Метод глубокого обратного стохастического дифференциального уравнения

Метод глубокого обратного стохастического дифференциального уравнения — это численный метод, сочетающий глубокое обучение с обратным стохастическим дифференциальным уравнением (BSDE). Этот метод особенно полезен для решения многомерных задач ценообразования на производные финансовые инструменты и управления рисками . Используя мощные возможности аппроксимации функций глубоких нейронных сетей , глубокий BSDE решает вычислительные проблемы, с которыми сталкиваются традиционные численные методы в многомерных условиях. ^{[ 1 ]}

История

Обратные стохастические дифференциальные уравнения

BSDE были впервые представлены Парду и Пэном в 1990 году и с тех пор стали важными инструментами в стохастическом управлении и финансовой математике . В 1990-х годах Этьен Парду и Шиге Пэн разработали теорию существования и уникальности решений BSDE, применив BSDE к финансовой математике и теории управления. Например, BSDE широко используются при ценообразовании опционов, измерении рисков и динамическом хеджировании. ^{[ 2 ]}

Глубокое обучение

Введение в глубокое обучение

Deep Learning — метод машинного обучения , основанный на многослойных нейронных сетях . Его основная концепция восходит к моделям нейронных вычислений 1940-х годов. В 1980-х годах предложение алгоритма обратного распространения ошибки сделало возможным обучение многослойных нейронных сетей. В 2006 году сеть Deep Belief Networks, предложенная Джеффри Хинтоном и другими, возродила интерес к глубокому обучению. С тех пор глубокое обучение привело к революционным достижениям в обработке изображений , распознавании речи , обработке естественного языка и других областях. ^{[ 3 ]}

Ограничения традиционных численных методов

Традиционные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений ^{[ 4 ]} включают метод Эйлера–Маруямы , метод Мильштейна , метод Рунге–Кутты (СДУ) и методы, основанные на различных представлениях повторных стохастических интегралов. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Но по мере усложнения финансовых проблем традиционные численные методы для BSDE (такие как метод Монте-Карло , метод конечных разностей и т. д.) показали ограничения, такие как высокая вычислительная сложность и проклятие размерности. ^{[ 1 ]}

В сценариях большой размерности метод Монте-Карло требует многочисленных путей моделирования для обеспечения точности, что приводит к длительному времени вычислений. В частности, для нелинейных BSDE скорость сходимости низкая, что затрудняет решение сложных проблем ценообразования на производные финансовые инструменты. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}
Метод Монте-Карло, примененный для аппроксимации значения $π$
С другой стороны, метод конечных разностей испытывает экспоненциальный рост количества вычислительных сеток с увеличением размеров, что приводит к значительным требованиям к вычислениям и хранению. Этот метод обычно подходит для простых граничных условий и малоразмерных BSDE, но он менее эффективен в сложных ситуациях. ^{[ 9 ]}

Глубокий метод BSDE

Сочетание глубокого обучения с BSDE, известное как глубокий BSDE, было предложено Ханом, Дженценом и Э. в 2018 году как решение многомерных задач, с которыми сталкиваются традиционные численные методы. Подход Deep BSDE использует мощные возможности нелинейной аппроксимации глубокого обучения, аппроксимируя решение BSDE путем построения нейронных сетей. Конкретная идея состоит в том, чтобы представить решение BSDE как результат работы нейронной сети и обучить ее аппроксимировать решение. ^{[ 1 ]}

Модель

Математический метод

Обратные стохастические дифференциальные уравнения (BSDE) представляют собой мощный математический инструмент, широко применяемый в таких областях, как стохастический контроль , финансовая математика и других областях. В отличие от традиционных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), которые решаются вперед во времени, BSDE решаются в обратном направлении, начиная с будущего времени и двигаясь назад к настоящему. Эта уникальная характеристика делает BSDE особенно подходящими для решения задач, связанных с терминальными условиями и неопределенностями. ^{[ 2 ]}

Обратное стохастическое дифференциальное уравнение (BSDE) можно сформулировать как: ^{[ 10 ]}

Y_{t}=\xi +\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\,ds-\int _{t}^{T}Z_{s}\,dW_{s},\quad t\in [0,T]

В этом уравнении:

$\xi$ это терминальное состояние, указанное в момент времени $T$ .
$f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ называется генератором BSDE
$(Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}$ решение состоит из случайных процессов $(Y_{t})_{t\in [0,T]}$ и $(Z_{t})_{t\in [0,T]}$ которые приспособлены к фильтрации $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}$
$W_{s}$ является стандартным броуновским движением .

Цель – найти адаптированные процессы $Y_{t}$ и $Z_{t}$ которые удовлетворяют этому уравнению. Традиционные численные методы борются с BSDE из-за проклятия размерности, которое делает вычисления в многомерных пространствах чрезвычайно сложными. ^{[ 1 ]}

Обзор методологии

Источник: ^{[ 1 ]}

1. Полулинейные параболические УЧП.

Мы рассматриваем общий класс УЧП, представленный ${\frac {\partial u}{\partial t}}(t,x)+{\frac {1}{2}}{\text{Tr}}\left(\sigma \sigma ^{T}(t,x)\left({\text{Hess}}_{x}u(t,x)\right)\right)+\nabla u(t,x)\cdot \mu (t,x)+f\left(t,x,u(t,x),\sigma ^{T}(t,x)\nabla u(t,x)\right)=0$

В этом уравнении:

$u(T,x)=g(x)$ это терминальное состояние, указанное в момент времени $T$ .
$t$ и $x$ представляют время и $d$ -мерная пространственная переменная соответственно.
$\sigma$ — известная векторная функция, $\sigma ^{T}$ обозначает транспонирование, связанное с $\sigma$ , и ${\text{Hess}}_{x}u$ обозначает гессиан функции $u$ относительно $x$ .
$\mu$ — известная векторная функция, а $f$ – известная нелинейная функция.

2. Представление случайного процесса

Позволять $\{W_{t}\}_{t\geq 0}$ быть $d$ -мерное броуновское движение и $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ быть $d$ -мерный случайный процесс, который удовлетворяет

$X_{t}=\xi +\int _{0}^{t}\mu (s,X_{s})\,ds+\int _{0}^{t}\sigma (s,X_{s})\,dW_{s}$

3. Обратное стохастическое дифференциальное уравнение (BSDE).

Тогда решение УЧП удовлетворяет следующему BSDE:

$u(t,X_{t})-u(0,X_{0})$

=-\int _{0}^{t}f\left(s,X_{s},u(s,X_{s}),\sigma ^{T}(s,X_{s})\nabla u(s,X_{s})\right)\,ds+\int _{0}^{t}\nabla u(s,X_{s})\cdot \sigma (s,X_{s})\,dW_{s}

4. Временная дискретизация

Дискретизировать временной интервал $[0,T]$ на шаги $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=T$ :

$X_{t_{n+1}}-X_{t_{n}}\approx \mu (t_{n},X_{t_{n}})\Delta t_{n}+\sigma (t_{n},X_{t_{n}})\Delta W_{n}$

$u(t_{n},X_{t_{n+1}})-u(t_{n},X_{t_{n}})$

\approx -f\left(t_{n},X_{t_{n}},u(t_{n},X_{t_{n}}),\sigma ^{T}(t_{n},X_{t_{n}})\nabla u(t_{n},X_{t_{n}})\right)\Delta t_{n}+\left[\nabla u(t_{n},X_{t_{n}})\sigma (t_{n},X_{t_{n}})\right]\Delta W_{n}

где $\Delta t_{n}=t_{n+1}-t_{n}$ и $\Delta W_{n}=W_{t_{n+1}}-W_{n}$ .

5. Аппроксимация нейронной сети

Используйте многослойную нейронную сеть прямого распространения для аппроксимации:

$\sigma ^{T}(t_{n},X_{n})\nabla u(t_{n},X_{n})\approx (\sigma ^{T}\nabla u)(t_{n},X_{n};\theta _{n})$

для $n=1,\ldots ,N$ , где $\theta _{n}$ – параметры нейронной сети, аппроксимирующие $x\mapsto \sigma ^{T}(t,x)\nabla u(t,x)$ в $t=t_{n}$ .

6. Обучение нейронной сети

Сложите все подсети на этапе аппроксимации, чтобы сформировать глубокую нейронную сеть. Обучите сеть, используя пути $\{X_{t_{n}}\}_{0\leq n\leq N}$ и $\{W_{t_{n}}\}_{0\leq n\leq N}$ в качестве входных данных, минимизируя функцию потерь:

$l(\theta )=\mathbb {E} \left|g(X_{t_{N}})-{\hat {u}}\left(\{X_{t_{n}}\}_{0\leq n\leq N},\{W_{t_{n}}\}_{0\leq n\leq N};\theta \right)\right|^{2}$

где ${\hat {u}}$ является приближением $u(t,X_{t})$ .

Архитектура нейронной сети

Источник: ^{[ 1 ]}

Глубокое обучение включает в себя класс методов машинного обучения, которые изменили многие области, позволяя моделировать и интерпретировать сложные структуры данных. Эти методы, часто называемые глубоким обучением , отличаются своей иерархической архитектурой, состоящей из нескольких уровней взаимосвязанных узлов или нейронов. Эта архитектура позволяет глубоким нейронным сетям автономно изучать абстрактные представления данных, что делает их особенно эффективными в таких задачах, как распознавание изображений , обработка естественного языка и финансовое моделирование . Суть этого метода заключается в разработке соответствующей структуры нейронной сети (например, полностью связной сети или рекуррентной нейронной сети ) и выборе эффективных алгоритмов оптимизации. ^{[ 3 ]}

Выбор сетевой архитектуры глубокого BSDE, количества слоев и количества нейронов на слой являются важнейшими гиперпараметрами, которые существенно влияют на производительность метода глубокого BSDE. Метод глубокого BSDE строит нейронные сети для аппроксимации решений задачи. $Y$ и $Z$ и использует стохастический градиентный спуск и другие алгоритмы оптимизации для обучения. ^{[ 1 ]}

На рисунке показана сетевая архитектура для метода глубокого BSDE. Обратите внимание, что $\nabla u(t_{n},X_{t_{n}})$ обозначает переменную, аппроксимируемую непосредственно подсетями, а $u(t_{n},X_{t_{n}})$ обозначает переменную, вычисляемую итеративно в сети. В этой сети существует три типа соединений: ^{[ 1 ]}

я) $X_{t_{n}}\rightarrow h_{1}^{n}\rightarrow h_{2}^{n}\rightarrow \ldots \rightarrow h_{H}^{n}\rightarrow \nabla u(t_{n},X_{t_{n}})$ это многослойная нейронная сеть прямого распространения, аппроксимирующая пространственные градиенты во времени $t=t_{n}$ . Веса $\theta _{n}$ этой подсети оптимизированы параметры.

2) $(u(t_{n},X_{t_{n}}),\nabla u(t_{n},X_{t_{n}}),W_{t_{n}+1}-W_{t_{n}})\rightarrow u(t_{n+1},X_{t_{n+1}})$ — это прямая итерация, обеспечивающая окончательный результат работы сети как приближение $u(t_{N},X_{t_{N}})$ , характеризуемый уравнениями 5 и 6. Оптимизированных параметров для данного типа подключения нет.

3) $(X_{t_{n}},W_{t_{n}+1}-W_{t_{n}})\rightarrow X_{t_{n+1}}$ — это ярлык, соединяющий блоки в разное время, характеризуемый уравнениями. 4 и 6. Оптимизированных параметров при этом типе подключения также нет.

Алгоритмы

Адам оптимизатор

Эта функция реализует Адама ^{[ 11 ]} алгоритм минимизации целевой функции ${\mathcal {G}}(\theta )$ .

Функция: АДАМ( $\alpha$ , $\beta _{1}$ , $\beta _{2}$ , $\epsilon$ , ${\mathcal {G}}(\theta )$ , $\theta _{0}$ ) является

     $m_{0}:=0$  // Initialize the first moment vector
     $v_{0}:=0$  // Initialize the second moment vector
     $t:=0$    // Initialize timestep

    // Step 1: Initialize parameters
     $\theta _{t}:=\theta _{0}$ 

    // Step 2: Optimization loop
    while  $\theta _{t}$  has not converged do
         $t:=t+1$ 
         $g_{t}:=\nabla _{\theta }{\mathcal {G}}_{t}(\theta _{t-1})$  // Compute gradient of  ${\mathcal {G}}$  at timestep  $t$ 
         $m_{t}:=\beta _{1}\cdot m_{t-1}+(1-\beta _{1})\cdot g_{t}$  // Update biased first moment estimate
         $v_{t}:=\beta _{2}\cdot v_{t-1}+(1-\beta _{2})\cdot g_{t}^{2}$  // Update biased second raw moment estimate
         ${\widehat {m}}_{t}:={\frac {m_{t}}{(1-\beta _{1}^{t})}}$  // Compute bias-corrected first moment estimate
         ${\widehat {v}}_{t}:={\frac {v_{t}}{(1-\beta _{2}^{t})}}$  // Compute bias-corrected second moment estimate
         $\theta _{t}:=\theta _{t-1}-{\frac {\alpha \cdot {\widehat {m}}_{t}}{({\sqrt {{\widehat {v}}_{t}}}+\epsilon )}}$  // Update parameters
    
    return  $\theta _{t}$

Используя описанный выше алгоритм ADAM, мы теперь представляем псевдокод, соответствующий многослойной нейронной сети прямого распространения:

Алгоритм обратного распространения ошибки

Эта функция реализует алгоритм обратного распространения ошибки для обучения многослойной нейронной сети прямого распространения.

Функция: BackPropagation( set $D=\left\{(\mathbf {x} _{k},\mathbf {y} _{k})\right\}_{k=1}^{m}$ ) является

    // Step 1: Random initialization
    // Step 2: Optimization loop
    repeat until termination condition is met:
        for each  $(\mathbf {x} _{k},\mathbf {y} _{k})\in D$ :
             ${\hat {\mathbf {y} }}_{k}:=f(\beta _{j}-\theta _{j})$  // Compute output
            // Compute gradients
            for each output neuron  $j$ :
                 $g_{j}:={\hat {y}}_{j}^{k}(1-{\hat {y}}_{j}^{k})({\hat {y}}_{j}^{k}-y_{j}^{k})$  // Gradient of output neuron
            for each hidden neuron  $h$ :
                 $e_{h}:=b_{h}(1-b_{h})\sum _{j=1}^{\ell }w_{hj}g_{j}$  // Gradient of hidden neuron
            // Update weights
            for each weight  $w_{hj}$ :
                 $\Delta w_{hj}:=\eta g_{j}b_{h}$  // Update rule for weight
            for each weight  $v_{ih}$ :
                 $\Delta v_{ih}:=\eta e_{h}x_{i}$  // Update rule for weight
            // Update parameters
            for each parameter  $\theta _{j}$ :
                 $\Delta \theta _{j}:=-\eta g_{j}$  // Update rule for parameter
            for each parameter  $\gamma _{h}$ :
                 $\Delta \gamma _{h}:=-\eta e_{h}$  // Update rule for parameter

    // Step 3: Construct the trained multi-layer feedforward neural network

    return trained neural network

Объединив алгоритм ADAM и многослойную нейронную сеть прямого распространения, мы предоставляем следующий псевдокод для решения оптимального инвестиционного портфеля:

Численное решение для оптимального инвестиционного портфеля

Источник: ^{[ 1 ]}

Эта функция рассчитывает оптимальный инвестиционный портфель, используя заданные параметры и случайные процессы.

функция ОптимальныеИнвестиции( $W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}$ , $x$ , $\theta =(X_{0},H_{0},\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{N-1})$ ) является

    // Step 1: Initialization
    for  $k:=0$  to maxstep do
         $M_{0}^{k,m}:=0$ ,  $X_{0}^{k,m}:=X_{0}^{k}$  // Parameter initialization
        for  $i:=0$  to  $N-1$  do
             $H_{t_{i}}^{k,m}:={\mathcal {NN}}(M_{t_{i}}^{k,m};\theta _{i}^{k})$  // Update feedforward neural network unit
             $M_{t_{i+1}}^{k,m}:=M_{t_{i}}^{k,m}+{\big (}(1-\phi )(\mu _{t_{i}}-M_{t_{i}}^{k,m}){\big )}(t_{i+1}-t_{i})+\sigma _{t_{i}}(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}})$ 
             $X_{t_{i+1}}^{k,m}:=X_{t_{i}}^{k,m}+{\big [}H_{t_{i}}^{k,m}(\phi (M_{t_{i}}^{k,m}-\mu _{t_{i}})+\mu _{t_{i}}){\big ]}(t_{i+1}-t_{i})+H_{t_{i}}^{k,m}(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}})$ 
        // Step 2: Compute loss function
         ${\mathcal {L}}(t):={\frac {1}{M}}\sum _{m=1}^{M}\left|X_{t_{N}}^{k,m}-g(M_{t_{N}}^{k,m})\right|^{2}$ 
        // Step 3: Update parameters using ADAM optimization
         $\theta ^{k+1}:=\operatorname {ADAM} (\theta ^{k},\nabla {\mathcal {L}}(t))$ 
         $X_{0}^{k+1}:=\operatorname {ADAM} (X_{0}^{k},\nabla {\mathcal {L}}(t))$ 

    // Step 4: Return terminal state
    return  $(M_{t_{N}},X_{t_{N}})$

Приложение

Deep BSDE широко используется в области ценообразования на производные финансовые инструменты, управления рисками и распределения активов. Он особенно подходит для:

Высокомерное ценообразование опционов: ценообразование сложных производных инструментов, таких как опционы на корзину и азиатские опционы , которые включают в себя несколько базовых активов. ^{[ 1 ]} Традиционные методы, такие как методы конечных разностей и моделирование Монте-Карло, борются с этими многомерными проблемами из-за проклятия размерности, когда вычислительные затраты растут экспоненциально с увеличением количества измерений. Методы Deep BSDE используют возможности аппроксимации функций глубоких нейронных сетей для управления этой сложностью и предоставления точных решений по ценообразованию. Подход глубокого BSDE особенно полезен в сценариях, где традиционные численные методы не справляются. Например, при ценообразовании опционов с высокой размерностью такие методы, как метод конечных разностей или моделирование Монте-Карло, сталкиваются со значительными трудностями из-за экспоненциального увеличения вычислительных требований с увеличением количества измерений. Методы Deep BSDE преодолевают эту проблему, используя глубокое обучение для эффективного аппроксимации решений многомерных PDE. ^{[ 1 ]}

Измерение риска: расчет показателей риска, таких как условная стоимость риска (CVaR) и ожидаемый дефицит (ES). ^{[ 12 ]} Эти меры риска имеют решающее значение для финансовых учреждений для оценки потенциальных потерь в своих портфелях. Методы глубокого BSDE позволяют эффективно рассчитывать эти показатели риска даже в многомерных условиях, тем самым повышая точность и надежность оценок рисков. В управлении рисками методы глубокого BSDE улучшают расчет расширенных показателей риска, таких как CVaR и ES, которые необходимы для учета хвостового риска в портфелях. Эти меры обеспечивают более полное понимание потенциальных потерь по сравнению с более простыми показателями, такими как стоимость под риском (VaR). Использование глубоких нейронных сетей позволяет проводить эти вычисления даже в многомерных контекстах, обеспечивая точную и надежную оценку рисков. ^{[ 12 ]}

Динамическое распределение активов: определение оптимальных стратегий распределения активов с течением времени в стохастической среде. ^{[ 12 ]} Это предполагает создание инвестиционных стратегий, которые адаптируются к меняющимся рыночным условиям и динамике цен на активы. Моделируя стохастическое поведение доходности активов и включая его в решения о распределении, глубокие методы BSDE позволяют инвесторам динамически корректировать свои портфели, максимизируя ожидаемую доходность и одновременно эффективно управляя рисками. Для динамического распределения активов методы глубокого BSDE предлагают значительные преимущества за счет оптимизации инвестиционных стратегий в ответ на изменения рынка. Этот динамический подход имеет решающее значение для управления портфелями в стохастической финансовой среде, где цены на активы подвержены случайным колебаниям. Методы Deep BSDE обеспечивают основу для разработки и реализации стратегий, которые адаптируются к этим колебаниям, что приводит к более устойчивому и эффективному управлению активами. ^{[ 12 ]}

Преимущества и недостатки

Преимущества

Источники: ^{[ 1 ]}^{[ 12 ]}

Многомерные возможности: по сравнению с традиционными численными методами, глубокий BSDE исключительно хорошо работает при решении многомерных задач.
Гибкость: использование глубоких нейронных сетей позволяет этому методу адаптироваться к различным типам BSDE и финансовым моделям.
Параллельные вычисления. Платформы глубокого обучения поддерживают ускорение графического процессора, что значительно повышает эффективность вычислений.

Недостатки

Источники: ^{[ 1 ]}^{[ 12 ]}

Время обучения. Обучение глубоких нейронных сетей обычно требует значительных данных и вычислительных ресурсов.
Чувствительность параметров. Выбор архитектуры нейронной сети и гиперпараметров сильно влияет на результаты, часто требуя опыта и метода проб и ошибок.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м Хан, Дж.; Дженцен, А.; Э, В. (2018). «Решение многомерных уравнений в частных производных с использованием глубокого обучения». Труды Национальной академии наук . 115 (34): 8505–8510.
^ Перейти обратно: ^а ^б Парду, Э.; Пэн, С. (1990). «Адаптированное решение обратного стохастического дифференциального уравнения». Системы и контрольные письма . 14 (1): 55–61.
^ Перейти обратно: ^а ^б ЛеКун, Янн; Бенджио, Йошуа; Хинтон, Джеффри (2015). «Глубокое обучение» (PDF) . Природа . 521 (7553): 436–444. Бибкод : 2015Natur.521..436L . дои : 10.1038/nature14539 . ПМИД 26017442 . S2CID 3074096 .
^ Клоден, П.Е., Платен Э. (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5.
^ Кузнецов, Д.Ф. (2023). Сильная аппроксимация повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича: метод обобщенных кратных рядов Фурье. Приложение к численному интегрированию СДУ Ито и полулинейных СДУ. Отличие. Уравн. Процесы Упр., нет. 1. DOI: https://doi.org/10.21638/11701/spbu35.2023.110.
^ Рыбаков, К.А. (2023). Спектральные представления повторных стохастических интегралов и их применение для моделирования нелинейной стохастической динамики. Математика, вып. 11, 4047. DOI: https://doi.org/10.3390/math11194047.
^ «Реальные опционы с моделированием Монте-Карло» . Архивировано из оригинала 18 марта 2010 г. Проверено 24 сентября 2010 г.
^ «Моделирование Монте-Карло» . Корпорация Палисейд. 2010 . Проверено 24 сентября 2010 г.
^ Кристиан Гроссманн; Ханс-Г. Роос; Мартин Стайнс (2007). Численная обработка уравнений в частных производных . Springer Science & Business Media. п. 23 . ISBN 978-3-540-71584-9 .
^ Ма, Джин; Ён, Чжионгмин (2007). Стохастические дифференциальные уравнения прямого и обратного направления и их приложения . Конспект лекций по математике. Том. 1702. Шпрингер Берлин, Гейдельберг. дои : 10.1007/978-3-540-48831-6 . ISBN 978-3-540-65960-0 .
^ Кингма, Дидерик; Ба, Джимми (2014). «Адам: метод стохастической оптимизации». arXiv : 1412.6980 [ cs.LG ].
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бек, К.; Э, В.; Дженцен, А. (2019). «Алгоритмы аппроксимации машинного обучения для многомерных полностью нелинейных уравнений в частных производных и обратных стохастических дифференциальных уравнений второго порядка». Журнал нелинейной науки . 29 (4): 1563–1619.

Дальнейшее чтение

Бишоп Кристофер М.; Бишоп, Хью (2024). Глубокое обучение: основы и концепции . Спрингер. ISBN 978-3-031-45467-7 .
Гудфеллоу, Ян ; Бенджио, Йошуа ; Курвиль, Аарон (2016). Глубокое обучение . МТИ Пресс. ISBN 978-0-26203561-3 . Архивировано из оригинала 16 апреля 2016 г. Проверено 9 мая 2021 г. , вводный учебник. {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Эванс, Лоуренс С. (2013). Введение в стохастические дифференциальные уравнения Американское математическое общество.
Хайэм., Десмонд Дж. (январь 2001 г.). «Алгоритмическое введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений». Обзор СИАМ . 43 (3): 525–546. Бибкод : 2001SIAMR..43..525H . CiteSeerX 10.1.1.137.6375 . дои : 10.1137/S0036144500378302 .
Десмонд Хайэм и Питер Клоден: «Введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений», SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021 г.).

[Han2018-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м Хан, Дж.; Дженцен, А.; Э, В. (2018). «Решение многомерных уравнений в частных производных с использованием глубокого обучения». Труды Национальной академии наук . 115 (34): 8505–8510.

[Pardoux1990-2] Перейти обратно: ^а ^б Парду, Э.; Пэн, С. (1990). «Адаптированное решение обратного стохастического дифференциального уравнения». Системы и контрольные письма . 14 (1): 55–61.

[NatureBengio-3] Перейти обратно: ^а ^б ЛеКун, Янн; Бенджио, Йошуа; Хинтон, Джеффри (2015). «Глубокое обучение» (PDF) . Природа . 521 (7553): 436–444. Бибкод : 2015Natur.521..436L . дои : 10.1038/nature14539 . ПМИД 26017442 . S2CID 3074096 .

[kloeden-4] Клоден, П.Е., Платен Э. (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5.

[Kuznetsov-5] Кузнецов, Д.Ф. (2023). Сильная аппроксимация повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича: метод обобщенных кратных рядов Фурье. Приложение к численному интегрированию СДУ Ито и полулинейных СДУ. Отличие. Уравн. Процесы Упр., нет. 1. DOI: https://doi.org/10.21638/11701/spbu35.2023.110.

[Rybakov-6] Рыбаков, К.А. (2023). Спектральные представления повторных стохастических интегралов и их применение для моделирования нелинейной стохастической динамики. Математика, вып. 11, 4047. DOI: https://doi.org/10.3390/math11194047.

[puc-7] «Реальные опционы с моделированием Монте-Карло» . Архивировано из оригинала 18 марта 2010 г. Проверено 24 сентября 2010 г.

[8] «Моделирование Монте-Карло» . Корпорация Палисейд. 2010 . Проверено 24 сентября 2010 г.

[GrossmannRoos2007-9] Кристиан Гроссманн; Ханс-Г. Роос; Мартин Стайнс (2007). Численная обработка уравнений в частных производных . Springer Science & Business Media. п. 23 . ISBN 978-3-540-71584-9 .

[10] Ма, Джин; Ён, Чжионгмин (2007). Стохастические дифференциальные уравнения прямого и обратного направления и их приложения . Конспект лекций по математике. Том. 1702. Шпрингер Берлин, Гейдельберг. дои : 10.1007/978-3-540-48831-6 . ISBN 978-3-540-65960-0 .

[Adam2014-11] Кингма, Дидерик; Ба, Джимми (2014). «Адам: метод стохастической оптимизации». arXiv : 1412.6980 [ cs.LG ].

[Beck2019-12] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бек, К.; Э, В.; Дженцен, А. (2019). «Алгоритмы аппроксимации машинного обучения для многомерных полностью нелинейных уравнений в частных производных и обратных стохастических дифференциальных уравнений второго порядка». Журнал нелинейной науки . 29 (4): 1563–1619.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]