрактор. Для стабильной линейной системы каждая точка в фазовом пространстве находится в бассейне притяжения. Однако в нелинейных системах некоторые точки могут напрямую или асимптотически отображаться в бесконечности, в то время как другие точки могут лежать в другом бассейне притяжения и асимптотически отображать в другом аттракторе; Другие начальные условия могут находиться или отображать непосредственно в не привлекательную точку или цикл.

Линейное уравнение или система

Одномерное уравнение линейной однородной разницы $x_{t}=ax_{t-1}$ расходится к бесконечности, если $|a|>1$ Из всех начальных точек, кроме 0; Там нет аттрактора и, следовательно, нет бассейна притяжения. Но если $|a|<1$ все точки на карте номеров асимптотически (или непосредственно в случае от 0) до 0; 0 - аттрактор, а вся линия номера - бассейн притяжения.

линейной Аналогично, уравнение разности матрицы в динамическом векторе $X$из однородной формы $X_{t}=AX_{t-1}$ с точки зрения квадратной матрицы $A$ Будут иметь все элементы динамического вектора расходятся до бесконечности, если самые большие собственные значения $A$ больше 1 в абсолютном значении; Там нет аттрактора и нет бассейна притяжения. Но если наибольшее собственное значение составляет менее 1 по величине, все начальные векторы асимптотически сходится к нулевому вектору, который является аттрактором; все $n$-Основное пространство потенциальных начальных векторов -это бассейн притяжения.

Аналогичные функции применяются к линейным дифференциальным уравнениям . Скалярное уравнение $dx/dt=ax$ вызывает все начальные значения $x$ кроме нуля до бесконечности, если $a>0$ Но чтобы сходиться к аттрактору в значении 0, если $a<0$, сделав всю номеру строки бассейна притяжения для 0. И система матрицы $dX/dt=AX$ дает дивергенцию от всех начальных точек, кроме вектора нулей, если какое -либо собственное значение матрицы $A$ положительный; Но если все собственные значения отрицательны, вектор нулей - это аттрактор, у которого бассейн притяжения - это полное пространство.

Нелинейное уравнение или система

Уравнения или системы, которые являются нелинейными, могут привести к более богатому разнообразию поведения, чем линейные системы. Одним из примеров является метод итерации Ньютона в корне нелинейного выражения. Если выражение имеет более одного реального корня, некоторые отправные точки для итерационного алгоритма приведут к одному из корней асимптотически, а другие отправные точки приведут к другому. Бассейны притяжения к корням выражения, как правило, не просты - это не просто то, что ближайшие точки, ближайшие к одной корне, все карты, давая бассейн притяжения, состоящий из близлежащих точек. Бассейны притяжения могут быть бесконечными по количеству и произвольно небольшими. Например, для функции $f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12$, Следующие начальные условия находятся в последовательных бассейнах притяжения:

показывающий Фрактал Ньютона, бассейны притяжения в сложной плоскости для использования метода Ньютона для решения x ⁵ -1 = 0. Точки в районе, похожих на районы, карту до того же корня; Темнее означает, что для сходимости необходимы больше итераций.

2.35287527 сходится к 4;

2.35284172 сходится к -3;

2.35283735 сходится к 4;

2.352836327 сходится к -3;

2.352836323 сходится к 1.

Метод Ньютона также может быть применен к сложным функциям , чтобы найти их корни. Каждый корень имеет бассейн притяжения в сложной плоскости ; Эти бассейны могут быть нанесены на карту, как на показанном изображении. Как видно, комбинированный бассейн притяжения для конкретного корня может иметь много разъединенных областей. Для многих сложных функций границами бассейнов притяжения являются фракталами .

Частичные дифференциальные уравнения

Параболические уравнения в частичной части могут иметь конечные аттракторы. Диффузионная часть уравнения укрепляет более высокие частоты, а в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Гинзбург -Ландау , Курамото-Сивашинский и двумерные уравнения на принудительных принудительных уравнениях Известно, что .

Для трехмерного, несжимаемого уравнения Navier-Stokes с периодическими граничными условиями , если оно имеет глобальный аттрактор, то этот аттрактор будет иметь конечные измерения.

Смотрите также

• Обнаружение цикла
• Гиперболический набор
• Стабильный коллектор
• Устойчивое состояние
• Вместе в маске
• Скрытое колебание
• Аттрактор Rössler
• Стабильное распределение
• Конвергентная эволюция

Дальнейшее чтение

• Джон Милнор (ред.). «Аттрактор» . Scholaredia .
• Дэвид Руэль ; Флорис Такенс (1971). «О природе турбулентности». Общение в математической физике . 20 (3): 167–192. Bibcode : 1971cmaph..20..167r . doi : 10.1007/bf01646553 . S2CID   17074317 .
• Д. Руэль (1981). «Маленькие случайные возмущения динамических систем и определение аттракторов» (PDF) . Общение в математической физике . 82 (1): 137–151. Bibcode : 1981cmaph..82..137r . doi : 10.1007/bf01206949 . S2CID   55827557 .
• Дэвид Руэль (1989). Элементы дифференцируемой динамики и теории бифуркации . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-601710-6 .
• Руэль, Дэвид (август 2006 г.). "Что такое ... странный аттрактор?" (PDF) . Уведомления об американском математическом обществе . 53 (7): 764–765 . Получено 16 января 2008 года .
• Цельсо Гребоги ; Эдвард Отт ; Пеликан; Yorke (1984). «Странные аттракторы, которые не хаотичны». Физика d . 13 (1–2): 261–268. Bibcode : 1984Phyd ... 13..261g . doi : 10.1016/0167-2789 (84) 90282-3 .
• Chekroun, MD; Э. Саймоннет; М. Гил (2011). «Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и зависимые от времени инвариантные меры». Физика d . 240 (21): 1685–1700. BIBCODE : 2011PHYD..240.1685C . Citeseerx   10.1.1.156.5891 . doi : 10.1016/j.physd.2011.06.005 .
• Эдвард Н. Лоренц (1996). Суть хаоса ISBN   0-295-97514-8
• Джеймс Глейк (1988) Хаос: создание новой науки ISBN   0-14-009250-1

Внешние ссылки

• Бассейн притяжения на Scholaredia
• Галерея тригонометрических странных аттракторов
• Двойная прокрутка аттрактора Чуа
• Галерея полиномиальных странных аттракторов
• Chaoscope, 3 -й странный аттрактор, предоставляя бесплатное программное обеспечение
• Исследования абстрактные и программные лабораторные архивированы 28 июня 2022 года в The Wayback Machine
• Онлайн странные аттракторы генератор
• Интерактивный генератор тригонометрических аттракторов
• Экономический аттрактор