Дата Пасхи

Эта статья о том, как рассчитывается дата Пасхи. Фактические даты Пасхи с 2015 по 2030 год см. В списке дат Пасхи .

Календарь дат Пасхи на 95 лет 532–626, мрамор, в Музее собора Равенны , Италия. Пять 19-летних циклов представлены в виде концентрических кругов. Даты даны с использованием системы римского календаря , а также числа лунного месяца.

Как подвижный пир , Дата Пасхи определяется каждый год посредством расчета, известного как computus ( лат. «вычисление»). Пасха празднуется в первое воскресенье после пасхального полнолуния (математическое приближение первого астрономического полнолуния 21 марта или после него, что само по себе является фиксированным приближением мартовского равноденствия ). Предварительное определение этой даты требует корреляции между лунными месяцами и солнечным годом , а также учета месяца, числа и дня недели по юлианскому или григорианскому календарю . Сложность алгоритма возникает из-за желания связать дату Пасхи с датой еврейского праздника Пасхи , который, по мнению христиан, приходится на распятие Иисуса.

Первоначально для всей христианской церкви было возможным получать дату Пасхи каждый год посредством ежегодного объявления Папы Римского . Однако к началу третьего века связь в Римской империи ухудшилась до такой степени, что церковь придавала большое значение системе, которая позволяла духовенству самостоятельно определять дату независимо, но последовательно. Кроме того, церковь хотела устранить зависимость от еврейского календаря , выведя дату Пасхи непосредственно из мартовского равноденствия.

В «Исчислении времени» (725) Беда использует computus как общий термин для любого вида вычислений, хотя он называет пасхальные циклы Теофила « пасхальными исчислениями ». К концу VIII века слово «вычисление» стало относиться именно к исчислению времени. Расчеты дают разные результаты в зависимости от того, используется ли юлианский или григорианский календарь. По этой причине католическая церковь и протестантские церкви (которые следуют григорианскому календарю) празднуют Пасху в другой день, чем в восточном и восточном православии (которые следуют юлианскому календарю). Именно отклонение 21 марта от наблюдаемого равноденствия привело к григорианской реформе календаря , чтобы вернуть их в соответствие.

Фон

См. Также: Споры о Пасхе и Список дат Пасхи.

Пасха отмечает воскресение Иисуса , которое, по мнению христиан, произошло на третий день (включительно) после начала Пасхи . По еврейскому лунно-солнечному календарю Песах начинается в сумерках 14-го дня нисана . Нисан — первый месяц весны в северном полушарии , 14-й месяц которого соответствует полнолунию. Ко II веку многие христиане предпочитали праздновать Пасху только в воскресенье. Еврейский календарь не имеет простой связи с христианскими календарями : он синхронизируется с солнечным годом, добавляя високосный месяц каждые два или три года перед лунным новым годом 1 нисана . Позже евреи приняли цикл Метона для предсказания будущих вставок .

Возможным последствием этого вставки является то, что 14 нисана могло произойти до равноденствия, что некоторые христиане третьего века считали неприемлемым (это не может произойти в фиксированном календаре, который используется сегодня). Следовательно, было решено отделить датировку Пасхи от еврейского календаря, определив первое полнолуние после мартовского равноденствия. Ко времени Первого Никейского собора (325 г. н.э.) Александрийская церковь назначила 21 марта церковной датой равноденствия, независимо от фактических астрономических наблюдений. В 395 году Феофил опубликовал таблицу будущих дат Пасхи, подтвердив александрийские критерии. После этого вычисление будет процедурой определения первого воскресенья после первого церковного полнолуния, выпадающего 21 марта или после этой даты.

История

Самые ранние известные римские таблицы были разработаны в 222 году Ипполитом Римским на основе восьмилетних циклов. Затем 84-летние таблицы были введены в Риме Августалисом ближе к концу III века. Хотя процесс, основанный на 19-летнем Метоническом цикле, был впервые предложен епископом Анатолием Лаодикийским около 277 года, эта концепция не получила полного распространения до тех пор, пока александрийский метод не стал авторитетным в конце 4 века.

Александрийский счет был преобразован из александрийского календаря в юлианский календарь в Александрии около 440 года, в результате чего появилась пасхальная таблица (приписываемая папе Кириллу Александрийскому ), охватывающая 437–531 годы. Эта пасхальная таблица была источником, вдохновившим Дионисия Эксигуса , который работал в Риме примерно с 500 по 540 год. построить ее продолжение в виде своей знаменитой пасхальной таблицы, охватывающей период с 532 по 616 годы. Дионисий представил христианскую эру (отсчитывая годы от Воплощения Христа), опубликовав эту новую пасхальную таблицу в 525 году.

Модифицированный 84-летний цикл был принят в Риме в первой половине IV века. Виктор Аквитанский попытался адаптировать александрийский метод к римским правилам в 457 г. в виде 532-летней таблицы, но допустил серьезные ошибки. Эти викторианские таблицы использовались в Галлии (ныне Франция) и Испании, пока в конце 8-го века их не вытеснили дионисийские таблицы.

Таблицы Дионисия и Виктория противоречили таблицам, традиционно используемым на Британских островах. В британских таблицах использовался 84-летний цикл, но из-за ошибки полнолуния выпадали слишком рано. Несоответствие привело к появлению сообщения о том, что королева Энфлед , придерживавшаяся дионисийской системы, постилась в Вербное воскресенье, в то время как ее муж Освиу , король Нортумбрии, пировал в свое пасхальное воскресенье.

В результате ирландского Синода Маг-Лены в 630 году южные ирландцы начали использовать дионисийские таблицы. и северные англичане последовали этому примеру после Синода Уитби в 664 году.

Дионисийское исчисление было полностью описано Бедой в 725 году. Возможно, он был принят Карлом Великим для франкской церкви еще в 782 году от Алкуина , последователя Беды. Дионисийский/беданский компьютер продолжал использоваться в Западной Европе до реформы григорианского календаря и продолжает использоваться в большинстве восточных церквей, включая подавляющее большинство восточных православных церквей и нехалкидонских церквей . Единственной восточно-православной церковью, которая не следует этой системе, является Финская православная церковь, использующая григорианский стиль.

Отступив от александрийцев в VI веке, церкви за восточными границами бывшей Византийской империи, в том числе Ассирийская Церковь Востока , празднуют Пасху в разные даты теперь Восточные Православные Церкви четыре раза каждые 532 года.

За исключением этих церквей на восточных окраинах Римской империи, к десятому веку все они приняли александрийскую Пасху, согласно которой весеннее равноденствие по-прежнему приходилось на 21 марта, хотя Беда уже заметил ее сдвиг в 725 году – она сместилась еще дальше на 21 марта. 16 век. Хуже того, рассчитанная Луна, которая использовалась для расчета Пасхи, была привязана к юлианскому году по 19-летнему циклу. Это приближение приводило к ошибке в один день каждые 310 лет, поэтому к 16 веку лунный календарь отставал по фазе от реальной Луны на четыре дня. Григорианская Пасха используется Римско-католической церковью с 1583 года и была принята большинством протестантских церквей в период с 1753 по 1845 год.

Немецкие протестантские государства использовали астрономическую Пасху между 1700 и 1776 годами, основываясь на таблицах Рудольфина Иоганна Кеплера , которые, в свою очередь, были основаны на астрономических положениях Солнца и Луны, наблюдаемых Тихо Браге в его обсерватории Ураниборг на острове Вен , в то время как Швеция использовали его с 1739 по 1844 год. Эта астрономическая Пасха была воскресеньем после момента полнолуния, которое было после момента весеннего равноденствия по времени Ураниборга ( TT + 51 ^м ) . Однако это было отложено на одну неделю, если это воскресенье было еврейской датой   15 нисана, первым днем ​​пасхальной недели, рассчитанной в соответствии с современными еврейскими методами.

Это правило 15 нисана   затронуло два шведских года, 1778 и 1798, которые вместо одной недели до григорианской Пасхи были отложены на одну неделю, поэтому они пришлись на то же воскресенье, что и григорианская Пасха. Астрономическая Пасха в Германии приходилась на неделю раньше Григорианской Пасхи в 1724 и 1744 годах. Астрономическая Пасха в Швеции приходилась за неделю до григорианской Пасхи в 1744 году и через неделю после нее в 1805, 1811, 1818, 1825 и 1829 годах.

Были предложены две современные астрономические Пасхи, но они никогда не использовались ни одной Церковью. Первый был предложен как часть пересмотренного юлианского календаря на Синоде в Константинополе в 1923 году, а второй был предложен на консультации Всемирного совета церквей 1997 года в Алеппо в 1997 году. Оба использовали те же правила, что и немецкая и шведская версии, но использовали современные астрономические расчеты и иерусалимское время ( TT +2 ^час 21 ^м ) без правила 15 нисана   . В версии 1923 года астрономическая Пасха помещалась на месяц раньше Григорианской Пасхи в 1924, 1943 и 1962 годах, но на неделю после нее в 1927, 1954 и 1967 годах. В версии 1997 года астрономическая Пасха была бы в то же воскресенье, что и григорианская Пасха в 2000–2025 годах, за исключением 2019 года, когда она была бы на месяц раньше.

Теория

Пасхальный цикл группирует дни в лунные месяцы, длина которых составляет 29 или 30 дней. Есть исключение. Месяц, заканчивающийся в марте, обычно состоит из 30 дней, но если в него попадает 29 февраля високосного года, то он содержит 31 день. Поскольку эти группы основаны на лунном цикле , в долгосрочной перспективе средний месяц лунного календаря является очень хорошее приближение синодического месяца , длина которого составляет 29,530 59 дней.

В лунном году 12 синодических месяцев, всего 354 или 355 дней. Лунный год примерно на 11 дней короче календарного года, длина которого составляет 365 или 366 дней. Эти дни, на которые солнечный год превышает лунный год, называются эпактами ( греч . ἐπακταὶ ἡμέραι , транслит.   épaktai hēmérai , букв. «Вставочные дни»).

Их необходимо прибавить к дню солнечного года, чтобы получить правильный день лунного года. Всякий раз, когда эпакт достигает или превышает 30, в лунный календарь необходимо вставить дополнительный вставочный месяц (или месяц эмболии) продолжительностью 30 дней: затем из эпакта необходимо вычесть 30. Чарльз Уитли приводит подробности:

«Таким образом, начиная год с марта (ибо таков был древний обычай), они отводили тридцать дней для луны, [оканчивающейся] в марте, и двадцать девять для той, [оканчивающейся] в апреле; и снова тридцать дней для мая, и двадцать девять на июнь и т. д., согласно старым стихам:

Изучите равную луну, par fiet в неравных таблицах;
В каком лунном месяце завершается дан.

«Ибо первый, третий, пятый, седьмой, девятый и одиннадцатый месяцы, называемые impares menses , или неравные месяцы, имеют свои луны по тридцать дней в каждом, и поэтому они называются pares lunae , или равные луны; второй, четвертый, шестой, восьмой, десятый и двенадцатый месяцы, которые называются pares menses , или равные месяцы, имеют луны, но по двадцать девять дней в каждом, которые называются impares lunae , или неравные луны».

- Уитли 1871 , с. 44

Таким образом, лунный месяц получил название юлианского месяца, в котором он закончился. Девятнадцатилетний цикл Метона предполагает, что продолжительность 19 тропических лет равна 235 синодическим месяцам. Значит, через 19 лет лунации должны выпадать так же, как и в солнечные годы, и эпакты должны повториться. За 19 лет эффект увеличивается на 19 × 11 = 209 ≡ 29 ( по модулю 30) , а не на 0 (по модулю 30) . То есть 209, разделенное на 30, дает остаток 29, а не кратный 30. Это проблема, если компенсация осуществляется только путем добавления месяцев по 30 дней. Таким образом, после 19 лет необходимо скорректировать эпакт на один день, чтобы цикл повторился. Это так называемый saltus lunae («прыжок луны»). Юлианский календарь решает эту проблему, сокращая продолжительность лунного месяца, начинающегося 1 июля последнего года цикла, до 29 дней. Это составляет три последовательных 29-дневных месяца.

Скачок и семь дополнительных 30-дневных месяцев были в значительной степени скрыты , поскольку располагались в точках, где юлианский и лунный месяцы начинаются примерно в одно и то же время. Дополнительные месяцы начались 1 января (3-й год), 2 сентября (5-й год), 6 марта (8-й год), 3 января (11-й год), 31 декабря (13-й год), 1 сентября (16-й год) и 5 ​​марта. (19 год). Порядковый номер года в 19-летнем цикле называется « золотым числом » и определяется по формуле

GN = ( Y мод 19) + 1

То есть номер года Y в христианскую эпоху делится на 19, а остаток плюс 1 — золотое число. (Некоторые источники указывают, что вы добавляете 1 перед тем, как взять остаток; в этом случае вам нужно рассматривать результат 0 как золотое число 19. В приведенной выше формуле мы сначала берем остаток, а затем добавляем 1, поэтому такая корректировка не требуется. .)

Не все 19-летние циклы имеют одинаковую длину, поскольку в них может быть четыре или пять високосных лет. Но период из четырех циклов, 76 лет ( Каллиппический цикл ), имеет длину 76×365+19=27759 дней (если он не пересекает столетнее деление). В этом периоде 235×4=940 лунных месяцев, поэтому средняя продолжительность составляет 27759/940   или   около 29,530851 суток. Существует 76 × 6 = 456 обычных номинальных 30-дневных лунных месяцев и такое же количество обычных номинальных 29-дневных месяцев, но 19 из них удлиняются на день в високосные дни, плюс 24 вставных месяца по 30 дней и четыре вставных месяца. из 29 дней. Поскольку это больше, чем истинная продолжительность синодического месяца, около 29,53059 дней, расчетное пасхальное полнолуние становится все позже и позже по сравнению с астрономическим полнолунием, если не будет сделана поправка, как в григорианской системе (см. Ниже).

Пасхальный или пасхальный месяц — первый месяц в году, четырнадцатый день которого (официальное полнолуние ) приходится на 21 марта или позже. Пасха — это воскресенье после ее 14-го дня (или, говоря то же самое, воскресенье третьей недели). Пасхальный лунный месяц всегда начинается в число 29-дневного периода с 8 марта по 5 апреля включительно. Таким образом, его четырнадцатый день всегда приходится на дату между 21 марта и 18 апреля включительно (по григорианскому или юлианскому календарю, для западной и восточной системы соответственно), а следующее воскресенье обязательно приходится на дату в диапазоне С 22 марта по 25 апреля включительно. Однако в западной системе Пасха не может приходиться на 22 марта в течение 300-летнего периода с 1900 по 2199 год (см. Ниже).В солнечном календаре Пасху называют передвижным праздником , поскольку ее дата варьируется в пределах 35 дней. Но в лунном календаре Пасха всегда приходится на третье воскресенье пасхального лунного месяца и не более «перемещаема», чем любой праздник, привязанный к определенному дню недели или неделе в течение месяца, например, День Благодарения .

Табличные методы

Григорианская реформа вычислений

Дополнительная информация: Григорианская реформа календаря.

Поскольку реформирование вычислений было основной мотивацией введения григорианского календаря в 1582 году, соответствующая методология вычислений была введена вместе с новым календарем. Общий метод работы был дан Клавиусом в «Шести канонах» (1582 г.), а полное объяснение последовало в его «Explicatio» (1603 г.).

Пасхальное воскресенье — это воскресенье, следующее за пасхальным полнолунием. Пасхальная дата полнолуния — это церковная дата полнолуния, которая приходится на 21 марта или после этой даты. Григорианский метод определяет даты пасхального полнолуния путем определения эпакта каждого года. Эпакт может иметь значение от * (0 или 30) до 29 дней. Это возраст Луны в днях (т.е. лунная дата) 1 января уменьшенный на один день. В своей книге «Пасхальные вычисления и истоки христианской эры» Олден Мосхаммер неверно утверждает: «Теоретически, эпакт 30 = 0 представляет новолуние в момент его соединения с Солнцем. Эпакт 1 представляет собой теоретическую первую видимость первого серпа Луны. Именно с этого момента, как первого дня, начинается четырнадцатый день луна считается».

Четырнадцатый день лунного месяца считается днем ​​полнолуния . Это день лунного месяца, на который наиболее вероятно выпадет момент противостояния («полнолуние»). «Новолуние», скорее всего, станет видимым (в виде тонкого полумесяца на западном небе после захода солнца) в первый день лунного месяца. Соединение Солнца и Луны («новолуние»), скорее всего, приходится на предыдущий день, то есть на 29-й день «пустого» (29-дневного) месяца и 30-й день «полного» (30-дневного) месяца. месяц.

Исторически дата пасхального полнолуния в течение года определялась по ее порядковому номеру в цикле Метона, называемом золотым числом , цикл которого повторяет лунную фазу 1 января каждые 19 лет. Этот метод был изменен в ходе григорианской реформы, поскольку табличные даты рассинхронизируются с реальностью примерно через два столетия, но на основе метода epact можно построить упрощенную таблицу, срок действия которой составляет от одного до трех столетий.

Эпакты текущего цикла Метоники, который начался в 2014 году, следующие:

Год	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024	2025	2026	2027	2028	2029	2030	2031	2032
Золотой число	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Эпакта	29	10	21	2	13	24	5	16	27	8	19	*	11	22	3	14	25	6	17
Пасхаль полная луна дата	14 апрель	3 апрель	23 Маршировать	11 апрель	31 Маршировать	18 апрель	8 апрель	28 Маршировать	16 апрель	5 апрель	25 Маршировать	13 апрель	2 апрель	22 Маршировать	10 апрель	30 Маршировать	17 апрель	7 апрель	27 Маршировать

Как видно, дата пасхального полнолуния в конкретном году обычно бывает либо на 11 дней раньше, чем в предыдущем году, либо на 19 дней позже. Исключением является то, что в 1, 6 и 17 годах цикла дата всего на 18 дней позже, а в 7 и 18 годах всего на 10 дней раньше, чем в предыдущем году. В восточной системе (см. ниже) пасхальное полнолуние обычно наступает на четыре дня позже. Это происходит на 34 дня позже в пяти из 19 лет и на 5 дней позже в 6 и 17 годах, потому что в эти годы григорианская система переносит пасхальное полнолуние на день раньше, чем обычно, чтобы Пасха была раньше. 26 апреля, как описано ниже. В   2100 году разница увеличится на один день.

Эпакты используются для нахождения дат новолуния следующим образом: Запишите таблицу всех 365 дней в году (високосный день игнорируется). Затем обозначьте все даты римскими цифрами , считая вниз, от «*» (0 или 30), «xxix» (29) до «i» (1), начиная с 1 января, и повторяйте это до конца год. Однако в каждой секунде такой период насчитывает только 29 дней и обозначает дату xxv (25), а также xxiv (24). Поэтому считайте 13-й период (последние одиннадцать дней) продолжительным и присвойте метки «xxv» и «xxiv» последовательным датам (26 и 27 декабря соответственно).

Добавьте метку «25» к датам, имеющим «xxv» в 30-дневном периоде; но в 29-дневные периоды (в которых «xxiv» сочетается с «xxv») добавьте метку «25» к дате с «xxvi». Распределение длин месяцев и продолжительности циклов эпакта таково, что каждый гражданский календарный месяц начинается и заканчивается одной и той же меткой эпакта, за исключением февраля и, можно сказать, августа, который начинается с двойной метки " xxv"/"xxiv", но заканчивается одной меткой "xxiv". Этот стол называется календарем . Церковными новолуниями для любого года являются те даты, когда вводится эпакт года.

Если, например, эпакт года равен 27, то церковное новолуние происходит в каждую дату этого года, имеющую метку эпакта «xxvii» (27). Если эпакт равен 25, то есть усложнение, введенное для того, чтобы церковное новолуние не приходилось на один и тот же день дважды в течение цикла Метона. Если действующий цикл эпакта включает 24-й эпакт (как и цикл, используемый с 1900 года и до 2199 года), то 25-й эпакт переносит церковное новолуние на 4 апреля (с меткой «25»), в противном случае это будет апрель. 5 (с меткой «xxv»).

Эпакт 25, дающий 4 апреля, может произойти только в том случае, если золотое число больше 11. В этом случае это будет 11 лет после года с эпактом 24. Так, например, в 1954 году золотое число было 17, эпакт был 25. Церковное новолуние считалось 4 апреля, полнолуние - 17 апреля. Пасха была 18 апреля, а не 25 апреля, как это было бы в противном случае, например, в 1886 году, когда золотое число было 6. Эта система автоматически вставляет семь. месяцев за цикл Метоника.

Обозначьте все даты в таблице буквами от «А» до «Г», начиная с 1 января, и повторяйте до конца года. Если, например, первое воскресенье года приходится на 5 января и обозначается буквой «Е», то каждая дата с буквой «Е» является воскресеньем в этом году. Тогда «Е» называется доминантной буквой этого года – от dies dominica (лат. «День Господень»). Доминантная буква каждый год перемещается назад на одну позицию. В високосные годы после 24 февраля воскресенья приходятся на предыдущую букву цикла, поэтому високосные годы имеют две доминантные буквы: первая - до, вторая - после високосного дня.

На практике для расчета Пасхи нет необходимости делать это для всех 365 дней в году. Для эпактов март получается точно таким же, как январь, поэтому рассчитывать январь или февраль не нужно. Чтобы избежать необходимости рассчитывать доминиальные буквы для января и февраля, начните с D для 1 марта. Эпакты нужны только с 8 марта по 5 апреля. В результате получается следующая таблица:

Таблица из Швеции для поиска даты Пасхи 1140–1671 гг. по юлианскому календарю . Каждый столбец соответствует периоду в 28 лет. Обратите внимание на руны, используемые в качестве произвольных символов.

Хронологическая диаграмма даты Пасхи за 600 лет, от реформы григорианского календаря до 2200 года (Составлена ​​Камилем Фламмарионом , 1907).

Этикетка	Маршировать	ДЛ	апрель	ДЛ
*	1	Д
XXIX	2	И	1	Г
xxviii	3	Ф	2	А
xxvii	4	Г	3	Б
xxvi	5	А	4	С
25	6	Б
XXV			5	Д
XXIV	7	С
xxiii	8	Д	6	И
XXII	9	И	7	Ф
XXI	10	Ф	8	Г
хх	11	Г	9	А
XIX	12	А	10	Б
XVIII	13	Б	11	С
XVII	14	С	12	Д
xvi	15	Д	13	И
xv	16	И	14	Ф
xiv	17	Ф	15	Г
xiii	18	Г	16	А
xii	19	А	17	Б
xi	20	Б	18	С
х	21	С	19	Д
IX	22	Д	20	И
viii	23	И	21	Ф
VII	24	Ф	22	Г
мы	25	Г	23	А
v	26	А	24	Б
iv	27	Б	25	С
III	28	С	26	Д
ii	29	Д	27	И
я	30	И	28	Ф
*	31	Ф	29	Г
XXIX			30	А

Например, если эпакт приходится на 27 (xxvii), церковное новолуние приходится на каждую дату, обозначенную xxvii . Церковное полнолуние наступит через 13 дней. Судя по таблице выше, новолуние приходится на 4 марта и 3 апреля, а полнолуние — на 17 марта и 16 апреля.Тогда Пасхальный день — это первое воскресенье после первого церковного полнолуния 21 марта или после него. (В этом определении используется «21 марта или после», чтобы избежать двусмысленности с историческим значением слова «после». В современном языке эта фраза просто означает «после 20 марта». Определение «21 марта или после» часто используется неправильно сокращено до «после 21 марта» в опубликованных и интернет-статьях, что приводит к неправильным датам Пасхи.)В примере это пасхальное полнолуние приходится на 16 апреля. Если доминантная буква Е, то Пасха приходится на 20 апреля.

Метка « 25 » (в отличие от «xxv») используется следующим образом: в цикле Метона годы, отстоящие друг от друга на 11 лет, имеют эпакты, отличающиеся на один день. Месяц, начинающийся с даты, на которой рядом написаны метки xxiv и xxv, состоит из 29 или 30 дней. Если 24-й и 25-й эпакты происходят в пределах одного Метонического цикла, то новые (и полнолуния) луны в эти два года придутся на одни и те же даты. Это возможно для настоящей луны но неэлегантно в схематическом лунном календаре; даты должны повториться только через 19 лет. Чтобы избежать этого, в годы с 25-м эпактом и золотым числом больше 11 расчетное новолуние приходится на дату с меткой 25, а не на дату xxv . Если метки 25 и xxv вместе, проблем нет, поскольку они одинаковы. Это не переносит проблему на пару «25» и «xxvi», потому что самый ранний 26-й эпакт может появиться на 23-м году цикла, который длится всего 19 лет: между ними происходит скачок луны , который делает новый луны приходятся на разные даты.

В григорианском календаре есть поправка к тропическому году за счет исключения трех високосных дней за 400 лет (всегда за столетний год). Это поправка к продолжительности тропического года, но она не должна влиять на метоническую связь между годами и луниями. Поэтому эпакт компенсируется за это (частично – см. эпакт ) за счет вычитания единицы в эти столетние годы. Это так называемая солнечная коррекция или «солнечное уравнение» («уравнение» используется в средневековом смысле «коррекция»).

Однако 19 неисправленных юлианских лет немного длиннее 235 луний. Разница составляет один день примерно за 308 лет, или 0,00324 дня в году. За один цикл эпакт уменьшается за счет солнечной поправки в среднем на 19 × 0,0075 = 0,1425, поэтому цикл эквивалентен 235−0,1425/30 = 234,99525 месяца, тогда как на самом деле синодических месяцев 19 × 365,2425 / 29,5305889 ≈ 234,997261. Разница в 0,002011 синодических месяцев за 19-летний цикл, или 0,003126 дней в году, требует периодической лунной поправки к эпакту. В григорианском календаре это делается добавлением 1 восемь раз за 2500 (григорианских) лет (чуть больше 2500×0,003126, или около 7,8), всегда за столетие года: это так называемая лунная коррекция (исторически называемая «лунной коррекцией»). лунное уравнение»). Первый был применен в 1800 году, следующий — в 2100 году и будет применяться каждые 300 лет, за исключением интервала в 400 лет между 3900 и 4300 годами, который начинает новый цикл. Во время реформы эпакты были изменены на 7, хотя были пропущены 10 дней, чтобы внести трехдневную поправку во время новолуний.

Солнечные и лунные поправки действуют в противоположных направлениях и в некоторые столетние годы (например, 1800 и 2100) нейтрализуют друг друга. В результате в григорианском лунном календаре используется таблица эпактов, действительная в течение периода от 100 до 300 лет. Приведенная выше таблица epact действительна для периода с 1900 по 2199 год.

Как поясняется ниже, даты Пасхи повторяются через 5 700 000 лет, и за этот период средняя продолжительность церковного месяца составляет 2 081 882 250/70 499 183 ≈ 29,5305869 дней, которая отличается от текущей фактической средней длины луны (29,5305889 дней: см. Лунный месяц # Синодический месяц ) в 6-й цифре после десятичной точки. Это соответствует ошибке менее суток по фазе Луны за 40 000 лет, но на самом деле длина дня меняется (как и длина синодического месяца), поэтому система не точна на таких периодах. . См. статью ΔT (хронометраж) для получения информации о совокупном изменении продолжительности дня.

Подробности

Этот метод расчета имеет несколько тонкостей:

В каждом втором лунном месяце только 29 дней, поэтому одному дню должны быть присвоены две (из 30) метки эпакта. Причина перемещения метки эпакта «xxv/25», а не какой-либо другой, по-видимому, следующая: По словам Дионисия (в его вступительном письме к Петронию), Никейский собор, на основании авторитета Евсевия , установил, что первый месяц церковного лунного года (пасхального месяца) должен начинаться с 8 марта по 5 апреля включительно, а 14-й день приходится на период с 21 марта по 18 апреля включительно, таким образом охватывая период (всего) 29 дней. У новолуния 7 марта, имеющего метку epact «xxiv», 14-й день (полнолуние) приходится на 20 марта, что слишком рано (не после 20 марта). Таким образом, в годы с эпактом «xxiv», если бы лунный месяц, начинающийся 7 марта, имел 30 дней, пасхальное новолуние пришлось бы на 6 апреля, что уже слишком поздно: полнолуние выпало бы на 19 апреля, и Пасха могла бы быть уже 26 апреля. По юлианскому календарю последней датой Пасхи было 25 апреля, и григорианская реформа сохранила этот предел. Таким образом, пасхальное полнолуние должно выпасть не позднее 18 апреля, а новолуние - 5 апреля, которое имеет метку "xxv". Поэтому 5 апреля должно иметь двойные ярлыки «xxiv» и «xxv». Тогда epact «xxv» нужно обрабатывать по-другому, как объяснено в параграфе выше.

Даты Пасхи с 1900 по 2199 год.

Распределение частот даты Пасхи нечетко определено, поскольку каждые 100–300 лет соответствие золотого числа эпакту меняется, а долгосрочное распределение частот справедливо только в течение периода в миллионы лет (см. Ниже). тогда как система, конечно, не будет использоваться так долго.Настоящая карта, действительная с 1900 по 2199 год, дает даты Пасхи с очень разной частотой. 22 марта никогда не может произойти, тогда как 31 марта произойдет 13 раз за этот 300-летний период.

Распределение даты Пасхи за полный 5 700 000-летний цикл.

Если все-таки задаться вопросом, каким будет распределение в долгосрочной перспективе, то есть за весь период в 5,7 миллионов лет, после которого даты повторяются, то это распределение можно найти довольно просто, и оно весьма отличается от распределения в период с 1900 по 2199 год или даже распределение за период со времени реформы до настоящего времени. Дата Пасхи в данном году зависит только от епакта года, его золотого числа и его доминической буквы , которая сообщает нам, какие дни являются воскресеньями (точнее, доминической буквы для части года после февраля, которая в високосные годы отличается от буквы января и февраля). (Золотое число имеет значение только тогда, когда эпакт равен 25, как объяснялось ранее.) Если мы перейдем на 3 230 000 лет вперед от определенного года, мы найдем год в той же точке 400-летнего григорианского цикла и с тем же золотым числом, но с эпактом, увеличенным на 1. Следовательно, в долгосрочной перспективе все тридцать эпактов одинаково вероятны. С другой стороны, не все доминантные буквы имеют одинаковую частоту: годы с буквами A и C (в конце года) встречаются в 14% случаев каждый, E и F встречаются в 14,25% случаев, а B, D и G встречаются в 14,5% случаев. Принимая во внимание сложность, связанную с epact 25, это дает распределение, показанное на втором графике. 19 апреля является наиболее распространенным, поскольку при 25-м эпакте церковное полнолуние приходится на 17 или 18 апреля (в зависимости от золотого числа), а также на эти даты приходится и при 26-м или 24-м эпакте соответственно. Есть семь дней, на которые может выпасть полнолуние, включая 17 и 18 апреля, чтобы Пасха пришлась на 19 апреля (это также самая поздняя возможная дата Пасхи, когда церковное полнолуние может выпасть на субботу, поскольку апрельское полнолуние может выпасть на субботу). 18 — последняя дата церковного полнолуния, которое наступает на следующий день после Пасхи, если церковное полнолуние приходится на субботу). Как следствие, 19 апреля — дата, на которую Пасха выпадает чаще всего по григорианскому календарю, примерно в 3,87% лет. 22 марта встречается реже всего - 0,48%.

Связь между датами лунного и солнечного календаря не зависит от схемы високосных дней солнечного года. По сути, в григорианском календаре по-прежнему используется юлианский календарь с високосным днем ​​каждые четыре года, поэтому 19-летний цикл Метона имеет 6940 или 6939 дней с пятью или четырьмя високосными днями. Сейчас лунный цикл насчитывает всего 19×354 + 19×11 = 6935 дней . Если не помечать и подсчитывать високосный день числом эпакта, но если следующее новолуние приходится на ту же календарную дату, что и без високосного дня, текущая лунация продлевается на день. а 235 лунаций охватывают столько же дней, сколько 19 лет (при условии, что 19 лет не включают «солнечную коррекцию», как в 1900 году). Таким образом, бремя синхронизации календаря с Луной (промежуточная точность) перекладывается на солнечный календарь, который может использовать любую подходящую схему интеркаляции, и все это при условии, что 19 солнечных лет = 235 луний (создавая долгосрочную неточность, если не исправлено «лунной коррекцией»). Следствием этого является то, что рассчитанный возраст Луны может отличаться на один день, а также то, что луны, содержащие високосный день, могут иметь продолжительность 31 день, чего никогда бы не произошло, если бы следовали за настоящей Луной (краткосрочные неточности). Это цена штатной подгонки к солнечному календарю.

С точки зрения тех, кто, возможно, пожелает использовать григорианский пасхальный цикл в качестве календаря на весь год, в григорианском лунном календаре есть некоторые недостатки. (хотя они не влияют на пасхальный месяц и дату Пасхи):

1. Бывают лунации продолжительностью 31 (а иногда и 28) день.
2. Если в году с золотым числом 19 приходится 19-й эпакт, то последнее церковное новолуние приходится на 2 декабря; следующий должен состояться 1 января. Однако в начале нового года скачок луны увеличивает эпакт еще на единицу, и новолуние должно было произойти в предыдущий день. Итак, новолуние пропущено. Календарь учитывает это, присваивая 31 декабря такого года метку эпакта «19» вместо « xx Missale Romanum », делая эту дату новолунием. Это происходило каждые 19 лет, когда действовала первоначальная григорианская таблица эпактов (последний раз в 1690 году), а следующий раз произойдет в 8511 году.
3. Если эпакт года равен 20, церковное новолуние приходится на 31 декабря. Если этот год приходится на столетний год, то в большинстве случаев солнечная поправка уменьшает эпакт нового года на единицу: полученный эпакт «*» означает, что еще одно церковное новолуние отсчитывается 1 января. Итак, формально прошла лунация в один день. Следующее произойдет в 4199–4200 годах.
4. Другие пограничные случаи происходят (намного) позже, и если правила строго соблюдаются и эти случаи не рассматриваются специально, они порождают последовательные даты новолуния, которые находятся с интервалом в 1, 28, 59 или (очень редко) 58 дней.

Тщательный анализ показывает, что, несмотря на то, как они используются и корректируются в григорианском календаре, на самом деле эпакты ⁠ 1/30 ⁠ . дней лунации и не полных См в epact . обсуждение .

Солнечные и лунные поправки повторяются через 4×25=100 столетий. За этот период эффект для данного золотого числа изменится в общей сложности на −1 × ⁠ 3 / 4 ⁠ × 100 + 1 × ⁠ 8 / 25 ⁠ × 100 знак равно -43 ≡ 17 мод 30 . Это простое число из 30 возможных эпактов, поэтому требуется 100 × 30 = 3000 столетий, прежде чем отображения эпакта повторятся; и 3000 × 19 = 57 000 веков, прежде чем они повторятся с одним и тем же золотым числом. Неясно, сколько церковных новолуний приходится на этот период в 5,7 млн ​​лет. В сумме циклы Метоника составляют (5 700 000/19) × 235 = 70 500 000 луний. Но есть чистые поправки -43 × (5 700 000/10 000) к эпактам, которые, разделенные на 30, в сумме дают поправку -817 луний, что в общей сложности составляет 70 499 183 луний. Это число, по-видимому, было впервые получено Магнусом Георгом Паукером в 1837 году. Он также упоминается в главе о календарях (стр. 744) Морского альманаха 1931 года. и в Пояснительном приложении 1992 г. (с. 582). Итак, даты григорианской Пасхи повторяются в точно таком же порядке только через 5 700 000 лет, 70 499 183 лунных месяца, или 2 081 882 250 дней; тогда средняя продолжительность лунного месяца составит 2 081 882 250/70 499 183 = 29,53058690 дней. Конечно, через несколько тысячелетий календарь пришлось бы корректировать из-за изменений в продолжительности тропического года, синодического месяца и дня.

Графики дат западного и восточно-православного пасхального воскресенья в сравнении с мартовским равноденствием и полнолунием с 1950 по 2050 год по григорианскому календарю.

Возникает вопрос, почему в григорианском лунном календаре имеются отдельные солнечные и лунные поправки, которые иногда отменяют друг друга. Оригинальная работа Лилиуса не сохранилась, но его предложение было описано в Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium, распространенном в 1577 году, в котором объясняется, что разработанная им система исправлений должна была стать совершенно гибким инструментом в руках будущих реформаторов календаря. поскольку солнечный и лунный календарь отныне можно было корректировать без взаимного вмешательства. Примером такой гибкости была альтернативная последовательность вставок, полученная из теорий Коперника, вместе с соответствующими поправками к эпакту.

«Солнечные поправки» примерно аннулируют эффект григорианских модификаций високосных дней солнечного календаря на лунный календарь: они (частично) возвращают цикл эпакта к исходному метоническому соотношению между юлианским годом и лунным месяцем. Врожденное несоответствие между Солнцем и Луной в этом основном 19-летнем цикле затем корректируется каждые три или четыре столетия посредством «лунной поправки» к эпактам. Однако поправки эпакта происходят в начале григорианских веков, а не юлианских веков, и поэтому первоначальный юлианский метонический цикл полностью не восстановлен.

В то время как чистые вычитания 4 × 8 — 3 × 25 = 43 эпакта могут быть распределены равномерно в течение 10 000 лет (как было предложено, например, Лихтенбергом 2003 , стр. 45–76), если поправки объединить, тогда неточности двух циклы также добавляются и не могут быть исправлены отдельно.

Соотношения (средних солнечных) дней в году и дней на лунацию изменяются как из-за внутренних долгосрочных изменений орбит, так и из-за того, что вращение Земли замедляется из-за приливного замедления , поэтому григорианские параметры становятся все более устаревшими.

Это действительно влияет на дату равноденствия, но так получилось, что интервал между равноденствиями в северном полушарии (весной в северном полушарии) был довольно стабильным на протяжении исторического времени, особенно если измерять его в среднем солнечном времени.

Также на смещение церковных полнолуний, рассчитанных по григорианскому методу, по сравнению с истинными полнолуниями влияет меньше, чем можно было бы ожидать, поскольку увеличение продолжительности дня почти точно компенсируется увеличением длины месяца. поскольку приливное торможение передает угловой момент вращения Земли орбитальному угловому моменту Луны.

Птолемеевское значение длины среднего синодического месяца, установленное вавилонянами примерно в IV веке до нашей эры, составляет 29 дней 12 часов 44 минуты. ⁠3 + 1/3 ⁠ . с ; (см Кидинну ) текущее значение на 0,46 с меньше (см. Новолуние ). За тот же исторический отрезок времени продолжительность среднего тропического года уменьшилась примерно на 10 с (все значения означают солнечное время).

Закон о британском календаре и Книга общих молитв

Часть приведенного выше раздела о табличных методах описывает исторические аргументы и методы, с помощью которых католическая церковь определила нынешние даты пасхального воскресенья в конце 16 века. В Великобритании, где тогда еще использовался юлианский календарь, пасхальное воскресенье определялось с 1662 по 1752 год (в соответствии с прежней практикой) простой таблицей дат в англиканской Книге общих молитв (установленной Законом о единообразии) . 1662 ). Таблица индексировалась непосредственно золотым числом и воскресной буквой , которые (в пасхальном разделе книги) считались уже известными.

Для Британской империи и колоний новое определение даты пасхального воскресенья было определено так называемым Законом о календаре (новом стиле) 1750 года с приложением к нему. Этот метод был выбран для получения дат, соответствующих григорианскому правилу, уже используемому в других местах. Закон требовал, чтобы он был помещен в Книгу общих молитв , и, следовательно, это общее англиканское правило. Оригинальный акт можно увидеть в Британских статутах в целом 1765 года . В приложении к закону содержится определение: « Днем Пасхи (от которого зависят все остальные дни) всегда является первое воскресенье после полнолуния , которое случается в двадцать первый день марта . , или следующее после него случается в воскресенье , Пасха наступает в следующее за ним воскресенье ». В приложении впоследствии используются термины «Пасхальное полнолуние» и «Церковное полнолуние», давая понять, что они приближаются к настоящему полнолунию.

Этот метод совершенно отличается от метода, описанного выше в § Григорианская реформа вычислений . Для общего года сначала определяют золотое число , затем с помощью трех таблиц определяют воскресную букву , «шифр» и дату пасхального полнолуния, из которой следует дата Пасхального воскресенья. Эпакт явно не проявляется. Более простые таблицы можно использовать для ограниченных периодов (например, 1900–2199 гг.), В течение которых шифр (представляющий влияние солнечных и лунных поправок) не меняется. Детали Клавиуса были использованы при построении метода, но в дальнейшем они не играют никакой роли в его использовании.

Дж. Р. Стоктон показывает свой вывод эффективного компьютерного алгоритма, прослеживаемого на основе таблиц в молитвеннике и Законе о календаре (при условии, что описание того, как использовать таблицы, имеется под рукой), и проверяет его работу, вычисляя соответствующие таблицы.

Юлианский календарь

Распределение даты Пасхи 1900–2099 гг. В большинстве восточных конфессий по сравнению с западными.

Метод расчета даты церковного полнолуния, который был стандартным для Западной Церкви до реформы григорианского календаря и до сих пор используется большинством восточных христиан , использовал неисправленное повторение 19-летнего цикла Метона в сочетании с юлианский календарь. Что касается метода epact, обсуждавшегося выше, он фактически использовал одну таблицу epact, начиная с epact, равного 0, которая никогда не корректировалась. В данном случае эпакт был отсчитан на 22 марта, самую раннюю приемлемую дату Пасхи. Это повторяется каждые 19 лет, поэтому существует только 19 возможных дат пасхального полнолуния с 21 марта по 18 апреля включительно.

Поскольку в григорианском календаре нет поправок, церковное полнолуние отклоняется от истинного полнолуния более чем на три дня каждое тысячелетие. Это уже несколько дней спустя. В результате восточные церкви празднуют Пасху на неделю позже, чем западные, примерно в 44% случаев и в тот же день примерно в 30% случаев. (Восточная Пасха иногда наступает на четыре или пять недель позже, потому что юлианский календарь отстает от григорианского на 13 дней в 1900–2099 годах, поэтому пасхальное полнолуние по григорианскому календарю иногда бывает раньше 21 марта по юлианскому календарю.)

Порядковый номер года в 19-летнем цикле называется его золотым числом . Этот термин был впервые использован в компьютерной поэме « Масса Компоти» Александра де Вилья Деи в 1200 году. Более поздний писец добавил золотое число к таблицам, первоначально составленным аббатом Флёри в 988 году.

Заявление католической церкви в папской булле Inter gravissimas 1582 года , провозгласившей григорианский календарь, о том, что она восстановила «празднование Пасхи согласно правилам, установленным… великим Вселенским Никейским собором». был основан на ложном утверждении Дионисия Эксигуса (525 г.) о том, что «мы определяем дату Пасхи... в соответствии с предложением, согласованным 318 отцами Церкви на Никейском соборе».

Однако Первый Никейский собор (325 г.) не установил каких-либо явных правил для определения этой даты, а лишь написал: «Все наши братья на Востоке, которые раньше следовали обычаю иудеев, должны впредь праздновать упомянутый самый священный праздник Пасха в одно время с римлянами и вами [Александрийской церковью] и всеми, кто соблюдал Пасху с самого начала». Средневековые вычисления были основаны на Александрийских вычислениях , которые были разработаны Александрийской церковью в первом десятилетии IV века с использованием Александрийского календаря .

Восточная Римская империя приняла его вскоре после 380 года после перевода вычислений на юлианский календарь. Рим принял его где-то между шестым и девятым веками. Британские острова приняли его в восьмом веке, за исключением нескольких монастырей. Франция (вся Западная Европа, за исключением Скандинавии (языческой), Британских островов, Пиренейского полуострова и южной Италии) приняла его в последней четверти восьмого века.

Последний кельтский монастырь , принявший его , Иона , сделал это в 716 году. Последний английский монастырь, принявший его, сделал это в 931 году. До этих дат другие методы давали даты пасхального воскресенья, которые могли отличаться на пять недель.

Это таблица дат пасхальных полнолуний для всех лет по юлианскому календарю, начиная с 931 года:

Золотой число	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Пасхаль полная луна дата (Юлиан)	5 апрель	25 Маршировать	13 апрель	2 апрель	22 Маршировать	10 апрель	30 Маршировать	18 апрель	7 апрель	27 Маршировать	15 апрель	4 апрель	24 Маршировать	12 апрель	1 апрель	21 Маршировать	9 апрель	29 Маршировать	17 апрель
Пасхаль полная луна дата, 1900–2099 гг., Григорианский календарь	18 апрель	7 апрель	26 апрель	15 апрель	4 апрель	23 апрель	12 апрель	1 Может	20 апрель	9 апрель	28 апрель	17 апрель	6 апрель	25 апрель	14 апрель	3 апрель	22 апрель	11 апрель	30 апрель
Пасхаль полная луна дата, западная, 1900-2199 (григорианский)	14 апрель	3 апрель	23 Маршировать	11 апрель	31 Маршировать	18 апрель	8 апрель	28 Маршировать	16 апрель	5 апрель	25 Маршировать	13 апрель	2 апрель	22 Маршировать	10 апрель	30 Маршировать	17 апрель	7 апрель	27 Маршировать

Как упоминалось ранее, эти пасхальные полнолуния наступают на 4, 5 или 34 дня позже, чем в западной системе, и примерно на три дня позже, чем астрономическое полнолуние. (Например, лунное затмение в апреле 2015 года произошло 4 апреля по григорианскому календарю или 22 марта по юлианскому календарю, но пасхальное полнолуние в этом году (золотое число 2) было 25 марта по юлианскому календарю.) Всякий раз, когда там Это лунная коррекция: разница между западным и восточным церковным полнолунием увеличивается на 1, поэтому с 2100 по 2399 годы разница составит 5, 6 или 35 дней. Диапазон дат восточно-пасхального полнолуния в григорианском календаре сдвигается на день позже каждый раз, когда происходит солнечная коррекция, поэтому с 2100 по 2199 год это будет с 5 апреля по 9 мая. В настоящее время цикл составляет пять лет, когда Восточная Пасха наступает на несколько недель позже Западной, с золотыми числами 3, 8, 11, 14 и 19. В 2200 году это число увеличится до шести раз за цикл (добавив золотое число 6). , до семи в 2300 году (добавление золотого числа 17), затем вернуться к шести в 2400 году (лунная коррекция и отсутствие солнечной коррекции), вернуться к семи в 2500 году и перейти к восьми только в 2900 году (добавление золотого числа 9).

Пример расчета по этой таблице:

Золотое число 1573 года — 16 ( 1573 + 1 = 1574 ; 1574 ÷ 19 = 82, остаток 16 ). По таблице пасхальное полнолуние для золотого числа 16 приходится на 21 марта. В таблице недели 21 марта — суббота. Пасхальное воскресенье — следующее воскресенье, 22 марта.

Таким образом, для данной даты церковного полнолуния существует семь возможных дат Пасхи. Цикл воскресных букв не повторяется через семь лет: из-за перерывов високосного дня каждые четыре года полный цикл, при котором будние дни повторяются в календаре одинаковым образом, составляет 4×7 = 28 лет, солнечный цикл . Таким образом, даты Пасхи повторяются в том же порядке через 4×7×19 = 532 года. Этот пасхальный цикл также называют викторианским циклом , в честь Виктория Аквитанского, который ввел его в Риме в 457 году.

Впервые известно, что его использовал Анниан Александрийский в начале V века. Его также иногда ошибочно называли дионисийским циклом в честь Дионисия Эксигуса , который подготовил пасхальные таблицы, начавшиеся с 532 года. Он, по-видимому, не осознавал, что описанный им александрийский компут имел 532-летний цикл, хотя он осознавал, что его 95-летний цикл Годовая таблица не была настоящим циклом. Достопочтенный Беда (7 век), кажется, был первым, кто определил солнечный цикл и объяснил пасхальный цикл циклом Метона и солнечным циклом.

В средневековой Западной Европе даты пасхального полнолуния (14 нисана), приведенные выше, можно было запомнить с помощью 19-строчного аллитеративного стихотворения на латыни:

Девятое апреля	они знают кто	V
восемьдесят календ	поэтому они обесцениваются	я
В тот апрель	даже полы	МЫ
девять четыре	ибо Я берегу его.	II
Предмет отменен	окружить тех	V
четыре дня назад	они берут три	III
Три календарных дня	титулант сени,	МЫ
четыре дня	они лежат на спине.	III
Семь недель назад	выберите семь	VII
старый календарь	они тянут жребий	III
мне было семь лет	таким образом давая	я
Накануне девятого	еще четыре	III
девятый календарь	они отмечены семью	VII
Накануне	распространить на кого	V
календарь апреля	выразить один.	я
На двенадцать дней	мастер четырех	III
пятый вид	Мы надеемся на двоих.	II
Четыре календарных дня	угадай пять	V
почему они состоят	получив три	III

В первой половине каждой строки указана дата пасхального полнолуния из таблицы выше для каждого года 19-летнего цикла. Вторая полулиния показывает обычное регулярное или буднее смещение дня пасхального полнолуния этого года от одновременного или буднего дня 24 марта. Фериальный регулярный повторяется римскими цифрами в третьем столбце.

«Парадоксальные» даты Пасхи

Из-за расхождений между приближениями компьютерных расчетов времени среднего ( северного полушария) весеннего равноденствия и лунных фаз и истинными значениями, рассчитанными в соответствии с астрономическими принципами, иногда возникают различия между датой Пасхи по компьютерному исчислению и датой Пасхи. гипотетическая дата Пасхи, рассчитанная астрономическими методами с использованием принципов, приписываемых отцам Церкви. Эти несоответствия называют «парадоксальными» датами Пасхи.

В своем Календариуме 1474 года Региомонтан вычислил точное время всех соединений Солнца и Луны для нюрнбергской долготы согласно Альфонсиновым таблицам за период с 1475 по 1531 год. В своей работе он записал 30 случаев, когда Пасха Юлианского периода Computus не согласился с Пасхой, рассчитанной с использованием астрономического новолуния . В восемнадцати случаях дата отличалась на неделю, в семи случаях - на 35 дней, а в пяти случаях - на 28 дней.

Людвиг Ланге исследовал и классифицировал различные типы парадоксальных дат Пасхи, используя григорианские вычисления . В тех случаях, когда первое весеннее полнолуние согласно астрономическим расчетам приходится на воскресенье, а компьютер дает то же воскресенье, что и Пасха, празднуемая Пасха наступает на неделю раньше по сравнению с гипотетической «астрономически» правильной Пасхой. Ланге назвал этот случай негативным недельным (гебдомадальным) парадоксом (H-парадокс). Если астрономический расчет дает субботу для первого весеннего полнолуния, а Пасха празднуется не в следующее за ним воскресенье, а на неделю позже, то согласно расчетам Пасха празднуется на неделю позже по сравнению с астрономическим результатом. Он классифицировал такие случаи как положительный недельный (гебдомадальный) парадокс (H+-парадокс).

Расхождения еще больше, если существует разница в весеннем равноденствии с астрономической теорией и приближением вычислений . Если астрономическое равноденственное полнолуние приходится на компьютерное равноденственное полнолуние, Пасха будет отмечаться на четыре или даже пять недель позже. Такие случаи называются положительным парадоксом равноденствия (парадоксом А+) по Ланге. В обратном случае, когда компьютерное равноденственное полнолуние приходится на месяц раньше астрономического равноденственного полнолуния, Пасха празднуется на четыре или пять недель раньше. Такие случаи называются отрицательным парадоксом равноденствия (парадокс A−).

Равноденственные парадоксы всегда справедливы глобально для всей Земли, поскольку последовательность равноденствий и полнолуний не зависит от географической долготы. Напротив, еженедельные парадоксы в большинстве случаев локальны и справедливы только для части Земли, поскольку смена дня между субботой и воскресеньем зависит от географической долготы. Компьютерные расчеты основаны на астрономических таблицах, действительных для долготы Венеции, которую Ланге назвал григорианской долготой.

В 21 и 22 веках Отрицательные еженедельные парадоксальные даты Пасхи происходят в 2049, 2076, 2106, 2119 (глобальные), 2133, 2147, 2150, 2170 и 2174 годах. Положительные еженедельные парадоксальные даты происходят в 2045, 2069, 2089 (глобальные) и 2096 годах. Положительные парадоксальные еженедельные даты. даты в 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 и 2190 годах.

В 2076 и 2133 годах происходят двойные парадоксы (положительный равноденственный и отрицательный недельный). Отрицательные парадоксы равноденствия встречаются крайне редко. Они происходят только дважды до 4000 года, в 2353 году, когда Пасха наступает на пять недель раньше, и в 2372 году, когда Пасха наступает на четыре недели раньше.

Алгоритмы

Примечание по операциям

При выражении алгоритмов Пасхи без использования таблиц принято использовать только целочисленные операции сложения , вычитания , умножения , деления , по модулю и присваивания , поскольку это совместимо с использованием простых механических или электронных калькуляторов. Это ограничение нежелательно для компьютерного программирования, где доступны условные операторы и операторы, а также справочные таблицы. Можно легко увидеть, как можно выполнить преобразование дня марта (от 22 до 56) к дню и месяцу (с 22 марта по 25 апреля) как if (DoM > 31) {Day=DoM-31, Month=Apr} else {Day=DoM, Month=Mar}. Что еще более важно, использование таких условных обозначений также упрощает суть григорианских вычислений.

Пасхальный алгоритм Гаусса

В 1800 году математик Карл Фридрих Гаусс представил этот алгоритм расчета даты юлианской или григорианской Пасхи. Он исправил выражение для вычисления переменной p в 1816 году. В 1800 году он неправильно заявил, что p = пол ( ⁠ k / 3 ⁠ ) = ⌊ ⁠ к / 3 ⁠ ⌋ . В 1807 году он заменил условие (11 M + 11) по модулю 30 < 19 на более простое a > 10 . В 1811 году он ограничил свой алгоритм только 18 и 19 веками и заявил, что 26 апреля всегда заменяется 19 и 25 апреля на 18 апреля в указанных обстоятельствах. В 1816 году он поблагодарил своего ученика Питера Пауля Титтеля за то, что он указал на неправильный вариант p в исходной версии.

Переменная	Выражение	год = 1777	2024	2025
а =	год мод 19	10	10	11
б =	год мод 4	1	0	1
с =	год мод 7	6	1	2
к =	год дел 100 = ⌊ ⁠ year / 100 ⁠ ⌋	17	20	20
р =	(13 + 8 тыс .) дел 25 = ⌊ ⁠ 13 + 8 к / 25 ⁠ ⌋	5	6	6
q =	k дел 4 = ⌊ ⁠ k / 4 ⁠ ⌋	4	5	5
М =	(15 − p + k − q ) против 30	23	24	24
Н =	(4 + k − q ) против 7	3	5	5
Для юлианской Пасхи по юлианскому календарю M = 15 и N = 6 ( k , p и q не нужны)
д =	(19 а + М ) мод 30	3	4	23
и =	(2 б + 4 в + 6 д + Н ) по модулю 7	5	5	6
Мартовский день Пасхи =	22 + д + е	30	31	51
Апрельский день Пасхи =	д + е - 9	−1	0	20
	(11 М + 11) против 30	24	5	5
если d = 28, e = 6 и (11 M + 11) mod 30 < 19, замените 25 апреля на 18 апреля.
если d = 29 и e = 6, замените 26 апреля на 19 апреля.

Анализ пасхального алгоритма Гаусса разделен на две части. Первая часть представляет собой приблизительное отслеживание движения Луны по орбите, а вторая часть представляет собой точное детерминированное смещение для получения воскресенья после полнолуния.

Первая часть состоит из определения переменной d — количества дней (считая с 22 марта) до дня после полнолуния. Формула для d содержит члены 19 a и константу M . a — положение года в 19-летнем фазовом цикле Луны, в котором, по предположению, движение Луны относительно Земли повторяется каждые 19 календарных лет. В прежние времена 19 календарных лет приравнивались к 235 лунным месяцам (цикл Метоника), что очень близко, поскольку 235 лунных месяцев составляют примерно 6939,6813 дней, а 19 лет — в среднем 6939,6075 дней.

Выражение (19 a + M ) mod 30 повторяется каждые 19 лет в течение каждого столетия, поскольку M определяется для каждого столетия. 19-летний цикл не имеет ничего общего с числом «19» в 19 году ; появление еще одной цифры «19» — просто совпадение. Число «19» в числе 19 а появилось в результате исправления несоответствия между календарным годом и целым числом лунных месяцев.

Календарный год (невисокосный год) состоит из 365 дней, а ближайший к нему год с целым числом лунных месяцев составляет 12 × 29,5 = 354 дня. Разница составляет 11 дней, и ее необходимо исправить, переместив наступление полнолуния в следующем году на 11 дней назад. Но в арифметике по модулю 30 вычитание 11 равносильно прибавлению 19, следовательно, прибавление 19 за каждый прибавленный год, т. е. 19 а .

М М в 19 а + . служит для определения правильной отправной точки в начале каждого столетия Он определяется путем расчета, в котором учитывается количество високосных лет до этого столетия, где k запрещает високосный день каждые 100 лет, а q переустанавливает его каждые 400 лет, что дает ( k - q ) как общее количество запретов на образец високосного дня. високосный день каждые четыре года. Таким образом, мы добавляем ( k − q ) , чтобы исправить високосные дни, которых никогда не было. p исправляет невозможность полного описания лунной орбиты в целочисленных терминах.

Диапазон дней, в течение которых полнолуние определяет Пасху, составляет от 21 марта (день церковного весеннего равноденствия) до 18 апреля — 29-дневный диапазон. Однако в арифметике mod 30 переменной d и константы M , обе из которых могут иметь целые значения в диапазоне от 0 до 29, диапазон равен 30. Поэтому в критических случаях вносятся корректировки. После определения d это количество дней, которое нужно добавить к 22 марта (день после самого раннего разрешенного полнолуния, которое совпадает с церковным весенним равноденствием), чтобы получить дату дня после полнолуния.

Таким образом, первая допустимая дата Пасхи — 22 + d + 0 марта , поскольку Пасху следует праздновать в воскресенье после церковного полнолуния; то есть, если полнолуние выпадает на воскресенье, 21 марта, Пасху следует праздновать через 7 дней, а если полнолуние выпадает на субботу, 21 марта, Пасха наступает в следующее 22 марта.

Вторая часть — найти e , дополнительные дни смещения, которые необходимо добавить к смещению даты d, чтобы оно приходило на воскресенье. Поскольку в неделе 7 дней, смещение должно находиться в диапазоне от 0 до 6 и определяться арифметическим методом по модулю 7. e определяется путем вычисления 2 b + 4 c + 6 d + N mod 7 . Эти константы на первый взгляд могут показаться странными, но их довольно легко объяснить, если вспомнить, что мы работаем по арифметике по модулю 7. Начнем с того, что 2b . + 4c гарантирует, что мы позаботимся о том, чтобы будние дни сдвигались для каждого года

В обычном году 365 дней, но 52 × 7 = 364 , поэтому 52 полные недели составляют один день слишком мало. Следовательно, каждый год подряд день недели «сдвигается на один день вперед», то есть, если 6 мая было средой в одном году, то в следующем году это четверг (без учета високосных лет). И b, и c увеличиваются на единицу при продвижении на один год (без учета эффектов по модулю). Таким образом, выражение 2 b + 4 c увеличивается на 6 – но помните, что это то же самое, что вычитание 1 по модулю 7.

Вычитание на 1 — это именно то, что требуется для обычного года: поскольку день недели сдвигается на один день вперед, мы должны компенсировать на один день меньше, чтобы прийти к правильному дню недели (т. е. воскресенью). Для високосного года b становится 0, а 2 b, таким образом, равно 0 вместо 8 – что по модулю 7 представляет собой еще одно вычитание на 1 – т. е. общее вычитание на 2, поскольку дни недели после високосного дня в этом году сдвигаются вперед на два. дни.

Выражение 6 d работает таким же образом. Увеличение d на некоторое число y означает, что в этом году полнолуние наступит на y дней позже, и, следовательно, мы должны компенсировать на y дней меньше. Добавление 6 d по модулю 7 аналогично вычитанию d , что и является желаемой операцией. Таким образом, мы снова делаем вычитание путем сложения по арифметическому модулю. В общей сложности переменная e содержит шаг от дня после дня полнолуния до ближайшего следующего воскресенья, от 0 до 6 дней вперед. Константа N обеспечивает отправную точку для расчетов для каждого столетия и зависит от того, где неявно располагалось 1 января первого года при построении григорианского календаря.

Выражение d + e может давать смещения в диапазоне от 0 до 35, указывая на возможные пасхальные воскресенья с 22 марта по 26 апреля. По соображениям исторической совместимости все смещения 35 и некоторые из 34 вычитаются на 7, переходя на одно воскресенье назад к дню полнолуния (фактически используя отрицательное значение e, равное -1). Это означает, что 26 апреля никогда не является пасхальным воскресеньем и что 19 апреля перепредставлено. Эти последние поправки сделаны исключительно по историческим причинам и не имеют ничего общего с математическим алгоритмом. Смещение 34 корректируется, если (и только если) d = 28 и d = 29 в другом месте 19-летнего цикла.

Использование алгоритма Пасхи Гаусса для лет до 1583 года исторически бессмысленно, поскольку до этого года григорианский календарь не использовался для определения Пасхи. Использование алгоритма в далеком будущем сомнительно, поскольку мы ничего не знаем о том, как разные церкви будут определять Пасху в далеком будущем. Пасхальные расчеты основаны на соглашениях и условностях, а не на действительных небесных движениях или неоспоримых фактах истории.

Анонимный григорианский алгоритм

Оригинальный формат Nature представления 1876 года.

Дивиденды	Делитель	частное	Остаток
год	19	—	а
год	100	б	с
б	4	д	и
б + 8	25	ж	—
б - е + 1	3	г	—
19 а + б - г - г + 15	30	—	час
с	4	я	к
32 + 2 е + 2 я - час - k	7	—	л
а + 11 ч + 22 л	451	м	—
ч + л − 7 м + 114	31	н	тот

«Нью-йоркский корреспондент» представил этот алгоритм определения григорианской Пасхи в журнал Nature в 1876 году. Оно неоднократно переиздавалось, например,в 1877 году Сэмюэлем Батчером в «Церковном календаре » в 1916 году Артуром Даунингом в «Обсерватории» , в 1922 году Х. Спенсером Джонсом по общей астрономии , в 1977 году журналом Британской астрономической ассоциации , в 1977 году в «Альманахе старого фермера» ,в 1988 году Питер Даффет-Смит в книге «Практическая астрономия с помощью вашего калькулятора» ,и в 1991 году Джин Меус в книге «Астрономические алгоритмы» . Из-за цитаты из книги Миуса этот алгоритм также называют алгоритмом «Миуса/Джонса/Мясника»:

Переменная	Выражение	Г = 1961 г.	2024	2025
а =	И мод 19	4	10	11
б =	⌊ ⁠ Y / 100 ⁠ ⌋	19	20	20
с =	и мод 100	61	24	25
д =	⌊ ⁠ b / 4 ⁠ ⌋	4	5	5
и =	б против 4	3	0	0
е =	⌊ ⁠ b + 8 / 25 ⁠ ⌋	1	1	1
г =	⌊ ⁠ б - ж + 1/3 ⁠ ​ ⌋	6	6	6
ч =	(19 а + б - г - г + 15) по модулю 30	10	4	23
я =	⌊ ⁠ c / 4 ⁠ ⌋	15	6	6
к =	с против 4	1	0	1
л =	(32 + 2 е + 2 я - час - k ) mod 7	1	5	6
м =	⌊ ⁠ а + 11 ч + 22 л / 451 ⁠ ⌋	0	0	0
	h + l − 7m + 114	125	123	143
п =	⌊ ⁠ ч + л − м + 114/31 ⁠ ⌋ 7	4	3	4
о =	( h + l − 7 m + 114) mod 31	1	30	19
Григорианская Пасха		2 апреля 1961 г.	31 марта 2024 г.	20 апреля 2025 г.

В этом алгоритме переменная n указывает месяц года (либо март для n = 3, либо апрель для n = 4), а день месяца получается как ( o + 1). В 1961 году журнал New Scientist опубликовал версию алгоритма Nature , включающую несколько изменений. Переменная g была рассчитана с использованием поправки Гаусса 1816 года, в результате чего переменная f была исключена . Некоторая оптимизация приводит к замене переменной o (к которой необходимо добавить единицу, чтобы получить дату Пасхи) на переменную p , которая напрямую дает дату.

Переменная	Выражение	Г = 1961 г.	2024	2025
ж	—	—	—
г =	⌊ ⁠ 8 b + 13 / 25 ⁠ ⌋	6	6	6
м =	⌊ ⁠ а + 11 ч + 19 л / 433 ⁠ ⌋	0	0	0
п =	⌊ ⁠ ч + л 7 м + 90/25 ⁠ − ⌋	4	3	4
тот	—	—	—	—
р =	( ч + л − 7 м + 33 п + 19) mod 32	2	31	20
Григорианская Пасха		2 апреля 1961 г.	31 марта 2024 г.	20 апреля 2025 г.

Джулианский алгоритм Миуса

Жан Меус в своей книге «Астрономические алгоритмы» (1991, стр. 69) представляет следующий алгоритм расчета юлианской Пасхи по юлианскому календарю, который не является григорианским календарем, используемым в качестве гражданского календаря на большей части современного мира. Чтобы получить дату восточно-православной Пасхи по последнему календарю, к юлианским датам необходимо добавить 13 дней (с 1900 по 2099 год), в результате чего в последней строке появятся даты, указанные ниже. (До 2099 года нашей эры 21 марта по юлианскому календарю соответствует 3 апреля по григорианскому календарю.)

Дата православной (восточной) Пасхи

Переменная	Выражение	Г = 2008 г.	2009	2010	2011	2016	2024	2025
а =	и мод 4	0	1	2	3	0	0	1
б =	и мод 7	6	0	1	2	0	1	2
с =	И мод 19	13	14	15	16	2	10	11
д =	(19 с + 15) против 30	22	11	0	19	23	25	14
и =	(2 а + 4 б − d + 34) по модулю 7	1	4	0	1	4	6	2
	д + е + 114	137	129	114	134	141	145	130
месяц =	⌊ ⁠ д + е + 114/31 ​ ⁠ ⌋	4	4	3	4	4	4	4
день =	(( d + e + 114) mod 31) + 1	14	6	22	11	18	22	7
Пасха (юлианский календарь)		14 апреля 2008 г.	6 апреля 2009 г.	22 марта 2010 г.	11 апреля 2011 г.	18 апреля 2016 г.	22 апреля 2024 г.	7 апреля 2025 г.
Эквивалент григорианского календаря		27 апреля 2008 г.	19 апреля 2009 г.	4 апреля 2010 г.	24 апреля 2011 г.	1 мая 2016 г.	5 мая 2024 г.	20 апреля 2025 г.

См. также

• Кристиан Целлер – немецкий математик
• Тьма Распятия - христианский евангельский эпизод затемненного неба.
• Реформа даты Пасхи – Предложения по изменению даты праздника

Ссылки

Источники

• Анатолий Лаодикийский , « Пасхальные каноны, цитируемые Евсевием» , Церковная история Евсевия , заархивировано из оригинала 14 апреля 2021 года , получено 13 апреля 2021 года .
• Айто, Джон, изд. (2009). Оксфордский словарь английских идиом (3-е изд.). ОУП Оксфорд. п. 123. ИСБН  978-0-19-954378-6 .
• Беде (1907) [731]. Беда «Церковная история Англии» . Перевод Селлара, AM; Джайлз, Дж. А. Лондон: Джордж Белл и сыновья. Архивировано из оригинала 12 мая 2019 года . Проверено 23 марта 2019 г. - через Project Gutenberg .
• Беде (1943). Чарльз Уильямс Джонс (ред.). Беда Опера де Темпорибус . Средневековая академия Америки. Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 9 июня 2021 г.
• Беде (1999). Расчёт времени . Перевод Фейт Уоллис. Издательство Ливерпульского университета. ISBN  978-0-85323-693-1 . Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 11 марта 2016 г.
• Бьен, Рейнхольд (июль 2004 г.). «Гаус и не только: создание пасхальных алгоритмов». Архив истории точных наук . 58 (5): 439–452. Бибкод : 2004AHES...58..439B . дои : 10.1007/s00407-004-0078-5 . S2CID   121657716 .
• Блэкберн, Бонни Дж.; Холфорд-Стривенс, Леофранк (1999). Оксфордский компаньон года . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-214231-3 .
• Мясник, Сэмюэл (1877). Церковный календарь: его теория и построение . Дублин: Ходжес, Фостер и Фиггис. Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 11 марта 2016 г.
• Биртферт из Рэмси (1995). Лапидж, Майкл; Питер Стюарт Бейкер (ред.). Энхиридион Биртферта . Общество ранних английских текстов. ISBN  978-0-19-722416-8 . Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 9 июня 2021 г.
• Клавиус, Кристофер (1603). Цыганский календарь Григория XIII. PM restituti explicatio . Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 16 ноября 2021 г. В пятом томе Opera Mathematica, Майнц, 1612 г. Opera Mathematica Кристофа Клавия включает изображения страниц Шести канонов и Explicatio (Перейти на страницу: Римский календарь Григория XIII).
• Константин Великий, император (325 г.): Письмо епископам, не присутствовавшим на первом Никейском соборе; » Евсевия из « Жития Константина . Английские переводы: Документы Первого Никейского собора , «О соблюдении Пасхи» (близкий конец). Архивировано 27 января 2013 г. в Wayback Machine и Евсевий, Жизнь Константина , Книга III, главы XVIII–XIX. Архивировано 16 сентября 2009 г. в Вейбэк-машина
• де Корт, JJMA (сентябрь 1949 г.). «Астрономическая оценка григорианского календаря». Ричерш Астрономиче . 2 (6): 109–116. Бибкод : 1949РА......2..109Д .
• Деклерк, Джордж (2000). Anno Domini: Истоки христианской эры . Исд. ISBN  978-2-503-51050-7 . Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 14 декабря 2020 г.
• Дершовиц, Нахум ; Рейнгольд, Эдвард М. (2008). Календарные расчеты . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88540-9 . Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 14 декабря 2020 г.
• Дионисий Exiguus (525): Liber de Paschate . В сети: (полный текст на латыни). Архивировано 3 июня 2008 г. в Wayback Machine и (таблица с Argumenta на латыни, с английским переводом).
• Какой-то старый дом (июль 2009 г.). Песни Средневековья, самые неопубликованные БиблиоБазар. ISBN  978-1-110-75828-9 .
• Даунинг, AMW (май 1916 г.). «Дата Пасхи». Обсерватория . 39 : 215–219. Бибкод : 1916Obs....39..215D .
• Евсевий Кесарийский, История Церкви , перевод Г. А. Уильямсона. Пересмотрено и отредактировано с новым предисловием Эндрю Лаута. Книги Пингвина, Лондон, 1989.
• Григорий XIII (Папа) и комитет по реформе календаря (1581 г.): Папская булла Inter Gravissimas и Шесть канонов. В сети в разделе: «Les textes Fondateurs du Calendrier GRégorien». Архивировано 29 апреля 2012 года в Wayback Machine Клавиуса , вместе с некоторыми частями Explicatio .
• ван Гент, Роберт (2019), Аномальные даты пасхального воскресенья в 18 и начале 19 века , Утрехтский университет, заархивировано из оригинала 1 августа 2020 года , получено 23 июля 2019 года .
• Гинцель, Фридрих Карл (1914). Справочник по математической и технической хронологии, том III . Лейпциг, Германия: Хинрикс.
• Гротефенд, Герман (1891). Расчет немецкого средневековья и нового времени . Кран. Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 27 ноября 2020 г.
• Грумель, В. (1958). Хронология (на французском языке). Париж: Press Universitaires de France. ОСЛК   4260118 .
• Ланге, Людвиг (1928). «Парадоксальные» даты Пасхи по григорианскому календарю и их значение для реформы современного календаря Людвига Ланге. Представлено Эдуардом Шварцем 7 июля 1928 года . Баварский. акад. науки. Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 27 ноября 2020 г.
• Лихтенберг, Хайнер (2003). «Настраиваемая циклическая солнечно-лунная система отсчета времени по григорианскому календарю». Отчеты по математическому семестру . 50 :45-76. дои : 10.1007/s00591-003-0063-0 . S2CID   120639320 .
• Маккарти, Дэниел (август 1993 г.). «Пасхальные принципы и лунный цикл пятого века, использовавшиеся на Британских островах». Журнал истории астрономии . 24 (3): 204–224. Бибкод : 1993JHA....24..204M . дои : 10.1177/002182869302400304 . S2CID   115765809 .
• Маккарти, Дэниел (1996). «Лунные и пасхальные таблицы Deratione paschali, приписываемые Анатолию Лаодикийскому». Архив истории точных наук . 49 (4): 285–320. Бибкод : 1996AHES...49..285M . дои : 10.1007/bf00374701 . S2CID   120081352 .
• Меус, Жан (1991). Астрономические алгоритмы . Ричмонд, Вирджиния: Уиллманн-Белл.
• Мосшаммер, Олден А. (2008). Пасхальный расчет и истоки христианской эры . Оксфорд: Университетское издательство. ISBN  978-0-19-954312-0 . Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 9 июня 2021 г.
• Нотафт, К. Филипп Э. (2018). Скандальная ошибка: календарная реформа и календарная астрономия в средневековой Европе . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-879955-9 . Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 27 ноября 2020 г.
• О'Бейрн, TH (30 марта 1961 г.). «Как десять делений ведут к Пасхе» . Новый учёный . 9 (228): 828. Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 7 июня 2021 г.
• Петерсон, Майкл Д. (2015). «Пост: восточно-христианский». В Джонстоне, Уильям М.; Кляйнхенц, Кристофер (ред.). Энциклопедия монашества . Рутледж. п. 468. ИСБН  978-1-57958-090-2 . Архивировано из оригинала 9 апреля 2023 года . Проверено 21 марта 2023 г.
• Ричардс, Э.Г. (2013). «Календари». В SE Urban; П.К. Зайдельманн (ред.). Объяснительное приложение к Астрономическому альманаху (3-е изд.). Милл-Вэлли, Калифорния: Univ Science Books.
• Свердлов, Ноэль М. (1986). «Продолжительность года в первоначальном предложении по григорианскому календарю». Журнал истории астрономии . 17 (49): 109–118. Бибкод : 1986JHA....17..109S . дои : 10.1177/002182868601700204 . S2CID   118491152 .
• Шилдс, Мириам Нэнси (1924). «Новый календарь восточных церквей». Популярная астрономия . 32 : 407–411. Бибкод : 1924PA.....32..407S .
• Спенсер Джонс, Х. (1922). Общая астрономия . Лондон: Лонгсман, Грин.
• Терес, Густав (1984). «Вычисления времени и Дионисий Exiguus». Журнал истории астрономии . 15 (3): 177–188. Бибкод : 1984JHA....15..177T . дои : 10.1177/002182868401500302 . S2CID   117094612 .
• Тернер, CH (1895). «Пасхальный канон Анатолия Лаодикийского». Английский исторический обзор . 10 : 699–710. дои : 10.1093/ehr/x.xl.699 .
• Уитли, Чарльз (1871) [1710]. Рациональная иллюстрация Книги общих молитв англиканской церкви . Лондон: Белл и Далди.
• Зейер, Клаус Петер (2020). «Частота пасхальных парадоксов: отрицательные равноденственные парадоксы 2353 и 2372 годов как самый редкий вариант». Региомонтанусбот . 33 :5-10.

Дальнейшее чтение

• Борст, Арно (1993). Порядок времени: от древних компьютеров к современным компьютерам Пер. Эндрю Виннард. Кембридж: Политическая пресса; Чикаго: Университет. из Чикаго Пресс.
• Койн Г.В., М.А. Хоскин М.А. и Педерсен О. (ред.) Григорианская реформа календаря: материалы Ватиканской конференции, посвященной ее 400-летию, 1582–1982 гг. Архивировано 18 августа 2007 г. в Wayback Machine (Ватикан). : Папская академия наук, Specolo Vaticano, 1983).
• Гибсон, Маргарет Данлоп, Didascalia Apostolorum на сирийском языке , издательство Кембриджского университета, Лондон, 1903.
• Шварц, Э., Христианские и еврейские пасхальные столы , (Трактаты Королевского общества наук в Геттингене. Пилолого-исторический класс. Новая серия, Том viii.) Weidmannsche Buchhandlung , Берлин, 1905.
• Филип Шафф (редактор) Теодорет, Иероним, Геннадий и Руфиний: исторические сочинения. Архивировано 15 мая 2019 года в Wayback Machine.
• Стерн, Саша, Календарь и община: история еврейского календаря, второй век до нашей эры - десятый век нашей эры , Oxford University Press, Оксфорд, 2001.
• Уокер, Джордж В., Пасхальные интервалы. Архивировано 17 мая 2022 года в Wayback Machine , Popular Astronomy, апрель 1945 г., Vol. 53, стр. 162–179.
• Уокер, Джордж В., Пасхальные интервалы. Архивировано 17 мая 2022 г. в Wayback Machine (продолжение), Popular Astronomy, май 1945 г., Vol. 53, стр. 218–232.
• Вайсштейн, Эрик. (ок. 2006 г.) « Пасхальное полнолуние » в мире астрономии .

Внешние ссылки

• Формулы и функции таблиц Excel для расчета Пасхи
• Полное собрание сочинений достопочтенного Беды Том. 6 (Содержит De Temporum и De Temporum Ratione .)
• Запись об эпактах в Католической энциклопедии 1911 года.
• Оригинальные тексты реформы григорианского календаря (на латыни) с переводами на французский язык Родольфа Одетта.
• Пасхальный калькулятор с обширной библиографией и полезными ссылками.
• Сайт эфемерид Бюро долгот с пасхальным калькулятором (действителен с 325 до 25:00).
• Страница календаря и калькулятор Хольгера Эртеля
• Страница от Клайва Физера с кратким объяснением, еще несколькими таблицами и еще одним алгоритмом.
• (на немецком языке) Обширный сайт-календарь, а также календарь и пасхальный калькулятор Николауса А. Бэра. Архивировано 6 сентября 2003 г. в Wayback Machine.
• Объяснение григорианского солнечного и лунного календаря с улучшенными процедурами по сравнению с табличным методом Дэвида Мадора.
• Пасхальный стол Дионисия Младшего.
• Мнемонические вычислительные диаграммы рук из рукописи в Британской библиотеке
• Св. Галлен, Stiftsbibliothek, Codex Sangallensis 378 (11 век), с. 28. Содержит стихотворение «Девятое апреля» .
• Упрощенный метод определения даты Пасхи для всех лет с 326 по 4099 год, предложенный Рональдом В. Малленом.
• Текст Закона о календаре (новом стиле) 1750 года, акта британского парламента о введении григорианского календаря с внесенными на сегодняшний день поправками. Содержит таблицы для расчета Пасхи до 8599 года. В отличие от принятого Закона.
• Computuslat База данных средневековых рукописей, содержащая латинские вычислительные алгоритмы, тексты, таблицы, диаграммы и календари.