Теория хаоса

Для других видов использования см. Теорию хаоса (устранение неоднозначности) .

График аттрактора Лоренца для значений r = 28 , σ = 10 , b = ⁠ 8 / 3 ⁠

Анимация маятника с двойным кругом в промежуточной энергии, демонстрирующей хаотическое поведение. Запуск маятника из немного другого начального условия приведет к совершенно другой траектории . Двойной маятник является одной из самых простых динамических систем с хаотическими решениями.

Теория хаоса - это междисциплинарная область научного исследования и отрасли математики . Он фокусируется на основных моделях и детерминированных законах динамических систем , которые очень чувствительны к начальным условиям . Когда -то считалось, что они имеют совершенно случайные состояния беспорядков и нарушений. Теория хаоса утверждает, что в пределах кажущейся случайности хаотических сложных систем существуют основные паттерны, взаимосвязь, постоянные петли обратной связи , повторение, самопоклонность , фракталы и самоорганизация . Эффект бабочки , основной принцип хаоса, описывает, как небольшое изменение в одном состоянии детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии (то есть существует чувствительная зависимость от начальных условий). Метафора для этого поведения заключается в том, что бабочка, хлопающая крыльями в Бразилии, может вызвать торнадо в Техасе .

Небольшие различия в начальных условиях, например, из-за ошибок в измерениях или из-за ошибок округления в численных вычислениях , могут дать широко расходящиеся результаты для таких динамических систем, что делает долгосрочный прогноз их поведения в целом в целом. Это может произойти, даже если эти системы являются детерминированными , что означает, что их будущее поведение следует уникальной эволюции и полностью определяется их начальными условиями, без случайных элементов. Другими словами, детерминированный характер этих систем не делает их предсказуемыми. Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос . Теория была обобщена Эдвардом Лоренцем как:

Хаос: когда настоящее определяет будущее, но приблизительное настоящее не определяет будущее.

Хаотическое поведение существует во многих природных системах, включая поток жидкости, неровности сердцебиения, погоду и климат. Это также происходит спонтанно в некоторых системах с искусственными компонентами, такими как дорожное движение . Такое поведение может быть изучено с помощью анализа хаотической математической модели или с помощью аналитических методов, таких как графики рецидивов и карты Pincaré . Теория хаоса имеет приложения в различных дисциплинах, включая метеорологию , антропология , Социология , экологическая наука , компьютерная наука , инженерия , экономика , экология и пандемии управление кризисом . Теория сформировала основу для таких областей исследования, как сложные динамические системы , края теории хаоса и самосборки процессов .

Теория хаоса отличается от многочисленных областей, таких как, например, структурная стабильность , тогда как последний касается незначительных дифференциаций в моделях, в отличие от первых, кто сосредоточен на небольших изменениях в состояниях. Кроме того, время также выполняет разные роли в определениях хаоса, а также структурной теории.

Введение

Теория хаоса касается детерминированных систем, поведение которых, в принципе, может быть предсказано. Хаотические системы некоторое время предсказуемы, а затем «кажутся» становятся случайными. Количество времени, в течение которого поведение хаотической системы может быть эффективно предсказано, зависит от трех вещей: сколько неопределенности можно допустить в прогнозе, насколько точно его текущее состояние может быть измерено, и масштаб времени в зависимости от динамики Система, называемая временем Льяпунова . Некоторые примеры времен Lyapunov являются: хаотические электрические цепи, около 1 миллисекунды; Погодные системы, несколько дней (недоказанные); Внутренняя солнечная система от 4 до 5 миллионов лет. В хаотических системах неопределенность в прогнозе увеличивается в геометрической прогрессии с истешенным временем. Следовательно, математически, удваивая прогнозируемое время больше, чем квадрат пропорциональной неопределенности в прогнозе. Это означает, что на практике значимый прогноз не может быть сделан в течение всего два или три раза больше времени Льяпунова. Когда значимые прогнозы не могут быть сделаны, система кажется случайной.

Теория хаоса - это метод качественного и количественного анализа для изучения поведения динамических систем, которые не могут быть объяснены и предсказаны с помощью отдельных данных, но должны быть объяснены и предсказаны целыми, непрерывными отношениями данных.

Хаотическая динамика

Карта , определенная x → 4 x (1 - x ) и y → ( x + y) мод 1 отображает чувствительность к начальным положениям x. Здесь две серии значений X и Y заметно расходятся с течением времени от крошечной начальной разницы.

В общем использовании «хаос» означает «состояние беспорядка». Однако в теории хаоса термин определяется более точно. Хотя не существует общепринятого математического определения хаоса, обычно используемое определение, первоначально сформулированное Робертом Л. Девани , говорит, что для классификации динамической системы как хаотичной, оно должно обладать эти свойства: эти свойства:

1. это должно быть чувствительным к начальным условиям ,
2. это должно быть топологически транзитивным ,
3. У него должны быть плотные периодические орбиты .

В некоторых случаях было показано, что последние два свойства, приведенные выше, на самом деле подразумевают чувствительность к начальным условиям. В случае с дискретным временем это верно для всех непрерывных карт на метрических пространствах . В этих случаях, хотя это часто является наиболее практически значимым свойством, «чувствительность к начальным условиям» не должна быть указана в определении.

Если внимание ограничено интервалами , второе свойство подразумевает два других. Альтернатива и в целом более слабое определение хаоса используют только первые два свойства в приведенном выше списке.

Чувствительность к начальным условиям

Основная статья: эффект бабочки

Уравнения Лоренца, используемые для генерации графиков для переменной Y. Начальные условия для x и z сохранились одинаковыми, но условия для Y были изменены между 1,001 , 1.0001 и 1,00001 . Значения для $\rho$, $\sigma$ и $\beta$ были 45,91 , 16 и 4 соответственно. Как видно из графика, даже малейшая разница в начальных значениях вызывает значительные изменения примерно через 12 секунд эволюции в трех случаях. Это пример чувствительной зависимости от начальных условий.

Чувствительность к начальным условиям означает, что каждая точка в хаотической системе произвольно близко аппроксимируется другими точками, которые имеют значительно разные будущие пути или траектории. Таким образом, произвольно небольшое изменение или возмущение текущей траектории могут привести к значительно различному будущему поведению.

Чувствительность к начальным условиям широко известна как « эффект бабочки », так называемый из-за названия статьи, данного Эдвардом Лоренцем в 1972 году Американской ассоциации по развитию науки в Вашингтоне, округ Колумбия, озаглавленная предсказуемость: делает лоскут Крыльев бабочки в Бразилии отправили торнадо в Техасе? Полем Держащееся крыло представляет собой небольшое изменение начального условия системы, которое вызывает цепь событий, которые предотвращают предсказуемость крупномасштабных явлений. Если бы бабочка не пролетала свои крылья, траектория общей системы могла бы отличаться.

Как предложено в книге Лоренца под названием «Суть хаоса» , опубликованная в 1993 году, «Чувствительная зависимость может служить приемлемым определением хаоса». В той же книге Лоренц определил эффект бабочки как: «Явление о том, что небольшое изменение в состоянии динамической системы заставит последующие состояния значительно отличаться от состояний, которые следовали бы без изменения». Приведенное выше определение согласуется с чувствительной зависимостью решений от начальных условий (SDIC). Идеализированная модель лыжа была разработана, чтобы проиллюстрировать чувствительность изменяющихся во времени путей к начальным положениям. Горизонт предсказуемости может быть определен до начала SDIC (т. Е. До значительного разделения начальных близлежащих траекторий).

Следствием чувствительности к начальным условиям является то, что если мы начнем с ограниченного объема информации о системе (как обычно на практике), то в течение определенного времени система больше не будет предсказуемой. Это наиболее распространено в случае погоды, что, как правило, предсказуемо только примерно на неделю вперед. Это не означает, что в будущем нельзя что -либо отстаивать события в будущем - только некоторые ограничения на систему присутствуют. Например, мы знаем, что температура поверхности Земли не будет естественным образом достигнуть 100 ° C (212 ° F) или падать ниже -130 ° C (-202 ° F) на Земле (в текущую геологическую эру ), но Мы не можем предсказать, какой день будет иметь самую горячую температуру года.

В более математических терминах показатель Ляпунова измеряет чувствительность к начальным условиям в форме скорости экспоненциальной дивергенции из возмущенных начальных условий. Более конкретно, учитывая две начальные траектории в фазовом пространстве , которые бесконечно близки, с начальным разделением $\delta \mathbf {Z} _{0}$, две траектории в конечном итоге расходятся со скоростью, данным

$|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,$

где $t$ время и $\lambda$ является экспонентом Lyapunov. Скорость разделения зависит от ориентации начального вектора разделения, поэтому может существовать целый спектр экспонентов Lyapunov. Количество экспонентов Lyapunov равна количеству измерений фазового пространства, хотя это обычно ссылается на самый большой. Например, чаще всего используется максимальный показатель Lyapunov (MLE), поскольку он определяет общую предсказуемость системы. Положительный MLE обычно рассматривается как признак того, что система хаотична.

В дополнение к вышеуказанному свойству также существуют другие свойства, связанные с чувствительностью начальных условий. К ним относятся, например, теоретическое смешивание измерения (как обсуждается в эргодической теории) и свойства K-системы .

Непериодичность

Хаотическая система может иметь последовательности значений для развивающейся переменной, которая точно повторяется, давая периодическое поведение, начиная с любой точки в этой последовательности. Тем не менее, такие периодические последовательности отталкиваются, а не притягивают, что означает, что если развивающаяся переменная находится за пределами последовательности, каким бы близким она не вступит в последовательность и фактически будет расходятся от нее. для Таким образом, почти всех начальных условий переменная развивается хаотично с непериодическим поведением.

Топологическое смешивание

Шесть итераций набора государств $[x,y]$ Прошел через логистическую карту. Первая итерация (синий) является начальным условием, которое по существу образует круг. Анимация показывает первую по шестую итерацию круговых начальных условий. Видно, что смешивание происходит по мере продвижения в итерациях. Шестая итерация показывает, что точки почти полностью разбросаны в фазовом пространстве. Если бы мы продвинулись дальше в итерациях, смешивание было бы однородным и необратимым. Логистическая карта имеет уравнение $x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$Полем Чтобы расширить пространство состояния логистической карты на два измерения, второе состояние, $y$, был создан как $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$, если $x_{k}+y_{k}<1$ и $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$ в противном случае.

Карта, определенная x → 4 x (1 - x ) и y → ( x + y) мод 1 , также отображает топологическое смешивание . Здесь синяя область превращается в динамику сначала в фиолетовую область, затем в розовые и красные области, и в конечном итоге в облако вертикальных линий, разбросанных по всему пространству.

Топологическое смешивание (или более слабое состояние топологической транзитивности) означает, что система развивается с течением времени, так что любая данная область или открытый набор его фазового пространства в конечном итоге перекрываются с любой другой данной областью. Эта математическая концепция «смешивания» соответствует стандартной интуиции, а смешивание цветных красителей или жидкостей является примером хаотической системы.

Топологическое смешивание часто исключается из популярных отчетов о хаосе, которые приравнивают хаос только с чувствительностью к начальным условиям. Однако чувствительная зависимость только от начальных условий не дает хаоса. Например, рассмотрим простую динамическую систему, созданную путем многократного удвоения начального значения. Эта система имеет чувствительную зависимость от начальных условий повсюду, поскольку любая пара близлежащих точек в конечном итоге становится широко разделенной. Однако этот пример не имеет топологического смешивания и, следовательно, не имеет хаоса. Действительно, он имеет чрезвычайно простое поведение: все точки, кроме 0, имеют тенденцию к положительной или отрицательной бесконечности.

Топологическая транзитивность

Карта $f:X\to X$ считается топологически транзитивным, если для какой-либо пары непусты $U,V\subset X$, существует $k>0$ так что $f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset$Полем Топологическая транзитивность - более слабая версия топологического смешивания . Интуитивно, если карта является топологически переходной, то с учетом точки и области V существует точка y рядом с x , орбита которой проходит через V. x Это подразумевает, что невозможно разложить систему на два открытых набора.

Важной связанной теоремой является теорема о транзитивности Биркхоффа. Легко увидеть, что существование плотной орбиты подразумевает топологическую транзитивность. Теорема о транзитивности Биркхоффа гласит, что если x является вторым исчезновением , полным метрическим пространством , то топологическая транзитивность подразумевает существование плотного набора точек в x , которые имеют плотные орбиты.

Плотность периодических орбит

Чтобы хаотическая система имела плотные периодические орбиты означает, что каждая точка в пространстве произвольно приближается к периодическим орбитам. Одномерная логистическая карта , определенная x → 4 x (1- x ), является одной из самых простых систем с плотностью периодических орбит. Например, ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ (или приблизительно 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) - это (нестабильная) орбита периода 2, а аналогичные орбиты существуют в течение периодов 4, 8, 16 и т. Д. (Действительно, для всех периодов, указанных в теореме Шарковского ).

Теорема Шарковского является основой Ли и Йорка (1975) доказательство того, что любая непрерывная одномерная система, которая демонстрирует обычный цикл третьего периода, также будет отображать регулярные циклы любой другой длины, а также полностью хаотические орбиты.

Странные аттракторы

Аттрактор Лоренца демонстрирует хаотическое поведение. Эти два участка демонстрируют чувствительную зависимость от начальных условий в области фазового пространства, занятого аттрактором.

Некоторые динамические системы, такие как одномерная логистическая карта, определяемая x → 4 x (1- x ), являются хаотичными везде, но во многих случаях хаотическое поведение обнаруживается только в подмножестве фазового пространства. Случаи, которые наиболее интересуют, возникают, когда хаотическое поведение происходит на аттракторе , поскольку тогда большой набор начальных условий приводит к орбитам, которые сходятся к этой хаотической области.

Легкий способ визуализации хаотического аттрактора - начать с точки зрения в бассейне притяжения аттрактора, а затем просто построить его последующую орбиту. Из -за топологического состояния транзитивности это, вероятно, даст картину всего конечного аттрактора, и, действительно, оба орбиты, показанные на рисунке справа, дают картину общей формы аттрактора Лоренца. Этот аттрактор является результатом простой трехмерной модели системы погоды Лоренца . Аттрактор Лоренца, пожалуй, одна из самых известных хаотических системных диаграмм, вероятно, потому что он не только одна из первых, но и одна из самых сложных, и, как таковой, дает очень интересную модель, с Маленькое воображение, похоже на крылья бабочки.

В отличие от аттракторов с фиксированной точкой и ограниченных циклов , аттракторы, которые возникают из хаотических систем, известных как странные аттракторы , имеют большие детали и сложность. Странные аттракторы встречаются в обеих непрерывных динамических системах (таких как система Лоренза), так и в некоторых дискретных системах (таких как карта Хэнона ). Другие дискретные динамические системы имеют отталкивающую структуру, называемую набором Юлии , которая образуется на границе между бассейнами притяжения фиксированных точек. Джулию можно рассматривать как странные репеллеры. Как странные аттракторы, так и наборы Юлии обычно имеют фрактальную структуру, и фрактальное размер для них можно рассчитать .

Сосуществующие аттракторы

Сосуществующие хаотические и нехаотические аттракторы в обобщенной модели Лоренца. Существует 128 орбит в разных цветах, начиная с различных начальных условий для безразмерного времени между 0,625 и 5 и параметром нагрева r = 680. Хаотические орбиты повторяются возвращаются близко к седловой точке в начале координат. Нехаотические орбиты в конечном итоге приближаются к одной из двух стабильных критических точек, как показано с большими синими точками. Хаотические и неаотические орбиты занимают различные области притяжения в фазовом пространстве.

В отличие от отдельных хаотических решений, недавние исследования с использованием моделей Lorenz подчеркнули важность рассмотрения различных типов решений. Например, сосуществование хаотического и нехаотического может появляться в одной и той же модели (например, система двойного маятника), используя те же конфигурации моделирования, но разные начальные условия. Результаты сосуществования аттрактора, полученные из классических и обобщенных моделей Лоренза, предположил пересмотренный взгляд, что «полная погода обладает двойной природой хаоса и порядка с отчетливой предсказуемостью», в отличие от обычного взгляда на «погода хаотична».

Минимальная сложность хаотической системы

Диаграмма бифуркации логистической карты x → R x (1 - x ). Каждый вертикальный срез показывает аттрактор для определенного значения r . Диаграмма отображает загрязнение периода при увеличении R , в конечном итоге создавая хаос. Темные точки посещаются чаще.

Дискретные хаотические системы, такие как логистическая карта , могут демонстрировать странные аттракторы, независимо от их размерности . Напротив, для непрерывных динамических систем теорема Пуанкаре -Бендикссона показывает, что странный аттрактор может возникнуть только в трех или более измерениях. Конечные линейные системы никогда не бывают хаотичными; Чтобы динамическая система демонстрировала хаотическое поведение, она должна быть либо нелинейной , либо бесконечной размерной.

Теорема Пуанкаре-Бендикссона заявляет, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень регулярное поведение. Аттрактор Лоренца, обсуждаемый ниже, генерируется системой из трех дифференциальных уравнений, таких как:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}$

где $x$, $y$, и $z$ составить состояние системы , $t$ время и $\sigma$, $\rho$, $\beta$ системы параметры . Пять терминов с правой стороны линейные, а два - квадратичные; в общей сложности семь терминов. Другой известный хаотический аттрактор генерируется уравнениями Рёсслера , которые имеют только один нелинейный термин из семи. Спотт Нашел трехмерную систему с лишь пятью терминами, в которой был только один нелинейный термин, который демонстрирует хаос для определенных значений параметров. Чжан и Хейдель показали, что, по крайней мере, для диссипативных и консервативных квадратичных систем, трехмерные квадратичные системы с тремя или четырьмя терминами с правой стороны не могут проявлять хаотическое поведение. Причина в том, что, проще говоря, что решения таких систем асимптотические для двумерной поверхности, и поэтому решения хорошо ведут себя.

В то время как теорема Пуанкаре-Бендикссона показывает, что непрерывная динамическая система на евклидовой плоскости не может быть хаотичной, двумерные непрерывные системы с неклидовой геометрией все еще могут демонстрировать некоторые хаотические свойства. Возможно, удивительно, что хаос может возникнуть также в линейных системах, при условии, что они бесконечные размерные. Теория линейного хаоса разрабатывается в отрасли математического анализа, известного как функциональный анализ .

Приведенный выше набор из трех обычных дифференциальных уравнений называлось трехмерной моделью Лоренца. С 1963 года в многочисленных исследованиях разработаны модели Lorenz с более высокими измерениями Lorenz Для изучения влияния повышенной степени нелинейности, а также ее коллективного эффекта с нагреванием и рассеянностью, на стабильность раствора.

Бесконечные размерные карты

Прямое обобщение связанных дискретных карт основан на интеграле свертки, который опосредует взаимодействие между пространственно распределенными картами: $\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$,

где ядро $K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$ пропагатор, полученный как зеленая функция соответствующей физической системы, $f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$ может быть логистической картой $\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$ или сложная карта . Для примеров сложных карт набор Юлии $f[\psi ]=\psi ^{2}$ или Ikeda Map $\psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}$ может служить. Когда проблемы распространения волн на расстоянии $L=ct$ с длиной волны $\lambda =2\pi /k$ считаются ядром $K$ Может иметь форму зеленой функции для уравнения Шредингера :.

$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$.

Руковочные системы

В физике . придурок является третьей производной позиции в отношении времени Таким образом, дифференциальные уравнения формы

$J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0$

иногда называют придурками . Было показано, что уравнение придурков, которое эквивалентно системе из трех первых, обычных, нелинейных дифференциальных уравнений, в определенном смысле является минимальным условием для решений, показывающих хаотическое поведение. Это мотивирует математический интерес к придудным системам. Системы, включающие четвертую или более высокую производную, называются соответственно гипер -системами.

Поведение придурки системы описывается придурным уравнением, а для определенных придурков простые электронные схемы могут моделировать решения. Эти схемы известны как придурок.

Одним из наиболее интересных свойств придурок является возможность хаотического поведения. Фактически, некоторые известные хаотические системы, такие как аттрактор Лоренца и карта Rössler , обычно описываются как система из трех дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут объединиться в одно (хотя и довольно сложное) уравнение jerk. Еще один пример придурного уравнения с нелинейностью в величине $x$ является:

${\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.$

Здесь A - это регулируемый параметр. Это уравнение имеет хаотическое решение для a = 3/5 и может быть реализовано с помощью следующей придурки; Требуемая нелинейность осуществляется двумя диодами:

В приведенной выше цепи все резисторы имеют равное значение, кроме как $R_{A}=R/A=5R/3$и все конденсаторы имеют одинаковый размер. Доминирующая частота $1/2\pi RC$Полем Выход OP AMP 0 будет соответствовать переменной x, выход 1 соответствует первой производной x, а выход 2 соответствует второй производной.

Подобные схемы требуют только одного диода или вообще нет диодов.

См. Также хорошо известную схему Чуа , одна основание для хаотических истинных генераторов случайных чисел. Простота конструкции схемы сделала его вездесущим примером хаотической системы.

Спонтанный заказ

В правильных условиях хаос спонтанно развивается в шаблон блокировки. В модели Курамото достаточно для получения синхронизации в хаотической системе. Примеры включают в себя связанные колебания маятников Кристиана Хейгенса , светлячков, нейронов , лондонского резонанса моста тысячелетия и больших массивов Josephson Jacts .

Более того, с точки зрения теоретической физики сам динамический хаос, в его наиболее общем проявлении, является спонтанным порядком. Суть здесь в том, что большинство порядков в природе возникают из -за спонтанного разрыва различных симметрий. Это большое семейство явлений включает в себя эластичность, сверхпроводимость, ферромагнетизм и многие другие. Согласно суперсимметричной теории стохастической динамики , хаос или, точнее, ее стохастическое обобщение, также является частью этого семейства. Соответствующая симметрия, сломанная,-это топологическая суперсимметрия , которая скрыта во всех стохастических (частичных) дифференциальных уравнениях , а соответствующий параметр порядка является теоретичным воплощением поля эффекта бабочки.

История

Барнсли Ферн создал с помощью игры в хаосе . Природные формы (папоротники, облака, горы и т. Д.) Могут воссоздаться через итерационную функциональную систему (IFS).

Джеймс Клерк Максвелл впервые подчеркнул « эффект бабочки » и рассматривается как один из самых ранних для обсуждения теории хаоса, с работой в 1860 -х и 1870 -х годах. Ранним сторонником теории хаоса был Анри Пуанкаре . В 1880-х годах, изучая проблему с тремя телами , он обнаружил, что могут быть орбиты, которые непериодические, но не навсегда увеличиваясь и не приближаясь к фиксированной точке. В 1898 году Жак Хадамард опубликовал влиятельное исследование хаотического движения свободной частицы без трения на поверхности постоянной негативной кривизны, называемой « бильярд Хадамарда ». Хадамард смог показать, что все траектории нестабильны, поскольку все траектории частиц расходятся в геометрической прогрессии друг от друга, с положительным показателем Ляпунова .

Теория хаоса началась в области эргодической теории . Поздние исследования, также по теме нелинейных дифференциальных уравнений , были проведены Джорджем Дэвидом Биркхоффом , Andrey Nikolaevich Kolmogorov , Мэри Люси Картрайт и Джон Эденсор Литтлвуд , и Стивен Смейл . Хотя хаотическое планетарное движение не наблюдалось, экспериментаторы столкнулись с турбулентностью в движении жидкости и непериодическом колебаниях в радиоспонентах без пользы теории, чтобы объяснить, что они видели.

Несмотря на первоначальное понимание в первой половине двадцатого века, теория хаоса стала формализованной как таковая только после середины века, когда она впервые стала очевидной для некоторых ученых, что линейная теория , преобладающая теория системы в то время, просто не мог объяснить наблюдаемую Поведение определенных экспериментов, как поведение логистической карты . То, что было связано с измерением неточности и простого « шума », учитывались теоретиками хаоса как полный компонент исследуемых систем. В 1959 году Борис Валерианович Чириков предложил критерий появления классического хаоса в гамильтонианских системах ( критерий Чирикова ). Он применил этот критерий, чтобы объяснить некоторые экспериментальные результаты по плазменному заключению в ловушках с открытым зеркалом. Это рассматривается как самая первая физическая теория хаоса, которая удалось объяснить конкретный эксперимент. И сам Борис Чириков считается пионером в классическом и квантовом хаосе.

Основным катализатором разработки теории хаоса был электронный компьютер. Большая часть математики теории хаоса включает в себя повторную итерацию простых математических формул, которые были бы непрактично делать вручную. Электронные компьютеры сделали эти повторные расчеты практичными, в то время как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы. Будучи аспирантом в лаборатории Чихиро Хаяси в Университете Киото, Йошисуке Уэда экспериментировал с аналоговыми компьютерами и заметил 27 ноября 1961 года, что он назвал «случайно переходными явлениями». Тем не менее, его советник не согласился с его выводами в то время и не позволил ему сообщать о своих выводах до 1970 года.

Турбулентность в кончике вихря из крыла самолета . Исследования критической точки, за которой система создает турбулентность, были важны для теории хаоса, проанализированной, например, советским физиком Лев Ландау , который разработал теорию турбулентности Ландау-Хопфа . Дэвид Руэль и Флорис Такенс позже предсказывали, против Ландау, что жидкая турбулентность может развиваться через странный аттрактор , основную концепцию теории хаоса.

Эдвард Лоренц был ранним пионером теории. Его интерес к хаосу случайно возник благодаря его работе по прогнозу погоды в 1961 году. Лоренц и его сотрудник Эллен Феттер и Маргарет Гамильтон Использули простой цифровой компьютер, Royal McBee LGP-30 , для запуска погодных симуляций. Они хотели снова увидеть последовательность данных и сэкономить время, они начали моделирование в середине его курса. Они сделали это, введя распечатку данных, которые соответствовали условиям в середине исходного моделирования. К их удивлению, погода, которая начала предсказывать машину, полностью отличалась от предыдущего расчета. Они отслеживали это до распечатки компьютера. Компьютер работал с 6-значной точностью, но распечатка округлена переменные до трехзначного числа, поэтому значение, подобное 0,506127, напечатанное как 0,506. Эта разница крошечная, и консенсус в то время заключался бы в том, что оно не должно иметь практического эффекта. Тем не менее, Лоренц обнаружил, что небольшие изменения в начальных условиях вызывали большие изменения в долгосрочном исходе. Открытие Лоренца, которое дало свое название аттракторам Лоренца , показало, что даже подробное атмосферное моделирование не может, как правило, не может сделать точные долгосрочные прогнозы погоды.

В 1963 году Бенуит Мандельброт , изучающий теорию информации , обнаружил, что шум во многих явлениях (включая цены на акции и телефонные схемы) был рисунком, как набор кантора , набор очков с бесконечной шероховатостью и деталями Мандельброт описал как «эффект Ноя» (в котором могут происходить внезапные прерывистые изменения), так и «эффект Джозефа» (в котором постоянство значения может возникнуть в течение некоторого времени, но впоследствии внезапно меняется). В 1967 году он опубликовал: « ? Как долго длится побережье Британии бесконечно малые измерительные устройства. Утверждая, что шарик шпагата появляется как точка, если смотреть издалека (0-мерное), мяч, когда он смотрит из довольно близкого (3-мерного) или изогнутой прядь (1-мерной), он утверждал, что размеры размеров of the Объект относительно наблюдателя и может быть дробным. Объект которого, неровность которого постоянна в разных масштабах («самоподобие»), является фрактальной (примеры включают в себя губку Менгера , прокладка Sierpiński , а также кривая Коха или снежинка , которая бесконечно длинная, но прилагает конечное пространство и имеет фрактал. Размер около 1,2619). В 1982 году Мандельброт опубликовал фрактальную геометрию природы , которая стала классикой теории хаоса.

В декабре 1977 года в Нью -Йоркской академии наук организовала первый симпозиум по хаосу, в котором присутствовал Дэвид Руэль, Роберт Мэй , Джеймс А. Йорк (модель термина «хаос», используемый в математике), Роберт Шоу и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году Пьер Кауллет и Чарльз Трессер опубликовали «Итарации д'Ондоморфизмы и группировки рреномализации», а статья Митчелла Фейгенбаума «Количественная универсальность для класса нелинейных трансформаций», наконец, появилась в журнале, после 3 -летнего режима судьи. Таким образом, Feigenbaum (1975) и Coullet & Tresser (1978) обнаружили универсальность в хаосе, позволяя применять теорию хаоса во многих различных явлениях.

В 1979 году Альберт Дж. Либчабер во время симпозиума, организованного в Аспене Пьером Хоэнбергом , представил свое экспериментальное наблюдение за каскадом бифуркации , который приводит к хаосу и турбулентности в Рэлея -Бейнар конвекционных системах . Он был удостоен премии Волка в области физики в 1986 году вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом за их вдохновляющие достижения.

В 1986 году нью-йоркская академия наук совместно соревновалась с Национальным институтом психического здоровья и Управлением военно-морских исследований . Первая важная конференция по хаосу в области биологии и медицины. Там Бернардо Хуберман представил математическую модель дисфункции отслеживания глаз среди людей с шизофренией . Это привело к обновлению физиологии в 1980 -х годах благодаря применению теории хаоса, например, в изучении патологических сердечных циклов .

В 1987 году, в соответствии с Bak , Chao Tang и Kurt Wiesenfeld опубликовали статью в письмах с физическим обзором Впервые описывая самоорганизованную критичность (SOC), которая считается одним из механизмов, с помощью которых сложность возникает в природе.

Наряду с в значительной степени лабораторные подходы, такие как Sandpile Bak-Tang-Wiesenfeld , многие другие исследования были сосредоточены на крупномасштабных естественных или социальных системах, которые известны (или подозреваются), чтобы показать в масштабе инвариантное поведение . Хотя эти подходы не всегда были приветствованы (по крайней мере, на начальном этапе) специалистами по изучению субъектов, SOC, тем не менее, стал сильным кандидатом для объяснения ряда природных явлений, включая землетрясения (которые, задолго до обнаружения SOC, были известны, были известны. Как источник масштабного инвариантного поведения, такого как закон Гутенберга-Рихтер, описывающий статистическое распределение размеров землетрясений и закон Омори Описание частоты афтершоков), солнечных вспышек , колебаний в экономических системах, таких как финансовые рынки (ссылки на SOC распространены в эконофизике ), формирование ландшафта, лесные пожары , оползни , эпидемии и биологическую эволюцию (где SOC вызывали, например, например, например. , как динамический механизм, лежащий в основе теории « акцентированных равновесиев », выдвинутых Найлсом Элдреджем и Стивеном Джей Гулдом ). Учитывая последствия распределения размеров событий без шкалы, некоторые исследователи предположили, что другое явление, которое следует считать примером SOC, является возникновение войн . Эти исследования SOC включали как попытки моделирования (либо разработка новых моделей, либо адаптацию существующих к специфике данной естественной системы), так и обширный анализ данных для определения существования и/или характеристик законов о естественном масштабировании.

Также в 1987 году Джеймс Глейк опубликовал хаос: создание новой науки , которая стала бестселлером и представил общие принципы теории хаоса, а также ее историю широкой общественности. Первоначально область нескольких изолированных людей, теория хаоса постепенно стала трансдисциплинарной и институциональной дисциплиной, главным образом под названием анализа нелинейных систем . Ссылаясь на Томаса Куна концепцию о смене парадигмы , обнаруженной в структуре научных революций (1962), многие «хаологи» (как описали некоторые из них) утверждали, что эта новая теория была примером такого сдвига, тезис, поддержанный Глайком Полем

Доступность более дешевых, более мощных компьютеров расширяет применимость теории хаоса. В настоящее время теория хаоса остается активной областью исследований, Включая множество различных дисциплин, таких как математика , топология , физика , социальные системы , Моделирование населения , биология , метеорология , астрофизика , теория информации , вычислительная нейробиология , пандемическим управление кризисом , и т. д.

Новаторский вклад Лоренца в хаотическое моделирование

На протяжении всей своей карьеры профессор Лоренц написал в общей сложности 61 исследовательский документ, из которых 58 были написаны исключительно им. Начиная с конференции 1960 года в Японии, Лоренц отправился в путешествие по разработке разнообразных моделей, направленных на выявление SDIC и хаотические особенности. Недавний обзор модели Лоренца Прогрессия, охватывающая 1960 по 2008 год Эти системы охватывали квазигестрофические системы, уравнение консервативной завихренности, конвекционные уравнения Рэлея-Бенарда и уравнения мелкой воды. Более того, Лоренцу можно приписать раннее применение логистической карты для изучения хаотических решений, этапа, которую он достиг перед своими коллегами (например, Lorenz 1964 ).

В 1972 году Лоренц придумал термин «эффект бабочки» в качестве метафоры, чтобы обсудить, может ли небольшое возмущение в конечном итоге создать торнадо с трехмерной, организованной и когерентной структурой. При связи с исходным эффектом бабочки на основе чувствительной зависимости от начальных условий его метафорический вариант имеет различные нюансы. Чтобы отметить эту веху, книга перепечатки, содержащая приглашенные документы, которые углубляют наше понимание как эффектов бабочки, была официально опубликована, чтобы отпраздновать 50 -летие метафорического эффекта бабочки.

Популярная, но неточная аналогия для хаоса

Чувствительная зависимость от начальных условий (то есть эффект бабочки) была проиллюстрирована с использованием следующего фольклора:

Из -за недостатка гвоздь, обувь была потеряна.
Из -за отсутствия обуви лошадь была потеряна.
Из -за недостатка лошади, гонщик был потерян.
Из -за отсутствия гонщика битва была потеряна.
Из -за недостатка битвы Королевство было потеряно.
И все из -за недостатка подковы.

Основываясь на вышесказанном, многие люди по ошибке по ошибке считают, что влияние крошечного начального возмущения монотонно увеличивается со временем и что любое крошечное возмущение может в конечном итоге оказать большое влияние на числовые интеграции. Однако в 2008 году Лоренц заявил, что он не чувствовал, что этот стих описал истинный хаос, но что он лучше проиллюстрировал более простое явление нестабильности и что стих косвенно предполагает, что последующие небольшие события не будут обратить вспять результат. Основываясь на анализе, стих указывает только дивергенцию, а не ограниченность. Ограниченность важна для конечного размера рисунка бабочки. В недавнем исследовании, Характеристика вышеупомянутого стиха была недавно обозначена как «чувствительная зависимость конечного времени».

Приложения

, Текстильная оболочка CONUS похожая по внешнему виду на правило 30 , клеточный автомат с хаотическим поведением

Хотя теория хаоса родилась от наблюдения за погодными условиями, она применима к различным другим ситуациям. Некоторые области, получающие выгоду от теории хаоса сегодня, являются геология , математика , биология , информатика , экономика, экономика , инженер ​ финансы , метеорология , философия , антропология , физика , политика , динамика населения , и робототехника . Несколько категорий перечислены ниже с примерами, но это ни в коем случае не является комплексным списком, поскольку появляются новые приложения.

Криптография

Основная статья: хаотическая криптология

Теория хаоса использовалась в течение многих лет в криптографии . За последние несколько десятилетий хаос и нелинейная динамика использовались при разработке сотен криптографических примитивов . Эти алгоритмы включают алгоритмы шифрования изображений , хэш-функции , защищенные генераторы псевдолупиточных чисел , шифры потока , водяные знаки и стеганография . Большинство этих алгоритмов основаны на унимодальных хаотических картах, а большая часть этих алгоритмов использует параметры управления и начальное условие хаотических карт в качестве их ключей. С более широкой точки зрения, без потери общности, сходство между хаотическими картами и криптографическими системами является основной мотивацией для дизайна криптографических алгоритмов на основе хаоса. Один тип шифрования, секретный ключ или симметричный ключ опирается на диффузию и путаницу , которая хорошо моделируется теорией хаоса. Другой тип вычислений, ДНК -вычисления , в сочетании с теорией хаоса, предлагает способ шифровать изображения и другую информацию. Доказано, что многие из криптографических алгоритмов ДНК-хаоса либо не являются безопасными, либо применяемая техника не является эффективной.

Робототехника

Робототехника - это еще одна область, которая недавно получила выгоду от теории хаоса. Вместо того, чтобы роботы, действующие в испытательном и ошибке, для взаимодействия со своей средой, теория хаоса использовалась для создания прогнозной модели . Хаотическая динамика была продемонстрирована пассивными ходячими двуножными роботами.

Биология

На протяжении более ста лет биологи отслеживают популяции различных видов с популяционными моделями . Большинство моделей непрерывны , но недавно ученые смогли внедрить хаотические модели в определенных популяциях. Например, исследование моделей канадской рыси показало, что в росте населения было хаотическое поведение. Хаос также можно найти в экологических системах, таких как гидрология . В то время как хаотическая модель для гидрологии имеет свои недостатки, есть еще многое, чтобы узнать из просмотра данных через призму теории хаоса. Другое биологическое применение обнаружено в кардиотокографии . Наблюдение за плодом является деликатным балансом получения точной информации, а также неинвазивным. Лучшие модели предупреждающих признаков гипоксии плода могут быть получены с помощью хаотического моделирования.

Как отмечает Перри, моделирование хаотических временных рядов в экологии помогает ограничение. Всегда существует потенциальная трудность в отличении реального хаоса от хаоса, который находится только в модели. Следовательно, как ограничение в модельных, так и / или дублирующих данных временных рядов для сравнения будут полезны для ограничения модели чем -то близким к реальности, например, Perry & Wall 1984. гена-гена Коэволюция иногда показывает хаотическую динамику на частотах аллеля . Добавление переменных преувеличивает это: хаос чаще встречается в моделях, включающих дополнительные переменные, чтобы отразить дополнительные аспекты реальных групп населения. Роберт М. Мэй сам провел некоторые из этих фундаментальных исследований коэволюции урожая, и это, в свою очередь, помогло сформировать всю область. Даже для устойчивой среды простое сочетание одной культуры и одного патогена может привести к квазипериодическим или хаотичным колебаниям в популяции патогенов .

Экономика

Возможно, что экономические модели также могут быть улучшены благодаря применению теории хаоса, но предсказывая здоровье экономической системы и какие факторы влияют на нее больше всего, является чрезвычайно сложной задачей. Экономические и финансовые системы принципиально отличаются от тех, кто находится в классических естественных науках, поскольку первые по своей природе являются стохастическими по своему характеру, поскольку они являются результатом взаимодействия людей, и, следовательно, чистые детерминированные модели вряд ли дадут точные представления данных. Эмпирическая литература, которая проверяет хаос в экономике и финансах, представляет очень смешанные результаты, отчасти из-за путаницы между конкретными тестами для хаоса и более общими тестами для нелинейных отношений.

Хаос можно найти в экономике с помощью анализа количественного определения рецидива . На самом деле, Orlando et al. С помощью так называемого индекса корреляции количественного определения определения были способны обнаружить скрытые изменения во временных рядах. Затем был использован тот же метод для обнаружения переходов от ламинарных (регулярных) к турбулентным (хаотическим) фазам, а также различий между макроэкономическими переменными и выделяет скрытые особенности экономической динамики. Наконец, теория хаоса может помочь в моделировании того, как действует экономика, а также при встраивании шоков из-за внешних событий, таких как Covid-19.

Конечная предсказуемость в погоде и климате

Из -за чувствительной зависимости растворов от начальных условий (SDIC), также известной как эффект бабочки, хаотические системы, такие как модель Lorenz 1963, подразумевают конечный горизонт предсказуемости. Это означает, что, хотя точные прогнозы возможны в течение конечного периода времени, они не возможны в течение бесконечного промежутка времени. Учитывая природу хаотических решений Лоренца, комитет во главе с Charney et al. в 1966 году Экстраполировал время удвоения в пять дней из общей модели циркуляции, что указывает на предел предсказуемости в две недели. Эта связь между пятидневным временем удвоения и двухнедельным лимитом предсказуемости также была зарегистрирована в отчете 1969 года Глобальной программы исследований в атмосфере (GARP). Чтобы признать объединенные прямые и косвенные влияния модели Минца и Аракавы и моделей Лоренца, а также лидерство Charney et al., Shen et al. Обратитесь к двухнедельному пределу предсказуемости как гипотезу «предела предсказуемости», проводя аналогию с законом Мура.

AI-расширенная структура моделирования

В крупных языковых моделях, управляемых искусственным интеллектом, ответы могут проявлять чувствительность к таким факторам, как изменения в форматировании и изменения в подсказках. Эти чувствительность сродни эффектам бабочки. Хотя классификация крупных языковых моделей с AI как классические детерминированные хаотические системы создают проблемы, могут использоваться подходы и методы, вдохновленные хаосом (такие как ансамбль) для извлечения надежной информации из этих обширных языковых моделей (см. Также « Эффект бабочки в популярной культуре » )

Другие области

В химии прогнозирование растворимости газа необходимо для производства полимеров , но модели с использованием оптимизации роя частиц (PSO) имеют тенденцию сходиться к неправильным точкам. Улучшенная версия PSO была создана путем представления хаоса, который не дает симуляциям застревать. В небесной механике , особенно при наблюдении астероидов, применение теории хаоса приводит к лучшим прогнозам о том, когда эти объекты будут приближаться к Земле и другим планетам. Четыре из пяти лун Плутона вращаются хаотично. В квантовой физике и электротехнике изучение больших массивов Josephson Conutsces значительно выиграло от теории хаоса. Ближе к дому угольные шахты всегда были опасными местами, где частые утечки природного газа вызывают много смертей. До недавнего времени не было надежного способа предсказать, когда они произойдут. Но эти утечки газа имеют хаотические тенденции, которые при правильном моделировании могут быть предсказаны довольно точно.

Теория хаоса может применяться вне естественных наук, но исторически почти все такие исследования пострадали от отсутствия воспроизводимости; плохая внешняя достоверность; и/или невнимание к перекрестной проверке, что приводит к плохой точке прогнозирования (если предсказание вне выборки даже было предпринято). Стекло и Манделл и Сельц обнаружили, что ни одно исследование ЭЭГ до сих пор не указывало на наличие странных аттракторов или других признаков хаотического поведения.

Исследователи продолжали применять теорию хаоса к психологии. Например, при поведении группы моделирования, в котором гетерогенные члены могут вести себя так, как будто разделить в разные степени то, что в теории Уилфреда Биона является основным предположением, исследователи обнаружили, что динамика группы является результатом индивидуальной динамики: каждый из них: каждый Индивидуальный воспроизводит групповую динамику в разных масштабах, и хаотическое поведение группы отражается в каждом члене.

Редингтон и Рейдборд (1992) попытались продемонстрировать, что человеческое сердце может показать хаотические черты. Они контролировали изменения между интервалами в душераздирании для одного пациента с психотерапией, когда она пережила периоды различной эмоциональной интенсивности во время сеанса терапии. Результаты были по общему признанию неубедительными. Мало того, что на различных участках были не только неоднозначности, которые якобы демонстрировали доказательства хаотической динамики (спектральный анализ, фазовый траектория и автокорреляционные участки), но также когда они пытались вычислить показатель Lyapunov как более четкое подтверждение хаотического поведения, Авторы обнаружили, что не могут надежно сделать это.

В своей статье 1995 года Metcalf и Allen утверждал, что они обнаружили в поведении животных, схема периода удвоения, ведущая к хаосу. Авторы изучили известный ответ, называемый полидипсией, вызванной графиком, с помощью которого животное, лишенное пищи в течение определенного времени, будет пить необычное количество воды, когда пища наконец-то представлена. Управляющим параметром (R), работающим здесь, была длиной интервала между кормлением после возобновления. Авторы были осторожны, чтобы проверить большое количество животных и включить много повторов, и они разработали свой эксперимент, чтобы исключить вероятность того, что изменения в схеме ответа были вызваны различными стартовыми местами для R.

Временные ряды и задержки задержки обеспечивают наилучшую поддержку предъявленных претензий, демонстрируя довольно четкий марш от периодичности до неровности, поскольку время кормления было увеличено. Различные фазовые графики траектории и спектральный анализ, с другой стороны, не совпадают достаточно хорошо с другими графами или с общей теорией, которая неумолимо привести к хаотическому диагнозу. Например, фазовые траектории не показывают определенного прогрессирования в направлении большей и большей сложности (и вдали от периодичности); Процесс кажется довольно грязным. Кроме того, где Меткалф и Аллен видели периоды двух и шести на своих спектральных участках, есть место для альтернативных интерпретаций. Вся эта двусмысленность требует некоторого серпантина, постсе-хок-объяснения, чтобы показать, что результаты соответствуют хаотической модели.

Адаптируя модель карьерного консультирования, чтобы включить хаотическую интерпретацию отношений между сотрудниками и рынком труда, Амундсон и Брайт обнаружили, что могут быть сделаны лучшие предложения для людей, борющихся с карьерными решениями. Современные организации все чаще рассматриваются как открытые сложные адаптивные системы с фундаментальными природными нелинейными структурами, при условии, что внутренние и внешние силы могут вносить вклад в хаос. Например, строительство команды и развитие группы все чаще исследуются как непредсказуемая система, поскольку неопределенность разных людей, встречающихся впервые, делает траекторию команды непостижимой.

Некоторые говорят, что метафора хаоса, используемая в словесных теориях, основанных на математических моделях и психологических аспектах поведения человека Предоставляет полезную информацию о том, чтобы описать сложность небольших рабочих групп, которые выходят за рамки самой метафоры.

The red cars and blue cars take turns to move; the red ones only move upwards, and the blue ones move rightwards. Every time, all the cars of the same colour try to move one step if there is no car in front of it. Here, the model has self-organized in a somewhat geometric pattern where there are some traffic jams and some areas where cars can move at top speed.

Прогнозирование трафика может выиграть от применений теории хаоса. Лучшие прогнозы о том, когда произойдет заторы, позволят предпринять меры для рассеивания его до того, как это произойдет. Сочетание принципов теории хаоса с несколькими другими методами привело к более точной модели краткосрочного прогнозирования (см. График модели трафика BML справа).

Теория хаоса была применена к данным цикла воды окружающей среды (также гидрологические данные), такие как количество осадков и потока. Эти исследования дали противоречивые результаты, поскольку методы обнаружения хаотической сигнатуры часто являются относительно субъективными. Ранние исследования имели тенденцию «преуспеть» в поиске хаоса, тогда как последующие исследования и мета-анализы называли эти исследования, которые подвергались вопросу, и давали объяснения того, почему эти наборы данных вряд ли будут иметь хаотическую динамику низкого размера.

Смотрите также

Примеры хаотических систем

• Повеслим контуры
• Карта кошки Арнольда
• Теория бифуркации
• Подпрыгивающая динамика мяча
• Чуа
• Клиодинамика
• Связанная карта решетка
• Двойной маятник
• Уравнение даффинга
• Динамические бильярд
• Экономический пузырь
• Система Gaspard-Rice
• Henon Map
• Подкова карта
• Список хаотических карт
• Аттрактор Rössler
• Стандартная карта
• Покачивая машину Этвуда
• Наклоните вихрь

Другие связанные темы

• Амплитуда смерть
• Аносов Диффеоморфизм
• Теория катастрофы
• Причинность
• Хаос как топологическая суперсимметрия
• Машина хаоса
• Хаотическое смешивание
• Хаотическое рассеяние
• Контроль над хаосом
• Детерминизм
• Край хаоса
• Появление
• Мандельброт набор
• Колмогоров -Арнольд -Мозер Теорема
• Плохое обслуживание
• Плохое пополование
• Нелинейная система
• Узоры в природе
• Предсказуемость
• Сколько хаоса
• Институт Санта -Фе
• Тенирование леммы
• Синхронизация хаоса
• Непреднамеренные последствия

Люди

• Ральф Авраам
• Майкл Берри
• Леон О. Кау
• Ивар Экеланд
• Doyne Farmer
• Мартин Гуцвиллер
• Бросл Хасслахер
• Мишель Энон
• Aleksandr Lyapunov
• Норман Паккард
• Отто Рёсслер
• Дэвид Руэль
• Олександр Миколайович Шарковский
• Роберт Шоу
• Флорис Такенс
• Джеймс А. Йорк
• Джордж М. Заславский

Дальнейшее чтение

Статьи

• Sharkovskii, An (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения линии в себя». Украинская математика. Дж . 16 : 61–71.
• Ли, Тай ; Yorke, JA (1975). «Период третий подразумевает хаос» (PDF) . Американский математический ежемесячный . 82 (10): 985–92. Bibcode : 1975mmm ... 82..985L . Citeseerx   10.1.1.329.5038 . doi : 10.2307/2318254 . JSTOR   2318254 . Архивировано из оригинала (PDF) на 2009-12-29 . Получено 2009-08-12 .
• Алемансур, Хамед; Миандоаб, Эсан Маани; Пишкенари, Хоссейн Неджат (март 2017 г.). «Влияние размера на хаотическое поведение нано -резонаторов». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 44 : 495–505. Bibcode : 2017cnsns..44..495a . doi : 10.1016/j.cnsns.2016.09.010 .
• Crutchfield ; Такер; Моррисон; JD фермер ; Паккард ; NH; Шоу ; RS (декабрь 1986 г.). "Хаос". Scientific American . 255 (6): 38–49 (библиография с.136). Bibcode : 1986sciam.255d..38t . doi : 10.1038/Scientificamerican1286-46 . Онлайн -версия (примечание: цитата тома и страницы, упомянутая для онлайн -текста, отличается от того, что упоминается здесь. Цитация здесь происходит от фотокопии, которая согласуется с другими цитатами, найденными в Интернете, которые не предоставляют представления статьи. Онлайн -контент идентичен с хардкопическим текстом.
• Kolyada, SF (2004). «Чувствительность Li-Yorke и другие понятия хаоса». Украинская математика. Дж . 56 (8): 1242–57. doi : 10.1007/s11253-005-0055-4 . S2CID   207251437 .
• День, RH; Pavlov, OV (2004). «Вычисление экономического хаоса». Вычислительная экономика . 23 (4): 289–301. Arxiv : 2211.02441 . doi : 10.1023/b: csem.0000026787.81469.1f . S2CID   119972392 . SSRN   806124 .
• Strelioff, C.; Хублер, А. (2006). «Среднесрочный прогноз хаоса» (PDF) . Физический Преподобный Летт 96 (4): 044101. Bibcode : 2006 phrvl..96d4101S . doi : 10.1103/physrevlett.96.044101 . PMID   16486826 . 044101. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-04-26.
• Hübler, A.; Фостер, Г.; Фелпс, К. (2007). «Управление хаосом: мыслить из коробки» (PDF) . Сложность . 12 (3): 10–13. Bibcode : 2007cmplx..12c..10h . doi : 10.1002/cplx.20159 . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-10-30 . Получено 2011-07-17 .
• Движок, Адилсон Э.; Кэмпбелл, Дэвид К. (2013). "Хаос в 50". Физика сегодня . 66 (5): 27. Arxiv : 1306.5777 . Bibcode : 2013pht .... 66e..27m . doi : 10.1063/pt.3.1977 . S2CID   54005470 .

Учебники

• Alligood, KT; Sauer, T.; Yorke, JA (1997). Хаос: введение в динамические системы . Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94677-1 .
• Бейкер, Г.Л. (1996). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-39511-3 .
• BADII, R.; Полити А. (1997). Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-66385-4 .
• Коллет, Пьер; Экманн, Жан-Пьер (1980). Итерационные карты на интервале как динамические системы . Биркхаузер. ISBN  978-0-8176-4926-5 .
• Девани, Роберт Л. (2003). Введение в хаотические динамические системы (2 -е изд.). Westview Press. ISBN  978-0-8133-4085-2 .
• Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос . CRC Press. ISBN  0-8493-8493-1 .
• Feldman, DP (2012). Хаос и фракталы: элементарное введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-956644-0 Полем Архивировано из оригинала 2019-12-31 . Получено 2016-12-29 .
• Голлуб, JP; Бейкер, Г.Л. (1996). Хаотическая динамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-47685-0 .
• Гукенхаймер, Джон ; Холмс, Филипп (1983). Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей . Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90819-9 .
• Гулик, Денни (1992). Встречи с хаосом . МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-025203-5 .
• Gutzwiller, Martin (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97173-5 .
• Гувер, Уильям Грэм (2001) [1999]. Обратимость времени, компьютерное моделирование и хаос . Мировой научный. ISBN  978-981-02-4073-8 .
• Кауц, Ричард (2011). Хаос: наука о предсказуемом случайном движении . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-959458-0 .
• Киль, Л. Дуглас; Elliott, Euel W. (1997). Теория хаоса в социальных науках . Perseus Publishing. ISBN  978-0-472-08472-2 .
• Луна, Фрэнсис (1990). Хаотическая и фрактальная динамика . Springer-Verlag. ISBN  978-0-471-54571-2 .
• Орландо, Джузеппе ; Писархик, Александр; Стип, Руэди (2021). Нелинейности в экономике . Динамическое моделирование и эконометрика в экономике и финансах. Тол. 29. doi : 10.1007/978-3-030-70982-2 . ISBN  978-3-030-70981-5 Полем S2CID   239756912 .
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-01084-9 .
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос . Perseus Publishing. ISBN  978-0-7382-0453-6 .
• Спотт, Жюльен Клинтон (2003). Анализ хаоса и временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-850840-3 .
• Зима, Томас; Gruiz, Márton (2006). Хаотическая динамика: введение, основанное на классической механике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83912-9 .
• Teschl, Gerald (2012). Обычные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провидение : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Thompson JM, Stewart HB (2001). Нелинейная динамика и хаос . John Wiley and Sons Ltd. ISBN  978-0-471-87645-8 .
• Тафилларо ; Рейли (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . Американский журнал физики. Тол. 61. Аддисон-Уэсли. п. 958. BIBCODE : 1993AMJPH..61..958T . doi : 10.1119/1.17380 . ISBN  978-0-201-55441-0 .
• Виггинс, Стивен (2003). Введение в прикладные динамические системы и хаос . Спрингер. ISBN  978-0-387-00177-7 .
• Заславский, Джордж М. (2005). Гамильтонианский хаос и дробная динамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-852604-9 .

Семитехнические и популярные произведения

• Кристоф Леллье , хаос в природе , World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN   978-981-4374-42-2 .
• Авраам, Ральф Х.; Уэда, Йошисуке, ред. (2000). Хаос авангард: мемуары ранних дней теории хаоса . Всемирная научная серия о нелинейной науке серии A. Vol. 39. World Scientific. Bibcode : 2000cagm.book ..... a . doi : 10.1142/4510 . ISBN  978-981-238-647-2 .
• Барнсли, Майкл Ф. (2000). Фракталы везде . Морган Кауфманн. ISBN  978-0-12-079069-2 .
• Берд, Ричард Дж. (2003). Хаос и жизнь: сложность и порядок в эволюции и мысли . Издательство Колумбийского университета. ISBN  978-0-231-12662-5 .
• Джон Бриггс и Дэвид Пир, турбулентное зеркало:: Иллюстрированный гид по теории хаоса и науку о целостности , Harper Perennial 1990, 224 pp.
• Джон Бриггс и Дэвид Пир, Семь жизненных уроков хаоса: духовная мудрость из науки об изменениях , Harper Perennial 2000, 224 стр.
• Каннингем, Лоуренс А. (1994). «От случайных прогулок до хаотических сбоев: линейная генеалогия гипотезы на рынке капитала». Джордж Вашингтон Law Review . 62 : 546.
• Predrag Cvitanovic , Университет Хаоса , Адам Хилгер 1989, 648 стр.
• Леон Гласс и Майкл С. Макки, от часов до хаоса: ритмы жизни, издательство Принстонского университета 1988, 272 стр.
• Джеймс Глейк , Хаос: Создание новой науки , Нью -Йорк: Пингвин, 1988. 368 стр.
• Джон Гриббин. Глубокая простота . Penguin Press Science. Книги пингвинов.
• L Douglas Kiel, Euel W Elliott (ред.), Теория хаоса в социальных науках: Фонды и приложения , Университет Мичиганской прессы, 1997, 360 с.
• Арвинд Кумар, хаос, фракталы и самоорганизация; Новые перспективы сложности в природе , National Book Trust, 2003.
• Hans Lauwerier, Fractals , Princeton University Press, 1991.
• Эдвард Лоренц , «Суть хаоса» , Университет Вашингтонской прессы, 1996.
• Маршалл, Алан (2002). Единство природы - целостность и распад в экологии и науке . doi : 10.1142/9781860949548 . ISBN  9781860949548 .
• Дэвид Пик и Майкл Фрейм, Хаос под контролем: искусство и наука о сложности , Фриман, 1994.
• Heinz-Otto Peitgen и Dietmar Saupe (Eds.), «Наука фрактальных изображений» , Springer 1988, 312 стр.
• Нурия Перпина , хаос, вирусы, спокойствие. Теория хаоса применялась к художественному, социальному и политическому расстройству , пенопласта, 2021.
• Клиффорд А. Пиковер , компьютеры, шаблон, хаос и красота: графика из невидимого мира , St Martins PR 1991.
• Клиффорд А. Пиковер , хаос в стране чудес: визуальные приключения в фрактальном мире , St Martins PR 1994.
• Илья Пригогин и Изабель Стенгерс , Орден из хаоса , Бантам, 1984.
• Пейтген, Хайнц-Отто; Рихтер, Питер Х. (1986). Красота фракталов . doi : 10.1007/978-3-642-61717-1 . ISBN  978-3-642-61719-5 .
• Дэвид Руэль , Шанс и Хаос , Princeton University Press 1993.
• Иварс Петерсон , Часы Ньютона: хаос в солнечной системе , Фриман, 1993.
• Ян Роулстоун; Джон Норбери (2013). Невидимый в шторме: роль математики в понимании погоды . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. ISBN  978-0691152721 .
• Руэль Д. (1989). Хаотическая эволюция и странные аттракторы . doi : 10.1017/cbo9780511608773 . ISBN  9780521362726 .
• Манфред Шредер, фракталы, хаос и властные законы , Фриман, 1991.
• Смит, Питер (1998). Объясняя хаос . doi : 10.1017/cbo9780511554544 . ISBN  9780511554544 .
• Ян Стюарт , Бог играет в кубиках?: Математика Хаоса , Blackwell Publishers, 1990.
• Стивен Строгац , синхронизация: новая наука о спонтанном порядке , Hyperion, 2003.
• Йошисуке Уэда, Дорога в Хаос , Aerial PR, 1993.
• М. Митчелл Уолдроп, Сложность: новая наука на краю Ордена и Хаоса , Simon & Schuster, 1992.
• Антонио Савайя, Анализ финансовых временных рядов: подход хаоса и нейродинамики , Ламберт, 2012.

Внешние ссылки

• «Хаос» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
• Исследовательская группа нелинейной динамики с анимацией во флэш -
• Группа хаоса в Университете Мэриленда
• Гипертешник хаоса . Вступительный учебник по хаосу и фракталам
• Chaosbook.org усовершенствованный учебник для выпускников по хаосу (без фракталов)
• Теория общества хаоса в психологии и науках о жизни
• Исследовательская группа по нелинейной динамике в CSDC , Флоренция , Италия
• Нелинейная динамика: как наука понимает хаос , разговор, представленный Санни Ауян, 1998.
• Нелинейная динамика . Модели бифуркации и хаоса Элмера Г. Винс
• Глейк хаос (отрывок) архивировал 2007-02-02 на машине Wayback
• Системный анализ, моделирование и прогнозирование группы в Оксфордском университете
• Страница об уравнении макки-стекла
• Высокие тревоги - Математика Хаоса (2008 г.) Документальный фильм BBC, режиссер Дэвид Мэлоун
• Теория эволюции Хаоса -статья, опубликованная в новостях, сходствуя с сходством эволюции и нелинейных систем, включая фрактальную природу жизни и хаос.
• Джос Лейс, Этиенн Гис и Аурелиен Альварес, Хаос, математическое приключение . Девять фильмов о динамических системах, эффекте бабочки и теории хаоса, предназначенные для широкой аудитории.
• «Теория хаоса» , Дискуссия BBC Radio 4 с Сьюзен Гринфилд, Дэвидом Папино и Нилом Джонсоном ( в наше время , 16 мая 2002 г.)
• Хаос: наука о эффекте бабочки (2019) Объяснение, представленное Дереком Мюллером

Авторское право

• Эта статья включает текст из бесплатной работы контента . Лицензирован в соответствии с CC-BY ( заявление лицензии/разрешение ). Текст, взятый из трех видов эффектов бабочки в моделях Лоренца , Бо-Вэнь Шен, Роджер А. Пилке, старший, Xubin Zeng, Jialin Cui, Сара Фагих-Найни, Вэй Паксон и Роберт Атлас, MDPI. Энциклопедия.