Паразитное число

n n - паразитное число 10) — это положительное натуральное число , которое при умножении на (по основанию приводит к перемещению последней цифры его десятичного представления вперед. Здесь n само по себе является однозначным положительным натуральным числом. Другими словами, десятичное представление подвергается круговому сдвигу вправо на одну позицию. Например:

4 × 128205 = 512820, поэтому 128205 — 4-паразитное.

Большинство математиков не разрешают ведущие нули использовать , и это общепринятое соглашение.

Таким образом, хотя 4 × 25641 = 102564, число 25641 не является 4-паразитарным.

Вывод

n или больше) в крайнем правом (единицы) месте -паразитное число можно получить, начав с цифры k (которая должна быть равна n и постепенно увеличивая по одной цифре.Например, для n = 4 и k = 7

4 × 7 = 2 8

4 × 8 7 = 3 48

4 × 48 7 = 1 948

4 × 948 7 = 3 7948

4 × 7948 7 = 3 17948

4 × 17948 7 = 717948 .

Итак, 179487 — это 4-паразитарное число с цифрой 7. Остальные — 179487179487, 179487179487179487 и т. д.

Обратите внимание, что повторяющаяся десятичная дробь

x=0.179487179487179487\ldots =0.{\overline {179487}}{\mbox{ has }}4x=0.{\overline {717948}}={\frac {7.{\overline {179487}}}{10}}.

Таким образом

4x={\frac {7+x}{10}}{\mbox{ so }}x={\frac {7}{39}}.

В общем случае n -паразитное число можно найти следующим образом. Выберите однозначное целое число k такое, что k ≥ n , и возьмите период повторяющейся десятичной дроби k /(10 n −1).Это будет ${\frac {k}{10n-1}}(10^{m}-1)$ где m – длина периода; т.е. мультипликативный порядок 10 по модулю (10 n - 1) .

Другой пример: если n = 2, то 10 n − 1 = 19 и повторяющаяся десятичная дробь для 1/19 равна

{\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}.

Итак, для 19 февраля это вдвое больше:

{\frac {2}{19}}=0.{\overline {105263157894736842}}.

Длина m этого периода равна 18, что соответствует порядку 10 по модулю 19, поэтому 2 × (10 ¹⁸ − 1)/19 = 105263157894736842.

105263157894736842 × 2 = 210526315789473684, что является результатом перемещения последней цифры 105263157894736842 вперед.

Дополнительная информация

Описанный выше пошаговый алгоритм вывода является отличным базовым методом, но он не позволяет найти все n-паразитические числа. Он застрянет в бесконечном цикле, когда производное число будет равно источнику вывода. Примером этого может служить случай, когда n = 5 и k = 5. Получаемое 42-значное n-паразитное число равно 102040816326530612244897959183673469387755. Проверьте шаги, указанные в Таблице 1 ниже. Алгоритм начинает построение справа налево, пока не достигнет шага 15, после чего происходит бесконечный цикл. Строки 16 и 17 показаны, чтобы показать, что ничего не меняется. Существует решение этой проблемы, и при его применении алгоритм найдет не только все n -паразитные числа по основанию десять, но и по основанию 8 и 16. Посмотрите на строку 15 во второй таблице. Исправление, когда это условие обнаружено и n -паразитное число не найдено, состоит в том, чтобы просто не сдвигать произведение из умножения, а использовать его как есть и добавлять n (в данном случае 5) в конец. После 42 шагов нужное паразитное число будет найдено.

Таблица первая

1. 5 × 5 = 25 — сдвиг = 55
2. 5 × 55 = 275 — сдвиг = 755
3. 5 × 755 = 3775 — сдвиг = 7755
4. 5 × 7755 = 38775 — сдвиг = 87755
5. 5 × 87755 = 438775 — сдвиг = 387755
6. 5 × 387755 = 1938775 — сдвиг = 9387755
7. 5 × 9387755 = 46938775 — сдвиг = 69387755
8. 5 × 69387755 = 346938775 — сдвиг = 469387755
9. 5 × 469387755 = 2346938775 — сдвиг = 3469387755
10. 5 × 3469387755 = 17346938775 — Сдвиг = 73469387755
11. 5 × 73469387755 = 367346938775 — Сдвиг = 673469387755
12. 5 × 673469387755 = 3367346938775 — Сдвиг = 3673469387755
13. 5 × 3673469387755 = 18367346938775 — Сдвиг = 83673469387755
14. 5 × 83673469387755 = 418367346938775 — Сдвиг = 183673469387755
15. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 — Сдвиг = 183673469387755
16. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 — Сдвиг = 183673469387755
17. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 — Сдвиг = 183673469387755

Стол второй

1. 5 × 5 = 25 — сдвиг = 55
2. 5 × 55 = 275 — сдвиг = 755
3. 5 × 755 = 3775 — сдвиг = 7755
4. 5 × 7755 = 38775 — сдвиг = 87755
5. 5 × 87755 = 438775 — сдвиг = 387755
6. 5 × 387755 = 1938775 — сдвиг = 9387755
7. 5 × 9387755 = 46938775 — сдвиг = 69387755
8. 5 × 69387755 = 346938775 — сдвиг = 469387755
9. 5 × 469387755 = 2346938775 — сдвиг = 3469387755
10. 5 × 3469387755 = 17346938775 — Сдвиг = 73469387755
11. 5 × 73469387755 = 367346938775 — Сдвиг = 673469387755
12. 5 × 673469387755 = 3367346938775 — Сдвиг = 3673469387755
13. 5 × 3673469387755 = 18367346938775 — Сдвиг = 83673469387755
14. 5 × 83673469387755 = 418367346938775 — Сдвиг = 183673469387755
15. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 — Сдвиг = 9183673469387755
16. 5 × 9183673469387755 = 45918367346938775 — Сдвиг = 59183673469387755
17. 5 × 59183673469387755 = 295918367346938775 — Сдвиг = 959183673469387755

Есть еще одно условие, которое следует учитывать при работе с этим алгоритмом: ведущие нули не должны теряться. Когда номер смены создается, он может содержать начальный ноль, который важен с позиционной точки зрения и должен быть перенесен на следующий шаг. Калькуляторы и методы компьютерной математики удалят ведущие нули. Посмотрите на таблицу три ниже, показывающую шаги вывода для n = 4 и k = 4. Номер смены, созданный на шаге 4, 02564, имеет ведущий ноль, который передается на шаг 5, создавая произведение с ведущим нулем. Полученный сдвиг передается на шаг 6, который отображает произведение, доказывающее, что 4-паразитарное число, оканчивающееся на 4, равно 102564.

Таблица третья

1. 4 × 4 = 16 — сдвиг = 64
2. 4 × 64 = 256 — сдвиг = 564
3. 4 × 564 = 2256 — сдвиг = 2564
4. 4 × 2564 = 10256 — сдвиг = 02564
5. 4 × 02564 = 010256 — сдвиг = 102564
6. 4 × 102564 = 410256 — сдвиг = 102564

Наименьшие n -паразитические числа

Наименьшие n -паразитические числа также известны как числа Дайсона , в честь головоломки, касающейся этих чисел, поставленной Фрименом Дайсоном . ^[1]^[2]^[3] Это: (ведущие нули не допускаются) (последовательность A092697 в OEIS )

н	Наименьшее n -паразитное число	Цифры	Период
1	1	1	1/9
2	105263157894736842	18	2/19
3	1034482758620689655172413793	28	3/29
4	102564	6	4/39
5	142857	6	7 /49 = 1/7
6	1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966	58	6/59
7	1014492753623188405797	22	7/69
8	1012658227848	13	8/79
9	10112359550561797752808988764044943820224719	44	9/89

Общее примечание

В общем, если мы смягчим правила и разрешим ведущий ноль, то будет 9 n -паразитных чисел для каждого n . В противном случае, только если k ≥ n , числа не начинаются с нуля и, следовательно, соответствуют фактическому определению.

Другие n -паразитные целые числа могут быть построены путем конкатенации. Например, поскольку 179487 является 4-паразитарным числом, то и 179487179487, 179487179487179487 и т. д.

Другие базы

В двенадцатеричной системе наименьшими n -паразитарными числами являются: (используются перевернутые двойка и тройка для десяти и одиннадцати соответственно) (ведущие нули не допускаются)

н	Наименьшее n -паразитное число	Цифры	Период
1	1	1	1/Е
2	10631694842	Э	2/1Ɛ
3	2497	4	7 /2Ɛ = 1/5
4	10309236ᘔ88206164719544	1Ɛ	4/3Ɛ
5	1025355ᘔ9433073ᘔ458409919Ɛ715	25	5/4Ɛ
6	1020408142854ᘔ997732650ᘔ18346916306	2Ɛ	6/5Ɛ
7	101899Ɛ864406Ɛ33ᘔᘔ15423913745949305255Ɛ17	35	7/6Ɛ
8	131ᘔ8ᘔ	6	ᘔ /7Ɛ = 2/17
9	101419648634459Ɛ9384Ɛ26Ɛ533040547216ᘔ1155Ɛ3Ɛ12978ᘔ399	45	9/8Ɛ
ᘔ (10)	14Ɛ36429ᘔ7085792	14	12 /9Ɛ = 2/15
Е (11)	1011235930336ᘔ53909ᘔ873Ɛ325819Ɛ9975055Ɛ54ᘔ3145ᘔ42694157078404491Ɛ	55	Ɛ/ᘔƐ

Строгое определение

В строгом определении наименьшее число m , начинающееся с 1, такое, что частное m / n получается простым сдвигом самой левой цифры 1 числа m в правый конец, равно

1, 105263157894736842, 1034482758620689655172413793, 102564, 102040816326530612244897959183673469387755, 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, 1014492753623188405797, 1012658227848, 10112359550561797752808988764044943820224719, 10, 100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321, 100840336134453781512605042016806722689075630252, ... (sequence A128857 in the OEIS)

Это период n /(10 n - 1), а также период целого десятичного числа - n /(10 n - 1).

Количество цифр из них

1, 18, 28, 6, 42, 58, 22, 13, 44, 2, 108, 48, 21, 46, 148, 13, 78, 178, 6, 99, 18, 8, 228, 7, 41, 6, 268, 15, 272, 66, 34, 28, 138, 112, 116, 179, 5, 378, 388, 18, 204, 418, 6, 219, 32, 48, 66, 239, 81, 498, ... (последовательность A128858 в OEIS )

См. также

Примечания

^ Давидов, Николас (25 марта 2009 г.), «Гражданский еретик» , журнал New York Times .
^ Тирни, Джон (6 апреля 2009 г.), «Математическая головоломка Фримена Дайсона для 4-го класса» , New York Times .
^ Тирни, Джон (13 апреля 2009 г.), «Приз за головоломку Дайсона» , New York Times .

Ссылки

К.А. Пиковер , Чудеса чисел , глава 28, Oxford University Press UK, 2000.
Последовательность OEIS : A092697 в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей .
Бернштейн, Леон (1968), «Мультипликативные близнецы и примитивные корни», Mathematical Journal , 105 : 49–58, doi : 10.1007/BF01135448 , MR 0225709 , S2CID 121138247

[1] Давидов, Николас (25 марта 2009 г.), «Гражданский еретик» , журнал New York Times .

[2] Тирни, Джон (6 апреля 2009 г.), «Математическая головоломка Фримена Дайсона для 4-го класса» , New York Times .

[3] Тирни, Джон (13 апреля 2009 г.), «Приз за головоломку Дайсона» , New York Times .

[1]

[2]

[3]