Керл (математика)

«Ротор (оператор)» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о концепции геометрической алгебры, см. Ротор (математика) . Чтобы узнать о других значениях, см. Оператор вращения (значения) .

Изображение двумерного векторного поля с равномерным ротором.

В исчислении ротор векторном , также известный как ротор , представляет собой векторный оператор , описывающий бесконечно малую циркуляцию векторного поля в трехмерном евклидовом пространстве . Вихрь в точке поля представлен вектором , длина и направление которого обозначают величину и ось максимальной циркуляции. Ротор поля формально определяется как плотность циркуляции в каждой точке поля.

Векторное поле, ротор которого равен нулю, называется безвихревым . Ротор — это форма дифференцирования векторных полей. Соответствующей формой фундаментальной теоремы исчисления является теорема Стокса , которая связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля с линейным интегралом векторного поля вокруг граничной кривой.

Обозначение локон F более распространено в Северной Америке. В остальном мире, особенно в научной литературе 20-го века, традиционно используется альтернативное обозначение rot F , которое происходит от «скорости вращения», которую оно представляет. Чтобы избежать путаницы, современные авторы склонны использовать обозначение векторного произведения с оператором del (набла), как в $\nabla \times \mathbf {F}$, что также раскрывает связь между ротора (ротора), дивергенции и градиента операторами .

В отличие от градиента и дивергенции , ротор, сформулированный в векторном исчислении, не распространяется просто на другие измерения; возможны некоторые обобщения , но только в трех измерениях геометрически определенный ротор векторного поля снова является векторным полем. Этот недостаток является прямым следствием ограничений векторного исчисления; с другой стороны, когда выражается как антисимметричное тензорное поле через оператор клина геометрического исчисления , ротор обобщается на все измерения. Обстоятельство аналогично тому, что имеет место при 3-мерном векторном произведении , и действительно связь отражена в обозначениях $\nabla \times$ для завитка.

Название «завиток» впервые предложил Джеймс Клерк Максвелл в 1871 году. при построении теории оптического поля но эта концепция, по-видимому, впервые была использована Джеймсом МакКаллагом в 1839 году.

Определение

Компоненты F в положении r , нормальные и касательные к замкнутой кривой C на плоскости, охватывающей область плоского вектора . $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$.

Правило правой руки

Соглашение о векторной ориентации линейного интеграла

Большой палец указывает в направлении $\mathbf {\hat {n}}$ и пальцы сгибаются в направлении C

Ротор векторного поля F , обозначаемый ротором F , или $\nabla \times \mathbf {F}$или rot F — оператор, отображающий C ^к функции в R ³ до С ^{к -1} функции в R ³ , и, в частности, отображает непрерывно дифференцируемые функции R ³ → Р ³ к непрерывным функциям R ³ → Р ³ . Его можно определить несколькими способами, которые будут упомянуты ниже:

Один из способов определить ротор векторного поля в точке — неявно через его компоненты вдоль различных осей, проходящих через точку: если $\mathbf {\hat {u}}$ - любой единичный вектор, компонент ротора F в направлении $\mathbf {\hat {u}}$ можно определить как предельное значение интеграла по замкнутой линии в плоскости, перпендикулярной $\mathbf {\hat {u}}$ делится на охватываемую площадь, поскольку путь интегрирования бесконечно сжимается вокруг точки.

Более конкретно, ротор определяется в точке p как $$(\nabla \times \mathbf {F} )(p)\cdot \mathbf {\hat {u}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{A\to 0}{\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$$где линейный интеграл вычисляется вдоль границы C области рассматриваемой A , | А | является величиной площади. Это уравнение определяет компоненту ротора F вдоль направления $\mathbf {\hat {u}}$. Бесконечно малые поверхности, ограниченные C, имеют $\mathbf {\hat {u}}$ как обычно . C ориентирован по правилу правой руки .

Приведенная выше формула означает, что составляющая ротора векторного поля вдоль определенной оси представляет собой бесконечно малую плотность площади циркуляции поля в плоскости, перпендикулярной этой оси. не Эта формула априори определяет законного векторного поля, поскольку отдельные плотности циркуляции по отношению к различным осям априори не обязательно должны относиться друг к другу так же, как компоненты вектора; то, что они действительно относятся друг к другу именно таким образом, должно быть доказано отдельно.

К этому определению естественным образом подходит теорема Кельвина–Стокса как глобальная формула, соответствующая определению. Он приравнивает поверхностный интеграл ротора векторного поля к указанному выше линейному интегралу, взятому вокруг границы поверхности.

Другой способ определить вектор ротора функции F в точке - это явное значение векторного поверхностного интеграла вокруг оболочки, охватывающей p, деленное на объем, заключенный в ней, поскольку оболочка бесконечно сжимается вокруг p .

Более конкретно, ротор может быть определен векторной формулой $$(\nabla \times \mathbf {F} )(p){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {F} \ \mathrm {d} S$$где поверхностный интеграл вычисляется вдоль границы S объема V , | В | являющийся величиной объема, и $\mathbf {\hat {n}}$ направленный наружу от поверхности S перпендикулярно в каждой точке S .

В этой формуле векторное произведение в подынтегральном выражении измеряет тангенциальную составляющую F поверхности S и указывает вдоль поверхности под прямым углом к ​​тангенциальной проекции F в каждой точке . Интегрирование этого векторного произведения по всей поверхности дает вектор, величина которого измеряет общую циркуляцию F вокруг S и направление которой перпендикулярно этой циркуляции. Приведенная выше формула говорит, что ротор векторного поля в точке — это бесконечно малая объемная плотность этого «вектора циркуляции» вокруг точки.

К этому определению естественным образом подходит другая глобальная формула (аналогичная теореме Кельвина-Стокса), которая приравнивает объемный интеграл ротора векторного поля к вышеуказанному поверхностному интегралу, взятому по границе объема.

В то время как два приведенных выше определения ротора не содержат координат, существует еще одно «легкое для запоминания» определение ротора в криволинейных ортогональных координатах , например, в декартовых , сферических , цилиндрических или даже эллиптических или параболических координатах : $${\begin{aligned}&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{1}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{3}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{2}={\frac {1}{h_{3}h_{1}}}\left({\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{1}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{3}={\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Уравнение для каждого компонента (curl F ) _k можно получить путем замены каждого вхождения индекса 1, 2, 3 в циклической перестановке: 1 → 2, 2 → 3 и 3 → 1 (где индексы представляют соответствующие индексы). .

Если ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) являются декартовыми координатами и ( u ₁ , u ₂ , u ₃ ) являются ортогональными координатами, то $$h_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}$$ длина координатного вектора, соответствующего u _i . Остальные два компонента ротора являются результатом циклической перестановки индексов . : 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1

Использование

На практике два описанных выше бескоординатных определения используются редко, поскольку практически во всех случаях оператор ротора может быть применен с использованием некоторого набора криволинейных координат , для которых были получены более простые представления.

Обозначение ∇ × F берет свое начало от сходства с трехмерным векторным произведением и полезно в качестве мнемоники в декартовых координатах, если ∇ берется как векторный дифференциальный оператор del . Такие обозначения с участием операторов распространены в физике и алгебре .

Разложенный в трехмерных декартовых координатах (см. Del в цилиндрических и сферических координатах для сферических и цилиндрических координатных представлений), ∇ × F представляет собой F , состоящий из [ F _x , F _y , F _z ] (где индексы указывают компоненты вектор, а не частные производные): $$\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}&{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}&{\boldsymbol {\hat {k}}}\\[5mu]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5mu]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$$где i , j и k — единичные векторы для осей x , y и z соответственно. Это расширяется следующим образом: $$\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}$$

Хотя результат и выражен в координатах, он инвариантен при правильном вращении координатных осей, но результат инвертируется при отражении.

В общей системе координат ротор определяется выражением $$(\nabla \times \mathbf {F} )^{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\varepsilon ^{k\ell m}\nabla _{\ell }F_{m}$$где ε обозначает тензор Леви-Чивита , ∇ ковариантную производную , $g$ является определителем метрического тензора , а соглашение Эйнштейна о суммировании подразумевает, что повторяющиеся индексы суммируются. Благодаря симметрии символов Кристоффеля, участвующих в ковариантной производной, это выражение сводится к частной производной: $$(\nabla \times \mathbf {F} )={\frac {1}{\sqrt {g}}}\mathbf {R} _{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}$$где R _k — локальные базисные векторы. Эквивалентно, используя внешнюю производную , ротор можно выразить как: $$\nabla \times \mathbf {F} =\left(\star {\big (}{\mathrm {d} }\mathbf {F} ^{\flat }{\big )}\right)^{\sharp }$$

Здесь ♭ и ♯ — музыкальные изоморфизмы , а ★ — оператор звезды Ходжа . Эта формула показывает, как вычислить ротор F в любой системе координат и как распространить ротор на любое ориентированное трехмерное риманово многообразие. Поскольку это зависит от выбора ориентации, завиток является киральной операцией. Другими словами, если ориентация меняется на противоположную, то и направление завитка также меняется на противоположное.

Примеры

Пример 1

Предположим, что векторное поле описывает поле скоростей потока жидкости (например, большого резервуара с жидкостью или газом ), а внутри жидкости или газа находится небольшой шарик (центр шара зафиксирован в определенной точке). Если у шара шероховатая поверхность, протекающая мимо него жидкость заставит его вращаться. Ось вращения (ориентированная по правилу правой руки) указывает в сторону завитка поля в центре шара, а угловая скорость вращения равна половине величины завитка в этой точке. Ротор векторного поля в любой точке задается вращением бесконечно малой области в плоскости xy (для z компонента ротора по оси ), плоскости zx (для y компонента ротора по оси ) и yz - плоскость (для компоненты оси x вектора ротора). Это можно увидеть на примерах ниже.

Пример 2

Векторное поле F ( x , y )=[ y ,− x ] (слева) и его ротор (справа).

Векторное поле $$\mathbf {F} (x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {\imath }}}-x{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}$$можно разложить как $$F_{x}=y,F_{y}=-x,F_{z}=0.$$

При визуальном осмотре поле можно охарактеризовать как «вращающееся». Если бы векторы поля представляли линейную силу, действующую на объекты, присутствующие в этой точке, и объект должен был быть помещен внутри поля, объект начал бы вращаться вокруг себя по часовой стрелке. Это справедливо независимо от того, где находится объект.

Расчет завитка: $$\nabla \times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2{\boldsymbol {\hat {k}}}$$

Результирующее векторное поле, описывающее завиток, во всех точках будет указывать в отрицательном направлении z . Результаты этого уравнения совпадают с тем, что можно было бы предсказать с помощью правила правой руки и правосторонней системы координат . Будучи однородным векторным полем, описанный выше объект будет иметь одинаковую интенсивность вращения независимо от того, где он находится.

Пример 3

Векторное поле F ( x , y ) = [0, − x ² ] (слева) и его завиток (справа).

Для векторного поля $$\mathbf {F} (x,y,z)=-x^{2}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}$$

изгиб не так очевиден на графике. Однако если взять объект из предыдущего примера и поместить его в любом месте линии x = 3 , сила, действующая с правой стороны, будет немного больше, чем сила, действующая с левой стороны, что заставит его вращаться по часовой стрелке. Используя правило правой руки, можно предсказать, что результирующий завиток будет прямым в отрицательном направлении z . И наоборот, если объект поместить на x = −3 , объект будет вращаться против часовой стрелки, и правило правой руки приведет к положительному направлению z .

Расчет завитка: $${\nabla }\times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-x^{2}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2x{\boldsymbol {\hat {k}}}.$$

Завиток указывает в отрицательном направлении z, когда x положителен, и наоборот. В этом поле интенсивность вращения будет тем больше, чем объект удаляется от плоскости x = 0 .

Дальнейшие примеры

• В векторном поле, описывающем линейные скорости каждой части вращающегося диска, находящегося в равномерном круговом движении , ротор имеет одинаковое значение во всех точках, и это значение оказывается ровно в два раза больше векторной угловой скорости диска (ориентированной как обычно по правилу правой руки ). В более общем смысле, для любой текущей массы векторное поле линейной скорости в каждой точке массового потока имеет ротор (завихренность потока в этой точке), равный ровно в два раза локальной векторной угловой скорости массы вокруг этой точки.
• Для любого твердого объекта, на который действует внешняя физическая сила (например, гравитация или электромагнитная сила), можно рассматривать векторное поле, представляющее бесконечно малые вклады силы на единицу объема, действующие в каждой из точек объекта. Это силовое поле может создать чистый крутящий момент объекта вокруг его центра масс, и этот крутящий момент оказывается прямо пропорциональным и векторно параллельным (векторному) интегралу от ротора силового поля по всему объему.
• Из четырех уравнений Максвелла два — закон Фарадея и закон Ампера — можно компактно выразить с помощью ротора. Закон Фарадея утверждает, что ротор электрического поля равен противоположности скорости изменения магнитного поля во времени, а закон Ампера связывает ротор магнитного поля с током и скоростью изменения электрического поля во времени.

Личности

Основная статья: Тождества векторного исчисления

В общих криволинейных координатах , что ротор векторного произведения векторных полей v и F (не только в декартовых координатах) можно показать равен $$\nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)={\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {v} -{\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {F} \ .$$

Поменяв местами векторное поле v и оператор ∇ , мы приходим к векторному произведению векторного поля на ротор векторного поля: $$\mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{\mathbf {F} }\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,$$где ∇ _F — это индекс Фейнмана, который учитывает только изменение, вызванное векторным полем F (т. е. в этом случае v считается постоянным в пространстве).

Другой пример — ротор ротора векторного поля. Можно показать, что в общих координатах $$\nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,$$ это тождество определяет векторный лапласиан F и , обозначенный как ∇ ² Ф. ​

Ротор градиента любого скалярного . поля φ всегда является нулевым векторным полем $$\nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}$$что следует из антисимметрии в определении ротора и симметрии вторых производных .

Дивергенция : ротора любого векторного поля равна нулю $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$$

Если φ — скалярная функция, а F — векторное поле, то $$\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F}$$

Обобщения

Операции векторного исчисления grad , curl и div легче всего обобщаются в контексте дифференциальных форм, что включает в себя ряд шагов. Короче говоря, они соответствуют производным 0-форм, 1-форм и 2-форм соответственно. Геометрическая интерпретация ротора как вращения соответствует отождествлению бивекторов (2-векторов) в трех измерениях со специальной ортогональной алгеброй Ли. ${\mathfrak {so}}(3)$ бесконечно малых вращений (в координатах — кососимметричные матрицы 3 × 3), а представление вращений векторами соответствует идентификации 1-векторов (эквивалентно 2-векторам) и ${\mathfrak {so}}(3)$, все это трехмерные пространства.

Дифференциальные формы

Основная статья: Дифференциальная форма

В трех измерениях дифференциальная 0-форма представляет собой вещественную функцию f ( x , y , z ) ; дифференциальная 1-форма — это следующее выражение, где коэффициенты являются функциями: $$a_{1}\,dx+a_{2}\,dy+a_{3}\,dz;$$дифференциальная 2-форма - это формальная сумма, опять же с функциональными коэффициентами: $$a_{12}\,dx\wedge dy+a_{13}\,dx\wedge dz+a_{23}\,dy\wedge dz;$$а дифференциальная 3-форма определяется одним членом с одной функцией в качестве коэффициента: $$a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.$$(Здесь a -коэффициенты являются вещественными функциями трех переменных; «клиновые произведения», например dx ∧ dy , можно интерпретировать как своего рода ориентированные элементы площади, dx ∧ dy = − dy ∧ dx и т. д.)

Внешняя производная k в -формы R ³ определяется как ( k + 1) -форма сверху, а в R ^н если, например, $$\omega ^{(k)}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}},$$тогда внешняя производная d приводит к $$d\omega ^{(k)}=\sum _{\scriptstyle {j=1} \atop \scriptstyle {i_{1}<\cdots <i_{k}}}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{j}}}\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}.$$

Таким образом, внешняя производная 1-формы является 2-формой, а 2-формы — 3-формой. С другой стороны, из-за взаимозаменяемости смешанных производных инструментов $${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}},$$и антисимметрия, $$dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$$

двойное применение внешней производной дает $0$ (ноль $k+2$-форма).

Таким образом, обозначая пространство k -форм через Ω ^к ( Р ³ ) и внешней производной по d получается последовательность: $$0\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\,0.$$

Здесь Ом ^к ( Р ^н ) — пространство сечений внешней алгебры Λ ^к ( Р ^н ) векторное расслоение над R ^н , размерность которого представляет собой биномиальный коэффициент ( ^н
_к ) ; отметим, что Ω ^к ( Р ³ ) = 0 для k > 3 или k < 0 . Записав только размеры, получим ряд треугольника Паскаля :

0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;

одномерные слои соответствуют скалярным полям, а трехмерные — векторным полям, как описано ниже. По модулю подходящих отождествлений три нетривиальных вхождения внешней производной соответствуют grad, curl и div.

Дифференциальные формы и дифференциал могут быть определены в любом евклидовом пространстве или даже в любом многообразии без какого-либо понятия римановой метрики. На римановом многообразии или, в более общем смысле, псевдоримановом многообразии , k -формы могут быть отождествлены с k -векторными полями ( k -формы — это k -ковекторные поля, а псевдориманова метрика дает изоморфизм между векторами и ковекторами), и в ориентированном векторном пространстве невырожденной формы (изоморфизм между векторами и ковекторами) существует изоморфизм между k -векторами и ( n − k ) -векторами; в частности, на (касательном пространстве) ориентированного псевдориманова многообразия. Таким образом, на ориентированном псевдоримановом многообразии можно менять местами k -формы, k -векторные поля, ( n - k ) -формы и ( n - k ) -векторные поля; это известно как двойственность Ходжа . Конкретно на Р ³ это дано:

• 1-формы и 1-векторные поля: 1-форма a _x dx + a _y dy + a _z dz соответствует векторному полю ( a _x , a _y , a _z ) .
• заменяют 1-формы и 2-формы: dx двойственной величиной dy ∧ dz (т. е. опускают dx ), а также, учитывая ориентацию: dy соответствует dz ∧ dx = − dx ∧ dz , а dz соответствует dx ∧ ды . Таким образом, форма a _x dx + a _y dy + a _z dz соответствует «двойственной форме» a _z dx ∧ dy + a _y dz ∧ dx + a _x dy ∧ dz .

Таким образом, отождествляя 0-формы и 3-формы со скалярными полями, а 1-формы и 2-формы с векторными полями:

• grad переводит скалярное поле (0-форму) в векторное поле (1-форму);
• Curl переводит векторное поле (1-форму) в псевдовекторное поле (2-форму);
• div преобразует псевдовекторное поле (2-форму) в псевдоскалярное поле (3-форму)

С другой стороны, тот факт, что д ² = 0 соответствует тождествам $$\nabla \times (\nabla f)=\mathbf {0}$$для любого скалярного поля f и $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0$$для любого векторного поля v .

Grad и div обобщаются на все ориентированные псевдоримановы многообразия с той же геометрической интерпретацией, поскольку пространства 0-форм и n -форм в каждой точке всегда одномерны и могут быть отождествлены со скалярными полями, а пространства 1-мерных -формы и ( n − 1) -формы всегда послойно n -мерны и могут быть отождествлены с векторными полями.

Curl не обобщает таким образом до 4 или более измерений (или до 2 или менее измерений); в 4 измерениях размеры

0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

поэтому ротор 1-векторного поля (послойно 4-мерного) представляет собой 2-векторное поле , которое в каждой точке принадлежит 6-мерному векторному пространству, и поэтому имеем $$\omega ^{(2)}=\sum _{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_{i}\wedge dx_{k},$$что дает сумму шести независимых членов и не может быть отождествлено с 1-векторным полем. Также невозможно осмысленно перейти от 1-векторного поля к 2-векторному полю и к 3-векторному полю (4 → 6 → 4), поскольку двукратное взятие дифференциала дает ноль ( d ² = 0 ). Таким образом, таким образом не возникает никакой функции ротора от векторных полей к векторным полям в других измерениях.

Однако можно определить ротор векторного поля как 2-векторное поле в целом, как описано ниже.

Завивайте геометрически

2-векторы соответствуют внешней степени Λ ² В ; при наличии скалярного произведения в координатах это кососимметричные матрицы, геометрически рассматриваемые как специальная ортогональная алгебра Ли ${\mathfrak {so}}$( V ) бесконечно малых вращений. Это имеет ( ^н
₂ ) = ⁠ 1/2 измерений и позволяет − ⁠ n ( n 1) интерпретировать дифференциал 1-векторного поля как его бесконечно малые вращения. Только в 3-х измерениях (или тривиально в 0-х измерениях) мы имеем n = ⁠ 1/2 , что является . ⁠ n ( n − 1) наиболее элегантным и распространенным случаем В двумерном измерении ротор векторного поля - это не векторное поле, а функция, поскольку двумерное вращение задается углом (скаляр - ориентация требуется, чтобы выбрать, считать ли вращение по часовой стрелке или против часовой стрелки положительным); это не div, а скорее перпендикулярно ему. В трехмерном измерении ротор векторного поля является, как известно, векторным полем (в одномерном и нулевом измерениях ротор векторного поля равен 0, поскольку не существует нетривиальных 2-векторов), а в четырехмерном ротор векторное поле геометрически в каждой точке является элементом 6-мерной алгебры Ли. ${\mathfrak {so}}(4)$.

Ротор трехмерного векторного поля, которое зависит только от двух координат (скажем, x и y ), представляет собой просто вертикальное векторное поле (в направлении z ), величина которого равна ротору двумерного векторного поля, как в примерах. на этой странице.

Рассмотрение ротора как 2-векторного поля (антисимметричного 2-тензора) использовалось для обобщения векторного исчисления и связанной с ним физики на более высокие измерения.

Обратный

Основная статья: разложение Гельмгольца

В случае, когда дивергенция векторного поля V равна нулю, векторное поле W существует такое, что V = ротор( W ) . Вот почему магнитное поле , характеризующееся нулевой дивергенцией, можно выразить как ротор магнитного векторного потенциала .

Если W векторное поле с curl( W ) = V , то добавление любого векторного поля градиента grad( f ) к W приведет к другому векторному полю W + grad( f ) такому, что curl( W + grad( f )) = В тоже. Это можно резюмировать, сказав, что обратный ротор трехмерного векторного поля можно получить с точностью до неизвестного безвихревого поля с помощью закона Био – Савара .

См. также

• Разложение Гельмгольца
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• завихренность

Дальнейшее чтение

• Корн, Гранино Артур и Тереза ​​М. Корн (январь 2000 г.). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 157–160. ISBN  0-486-41147-8 .
• Шей, Х.М. (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-96997-5 .

Внешние ссылки

• «Завиток» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Многомерное исчисление» . mathinsight.org . Проверено 12 февраля 2022 г.
• «Дивергенция и завиток: язык уравнений Максвелла, течения жидкости и многого другого» . 21 июня 2018 г. Архивировано из оригинала 24 ноября 2021 г. – на YouTube .