Биномиальное распределение

«Биномиальная модель» перенаправляет здесь. Для биномиальной модели в ценах опций см. Модель ценообразования на биномиальные опции .

Биномиальное распределение

Вероятность массовой функции
Совокупная функция распределения
Обозначение	$B(n,p)$
Параметры	$n\in \{0,1,2,\ldots \}$ - Количество испытаний $p\in [0,1]$ - Вероятность успеха для каждого испытания $q=1-p$
Поддерживать	$k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ - Количество успехов
PMF	${\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$
CDF	$I_{q}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$ ( регуляризованная неполная бета -функция )
Иметь в виду	$np$
Медиана	$\lfloor np\rfloor$ или $\lceil np\rceil$
Режим	$\lfloor (n+1)p\rfloor$ или $\lceil (n+1)p\rceil -1$
Дисперсия	$npq=np(1-p)$
Асимметрия	${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$
Избыток куртоза	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Энтропия	${\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi enpq)+O\left({\frac {1}{n}}\right)$ в Шеннонсе . Для NAT используйте естественный журнал в журнале.
Mgf	$(q+pe^{t})^{n}$
См	$(q+pe^{it})^{n}$
Pgf	$G(z)=[q+pz]^{n}$
Информация о Фишере	$g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}$ (для фиксированного $n$)

Биномиальное распределение для р = 0,5
с n и k, как в треугольнике Паскаля

Вероятность того, что мяч в Galton Box с 8 слоями ( n = 8 заканчивается в центральной корзине ( K = 4 - 70/256 .

В теории вероятности и статистике биномиальное распределение с параметрами N и P является дискретным распределением вероятности количества успехов в последовательности N независимых экспериментов , каждый из которых задает вопрос «да» , и каждый со своим собственным логическим значением: результат : Успех (с вероятностью p ) или сбой (с вероятностью q = 1- P ). Единственный эксперимент по успеху/неудаче также называется экспериментом в Бернулли или эксперименте с Бернулли, а последовательность результатов называется процессом Бернулли ; Для одного испытания, то есть n = 1 , биномиальное распределение представляет собой распределение Бернулли . Биномиальное распределение является основой для популярного биномиального теста статистической значимости .

Биномиальное распределение часто используется для моделирования количества успехов в выборке размера n, нарисованной с заменой из популяции размера n . Если выборка выполняется без замены, розыгрыши не являются независимыми, поэтому полученное распределение является гипергеометрическим распределением , а не биномиальным. Однако для N , намного больше N , биномиальное распределение остается хорошим приближением и широко используется.

Определения

Вероятность массовой функции

В общем, если случайная переменная x следует за биномиальным распределением с параметрами n ∈ $\mathbb {N}$ и p ∈ [0, 1] , мы пишем x ~ b ( n , p ) . Вероятность получить ровно k успех в n независимых испытаниях Бернулли (с одинаковой скоростью P ) определяется функцией вероятности массы :

$f(k,n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

для k = 0, 1, 2, ..., n , где

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

является биномиальным коэффициентом , отсюда и название распределения. Формулу можно понять следующим образом: P ^k Q. ^{n - k} является вероятностью получения последовательности испытаний N Bernoulli, в которых первые k испытания являются «успехами», а оставшиеся (последнее) n -k испытания приводят к «неудаче». Поскольку испытания являются независимыми с вероятностями, оставшимися постоянными между ними, любая последовательность n испытаний с k успехами (и неудачи N - K ) имеет такую ​​же вероятность достижения (независимо от позиций успехов в последовательности). Есть ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ такие последовательности, поскольку биномиальный коэффициент ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ Подсчитывает количество способов выбрать позиции успехов K среди N испытаний. Биномиальное распределение связано с вероятностью получения любой из этих последовательностей, что означает вероятность получения одной из них ( P ^k Q. ^{n - k} ) должен быть добавлен ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ раз, следовательно ${\textstyle \Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

При создании эталонных таблиц для вероятности биномиального распределения обычно таблица заполняется до N /2 значений. Это потому, что для k > n /2 вероятность может быть рассчитана по его дополнению как

$f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).$

Глядя на выражение f ( k , n , p ) как функцию K , существует значение k , которое максимизирует его. Это значение k можно найти путем расчета

${\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}$

и сравнить его с 1. Всегда есть целое число , которое удовлетворяет

$(n+1)p-1\leq M<(n+1)p.$

f ( k , n , p ) увеличивается монотонным для K < m и монотонного уменьшения для k > m , за исключением случая, когда ( n + 1) P является целым числом. В этом случае существует два значения, для которых F является максимальным: ( n + 1) P и ( n + 1) P - 1 . М является наиболее вероятным результатом (то есть наиболее вероятным, хотя это все еще может быть маловероятным в целом) испытаний Бернулли и называется режим .

Эквивалентно, $M-p<np\leq M+1-p$Полем Принимая функцию пола , мы получаем M = пол ( NP ) .

Пример

Предположим, что предвзятая монета поднимается с вероятностью 0,3 при брошении. Вероятность увидеть ровно 4 головы в 6 бросках - это

$f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.$

Совокупная функция распределения

Функция совокупной распределения может быть выражена как:

$F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},$

где $\lfloor k\rfloor$ «пол» под K , то есть наибольшее целое число меньше или равное k .

Он также может быть представлен с точки зрения регуляризованной неполной бета -функции следующим образом:

${\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}$

эквивалентно совокупной функции распределения -рассылки F что :

$F(k;n,p)=F_{F{\text{-distribution}}}\left(x={\frac {1-p}{p}}{\frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)\right).$

Некоторые границы закрытой формы для совокупной функции распределения приведены ниже .

Характеристики

Ожидаемое значение и дисперсия

Если x ~ b ( n , p ) , то есть x является биномиально распределенной случайной величиной, n общее количество экспериментов и p вероятность того, что каждый эксперимент дает успешный результат, то ожидаемое значение x представляет собой равна:

$\operatorname {E} [X]=np.$

Это следует из линейности ожидаемого значения, а также тот факт, что x - это сумма n идентичных случайных переменных Бернулли, каждая из которых имеет ожидаемое значение p . Другими словами, если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ являются идентичными (и независимыми) случайными переменными Бернулли с параметрами p , тогда $X=X_{1}+\cdots +X_{n}$ и

$\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.$

Дисперсия ​ :

$\operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).$

Это также следует из того факта, что дисперсия суммы независимых случайных величин является суммой различий.

Более высокие моменты

Первые 6 центральных моментов , определяемые как $\mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]$, даются

${\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=np(1-p),\\\mu _{3}&=np(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\\\mu _{5}&=np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\\\mu _{6}&=np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^{2}p^{2}(1-p)^{2}).\end{aligned}}$

Нецентральные моменты удовлетворяют

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=np,\\\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},\end{aligned}}$

и в целом

$\operatorname {E} [X^{c}]=\sum _{k=0}^{c}\left\{{c \atop k}\right\}n^{\underline {k}}p^{k},$

где $\textstyle \left\{{c \atop k}\right\}$ являются числами второго рода , и $n^{\underline {k}}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$ является $k$Падающая сила ​ $n$Полем Простой связанный следует, ограничивая биномиальные моменты через более высокие моменты Пуассона :

$\operatorname {E} [X^{c}]\leq \left({\frac {c}{\log(c/(np)+1)}}\right)^{c}\leq (np)^{c}\exp \left({\frac {c^{2}}{2np}}\right).$

Это показывает, что если $c=O({\sqrt {np}})$, затем $\operatorname {E} [X^{c}]$ самым большим постоянным фактором вдали от $\operatorname {E} [X]^{c}$

Режим

Обычно способ распределения биномиального B ( N , P ) равен $\lfloor (n+1)p\rfloor$, где $\lfloor \cdot \rfloor$ это функция пола . Однако, когда ( n + 1) P является целым числом, а P не является ни 0, ни 1, то распределение имеет два режима: ( n + 1) p и ( n + 1) p - 1. Когда P равно 0 или 1, режим будет 0 и n соответственно. Эти случаи могут быть обобщены следующим образом:

${\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}$

Доказательство: пусть

$f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.$

Для $p=0$ только $f(0)$ имеет ненулевое значение с $f(0)=1$Полем Для $p=1$ Мы находим $f(n)=1$ и $f(k)=0$ для $k\neq n$Полем Это доказывает, что режим 0 для $p=0$ и $n$ для $p=1$.

Позволять $0<p<1$Полем Мы находим

${\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}$.

Из этого следует

${\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}$

Так когда $(n+1)p-1$ это целое число, тогда $(n+1)p-1$ и $(n+1)p$ это режим. В случае, что $(n+1)p-1\notin \mathbb {Z}$, тогда только $\lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor$ это режим.

Медиана

В целом, нет единой формулы, чтобы найти медиану для биномиального распределения, и это может быть даже не одноразовым. Однако было установлено несколько специальных результатов:

• Если $np$ это целое число, то среднее, медиана и режим совпадают и равны $np$.
• Любая медиана М должна лежать в интервале $\lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil$.
• Медиана М не может лежать слишком далеко от среднего: $|m-np|\leq \min\{{\ln 2},\max\{p,1-p\}\}$ .
• Медиана уникальна и равна m = раунд ( np ), когда $|m-np|\leq \min\{p,1-p\}$ (за исключением случая, когда $p={\frac {1}{2}}$и n нечетно).
• Когда P - рациональный номер (за исключением $p={\frac {1}{2}}$ и n Odd) медиана уникальна.
• Когда $p={\frac {1}{2}}$ и n нечетное, любое число М в интервале ${\frac {1}{2}}{\bigl (}n-1{\bigr )}\leq m\leq {\frac {1}{2}}{\bigl (}n+1{\bigr )}$ является медианой биномиального распределения. Если $p={\frac {1}{2}}$ и n ровно, тогда $m={\frac {n}{2}}$ уникальный медиана.

Хвостовые границы

Для k ≤ np верхние границы могут быть получены для нижнего хвоста кумулятивной функции распределения $F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)$, вероятность того, что существует максимум K успеха. С $\Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)$Эти границы также можно рассматривать как границы для верхнего хвоста функции кумулятивного распределения для k ≥ np .

Неравенство Hoeffding дает простую границу

$F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!$

что, однако, не очень плотно. В частности, для p = 1 у нас есть f ( k ; n , p ) = 0 (для фиксированного k , n с k < n ), но граница Hoeffding оценивается с положительной постоянной.

Более четкая граница может быть получена из границы Chernoff :

$F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right)$

где d ( a || p ) -это относительная энтропия (или дивергенция Kullback -Leibler) между a -coin и p -coin (то есть между распределением Bernoulli ( a ) и Bernoulli ( P )):

$D(a\parallel p)=(a)\log {\frac {a}{p}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-p}}.\!$

Асимптотически эта граница достаточно плотная; видеть Для получения подробной информации.

Можно также получить нижние границы на хвосте $F(k;n,p)$, известный как антиконцентрационные границы. При аппроксимации биномиального коэффициента с формулой Стерлинга можно показать, что

$F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right),$

что подразумевает более простое, но более слабое связанное

$F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).$

Для p = 1/2 и k ≥ 3 н /8 для ровного n можно сделать конфессионатор постоянной:

$F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!$

Статистический вывод

Оценка параметров

См. Также: Бета -распределение § байесовский вывод

Когда n известен, параметр p может быть оценен с использованием доли успехов:

${\widehat {p}}={\frac {x}{n}}.$

Эта оценка обнаруживается с использованием оценки максимального правдоподобия , а также метода моментов . Эта оценка непредвзято и равномерно с минимальной дисперсией , доказано, что используя теорему Lehmann -Scheffé , поскольку она основана на минимальной достаточной и полной статистике (т.е. x ). Это также последовательно как по вероятности, так и в MSE .

в закрытой форме Оценка Bayes для P также существует при использовании бета -распределения в качестве сопряженного предварительного распределения . При использовании общего $\operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )$ В качестве предварительного, апостериорная средняя оценка - это:

${\widehat {p}}_{b}={\frac {x+\alpha }{n+\alpha +\beta }}.$

Оценка Байеса асимптотически эффективна , и по мере приближения размер выборки ( N → ∞) она приближается к решению MLE . Оценка Байеса смещена (сколько зависит от априоров), допустимо и согласованно по вероятности.

Для особого случая использования стандартного равномерного распределения в качестве неинформативного ранее , $\operatorname {Beta} (\alpha =1,\beta =1)=U(0,1)$, апостериорная средняя оценка становится:

${\widehat {p}}_{b}={\frac {x+1}{n+2}}.$

( Задний режим должен просто привести к стандартной оценке.) Этот метод называется правилом преемственности , которое было введено в 18-м веке Пьер-Симоном Лапласом .

При полагаться на Jeffreys Wror , предварительный $\operatorname {Beta} (\alpha ={\frac {1}{2}},\beta ={\frac {1}{2}})$, что приводит к оценке:

${\widehat {p}}_{Jeffreys}={\frac {x+{\frac {1}{2}}}{n+1}}.$

При оценке P с очень редкими событиями и небольшим N (например: если x = 0), то использование стандартной оценки приводит к ${\widehat {p}}=0,$ что иногда нереально и нежелательно. В таких случаях существуют различные альтернативные оценки. Одним из способов является использование оценщика Байеса ${\widehat {p}}_{b}$, ведущий к:

${\widehat {p}}_{b}={\frac {1}{n+2}}.$

Другим методом является использование верхней границы доверительного интервала , полученного с использованием правила трех :

${\widehat {p}}_{\text{rule of 3}}={\frac {3}{n}}.$

Доверительные интервалы

Основная статья: Биномиальная пропорциональная доверительная интервал

Даже для довольно больших значений n фактическое распределение среднего значения значительно нечисленное. Из -за этой проблемы было предложено несколько методов оценки доверительных интервалов.

В уравнениях для доверительных интервалов ниже переменные имеют следующее значение:

• N ₁ - это количество успехов из N , общее количество испытаний
• ${\widehat {p\,}}={\frac {n_{1}}{n}}$ доля успехов
• $z$ является $1-{\tfrac {1}{2}}\alpha$ Квантиль стандартного нормального распределения (т. Е. Пробит ), соответствующего целевой частоте ошибок $\alpha$Полем Например, для уровня достоверности 95% ошибка $\alpha$ = 0,05, так $1-{\tfrac {1}{2}}\alpha$ = 0,975 и $z$ = 1.96.

Wald Метод

Основная статья: биномиальный достоверный интервал § Интервал Wald

${\widehat {p\,}}\pm z{\sqrt {\frac {{\widehat {p\,}}(1-{\widehat {p\,}})}{n}}}.$

​​коррекция непрерывности 0,5/ n . Может быть добавлена

Агрести-Куулл Метет

Основная статья: Биномиальный пропорциональный доверительный интервал § Агрести -коул -интервал

${\tilde {p}}\pm z{\sqrt {\frac {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})}{n+z^{2}}}}$

Здесь оценка P модифицирована на

${\tilde {p}}={\frac {n_{1}+{\frac {1}{2}}z^{2}}{n+z^{2}}}$

Этот метод хорошо работает для $n>10$ и $n_{1}\neq 0,n$. Смотрите здесь для $n\leq 10$. Для $n_{1}=0,n$ Используйте метод Уилсона (оценка) ниже.

Арксин Метод

Основная статья: Биномиальный пропорциональный доверительный интервал § Арксин -трансформация

$\sin ^{2}\left(\arcsin \left({\sqrt {\widehat {p\,}}}\right)\pm {\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right).$

Метод Уилсона (оценка)

Основная статья: биномиальный достоверный интервал доверительный интервал § Интервал оценки Уилсона

Обозначения в приведенной ниже формуле отличается от предыдущих формул в двух отношениях:

• Во-первых, Z _x имеет немного другое интерпретация в формуле ниже: он имеет свое обычное значение « x -квантиля стандартного нормального распределения», а не является сокращением для «(1- x ) -кого квантиля».
• Во-вторых, эта формула не использует плюс-минус для определения двух границ. Вместо этого можно использовать $z=z_{\alpha /2}$ Чтобы получить нижнюю границу или использовать $z=z_{1-\alpha /2}$ Чтобы получить верхнюю границу. Например: для уровня достоверности 95% ошибка $\alpha$ = 0,05, поэтому можно получить нижнюю границу, используя $z=z_{\alpha /2}=z_{0.025}=-1.96$и получает верхнюю границу, используя $z=z_{1-\alpha /2}=z_{0.975}=1.96$.

${\frac {{\widehat {p\,}}+{\frac {z^{2}}{2n}}+z{\sqrt {{\frac {{\widehat {p\,}}(1-{\widehat {p\,}})}{n}}+{\frac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{\frac {z^{2}}{n}}}}$

Сравнение

Так называемый метод «Точного» ( Клоппер-Парсон ) является наиболее консервативным. ( Точно не означает совершенно точный; скорее, это указывает на то, что оценки не будут менее консервативными, чем истинное значение.)

Метод WALD, хотя и обычно рекомендуется в учебниках, является наиболее предвзятым.

Связанные распределения

Суммы биномиалов

Если x ~ b ( n , p ) и y ~ b ( m , p ) являются независимыми биномиальными переменными с одинаковой вероятностью p , то x + y снова является биномиальной переменной; Его распределение - z = x+y ~ b ( n+m , p ):

${\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}$

Биномиальная распределенная случайная величина x ~ b ( n , p ) может рассматриваться как сумма ненормальных распределенных случайных величин. Таким образом, сумма двух биномиальных распределенных случайной величины x ~ b ( n , p ) и y ~ b ( m , p ) эквивалентна сумме N + m Bernoulli, распределенных случайных переменных, что означает z = x + y ~ b ( n+m , p ). Это также может быть доказано непосредственно с использованием правила добавления.

Однако, если x и y не имеют одинаковой вероятности p , то дисперсия суммы будет меньше, чем дисперсия биномиальной переменной, распределенной как $B(n+m,{\bar {p}}).\,$

Пуассон биномиальный распределение

Биномиальное распределение является особым случаем биномиального распределения Пуассона , которое представляет собой распределение суммы N независимых неидентичных исследований Бернулли B ( P _i ).

Соотношение двух биномиальных распределений

Этот результат был впервые получен Кац и соавторами в 1978 году.

Пусть x ~ b ( n , p ₁ ) и y ~ b ( m , p ₂ ) будут независимыми. Пусть t = ( x / n ) / ( y / m ) .

Затем log ( t ) приблизительно обычно распределяется со средним логарифмическим ( P ₁ / P ₂ ) и дисперсией ((1/ P ₁ ) - 1)/ N + ((1/ P ₂ ) - 1) M. /

Условные биномиалы

Если x ~ b ( n , p ) и y | X ~ b ( x , q ) (условное распределение y , заданное x ), тогда y является простой биномиальной случайной величиной с распределением y ~ b ( n , pq ).

Например, представьте, что вы бросаете шаров в корзину u _x и возьмите шары, которые ударили и бросали их в другую корзину _. n Если p - вероятность нанести u _x, то x ~ b ( n , p ) - это количество шаров, которые достигли u _x . Если Q - это вероятность ударить y _y, то количество шаров, которые ударили y _y, равно Y ~ b ( x , q ) и, следовательно, y ~ b ( n , pq ).

показывать

[Доказательство]

Since $X\sim B(n,p)$ and $Y\sim B(X,q)$, by the law of total probability,

${\begin{aligned}\Pr[Y=m]&=\sum _{k=m}^{n}\Pr[Y=m\mid X=k]\Pr[X=k]\\[2pt]&=\sum _{k=m}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}\end{aligned}}$

Since ${\tbinom {n}{k}}{\tbinom {k}{m}}={\tbinom {n}{m}}{\tbinom {n-m}{k-m}},$ the equation above can be expressed as

$\Pr[Y=m]=\sum _{k=m}^{n}{\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{k-m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}$

Factoring $p^{k}=p^{m}p^{k-m}$ and pulling all the terms that don't depend on $k$ out of the sum now yields

${\begin{aligned}\Pr[Y=m]&={\binom {n}{m}}p^{m}q^{m}\left(\sum _{k=m}^{n}{\binom {n-m}{k-m}}p^{k-m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}\right)\\[2pt]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}\left(\sum _{k=m}^{n}{\binom {n-m}{k-m}}\left(p(1-q)\right)^{k-m}(1-p)^{n-k}\right)\end{aligned}}$

After substituting $i=k-m$ in the expression above, we get

$\Pr[Y=m]={\binom {n}{m}}(pq)^{m}\left(\sum _{i=0}^{n-m}{\binom {n-m}{i}}(p-pq)^{i}(1-p)^{n-m-i}\right)$

Notice that the sum (in the parentheses) above equals $(p-pq+1-p)^{n-m}$ by the binomial theorem. Substituting this in finally yields

${\begin{aligned}\Pr[Y=m]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}(p-pq+1-p)^{n-m}\\[4pt]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}(1-pq)^{n-m}\end{aligned}}$

and thus $Y\sim B(n,pq)$ as desired.

Бернулли распределение

Распределение Бернулли является особым случаем биномиального распределения, где n = 1. Символически, x ~ b (1, p ) имеет то же значение, что и x ~ bernoulli ( p ). И наоборот, любое биномиальное распределение, b ( n , p ), является распределением суммы N независимых испытаний Бернулли , Бернулли ( P ), каждый с одинаковой вероятностью p .

Нормальное приближение

См. Также: Биномиальный пропорциональный доверительный интервал § Обычный интервал приближения

Биномиальная вероятность массы функции и аппроксимирование функции плотности вероятности для n = 6 и p = 0,5

Если N достаточно большой, то перекос распространения не слишком велик. В этом случае разумное приближение к b ( n , p ) определяется обычным распределением

${\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),$

И это основное приближение может быть улучшено простым способом, используя подходящую коррекцию непрерывности . Основное приближение обычно улучшается по мере увеличения N (не менее 20) и лучше, когда P не близок к 0 или 1. Различные практические правила могут быть использованы, чтобы решить, ли N достаточно , а P достаточно далеко от крайностей нуля или одного:

• Одно правило является то, что для n > 5 нормальное приближение является адекватным, если абсолютное значение асимметра составляет строго менее 0,3; То есть, если

${\frac {|1-2p|}{\sqrt {np(1-p)}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<0.3.$

Это может быть сделано точным, используя теорему Ягоды -Эйн .

• Более сильное правило утверждает, что нормальное приближение подходит только в том случае, если все в пределах 3 стандартных отклонений его среднего, находится в пределах диапазона возможных значений; то есть только если

$\mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n).$

Это правило с тремя стандартами эквивалентно следующим условиям, что также подразумевает первое правило выше.

$n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).$

показывать

[Доказательство]

The rule $np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n)$ is totally equivalent to request that

$np-3{\sqrt {np(1-p)}}>0\quad {\text{and}}\quad np+3{\sqrt {np(1-p)}}<n.$

Moving terms around yields:

$np>3{\sqrt {np(1-p)}}\quad {\text{and}}\quad n(1-p)>3{\sqrt {np(1-p)}}.$

Since $0<p<1$, we can apply the square power and divide by the respective factors $np^{2}$ and $n(1-p)^{2}$, to obtain the desired conditions:

$n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).$

Notice that these conditions automatically imply that $n>9$. On the other hand, apply again the square root and divide by 3,

${\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}>0\quad {\text{and}}\quad {\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}>0.$

Subtracting the second set of inequalities from the first one yields:

${\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}>-{\frac {\sqrt {n}}{3}};$

and so, the desired first rule is satisfied,

$\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<{\frac {\sqrt {n}}{3}}.$

• Другое обычно используемое правило заключается в том, что оба значения $np$ и $n(1-p)$ должен быть больше, чем или равное 5. Однако конкретное число варьируется от источника к источнику и зависит от того, насколько хорош, приближение, которое нужно. В частности, если человек использует 9 вместо 5, правило подразумевает результаты, указанные в предыдущих параграфах.

показывать

[Доказательство]

Assume that both values $np$ and $n(1-p)$ are greater than 9. Since $0<p<1$, we easily have that

$np\geq 9>9(1-p)\quad {\text{and}}\quad n(1-p)\geq 9>9p.$

We only have to divide now by the respective factors $p$ and $1-p$, to deduce the alternative form of the 3-standard-deviation rule:

$n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).$

Ниже приведен пример применения коррекции непрерывности . Предположим, кто хочет рассчитать PR ( x ≤ 8) для биномиальной случайной величины x . Если y имеет распределение, заданное нормальным приближением, то PR ( x ≤ 8) аппроксимируется PR ( Y ≤ 8,5). Добавление 0,5 является коррекцией непрерывности; Неправильное нормальное приближение дает значительно менее точные результаты.

Это приближение, известное как теорема De Moivre-Laplace , является огромным временным заседанием при предприятии расчетов вручную (точные расчеты с большими N очень обременительны); Исторически это было первое использование нормального распределения, представленное в Авраама де Моивра книге «Учение о шансах в 1738 году». В настоящее время ее можно рассматривать как следствие центральной теоремы , поскольку b ( n , p ) Сумма N независимых, идентично распределенных переменных Бернулли с параметром p . Этот факт является основой теста гипотезы , «пропорционального z-критерия» для значения p с использованием x/n , пропорции выборки и оценки P в общей статистике теста .

Например, предположим, что одна случайная выборка и людей из большой популяции и спросит их, согласны ли они с определенным утверждением. Доля людей, которые согласны, будут, конечно, зависят от выборки. Если бы группы n людей были отобраны неоднократно и по -настоящему случайным образом, пропорции будут следовать приблизительному нормальному распределению со средним значением, равным истинной доле p Соглашения в популяции и со стандартным отклонениями

$\sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}$

Пуассон приближение

Биномиальное распределение сходится к распределению Пуассона, поскольку количество испытаний идет в бесконечность, в то время как продукт NP сходится к конечному пределу. Следовательно, распределение Пуассона с параметром λ = np может использоваться в качестве приближения к B ( n , p ) биномиального распределения, если N достаточно большой, а P достаточно мал. Согласно правилам большого пальца, это приближение хорошо, если n ≥ 20 и p ≤ 0,05 таково, что np ≤ 1, или если n> 50 и р <0,1 таковы, что np <5, или если n ≥ 100 и np ≤ 10.

Что касается точности приближения Пуассона, см. Новак, гнездо 4, и ссылки в них.

Ограничивающие распределения

• Ограничение . Пуассона ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​
• теорема De Moivre -Laplace : при n приближении ∞, в то время как P остается фиксированным, распределение

${\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$

Подходит к нормальному распределению с ожидаемым значением 0 и дисперсией 1. Этот результат иногда слабо указывается, говоря, что распределение X является асимптически нормальным с ожидаемым значением 0 и дисперсией 1. Этот результат является конкретным случаем теоремы центрального предела .

Бета -распределение

Биномиальное распределение и бета -распределение являются разными взглядами на одну и ту же модель повторяющихся испытаний Бернулли. Биномиальное распределение является PMF K успеха , учитывая N независимых событий, каждый с вероятностью p успеха. Математически, когда α = k + 1 и β = n - k + 1 , бета -распределение и биномиальное распределение связаны Коэффициент n + 1 :

$\operatorname {Beta} (p;\alpha ;\beta )=(n+1)B(k;n;p)$

Бета -распределения также предоставляют семейство предварительных распределений вероятностей для биномиальных распределений в байесовском выводе :

$P(p;\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}}.$

Учитывая равномерное предварительное предыдущее, апостериорное распределение по вероятности успеха P, данные N независимых событий с k наблюдаемыми успехами, является бета -распределением.

Вычислительные методы

Генерация случайных чисел

Дополнительная информация: выборка номера псевдолуара

Методы для генерации случайных чисел , где маргинальное распределение является биномиальным распределением, хорошо зарекомендованы. Одним из способов генерирования случайных изменений образцов из биномиального распределения является использование алгоритма инверсии. Для этого нужно рассчитать вероятность того, что PR ( x = k ) для всех значений k от 0 до n . (Эти вероятности должны суммироваться до значения, близкого к одному, чтобы охватить все пространство выборки.) Затем, используя генератор числа псевдордомов для равномерного генерации выборок между 0 и 1, можно преобразовать вычисленные выборы в дискретные числа, используя вероятности рассчитываются на первом шаге.

История

Это распределение было получено Джейкобом Бернулли . Он рассмотрел случай, когда p = r /( r + s ), где P является вероятностью успеха, а R и S являются положительными целыми числами. Блайз Паскаль ранее рассматривал случай, когда p = 1/2, табуляция соответствующих биномиальных коэффициентов в том, что сейчас признается треугольником Паскаля .

Смотрите также

• Логистическая регрессия
• Многономиальное распределение
• Отрицательное биномиальное распределение
• Бета-биномиальное распределение
• Биномиальная мера, пример мультифрактальной меры .
• Статистическая механика
• Скаливание леммы , возникающая вероятность, когда xor -ing -независимые логические переменные

Дальнейшее чтение

• Хирш, Вернер З. (1957). "Биномиальное распределение - успешно или провал, насколько они вероятно?" Полем Введение в современную статистику . Нью -Йорк: Макмиллан. С. 140–153.
• Нетер, Джон; Вассерман, Уильям; Уитмор, GA (1988). Применяемая статистика (третье изд.). Бостон: Аллин и Бэкон. Стр. 185–1 ISBN  0-205-10328-6 .

Внешние ссылки

• Interactive Graphic: Однофакторные отношения распределения
• Биномиальная распределительная формула калькулятор
• Разница двух биномиальных переменных: xy или | xy |
• Запрос распределения вероятностей биномиальной вероятности в Wolframalpha
• Уверенные (заслуживающие доверия) интервалы для биномиальной вероятности, P: онлайн -калькулятор, доступный по адресу caseascientia.org