Квантовая механика

Более доступное и менее техническое введение в эту тему см. Введение в квантовую механику .

Волновые функции в электрона атоме водорода на разных энергетических уровнях. Квантовая механика не может предсказать точное местоположение частицы в пространстве, а только вероятность ее обнаружения в разных местах. Более яркие области представляют более высокую вероятность обнаружения электрона.

Квантовая механика — фундаментальная теория , описывающая поведение природы на уровне атомов и ниже . Это основа всей квантовой физики , которая включает в себя квантовую химию , квантовую теорию поля , квантовую технологию и квантовую информатику .

Квантовая механика может описать многие системы, которые не может описать классическая физика . Классическая физика может описать многие аспекты природы в обычном ( макроскопическом и (оптически) микроскопическом ) масштабе, но ее недостаточно для описания их в очень малых субмикроскопических (атомных и субатомных ) масштабах. Большинство теорий классической физики могут быть выведены из квантовой механики как приближения, действующего в большом (макроскопическом/микроскопическом) масштабе.

Квантовые системы имеют связанные состояния, которые квантуются до дискретных значений энергии , , импульса и других величин, в отличие от классических систем , углового момента где эти величины можно измерять непрерывно. Измерения квантовых систем показывают характеристики как частиц , так и волн ( частично-волновой дуализм ), и существуют пределы того, насколько точно значение физической величины можно предсказать до ее измерения при полном наборе начальных условий ( принцип неопределенности). ).

Квантовая механика возникла постепенно из теорий, объясняющих наблюдения, которые не могли быть согласованы с классической физикой, таких как Максом Планком решение в 1900 году проблемы излучения черного тела и соответствие между энергией и частотой в Альберта Эйнштейна 1905 года статье . что объяснило фотоэффект . Эти ранние попытки понять микроскопические явления, ныне известные как « старая квантовая теория », привели к полному развитию квантовой механики в середине 1920-х годов Нильсом Бором , Эрвином Шредингером , Вернером Гейзенбергом , Максом Борном , Полем Дираком и другими. Современная теория формулируется в различных специально разработанных математических формализмах . В одном из них математическая сущность, называемая волновой функцией, предоставляет информацию в виде амплитуд вероятности о том, какие результаты могут дать измерения энергии, импульса и других физических свойств частицы.

Обзор и основные понятия

Квантовая механика позволяет рассчитывать свойства и поведение физических систем. Обычно его применяют к микроскопическим системам: молекулам, атомам и субатомным частицам. Было продемонстрировано, что это справедливо для сложных молекул с тысячами атомов. но его применение к людям поднимает философские проблемы, такие как друг Вигнера , а его применение ко Вселенной в целом остается спекулятивным. Предсказания квантовой механики подтверждены экспериментально с чрезвычайно высокой степенью точности . показано , что уточнение квантовой механики взаимодействия света и материи, известное как квантовая электродинамика Например, было (КЭД), согласуется с экспериментом с точностью до 1 части из 10. ¹² при предсказании магнитных свойств электрона.

Фундаментальной особенностью теории является то, что она обычно не может с уверенностью предсказать, что произойдет, а лишь дает вероятности. Математически вероятность находится путем возведения в квадрат абсолютного значения комплексного числа , известного как амплитуда вероятности. Это известно как правило Борна , названное в честь физика Макса Борна . Например, квантовая частица, такая как электрон, может быть описана волновой функцией, которая связывает с каждой точкой пространства амплитуду вероятности. Применение правила Борна к этим амплитудам дает функцию плотности вероятности положения, которое будет обнаружено у электрона, когда будет проведен эксперимент по его измерению. Это лучшее, что может сделать теория; он не может сказать наверняка, где будет найден электрон. Уравнение Шрёдингера связывает набор амплитуд вероятности, относящихся к одному моменту времени, с набором амплитуд вероятностей, относящихся к другому моменту.

Одним из следствий математических правил квантовой механики является компромисс в предсказуемости между различными измеримыми величинами. Самая известная форма этого принципа неопределенности гласит, что независимо от того, как готовится квантовая частица или насколько тщательно проводятся эксперименты с ней, невозможно получить точный прогноз для измерения ее положения и в то же время для измерения. его импульса .

Другим следствием математических правил квантовой механики является явление квантовой интерференции , которое часто иллюстрируется экспериментом с двумя щелями . В базовой версии этого эксперимента источник когерентного света , например лазерный луч, освещает пластину, пронизанную двумя параллельными щелями, и свет, проходящий через щели, наблюдается на экране позади пластины. Волновая природа света приводит к тому, что световые волны, проходящие через две щели, интерферируют , создавая яркие и темные полосы на экране – результат, которого нельзя было бы ожидать, если бы свет состоял из классических частиц. Однако всегда обнаруживается, что свет поглощается экраном в отдельных точках в виде отдельных частиц, а не волн; интерференционная картина проявляется за счет различной плотности попадания этих частиц на экран. Более того, версии эксперимента, включающие детекторы в щелях, показывают, что каждый обнаруженный фотон проходит через одну щель (как в случае с классической частицей), а не через обе щели (как в случае с волной). Однако такие эксперименты показывают, что частицы не образуют интерференционную картину, если определить, через какую щель они проходят. Такое поведение известно как корпускулярно-волновой дуализм . помимо света электроны , атомы и молекулы демонстрируют одинаковое двойное поведение при попадании в двойную щель. Обнаружено, что

Еще одно неклассическое явление, предсказанное квантовой механикой, — это квантовое туннелирование : частица, столкнувшаяся с потенциальным барьером, может его пересечь, даже если ее кинетическая энергия меньше максимума потенциала. В классической механике эта частица была бы поймана в ловушку. Квантовое туннелирование имеет несколько важных последствий, обеспечивая возможность радиоактивного распада , ядерного синтеза в звездах и таких приложений, как сканирующая туннельная микроскопия , туннельный диод и туннельный полевой транзистор .

Когда квантовые системы взаимодействуют, результатом может стать квантовая запутанность : их свойства становятся настолько переплетенными, что описание целого исключительно с точки зрения отдельных частей становится невозможным. Эрвин Шредингер назвал запутанность «... характерной чертой квантовой механики, которая приводит к полному ее отходу от классических направлений мысли». Квантовая запутанность обеспечивает квантовые вычисления и является частью протоколов квантовой связи, таких как квантовое распределение ключей и сверхплотное кодирование . Вопреки распространенному заблуждению, запутанность не позволяет посылать сигналы со скоростью, превышающей скорость света , о чем свидетельствует теорема об отсутствии связи .

Другая возможность, открываемая запутанностью, — это проверка на « скрытые переменные », гипотетические свойства, более фундаментальные, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы делать более точные предсказания, чем может дать квантовая теория. Ряд результатов, в первую очередь теорема Белла , продемонстрировал, что широкие классы таких теорий скрытых переменных фактически несовместимы с квантовой физикой. Согласно теореме Белла, если природа действительно действует в соответствии с какой-либо теорией локальных скрытых переменных, то результаты теста Белла будут ограничены определенным, поддающимся количественной оценке образом. Было проведено множество тестов Белла, которые показали результаты, несовместимые с ограничениями, налагаемыми локальными скрытыми переменными.

Невозможно представить эти концепции более чем поверхностно, не вводя в них настоящую математику; понимание квантовой механики требует не только манипулирования комплексными числами, но и линейной алгебры , дифференциальных уравнений , теории групп и других более сложных предметов. Соответственно, в этой статье будет представлена ​​математическая формулировка квантовой механики и рассмотрено ее применение к некоторым полезным и часто изучаемым примерам.

Математическая формулировка

Основная статья: Математическая формулировка квантовой механики

В математически строгой формулировке квантовой механики состояние квантовомеханической системы представляет собой вектор $\psi$ принадлежащий ( сепарабельному ) комплексному гильбертовому пространству ${\mathcal {H}}$. Постулируется, что этот вектор нормирован относительно внутреннего произведения гильбертова пространства, то есть подчиняется $\langle \psi ,\psi \rangle =1$, и она определена с точностью до комплексного числа модуля 1 (глобальная фаза), т.е. $\psi$ и $e^{i\alpha }\psi$ представляют одну и ту же физическую систему. Другими словами, возможные состояния — это точки в проективном пространстве гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы - например, для описания положения и импульса гильбертово пространство представляет собой пространство комплексных интегрируемых с квадратом . функций, $L^{2}(\mathbb {C} )$, а гильбертово пространство для спина отдельного протона — это просто пространство двумерных комплексных векторов $\mathbb {C} ^{2}$ с обычным внутренним продуктом.

Интересующие физические величины – положение, импульс, энергия, спин – представлены наблюдаемыми, которые представляют собой эрмитовые (точнее, самосопряженные ) линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние может быть собственным вектором наблюдаемой, и в этом случае оно называется собственным состоянием , а связанное с ним собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. В более общем смысле, квантовое состояние представляет собой линейную комбинацию собственных состояний, известную как квантовая суперпозиция . Когда измеряется наблюдаемая величина, результатом будет одно из ее собственных значений с вероятностью, определяемой правилом Борна : в простейшем случае собственное значение $\lambda$ невырожден, а вероятность определяется выражением $|\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}$, где ${\vec {\lambda }}$ является связанным с ним собственным вектором. В более общем смысле собственное значение вырождено, а вероятность определяется выражением $\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle$, где $P_{\lambda }$ является проектором на связанное с ним собственное пространство. В непрерывном случае эти формулы вместо этого дают плотность вероятности .

После измерения, если результат $\lambda$ было получено, постулируется, что квантовое состояние коллапсирует до ${\vec {\lambda }}$, в невырожденном случае, или ${\textstyle P_{\lambda }\psi {\big /}\!{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}}$, в общем случае. природа Таким образом , вероятностная квантовой механики проистекает из акта измерения. Это один из самых сложных для понимания аспектов квантовых систем. Это была центральная тема знаменитых дебатов Бора и Эйнштейна , в которых два учёных пытались прояснить эти фундаментальные принципы посредством мысленных экспериментов . В течение десятилетий после формулирования квантовой механики вопрос о том, что представляет собой «измерение», широко изучался. Были сформулированы новые интерпретации квантовой механики , которые покончили с понятием « коллапс волновой функции » (см., например, многомировую интерпретацию ). Основная идея заключается в том, что когда квантовая система взаимодействует с измерительным прибором, их соответствующие волновые функции запутываются, так что исходная квантовая система перестает существовать как независимая сущность (см. Измерение в квантовой механике). ).

Временная эволюция квантового состояния

Временная эволюция квантового состояния описывается уравнением Шрёдингера:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t).$

Здесь $H$ обозначает гамильтониан , наблюдаемую, соответствующую полной энергии системы, и $\hbar$ – приведенная постоянная Планка . Константа $i\hbar$ вводится для того, чтобы гамильтониан сводился к классическому гамильтониану в тех случаях, когда квантовая система может быть аппроксимирована классической системой; способность производить такое приближение в определенных пределах называется принципом соответствия .

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

$\psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).$

Оператор $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ известен как оператор временной эволюции и обладает тем важным свойством, что он унитарен . На этот раз эволюция детерминирована в том смысле, что – учитывая начальное квантовое состояние $\psi (0)$ – он делает определенное предсказание того, что такое квантовое состояние $\psi (t)$ будет в любое более позднее время.

Рис. 1: Плотности вероятности, соответствующие волновым функциям электрона в атоме водорода, обладающих определенными уровнями энергии (возрастающими сверху изображения вниз: n = 1, 2, 3, ...) и угловыми моментами ( увеличивается слева направо: s , p , d , ...). Более плотные области соответствуют более высокой плотности вероятности при измерении местоположения. Такие волновые функции напрямую сопоставимы с вибрации Хладни мод фигурами акустических в классической физике и также являются модами колебаний, обладающими резкой энергией и, следовательно, определенной частотой . Угловой момент и энергия квантованы и принимают только дискретные значения, подобные показанным. (Как и в случае с резонансными частотами в акустике.)

Некоторые волновые функции создают распределения вероятностей, которые не зависят от времени, например собственные состояния гамильтониана . Многие системы, которые в классической механике рассматриваются динамически, описываются такими «статическими» волновыми функциями. Например, одиночный электрон в невозбужденном атоме классически изображается как частица, движущаяся по круговой траектории вокруг атомного ядра , тогда как в квантовой механике он описывается статической волновой функцией, окружающей ядро. Например, волновая функция электрона невозбужденного атома водорода представляет собой сферически-симметричную функцию, известную как s -орбиталь ( рис. 1 ).

Аналитические решения уравнения Шредингера известны для очень небольшого числа относительно простых модельных гамильтонианов , включая квантовый гармонический осциллятор , частицу в ящике , диводородный катион и атом водорода . Даже атом гелия , который содержит всего два электрона, бросил вызов всем попыткам полностью аналитического рассмотрения, не допуская решения в закрытой форме .

Однако существуют методы поиска приближенных решений. Один метод, называемый теорией возмущений , использует аналитический результат для простой квантово-механической модели, чтобы создать результат для родственной, но более сложной модели, например, путем добавления слабой потенциальной энергии . Другой метод аппроксимации применим к системам, для которых квантовая механика производит лишь небольшие отклонения от классического поведения. Эти отклонения затем можно вычислить на основе классического движения.

Принцип неопределенности

Одним из следствий основного квантового формализма является принцип неопределенности. В своей наиболее известной форме это гласит, что никакая подготовка квантовой частицы не может подразумевать одновременно точные предсказания как для измерения ее положения, так и для измерения ее импульса. И положение, и импульс являются наблюдаемыми, то есть они представлены эрмитовыми операторами. Оператор позиции ${\hat {X}}$ и оператор импульса ${\hat {P}}$ не коммутируют, а удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению :

$[{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .$

Учитывая квантовое состояние, правило Борна позволяет нам вычислить значения ожидания для обоих $X$ и $P$, и причём для их степеней. Определениенеопределенность наблюдаемой величины по стандартному отклонению , мы имеем

$\sigma _{X}={\textstyle {\sqrt {\left\langle X^{2}\right\rangle -\left\langle X\right\rangle ^{2}}}},$

и то же самое для импульса:

$\sigma _{P}={\sqrt {\left\langle P^{2}\right\rangle -\left\langle P\right\rangle ^{2}}}.$

Принцип неопределенности гласит, что

$\sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.$

Любое стандартное отклонение в принципе можно сделать сколь угодно малым, но не то и другое одновременно. Это неравенство обобщается на произвольные пары самосопряженных операторов $A$ и $B$. Коммутатором является этих двух операторов

$[A,B]=AB-BA,$

и это дает нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\tfrac {1}{2}}\left|{\bigl \langle }[A,B]{\bigr \rangle }\right|.$

Другое следствие канонического коммутационного соотношения состоит в том, что операторы положения и импульса являются преобразованиями Фурье друг друга, так что описание объекта согласно его импульсу является преобразованием Фурье его описания в соответствии с его положением. Тот факт, что зависимость по импульсу является преобразованием Фурье зависимости от положения, означает, что оператор импульса эквивалентен (с точностью до $i/\hbar$ фактор) к взятию производной по положению, так как в анализе Фурье дифференцирование соответствует умножению в дуальном пространстве . Вот почему в квантовых уравнениях в позиционном пространстве импульс $p_{i}$ заменяется на $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$, и, в частности, в нерелятивистском уравнении Шредингера в позиционном пространстве член, выражающий квадрат импульса, заменяется лапласианским умножением $-\hbar ^{2}$.

Составные системы и запутанность

Когда две разные квантовые системы рассматриваются вместе, гильбертово пространство объединенной системы представляет собой тензорное произведение гильбертовых пространств двух компонентов. Например, пусть A и B — две квантовые системы с гильбертовыми пространствами. ${\mathcal {H}}_{A}$ и ${\mathcal {H}}_{B}$, соответственно. Тогда гильбертово пространство сложной системы будет

${\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.$

Если состояние первой системы является вектором $\psi _{A}$ и состояние второй системы равно $\psi _{B}$, то состояние сложной системы будет

$\psi _{A}\otimes \psi _{B}.$

Не все государства в совместном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}_{AB}$ Однако можно записать в такой форме, поскольку принцип суперпозиции подразумевает, что линейные комбинации этих «разделимых» или «состояний продукта» также действительны. Например, если $\psi _{A}$ и $\phi _{A}$ оба возможных состояния системы $A$, и аналогично $\psi _{B}$ и $\phi _{B}$ оба возможных состояния системы $B$, затем

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)$

является действительным совместным состоянием, которое не является отделимым. Состояния, которые не являются раздельными, называются запутанными .

Если состояние составной системы запутано, невозможно описать компонентную систему A или систему B вектором состояния. Вместо этого можно определить сокращенные матрицы плотности , описывающие статистику, которую можно получить, выполняя измерения только на любой компонентной системе. Однако это неизбежно приводит к потере информации: знания приведенных матриц плотности отдельных систем недостаточно для восстановления состояния сложной системы. Точно так же, как матрицы плотности определяют состояние подсистемы более крупной системы, аналогично положительные операторно-значные меры (POVM) описывают влияние на подсистему измерения, выполненного в более крупной системе. POVM широко используются в квантовой теории информации.

Как описано выше, запутанность является ключевой особенностью моделей процессов измерения, в которых устройство запутывается в измеряемой системе. Системы, взаимодействующие со средой, в которой они находятся, обычно запутываются в этой среде — явление, известное как квантовая декогеренция . Это может объяснить, почему на практике квантовые эффекты трудно наблюдать в системах, превышающих микроскопические.

Эквивалентность формулировок

Существует множество математически эквивалентных формулировок квантовой механики. Одной из старейших и наиболее распространенных является « теория преобразований », предложенная Полем Дираком , которая объединяет и обобщает две ранние формулировки квантовой механики — матричную механику (изобретеную Вернером Гейзенбергом ) и волновую механику (изобретенную Эрвином Шрёдингером ). Альтернативной формулировкой квантовой механики является , Фейнмана формулировка интеграла по траекториям в которой квантовомеханическая амплитуда рассматривается как сумма по всем возможным классическим и неклассическим путям между начальным и конечным состояниями. Это квантовомеханический аналог принципа действия в классической механике.

Симметрии и законы сохранения

Основная статья: теорема Нётер

Гамильтониан $H$ известен как генератор временной эволюции, поскольку он определяет унитарный оператор временной эволюции $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ за каждое значение $t$. Из этого отношения между $U(t)$ и $H$, то любое наблюдаемое $A$ который ездит с $H$ будет сохраняться : его математическое ожидание не изменится с течением времени. Это утверждение математически обобщает любой эрмитов оператор $A$ может генерировать семейство унитарных операторов, параметризованных переменной $t$. В ходе эволюции, вызванной $A$, любое наблюдаемое $B$ который ездит с $A$ будет сохранен. Более того, если $B$ сохраняется в результате эволюции под $A$, затем $A$ сохраняется в ходе эволюции, вызванной $B$. Отсюда следует квантовая версия результата, доказанного Эмми Нётер в классической ( лагранжевой ) механике: для каждой дифференцируемой симметрии гамильтониана существует соответствующий закон сохранения .

Примеры

Свободная частица

Основная статья: Свободная частица

Плотность вероятности в пространстве положения гауссовского волнового пакета, движущегося в одном измерении в свободном пространстве

Простейшим примером квантовой системы с позиционной степенью свободы является свободная частица в одном пространственном измерении. Свободная частица — это такая частица, которая не подвержена внешним воздействиям, так что ее гамильтониан состоит только из ее кинетической энергии:

$H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.$

Общее решение уравнения Шрёдингера имеет вид

$\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,$

которая представляет собой суперпозицию всех возможных плоских волн $e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}$, которые являются собственными состояниями оператора импульса с импульсом $p=\hbar k$. Коэффициенты суперпозиции: ${\hat {\psi }}(k,0)$, которое представляет собой преобразование Фурье исходного квантового состояния $\psi (x,0)$.

Решение не может быть собственным состоянием с одним импульсом или собственным состоянием с одним положением, поскольку они не являются нормируемыми квантовыми состояниями. Вместо этого мы можем рассмотреть гауссов волновой пакет :

$\psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}$

который имеет преобразование Фурье и, следовательно, распределение импульса

${\hat {\psi }}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.$

Мы видим это, когда делаем $a$ Чем меньше разброс по позиции, тем меньше разброс по импульсу. И наоборот, сделав $a$ Чем больше мы делаем разброс по импульсу, тем меньше, но разброс по позиции становится больше. Это иллюстрирует принцип неопределенности.

Позволяя гауссовскому волновому пакету развиваться во времени, мы видим, что его центр движется в пространстве с постоянной скоростью (как классическая частица, на которую не действуют никакие силы). Однако волновой пакет также будет распространяться с течением времени, а это означает, что положение становится все более и более неопределенным. Однако неопределенность в динамике остается постоянной.

Частица в коробке

Одномерный ящик потенциальной энергии (или бесконечная потенциальная яма)

Основная статья: Частица в коробке

Частица в одномерном ящике потенциальной энергии является наиболее математически простым примером, когда ограничения приводят к квантованию уровней энергии. Ящик определяется как имеющий нулевую потенциальную энергию везде внутри определенной области и, следовательно, бесконечную потенциальную энергию везде за пределами этой области. Для одномерного случая в $x$ направлении, независимое от времени уравнение Шредингера может быть записано

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .$

С дифференциальным оператором, определенным формулой

${\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}$

предыдущее уравнение напоминает классический аналог кинетической энергии ,

${\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,$

с государством $\psi$ в этом случае имея энергию $E$ совпадает с кинетической энергией частицы.

Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике:

$\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$

или, по формуле Эйлера ,

$\psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!$

Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения $C,D,$ и $k$ в $x=0$ и $x=L$ где $\psi$ должно быть равно нулю. Таким образом, при $x=0$,

$\psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D$

и $D=0$. В $x=L$,

$\psi (L)=0=C\sin(kL),$

в котором $C$ не может быть нулевым, поскольку это противоречило бы постулату о том, что $\psi$ имеет норму 1. Следовательно, поскольку $\sin(kL)=0$, $kL$ должно быть целым числом, кратным $\pi$,

$k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .$

Это ограничение на $k$ подразумевает ограничение на уровни энергии, что дает

$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.$

Конечная потенциальная яма — это обобщение проблемы бесконечной потенциальной ямы на потенциальные ямы конечной глубины. Задача о конечной потенциальной яме математически более сложна, чем задача о бесконечной частице в ящике, поскольку волновая функция не привязана к нулю на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях вне ямы. Другой связанной с этим проблемой является проблема прямоугольного потенциального барьера , который обеспечивает модель эффекта квантового туннелирования , который играет важную роль в работе современных технологий, таких как флэш-память и сканирующая туннельная микроскопия .

Гармонический осциллятор

Основная статья: Квантовый гармонический осциллятор

Некоторые траектории гармонического осциллятора (т.е. шарика, прикрепленного к пружине ) в классической механике (АВ) и квантовой механике (КГ). В квантовой механике положение шара изображается волной ( называемой волновой функцией), действительная часть которой показана синим цветом, а мнимая часть — красным. Некоторые траектории (например, C, D, E и F) представляют собой стоячие волны (или « стационарные состояния »). Каждая частота стоячей волны пропорциональна возможному уровню энергии осциллятора. Этого «квантования энергии» не происходит в классической физике, где осциллятор может иметь любую энергию.

Как и в классическом случае, потенциал квантового гармонического осциллятора определяется выражением

$V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.$

Эту проблему можно решить либо путем непосредственного решения уравнения Шредингера, что нетривиально, либо с помощью более элегантного «лестничного метода», впервые предложенного Полем Дираком. Собственные состояния задаются формулой

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad$

$n=0,1,2,\ldots .$

где H _n — полиномы Эрмита

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),$

и соответствующие энергетические уровни равны

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).$

Это еще один пример, иллюстрирующий дискретизацию энергии для связанных состояний .

Интерферометр Маха – Цендера

Схема интерферометра Маха – Цендера

Интерферометр Маха – Цендера (MZI) иллюстрирует концепции суперпозиции и интерференции с помощью линейной алгебры в размерности 2, а не дифференциальных уравнений. Его можно рассматривать как упрощенную версию эксперимента с двумя щелями, но он представляет интерес сам по себе, например, для квантового ластика с отложенным выбором , для испытания бомбы Элицура-Вайдмана и для исследований квантовой запутанности.

Мы можем смоделировать фотон, проходящий через интерферометр, учитывая, что в каждой точке он может находиться в суперпозиции только двух путей: «нижнего» пути, который начинается слева, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается вверху, а «верхний» путь, начинающийся снизу, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается справа. Таким образом, квантовое состояние фотона представляет собой вектор $\psi \in \mathbb {C} ^{2}$ это суперпозиция «нижнего» пути $\psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ и «верхний» путь $\psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$, то есть, $\psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}$ для сложных $\alpha ,\beta$. Чтобы соблюдать постулат о том, что $\langle \psi ,\psi \rangle =1$ мы требуем этого $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$.

Оба светоделителя моделируются как унитарная матрица. $B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}$, что означает, что когда фотон встретит светоделитель, он либо останется на том же пути с амплитудой вероятности $1/{\sqrt {2}}$, или отразиться на другой путь с амплитудой вероятности $i/{\sqrt {2}}$. Фазовращатель на плече моделируется как унитарная матрица $P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}$, что означает, что если фотон находится на «верхнем» пути, он приобретет относительную фазу $\Delta \Phi$, и он останется неизменным, если находится на нижнем пути.

Фотон, попавший в интерферометр слева, затем будет обработан светоделителем. $B$, фазовращатель $P$и еще один светоделитель $B$, и так попадаем в состояние

$BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},$

а вероятности того, что он будет обнаружен справа или вверху, равны соответственно

$p(u)=|\langle \psi _{u},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},$

$p(l)=|\langle \psi _{l},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.$

Поэтому можно использовать интерферометр Маха – Цендера для оценки фазового сдвига путем оценки этих вероятностей.

Интересно подумать, что произошло бы, если бы фотон определенно находился либо на «нижнем», либо на «верхнем» пути между светоделителями. Этого можно добиться, заблокировав один из путей или, что то же самое, удалив первый светоделитель (и подавая фотон слева или снизу, по желанию). В обоих случаях помех между путями больше не будет, а вероятности определяются выражением $p(u)=p(l)=1/2$, независимо от фазы $\Delta \Phi$. Из этого мы можем заключить, что фотон не выбирает тот или иной путь после первого светоделителя, а скорее находится в настоящей квантовой суперпозиции двух путей.

Приложения

Основная статья: Приложения квантовой механики

Квантовая механика добилась огромного успеха в объяснении многих особенностей нашей Вселенной, включая мелкомасштабные и дискретные величины и взаимодействия, которые не могут быть объяснены классическими методами . Квантовая механика часто является единственной теорией, которая может раскрыть индивидуальное поведение субатомных частиц, составляющих все формы материи (электроны, протоны , нейтроны , фотоны и другие). Физика твердого тела и материаловедение зависят от квантовой механики.

Во многих аспектах современные технологии работают в масштабах, где квантовые эффекты значительны. Важные приложения квантовой теории включают квантовую химию , квантовую оптику , квантовые вычисления , сверхпроводящие магниты , светодиоды , оптический усилитель и лазер, транзисторы и полупроводники , такие как микропроцессоры , медицинские и исследовательские изображения, такие как магнитно-резонансная томография и электронная томография. микроскопия . Объяснения многих биологических и физических явлений основаны на природе химической связи, в первую очередь на макромолекулярной ДНК .

Связь с другими научными теориями

Классическая механика

Правила квантовой механики утверждают, что пространство состояний системы является гильбертовым пространством и что наблюдаемые системы являются эрмитовыми операторами, действующими на векторы в этом пространстве, хотя они не говорят нам, какое гильбертово пространство или какие операторы. Их можно выбрать соответствующим образом, чтобы получить количественное описание квантовой системы, что является необходимым шагом в физических предсказаниях. Важным руководством для принятия такого выбора является принцип соответствия , эвристика, которая утверждает, что предсказания квантовой механики сводятся к предсказаниям классической механики в режиме больших квантовых чисел . Можно также начать с установленной классической модели конкретной системы, а затем попытаться угадать лежащую в ее основе квантовую модель, которая приведет к появлению классической модели в пределе соответствия. Этот подход известен как квантование .

Когда квантовая механика была первоначально сформулирована, она применялась к моделям, пределом соответствия которых была нерелятивистская классическая механика. Например, хорошо известная модель квантового гармонического осциллятора использует явно нерелятивистское выражение для кинетической энергии осциллятора и, таким образом, является квантовой версией классического гармонического осциллятора .

Сложности возникают с хаотическими системами , которые не имеют хороших квантовых чисел, и квантовый хаос изучает взаимосвязь между классическими и квантовыми описаниями в этих системах.

Квантовая декогеренция — это механизм, посредством которого квантовые системы теряют когерентность и, таким образом, становятся неспособными проявлять многие типично квантовые эффекты: квантовые суперпозиции становятся просто вероятностными смесями, а квантовая запутанность становится просто классическими корреляциями. Квантовая когерентность обычно не очевидна в макроскопических масштабах, хотя при температурах, приближающихся к абсолютному нулю, квантовое поведение может проявляться макроскопически.

Многие макроскопические свойства классической системы являются прямым следствием квантового поведения ее частей. Например, стабильность объемного вещества (состоящего из атомов и молекул , которые быстро разрушались бы под действием одних лишь электрических сил), жесткость твердых тел, а также механические, термические, химические, оптические и магнитные свойства вещества — все это результаты взаимодействия электрические заряды по правилам квантовой механики.

Специальная теория относительности и электродинамика

Ранние попытки объединить квантовую механику со специальной теорией относительности включали замену уравнения Шредингера ковариантным уравнением, таким как уравнение Клейна-Гордона или уравнение Дирака . Хотя эти теории успешно объяснили многие экспериментальные результаты, у них были определенные неудовлетворительные качества, проистекающие из пренебрежения релятивистским процессом рождения и уничтожения частиц. Полностью релятивистская квантовая теория потребовала развития квантовой теории поля, которая применяет квантование к полю (а не к фиксированному набору частиц). Первая полная квантовая теория поля, квантовая электродинамика , обеспечивает полностью квантовое описание электромагнитного взаимодействия . Квантовая электродинамика, наряду с общей теорией относительности , является одной из самых точных физических теорий, когда-либо созданных.

Полный аппарат квантовой теории поля часто не нужен для описания электродинамических систем. Более простой подход, который использовался с момента зарождения квантовой механики, состоит в том, чтобы рассматривать заряженные частицы как квантово-механические объекты, на которые действует классическое электромагнитное поле . Например, элементарная квантовая модель атома водорода описывает электрическое поле атома водорода с помощью классической $\textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)$ Кулоновский потенциал . Аналогично, в эксперименте Штерна-Герлаха заряженная частица моделируется как квантовая система, а фоновое магнитное поле описывается классически. Этот «полуклассический» подход терпит неудачу, если квантовые флуктуации в электромагнитном поле играют важную роль, например, при излучении фотонов заряженными частицами .

поля квантовые теории для сильного и слабого ядерного взаимодействия Также были разработаны . Квантовая теория поля сильного ядерного взаимодействия называется квантовой хромодинамикой и описывает взаимодействия субъядерных частиц, таких как кварки и глюоны . Слабое ядерное взаимодействие и электромагнитное взаимодействие были объединены в их квантованных формах в единую квантовую теорию поля (известную как электрослабая теория ) физиками Абдусом Саламом , Шелдоном Глэшоу и Стивеном Вайнбергом .

Связь с общей теорией относительности

Несмотря на то, что предсказания как квантовой теории, так и общей теории относительности были подтверждены строгими и повторяющимися эмпирическими данными , их абстрактные формализмы противоречат друг другу, и их оказалось чрезвычайно трудно объединить в одну последовательную, связную модель. Во многих областях физики элементарных частиц гравитация незначительна, поэтому объединение общей теории относительности и квантовой механики не является актуальной проблемой в этих конкретных приложениях. Однако отсутствие правильной теории квантовой гравитации является важной проблемой физической космологии и поиска физиками элегантной « Теории Всего » (ТОВ). Следовательно, разрешение несоответствий между обеими теориями было главной целью физики 20-го и 21-го веков. Этот ОО объединит не только модели субатомной физики, но и выведет четыре фундаментальные силы природы из одной силы или явления.

Одним из предложений по этому поводу является теория струн , которая утверждает, что точечные частицы заменяются физики элементарных частиц одномерными объектами, называемыми струнами . Теория струн описывает, как эти струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна выглядит как обычная частица, чья масса , заряд и другие свойства определяются колебательным состоянием струны. В теории струн одно из многих колебательных состояний струны соответствует гравитону — квантовомеханической частице, несущей гравитационную силу.

Другая популярная теория — петлевая квантовая гравитация (ПКГ), которая описывает квантовые свойства гравитации и, таким образом, является теорией квантового пространства-времени . LQG — это попытка объединить и адаптировать стандартную квантовую механику и стандартную общую теорию относительности. Эта теория описывает пространство как чрезвычайно тонкую ткань, «сотканную» из конечных петель, называемых спиновыми сетями . Эволюция спиновой сети с течением времени называется спиновой пеной . Характерным масштабом длины спиновой пены является планковская длина , примерно 1,616×10. ⁻³⁵ м, поэтому длины короче планковской длины не имеют физического смысла в LQG.

Философские последствия

Основная статья: Интерпретации квантовой механики

Нерешенная задача по физике :

Существует ли предпочтительная интерпретация квантовой механики? Как квантовое описание реальности, включающее такие элементы, как « суперпозиция состояний» и « коллапс волновой функции », порождает реальность, которую мы воспринимаем?

(еще нерешенные задачи по физике)

С момента своего создания многие нелогичные аспекты и результаты квантовой механики вызвали сильные философские дебаты и множество интерпретаций . Аргументы сосредоточены на вероятностной природе квантовой механики, трудностях с коллапсом волновой функции и связанной с этим проблемой измерения , а также квантовой нелокальности . Возможно, единственный консенсус, который существует по этим вопросам, заключается в том, что консенсуса нет. Ричард Фейнман однажды сказал: «Думаю, я могу с уверенностью сказать, что никто не понимает квантовую механику». По словам Стивена Вайнберга , «по моему мнению, сейчас не существует полностью удовлетворительной интерпретации квантовой механики».

Взгляды Нильса Бора , Вернера Гейзенберга и других физиков часто объединяют в « копенгагенскую интерпретацию ». Согласно этим взглядам, вероятностная природа квантовой механики не является временной особенностью, которая в конечном итоге будет заменена детерминистской теорией, а представляет собой окончательный отказ от классической идеи «причинности». Бор, в частности, подчеркивал, что любое четко определенное применение квантовомеханического формализма всегда должно ссылаться на экспериментальную схему из-за взаимодополняющего характера доказательств, полученных в различных экспериментальных ситуациях. Интерпретации копенгагенского типа были приняты нобелевскими лауреатами по квантовой физике, в том числе Бором, Гейзенберг, Шредингер, Фейнман, и Цайлингер а также исследователи 21-го века в области квантовых основ.

Альберт Эйнштейн , один из основателей квантовой теории , был обеспокоен очевидным несоблюдением в ней некоторых заветных метафизических принципов, таких как детерминизм и локальность . Длительные дискуссии Эйнштейна с Бором о значении и статусе квантовой механики теперь известны как дебаты Бора-Эйнштейна . Эйнштейн считал, что в основе квантовой механики должна лежать теория, которая явно запрещает действие на расстоянии . Он утверждал, что квантовая механика неполна, теория, которая действительна, но не фундаментальна, аналогично тому, как термодинамика действительна , но фундаментальной теорией, лежащей в ее основе, является статистическая механика . В 1935 году Эйнштейн и его сотрудники Борис Подольский и Натан Розен опубликовали аргумент, согласно которому принцип локальности подразумевает неполноту квантовой механики, мысленный эксперимент, позже названный парадоксом Эйнштейна-Подольского-Розена . В 1964 году Джон Белл показал, что принцип локальности ЭПР вместе с детерминизмом фактически несовместим с квантовой механикой: они подразумевали ограничения на корреляции, создаваемые системами расстояний, теперь известные как неравенства Белла , которые могут быть нарушены запутанными частицами. С тех пор было проведено несколько экспериментов для получения этих корреляций, в результате чего они действительно нарушают неравенства Белла и, таким образом, фальсифицируют соединение локальности с детерминизмом.

Механика Бома показывает, что можно переформулировать квантовую механику, сделав ее детерминированной, ценой того, что она станет явно нелокальной. Он приписывает физической системе не только волновую функцию, но и реальное положение, которое детерминировано развивается под действием нелокального ведущего уравнения. Эволюция физической системы всегда задается уравнением Шредингера вместе с ведущим уравнением; коллапса волновой функции никогда не происходит. Это решает проблему измерения.

Эверетта Многомировая интерпретация , сформулированная в 1956 году, утверждает, что все возможности, описанные квантовой теорией, одновременно возникают в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. Это следствие устранения аксиомы коллапса волнового пакета. Все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической квантовой суперпозиции. Хотя мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминированное поведение, управляемое вероятностями, потому что мы наблюдаем не мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную в каждый момент времени. То, как именно это должно работать, было предметом многочисленных споров. Было предпринято несколько попыток разобраться в этом и вывести правило Борна. без единого мнения о том, добились ли они успеха.

Реляционная квантовая механика появилась в конце 1990-х годов как современная производная от идей копенгагенского типа. и QBism был разработан несколько лет спустя.

История

Основные статьи: История квантовой механики и теории атома

Макс Планк считается отцом квантовой теории.

Квантовая механика была разработана в первые десятилетия 20-го века, вызванная необходимостью объяснить явления, которые в некоторых случаях наблюдались и раньше. Научное исследование волновой природы света началось в 17 и 18 веках, когда такие ученые, как Роберт Гук , Христиан Гюйгенс и Леонард Эйлер, предложили волновую теорию света, основанную на экспериментальных наблюдениях. В 1803 году английский эрудит Томас Янг описал знаменитый эксперимент с двумя щелями . Этот эксперимент сыграл важную роль в общем принятии волновой теории света .

В начале 19-го века химические исследования Джона Дальтона и Амедео Авогадро придали вес атомной теории материи, идее, которую Джеймс Клерк Максвелл , Людвиг Больцман и другие развили, чтобы создать кинетическую теорию газов . Успехи кинетической теории еще больше подтвердили идею о том, что материя состоит из атомов, однако у этой теории были и недостатки, которые могли быть устранены только с развитием квантовой механики. В то время как ранняя концепция атомов в греческой философии заключалась в том, что они являются неделимыми единицами (слово «атом» происходит от греческого слова «неразрезаемый»), в 19 веке были сформулированы гипотезы о субатомной структуре. Одним из важных открытий в этом отношении стало наблюдение Майклом Фарадеем в 1838 году свечения, вызванного электрическим разрядом внутри стеклянной трубки, содержащей газ под низким давлением. Юлиус Плюкер , Иоганн Вильгельм Хитторф и Ойген Гольдштейн продолжили и усовершенствовали работу Фарадея, что привело к идентификации катодных лучей , которые, как обнаружил Дж. Дж. Томсон, состоят из субатомных частиц, которые будут называться электронами.

Проблема излучения черного тела была открыта Густавом Кирхгофом в 1859 году. В 1900 году Макс Планк предложил гипотезу о том, что энергия излучается и поглощается дискретными «квантами» (или пакетами энергии), что привело к расчету, который точно соответствовал наблюдаемым закономерностям черного тела. -облучение тела. Слово «квант» происходит от латинского слова , означающего «насколько велик» или «насколько». Согласно Планку, количества энергии можно рассматривать как разделенные на «элементы», размер которых ( E ) будет пропорционален их частоте ( ν ):

$E=h\nu \$,

где h — постоянная Планка . Планк осторожно настаивал на том, что это лишь аспект процессов поглощения и испускания излучения, а не физическая реальность излучения. Фактически, он считал свою квантовую гипотезу математическим трюком, позволяющим получить правильный ответ, а не значительным открытием. интерпретировал квантовую гипотезу Планка Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн реалистично и использовал ее для объяснения фотоэлектрического эффекта , при котором свет, попадающий на определенные материалы, может выбрасывать электроны из материала. Затем Нильс Бор развил идеи Планка об излучении в модель атома водорода , которая успешно предсказала спектральные линии водорода. Эйнштейн развил эту идею, чтобы показать, что электромагнитную волну, такую ​​как свет, также можно описать как частицу (позже названную фотоном) с дискретным количеством энергии, зависящим от ее частоты. В своей статье «О квантовой теории излучения» Эйнштейн подробно остановился на взаимодействии энергии и материи, чтобы объяснить поглощение и излучение энергии атомами. Хотя в то время эта статья была омрачена его общей теорией относительности, она сформулировала механизм, лежащий в основе вынужденного излучения. который стал основой лазера.

1927 года Сольвеевская конференция в Брюсселе стала пятой Всемирной физической конференцией.

Эта фаза известна как старая квантовая теория . Никогда не будучи полной и самосогласованной, старая квантовая теория представляла собой скорее набор эвристических поправок к классической механике. Теория теперь понимается как полуклассическое приближение современной квантовой механики. Среди примечательных результатов этого периода, помимо упомянутых выше работ Планка, Эйнштейна и Бора, Эйнштейна и Питера Дебая работы по удельной теплоемкости твердых тел, доказательство Бора и Йоханны ван Леувен Хендрики о том, что классическая физика не может объяснить диамагнетизм и расширение Арнольдом Зоммерфельдом модели Бора, включившее специальные релятивистские эффекты.

В середине 1920-х годов была разработана квантовая механика, которая стала стандартной формулировкой атомной физики. В 1923 году французский физик Луи де Бройль выдвинул свою теорию волн материи, заявив, что частицы могут проявлять волновые характеристики и наоборот. Основываясь на подходе де Бройля, современная квантовая механика родилась в 1925 году, когда немецкие физики Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Йордан разработал матричную механику , а австрийский физик Эрвин Шредингер изобрел волновую механику . Борн представил вероятностную интерпретацию волновой функции Шредингера в июле 1926 года. Таким образом, возникла целая область квантовой физики, что привело к ее более широкому признанию на Пятой Сольвеевской конференции в 1927 году.

К 1930 году квантовая механика была унифицирована и формализована Дэвидом Гильбертом , Полем Дираком и Джоном фон Нейманом. с большим упором на измерение , статистическую природу нашего знания о реальности и философские рассуждения о «наблюдателе» . С тех пор оно проникло во многие дисциплины, включая квантовую химию, квантовую электронику , квантовую оптику и квантовую информатику . Он также обеспечивает полезную основу для многих особенностей современной периодической таблицы элементов и описывает поведение атомов во время химической связи и потока электронов в компьютерных полупроводниках и, следовательно, играет решающую роль во многих современных технологиях. Хотя квантовая механика была создана для описания мира очень малого, она также необходима для объяснения некоторых макроскопических явлений, таких как сверхпроводники. и сверхтекучие .

См. также

• Хорошие обозначения
• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Список учебников по классической и квантовой механике
• Макроскопические квантовые явления
• Формулировка в фазовом пространстве
• Регуляризация (физика)
• Квантовая система с двумя состояниями

Дальнейшее чтение

Следующие книги, написанные работающими физиками, представляют собой попытку донести квантовую теорию до непрофессионалов, используя минимум технического оборудования.

• Честер, Марвин (1987). Букварь квантовой механики . Джон Уайли. ISBN   0-486-42878-8
• Кокс, Брайан ; Форшоу, Джефф (2011). Квантовая Вселенная: все, что может случиться, случается . Аллен Лейн. ISBN  978-1-84614-432-5 .
• Ричард Фейнман , 1985. QED: Странная теория света и материи , Princeton University Press. ISBN   0-691-08388-6 . Четыре элементарные лекции по квантовой электродинамике и квантовой теории поля , содержащие множество идей для специалиста.
• Жирарди, ДжанКарло , 2004. Взглянув украдкой на карты Бога , Джеральд Малсбари, пер. Принстонский университет. Нажимать. Самая техническая из цитируемых здесь работ. Отрывки, в которых используются алгебра , тригонометрия и обозначения скобок, можно пропустить при первом чтении.
• Н. Дэвид Мермин , 1990, «Жуткие действия на расстоянии: тайны QT» в его книге « Boojums All the Way Through» . Издательство Кембриджского университета: 110–76.
• Виктор Стенгер , 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Буффало, Нью-Йорк: Книги Прометея. Глава. 5–8. Включает космологические и философские соображения.

Более технический:

• Бернштейн, Джереми (2009). Квантовые скачки . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press издательства Гарвардского университета. ISBN  978-0-674-03541-6 .
• Бом, Дэвид (1989). Квантовая теория . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-65969-5 .
• Бинни, Джеймс ; Скиннер, Дэвид (2008). Физика квантовой механики . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-968857-9 .
• Айсберг, Роберт; Резник, Роберт (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-87373-0 .
• Брайс ДеВитт , Р. Нил Грэм, редакторы, 1973. Многомировая интерпретация квантовой механики , Принстонская серия по физике, Издательство Принстонского университета. ISBN   0-691-08131-X
• Эверетт, Хью (1957). «Формулировка относительного состояния квантовой механики». Обзоры современной физики . 29 (3): 454–462. Бибкод : 1957РвМП...29..454Е . дои : 10.1103/RevModPhys.29.454 . S2CID   17178479 .
• Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (1965). Фейнмановские лекции по физике . Том. 1–3. Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-7382-0008-8 .
• Д. Гринбергер , К. Хентшель , Ф. Вайнерт, ред., 2009. Сборник квантовой физики, Концепции, эксперименты, история и философия , Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг. Краткие статьи по многим темам QM.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN  978-0-13-111892-8 . OCLC   40251748 . Стандартный студенческий текст.
• Макс Джаммер , 1966. Концептуальное развитие квантовой механики . МакГроу Хилл.
• Хаген Кляйнерт , 2004. Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 3-е изд. Сингапур: World Scientific. Черновик 4-го издания. Архивировано 15 июня 2008 г. в Wayback Machine.
• Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN  978-0-08-020940-1 . Онлайн-копия
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-8053-8714-8 .
• Гюнтер Людвиг, 1968. Волновая механика . Лондон: Пергамон Пресс. ISBN   0-08-203204-1
• Джордж Макки (2004). Математические основы квантовой механики . Дуврские публикации. ISBN   0-486-43517-2 .
• Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-88702-7 .
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. См. глава IV, раздел III. онлайн
• Омнес, Роланд (1999). Понимание квантовой механики . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-00435-8 . OCLC   39849482 .
• Скерри, Эрик Р. , 2006. Периодическая таблица : ее история и значение . Издательство Оксфордского университета. Рассматривает степень, в которой химия и периодическая система сведены к квантовой механике. ISBN   0-19-530573-6
• Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики . Спрингер. ISBN  978-0-306-44790-7 .
• Стоун, А. Дуглас (2013). Эйнштейн и квант . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-13968-5 .
• Транснациональный колледж Лекса (1996). Что такое квантовая механика? Физическое приключение . Фонд языковых исследований, Бостон. ISBN  978-0-9643504-1-0 . OCLC   34661512 .
• Велтман, Мартинус Дж. Г. (2003), Факты и загадки физики элементарных частиц .

В Викибуках

• Этот квантовый мир

Внешние ссылки

• Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон: История квантовой механики.
• Введение в квантовую теорию в Quantiki.
• Квантовая физика стала относительно простой : три видеолекции Ганса Бете

Материал курса

• Квантовая кулинарная книга и PHYS 201: Основы физики II , Рамамурти Шанкар , Йельский университет OpenCourseware
• Современная физика: с волнами, термодинамикой и оптикой – онлайн-учебник.
• MIT OpenCourseWare : химия и физика . См. 8.04 , 8.05 и 8.06.
• ⁠5 + 1/2 квантовой механики ⁠ Примеры из
• Курс квантовой механики Имперского колледжа.

Философия

• Исмаэль, Дженанн. «Квантовая механика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Крипс, Генри. «Измерение в квантовой теории» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .