Логизм

В философии математики — это программа , логицизм содержащая один или несколько тезисов, согласно которым — для некоторого связного значения слова « логика » — математика является расширением логики, часть или вся математика сводится к логике, или некоторые или все из них могут быть сведены к логике. математика может быть смоделирована в логике. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед поддержали эту программу, инициированную Готтлобом Фреге и впоследствии развитую Ричардом Дедекиндом и Джузеппе Пеано .

Обзор

На пути Дедекинда к логицизму произошел поворотный момент, когда он смог построить модель, удовлетворяющую аксиомам, характеризующим действительные числа, с использованием определенных наборов рациональных чисел . Эта и связанные с ней идеи убедили его в том, что арифметика , алгебра и анализ сводятся к натуральным числам плюс «логике» классов. Более того, к 1872 году он пришел к выводу, что сами натуральные числа можно свести к множествам и отображениям . Вероятно, что другие логики, в первую очередь Фреге, также руководствовались новыми теориями действительных чисел, опубликованными в 1872 году.

Философским стимулом логистской программы Фреге, начиная с «Основ арифметики» и далее, была отчасти его неудовлетворенность эпистемологическими и онтологическими положениями существовавших на тот момент описаний натуральных чисел, а также его убежденность в том, что использование Кантом истин о натуральных числах в качестве примеров Синтетическая априорная истина была неверной.

Это положило начало периоду распространения логицизма, главными представителями которого были Дедекинд и Фреге. Однако эта начальная фаза логистской программы оказалась в кризисе с открытием классических парадоксов теории множеств ( Кантор, 1896 г., Цермело и Рассел, 1900–1901 гг.). Фреге отказался от проекта после того, как Рассел осознал и сообщил о своем парадоксе, выявляющем несоответствие в системе Фреге, изложенной в «Основах арифметики». Обратите внимание, что наивная теория множеств также страдает от этой трудности.

С другой стороны, Рассел написал «Принципы математики» в 1903 году, используя парадокс и разработки Джузеппе Пеано школы геометрической . Поскольку он рассматривал тему примитивных понятий в геометрии и теории множествкак и исчисление отношений , этот текст является водоразделом в развитии логицизма. Доказательства утверждения логицизма были собраны Расселом и Уайтхедом в их Principia Mathematica .

Сегодня считается, что основная часть существующей математики логически выводится из небольшого количества экстралогических аксиом, таких как аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля (или ее расширения ZFC ), из которых пока не было выведено никаких противоречий. Таким образом, элементы логистских программ оказались жизнеспособными, но в ходе этого процесса теории классов, множеств и отображений, а также логики более высокого порядка, отличные от семантики Хенкина, стали рассматриваться как экстралогические по своей природе, отчасти под влиянием Куайна. позже подумал.

Курта Гёделя о Теоремы неполноте показывают, что ни одна формальная система, из которой можно вывести аксиомы Пеано для натуральных чисел, такая как системы Рассела в PM, не может решать все правильно построенные предложения этой системы. Этот результат нанес ущерб Дэвида Гильберта программе по основам математики , согласно которой «бесконечные» теории – такие как теория ПМ – должны были быть доказаны непротиворечивостью финитарных теорий, с целью тех, кто обеспокоен «бесконечными методами», убедить в том, что их использование доказуемо не должно приводить к выводу противоречия . Результат Гёделя предполагает, что для того, чтобы сохранить логистскую позицию, сохраняя при этом как можно больше от классической математики, необходимо принять некоторую аксиому бесконечности как часть логики. На первый взгляд, это также вредит логической программе, хотя и только для тех, кто уже сомневается в «бесконечных методах». Тем не менее, позиции, вытекающие как из логицизма, так и из гильбертовского финитизма, продолжают высказываться после публикации результата Гёделя.

Одним из аргументов в пользу того, что программы, основанные на логицизме, остаются в силе, может быть то, что теоремы о неполноте « доказываются с помощью логики, как и любые другие теоремы ». Однако этот аргумент, похоже, не признает различия между теоремами логики первого порядка и теоремами логики высшего порядка . Первое можно доказать финистическими методами, а второе – вообще – нет. Теорема о неопределимости Тарского показывает, что нумерацию Гёделя можно использовать для доказательства синтаксических конструкций, но не семантических утверждений. Следовательно, утверждение о том, что логицизм остается действенной программой, может заставить человека считать, что система доказательства, основанная на существовании и свойствах натуральных чисел, менее убедительна, чем система, основанная на некоторой конкретной формальной системе.

Логицизм – особенно благодаря влиянию Фреге на Рассела и Витгенштейна. а позже Даммет – внес значительный вклад в развитие аналитической философии в двадцатом веке.

Происхождение названия «логицизм».

Айвор Граттан-Гиннесс утверждает, что французское слово «Logistique» было «введено Кутюра и другими на Международном философском конгрессе 1904 года и с тех пор использовалось Расселом и другими в версиях, подходящих для разных языков». (ГГ 2000:501).

По-видимому, первое (и единственное) употребление Рассела появилось в его 1919 году: «Рассел несколько раз [sic] ссылался на Фреге, представляя его как человека, «который первым преуспел в «логизации» математики» (стр. 7). Если не считать искажения фактов, (что Рассел частично исправил, объяснив свой собственный взгляд на роль арифметики в математике), этот отрывок примечателен словом, которое он взял в кавычки, но их присутствие предполагает нервозность, и он никогда больше не использовал это слово, так что « логицизм» появился только в конце 1920-х годов» (GG 2002:434).

Примерно в то же время, что и Рудольф Карнап (1929), но, по-видимому, независимо, Френкель (1928) использовал это слово: «Без комментариев он использовал название «логизм» для характеристики позиции Уайтхеда/Рассела (в заголовке раздела на стр. 244, пояснение на стр. 263)» (ГГ 2002:269). Карнап использовал немного другое слово «Логистик»; Беманн жаловался на его использование в рукописи Карнапа, поэтому Карнап предложил слово «Logizismus», но в конце концов остановился на своем выборе слова «Logistik» (GG 2002:501). В конечном итоге «начиная с 1930 года распространение произошло в основном благодаря Карнапу». (ГГ 2000:502).

Намерение или цель логицизма

Явная цель логицизма — вывести всю математику из символической логики (Фреге, Дедекинд, Пеано, Рассел). В отличие от алгебраической логики ( булевой логики ), которая использует арифметические понятия, символическая логика начинается с очень сокращенного набора знаков (не -арифметические символы), несколько «логических» аксиом, которые воплощают «законы мышления», и правила вывода, которые диктуют, как знаки следует собирать и манипулировать ими – например, замена и ponens (т.е. из [1] материально modus подразумевает B и [2] A , можно вывести B ). Логицизм также заимствует из основ Фреге редукцию высказываний естественного языка из «субъекта|предиката» либо в пропозициональные «атомы», либо в «аргумент|функцию» «обобщения» — понятия « все », « некоторые », «класс» ( совокупность, совокупность) и «отношение».

В логистическом выводе натуральных чисел и их свойств никакая «интуиция» числа не должна «прокрадываться» ни в качестве аксиомы, ни случайно. Цель состоит в том, чтобы вывести всю математику, начиная со счетных чисел, а затем и действительных чисел, только из некоторых выбранных «законов мышления», без каких-либо молчаливых предположений о «до» и «после» или «меньше» и «больше». или по существу: "преемник" и "предшественник". Гёдель 1944 резюмировал логистические «конструкции» Рассела по сравнению с «конструкциями» основополагающих систем интуиционизма и формализма («школы Гильберта») следующим образом: «Обе эти школы основывают свои конструкции на математической интуиции, избегание которой является в точности одним основных целей конструктивизма Рассела » (Gödel 1944 в Собрании сочинений 1990:119).

История

Гёдель 1944 резюмировал исторический фон от Лейбница в «Characteristica Universalis» , через Фреге и Пеано до Рассела: «Фреге главным образом интересовался анализом мышления и использовал свое исчисление в первую очередь для вывода арифметики из чистой логики», тогда как Пеано « больше интересовался его применением в математике». Но «только в Principia Mathematica [Рассела] в полной мере был использован новый метод для фактического вывода больших частей математики из очень небольшого числа логических концепций и аксиом. Кроме того, молодая наука обогатилась новым инструментом — абстрактным теория отношений» (с. 120-121).

Клини (1952) формулирует это следующим образом: «Лейбниц (1666) впервые задумал логику как науку, содержащую идеи и принципы, лежащие в основе всех других наук. Дедекинд (1888) и Фреге (1884, 1893, 1903) занимались определением математических понятий в терминах. логических, и Пеано (1889, 1894–1908) в выражении математических теорем в логическом символизме» (с. 43); в предыдущем абзаце он включает Рассела и Уайтхеда как образцы «логистической школы», а две другие «основополагающие» школы — интуиционистскую и «формалистическую или аксиоматическую школу» (стр. 43).

Фреге 1879 описывает свои намерения в предисловии к своему Begriffsschrift 1879 года : Он начал с рассмотрения арифметики: вытекает ли она из «логики» или из «фактов опыта»?

«Сначала мне нужно было выяснить, насколько далеко можно продвинуться в арифметике с помощью одних только умозаключений, опираясь исключительно на те законы мышления, которые превосходят все частности. Моим первым шагом была попытка свести понятие упорядочения в последовательности к этому Чтобы не допустить проникновения сюда чего-либо интуитивного незамеченным, мне пришлось приложить все усилия, чтобы не допустить пробелов в цепочке выводов. препятствие; как бы громоздки ни были выражения, которые я был готов принять, я все менее и менее был способен, по мере того как отношения становились все более и более сложными, достичь той точности, которую требовала моя цель. Этот недостаток привел меня к идее настоящего. Идеография, следовательно, состоит в том, чтобы предоставить нам наиболее надежную проверку обоснованности цепочки умозаключений и указать на каждую предпосылку, которая пытается проникнуть незамеченной» (Frege 1879 in van Heijenoort 1967:5).

Дедекинд 1887 описывает свои намерения в предисловии 1887 года к первому изданию своей книги «Природа и значение чисел» . Он считал, что в «основаниях простейшей науки, а именно в той части логики, которая касается теории чисел», не были должным образом аргументированы – «ничто, что можно доказать, не должно быть принято без доказательства»:

Говоря об арифметике (алгебре, анализе) как части логики, я имею в виду, что считаю понятие числа совершенно независимым от понятий созерцаний пространства и времени, что я считаю его непосредственным результатом законов мышления. . . Числа — свободное творение человеческого разума. . . [и] только посредством чисто логического процесса построения науки о числах. . . готовы ли мы точно исследовать наши представления о пространстве и времени, приводя их в соответствие с этой числовой областью, созданной в нашем сознании» (Дедекинд, 1887, Дуврское переиздание, 1963:31).

Пеано 1889 заявляет о своих намерениях в предисловии к своим «Принципам арифметики» 1889 года :

Вопросы, относящиеся к основам математики, хотя и рассматриваются многими в последнее время, все еще не имеют удовлетворительного решения. Главный источник этой трудности — двусмысленность языка. ¶ Вот почему крайне важно внимательно изучать сами слова, которые мы используем. Моей целью было провести это исследование» (Peano 1889 и van Heijenoort 1967:85).

Рассел 1903 года описывает свои намерения в предисловии к своим «Принципам математики» 1903 года :

«Настоящая работа преследует две основные цели. Одна из них — доказательство того, что вся чистая математика имеет дело исключительно с понятиями, определяемыми в терминах очень небольшого числа фундаментальных логических понятий, и что все ее положения выводятся из очень небольшого числа фундаментальных понятий. логические принципы» (Предисловие 1903:vi).

«Несколько слов о происхождении настоящей работы могут послужить для того, чтобы показать важность обсуждаемых вопросов. Около шести лет назад я начал исследование философии динамики ... [Из двух вопросов - ускорения и абсолютного движения в «реляционной теории пространства»] меня привели к переосмыслению принципов геометрии, затем к философии непрерывности и бесконечности, а затем, с целью открытия значения слова «любой» , к символической логике. (Предисловие 1903:vi-vii).

Эпистемология, онтология и логицизм

Эпистемология Дедекинда и Фреге кажется менее четко определенной, чем теория Рассела, но обе, кажется, принимают как априорные обычные «законы мышления», касающиеся простых пропозициональных утверждений (обычно убеждений); этих законов было бы достаточно самих по себе, если бы они были дополнены теорией классов и отношений (например, x R y ) между индивидами x и y, связанными обобщением R.

Аргументация Дедекинда начинается со слов: «1. В дальнейшем я понимаю под вещью каждый объект нашей мысли»; мы, люди, используем символы, чтобы обсуждать эти «вещи» нашего разума; «Вещь полностью определяется всем, что можно утверждать или думать о ней» (с. 44). В следующем абзаце Дедекинд обсуждает, что такое «система S : это совокупность, многообразие, совокупность связанных элементов (вещей) a , b , c »; он утверждает, что «такая система S ... как предмет нашего мышления есть также вещь (1); она полностью определена, когда относительно каждой вещи определено, является ли она элементом S или нет*». (стр. 45, курсив добавлен). Знак * указывает на сноску, в которой он утверждает, что:

« Кронекер Не так давно ( «Журнал Крелля» , т. 99, стр. 334–336) попытался наложить некоторые ограничения на свободное формирование понятий в математике, которые я не считаю оправданными» (стр. 45).

Более того, он ожидает, что Кронекер «опубликует свои доводы в пользу необходимости или просто целесообразности этих ограничений» (с. 45).

Кронекер, известный своим утверждением, что « Бог создал целые числа , все остальное — дело рук человека». были его враги, среди них Гильберт. Гильберт называл Кронекера « догматиком в той мере, в какой он принимает целое число с его существенными свойствами как догму и не оглядывается назад» Брауэра и приравнял свою крайнюю конструктивистскую позицию к позиции интуиционизма , обвиняя обоих в «субъективизме»: «Частью задачи науки является освобождение нас от произвола, сантиментов и привычек и защита нас от субъективизма, который уже дал о себе знать в Кронекера и, мне кажется, находит свою кульминацию в интуиционизме». Затем Гильберт заявляет, что «математика — это наука без предпосылок. Чтобы ее основать, мне не нужен Бог, как Кронекеру…». (с. 479).

Рассела Реализм послужил ему противоядием от британского идеализма . с частями заимствованными из европейского рационализма и британского эмпиризма . Начнем с того, что «Рассел был реалистом в отношении двух ключевых вопросов: универсалий и материальных объектов» (Russell 1912:xi). Для Рассела таблицы — это реальные вещи, существующие независимо от Рассела-наблюдателя. Рационализм внес бы понятие априорного знания, в то время как эмпиризм внесет роль экспериментального знания (индукция из опыта). Рассел отдал должное Канту за идею «априорного» знания, но он выдвигает возражение против Канта, которое он считает «фатальным»: «Факты [мира] всегда должны соответствовать логике и арифметике. внесенный нами вклад этого не объясняет» (1912:87); Рассел заключает, что априорное знание, которым мы обладаем, касается «вещей, а не только мыслей» (1912:89). И в этом эпистемология Рассела кажется отличной от теории Дедекинда о том, что «числа — это свободные творения человеческого разума» (Dedekind 1887:31).

Но его эпистемология врожденного (он предпочитает слово «априори», когда применяется к логическим принципам, ср. 1912:74) сложна. Он решительно и недвусмысленно выразил бы поддержку платоновским «универсалиям» (ср. 1912:91-118) и пришел к выводу, что истина и ложь находятся «где-то там»; разум создает убеждения , и то, что делает убеждение истинным, является фактом, «и этот факт (за исключением исключительных случаев) не затрагивает разум человека, у которого есть убеждение» (1912: 130).

Откуда Рассел взял эти эпистемические представления? Он рассказывает нам в предисловии к своим «Основам математики» 1903 года . Обратите внимание: он утверждает, что убеждение: «Эмили — кролик» не существует, и тем не менее истинность этого несуществующего утверждения не зависит от какого-либо познающего разума; если Эмили действительно является кроликом, факт этой истины существует независимо от того, жив или мертв Рассел или любой другой разум, и отношение Эмили к кроличьему состоянию является «окончательным»:

«По фундаментальным вопросам философии моя позиция во всех ее основных чертах заимствована у г-на Дж. Мура. Я принял от него неэкзистенциальную природу предложений (за исключением тех, которые утверждают существование) и их независимость от любого познающего. также разум, который рассматривает мир, как мир существующих, так и мир сущностей, как состоящий из бесконечного числа взаимно независимых сущностей, с отношениями, которые являются первичными и не сводятся к прилагательным их терминов или целого, которое они составляют; .. Только что упомянутые доктрины, по моему мнению, совершенно необходимы для любой, даже сносной философии математики, как я надеюсь, что мои предпосылки просто предполагаются. они допускают, что математика истинна, чего не допускает большинство современных философий, что, несомненно, является мощным аргументом в их пользу». (Предисловие 1903:viii)

В 1902 году Рассел обнаружил «порочный круг» ( парадокс Рассела Фреге ) в «Grundgesetze der Arithmetik» , выведенный из «Основного закона V» Фреге, и он был полон решимости не повторять его в своих «Принципах математики» 1903 года . В двух приложениях, добавленных в последнюю минуту, он посвятил 28 страниц как подробному анализу теории Фреге в сравнении с его собственной, так и исправлению парадокса. Но он не был оптимистичен по поводу результата:

«В случае с классами, я должен признаться, мне не удалось усмотреть ни одного понятия, удовлетворяющего условиям, необходимым для понятия класса. И противоречие, обсуждаемое в главе X, доказывает, что что-то не так, но что именно, я до сих пор не понял открыть (Предисловие к Расселу 1903:vi)».

Гёдель в своей работе «1944» не согласился бы с молодым Расселом 1903 года («[мои предпосылки] допускают, что математика верна»), но, вероятно, согласился бы с приведенным выше утверждением Рассела («что-то не так»); Теория Рассела не смогла создать удовлетворительную основу математики: результат был «по существу отрицательным; то есть классы и понятия, введенные таким образом, не обладают всеми свойствами, необходимыми для использования математики» (Гёдель 1944: 132).

Как Рассел оказался в этой ситуации? Гёдель отмечает, что Рассел является удивительным «реалистом» с изюминкой: он цитирует Рассела 1919:169 «Логика занимается реальным миром так же верно, как и зоология» (Gödel 1944:120). Но он отмечает, что «когда он приступил к конкретной проблеме, объекты анализа (например, классы или предложения) вскоре по большей части превратились в «логические фикции»... [имеется в виду] только то, что у нас нет прямого восприятия их." (Гёдель 1944:120)

В наблюдении, касающемся логицизма Рассела, Перри отмечает, что Рассел прошел три фазы реализма: крайнюю, умеренную и конструктивную (Perry 1997:xxv). В 1903 году он находился в крайней стадии; к 1905 году он будет в умеренной фазе. Через несколько лет он «откажется от физических или материальных объектов как основных частей обстановки мира. Он попытается сконструировать их на основе чувственных данных» в своей следующей книге « Наши знания о внешнем мире» [1914]» ( Перри 1997: xxvi).

Эти конструкции в том, что Гёдель 1944 назвал « номиналистическим конструктивизмом… который лучше было бы назвать фикционализмом », произошли от «более радикальной идеи Рассела, теории отсутствия классов» (стр. 125):

«согласно которому классы или понятия никогда не существуют как реальные объекты, а предложения, содержащие эти термины, имеют смысл лишь постольку, поскольку их можно интерпретировать как... способ говорить о других вещах» (с. 125).

Дополнительную информацию см. в разделах «Критика» ниже.

Пример логистской конструкции натуральных чисел: конструкция Рассела в « Началах».

Логицизм Фреге и Дедекинда подобен логицизму Рассела, но с различиями в деталях (см. «Критика» ниже). В целом, логистский вывод натуральных чисел отличается от вывода, например, из аксиом Цермело для теории множеств («Z»). В то время как при выводе из Z одно определение «числа» использует аксиому этой системы – аксиому спаривания – что приводит к определению « упорядоченной пары » – в различных логистических системах аксиом не существует явной аксиомы числа, позволяющей вывести натуральных чисел. Обратите внимание, что аксиомы, необходимые для получения определения числа, в любом случае могут различаться в разных системах аксиом теории множеств. Например, в ZF и ZFC аксиома спаривания и, следовательно, в конечном итоге понятие упорядоченной пары выводится из Аксиомы Бесконечности и Аксиомы Замены и требуется при определении чисел Фон Неймана (но не Цермело). цифры), тогда как в НФУ цифры Фреге могут быть получены аналогично их выводу в Grundgesetze.

Principia равночисленность , как и ее предшественник Grundgesetze , начинает построение чисел с примитивных предложений, таких как «класс», «пропозициональная функция» и, в частности, отношений «сходства» (« » : размещение элементов коллекций в одном соответствие) и «упорядочение» (использование отношения «преемник» для упорядочивания коллекций равночисленных классов)». Логистический вывод приравнивает кардинальные числа, построенные таким образом, к натуральным числам, и эти числа в конечном итоге оказываются одного и того же «типа» – как классы классов – тогда как в некоторых теоретических конструкциях множеств – например, числительных Фон Неймана и Цермело – каждое число имеет своего предшественника в качестве подмножества . Клини отмечает следующее. (Предположения Клини (1) и (2) гласят, что 0 обладает свойством P , а n +1 обладает свойством P всякий раз, когда n обладает свойством P. )

«Здесь точка зрения сильно отличается от точки зрения [Кронекера] о том, что «Бог создал целые числа» плюс Пеано аксиомы числа и математической индукции ], где мы предположили интуитивную концепцию последовательности натуральных чисел и извлекли из нее определенное свойство P принцип, согласно которому всякий раз, когда задано натуральных чисел такое, что (1) и (2), тогда любое данное натуральное число должно обладать свойством P ». (Клин 1952:44).

Важность построения натуральных чисел для логистической программы вытекает из утверждения Рассела: «То, что вся традиционная чистая математика может быть выведена из натуральных чисел, является довольно недавним открытием, хотя об этом уже давно подозревали» (1919:4). Один из выводов действительных чисел происходит из теории дедекиндовых сокращений рациональных чисел, причем рациональные числа, в свою очередь, выводятся из натуральных чисел. Хотя пример того, как это делается, полезен, он основан в первую очередь на выводе натуральных чисел. Итак, если при логистском выводе натуральных чисел возникают философские трудности, этих проблем должно быть достаточно, чтобы остановить программу до тех пор, пока они не будут решены (см. «Критика» ниже).

Одна попытка построить натуральные числа резюмирована Бернейсом (1930–1931). Но вместо того, чтобы использовать краткую информацию Бернейса, которая неполна в некоторых деталях, ниже изложена попытка перефразировать конструкцию Рассела, включающую некоторые ограниченные иллюстрации:

Предварительные сведения

Для Рассела коллекции (классы) — это совокупности «вещей», определяемых именами собственными, которые возникают в результате пропозиций (утверждений фактов о вещи или вещах). Рассел проанализировал это общее понятие. Он начинает с «терминов» в предложениях, которые он проанализировал следующим образом:

Для Рассела «термины» — это либо «вещи», либо «концепции»: «Все, что может быть объектом мысли, или может встречаться в каком-либо истинном или ложном суждении, или может считаться таковым, я называю термином . — самое широкое слово в философском словаре. Я буду использовать в качестве его синонимов слова «единица», «индивидуум» и «сущность». Первые два подчеркивают тот факт, что каждый термин един, а третий происходит от того факта, что каждый термин. имеет бытие, т. е. в каком-то смысле является человеком, моментом, числом, классом, отношением, химерой или чем-либо еще, что можно упомянуть, несомненно, является термином и отрицает, что то-то и то-то; вещь — термин всегда должен быть ложным» (Рассел 1903:43).

«Среди терминов можно выделить два рода, которые я буду называть соответственно вещами и понятиями ; первые — это термины, обозначаемые именами собственными, вторые — термины, обозначаемые всеми другими словами... меньше всего следует различать, а именно те, которые обозначаются прилагательными, и те, которые обозначаются глаголами» (1903:44).

«Первые виды часто будут называться предикатами или классовыми понятиями; вторые всегда или почти всегда являются отношениями». (1903:44)

«Я буду говорить о терминах предложения как о тех терминах, какими бы многочисленными они ни были, которые встречаются в предложении и могут рассматриваться как субъекты, относительно которых это предложение. Характерной чертой членов предложения является то, что любой из них может быть заменяется какой-либо другой сущностью, не переставая иметь предложение. Таким образом, мы скажем, что «Сократ есть человек» — это предложение, имеющее только один член из оставшегося компонента предложения: один — глагол, другой — предикат. .. Таким образом, предикаты — это понятия, отличные от глаголов, которые встречаются в предложениях, имеющих только один термин или подлежащее». (1903:45)

Предположим, кто-то указал на объект и сказал: «Этот объект передо мной по имени «Эмили» — женщина». Это утверждение, утверждение убеждения говорящего, которое должно быть проверено на основе «фактов» внешнего мира: «Разум не создает истину или ложь. Он создает убеждения… то, что делает убеждение истинным, является фактом» . , и этот факт (за исключением исключительных случаев) никоим образом не затрагивает разум человека, который верит» (1912: 130). Если путем исследования высказывания и соответствия «факту» Рассел обнаружит, что Эмили — кролик, то его высказывание считается «ложным»; если Эмили — женщина-человек (женщина-«двуногий человек без перьев», как Рассел любит называть людей, следуя Диогена Лаэртиуса анекдоту о Платоне ), то его высказывание считается «истинным».

«Класс, в отличие от понятия класса, есть сумма или соединение всех терминов, имеющих данный предикат» (1903, стр. 55). Классы могут быть определены расширением (перечислением их членов) или интенсионалом, т.е. с помощью «пропозициональной функции», такой как « x — это u » или « x — это v ». Но «если мы возьмем расширение в чистом виде, наш класс определяется перечислением его членов, и этот метод не позволит нам иметь дело, как это делает символическая логика, с бесконечными классами. Таким образом, наши классы в общем должны рассматриваться как объекты, обозначаемые понятиями». , и в этом смысле точка зрения интенсионала существенна». (1909 стр. 66)

«Характеристикой понятия класса, в отличие от терминов вообще, является то, что « x есть u » является пропозициональной функцией тогда и только тогда, когда u является понятием класса». (1903:56)

«71. Класс может быть определен либо экстенсионально, либо интенсионально. Другими словами, мы можем определить тип объекта, который является классом, или тип понятия, обозначающего класс: в этом точный смысл оппозиции экстенсиональности и Но хотя общее понятие может быть определено таким двояким образом, отдельные классы, за исключением тех случаев, когда они оказываются конечными, могут быть определены только интенционально, т. е. как объекты, обозначаемые такими-то понятиями. логически; экстенсиональное определение кажется в равной степени применимым к бесконечным классам, но на практике, если бы мы попытались это сделать, Смерть прервала бы наше похвальное усилие прежде, чем оно достигло бы своей цели» (1903:69).

Определение натуральных чисел

В «Началах» натуральные числа вытекают из всех утверждений, которые можно высказать о любом наборе сущностей. Рассел ясно дает понять это во втором предложении (выделенном курсивом) ниже.

«Во-первых, числа сами по себе образуют бесконечную коллекцию и, следовательно, не могут быть определены путем перечисления . . В-третьих, мы хотим дать определение «числу» Таким образом, мы должны иметь возможность говорить о числе терминов в бесконечном наборе, и такой набор должен определяться интенсионалом, т. е. свойством, общим для всех его членов и специфическим им». (1919:13)

Для иллюстрации рассмотрим следующий конечный пример. Предположим, на улице проживают 12 семей. У кого-то есть дети, у кого-то нет. Для обсуждения имен детей в этих домохозяйствах требуется 12 предложений, утверждающих, что « имя ребенка — это имя ребенка в семье F n », применимое к этой совокупности домохозяйств на конкретной улице семей с именами F1, F2, . . . Ф12. Каждое из 12 предложений касается того, применимо ли «аргументированное» имя ребенка к ребенку в конкретном домохозяйстве. Имена детей ( childname ) можно рассматривать как x в пропозициональной функции f ( x ), где функция — это «имя ребенка в семье с именем F n ».

В то время как предыдущий пример конечен для конечной пропозициональной функции « имена детей в семье Fn ' » на конечной улице конечного числа семей, Рассел, по-видимому, намеревался распространить следующий пример на все пропозициональные функции, простирающиеся на бесконечную область, так что чтобы разрешить создание всех чисел.

Клини считает, что Рассел дал непредикативное определение, которое ему придется разрешить, иначе он рискует получить нечто вроде парадокса Рассела . «Вместо этого мы предполагаем совокупность всех свойств кардинальных чисел, существующих в логике до определения последовательности натуральных чисел» (Клин 1952:44). Проблема возникнет даже в представленном здесь конечном примере, когда Рассел будет иметь дело с классом единиц (ср. Рассел 1903:517).

Возникает вопрос, чем именно является или должен быть «класс». Для Дедекинда и Фреге класс — это отдельная сущность, «единство», которое можно отождествить со всеми теми сущностями , которые удовлетворяют некоторой пропозициональной функции F. x (Этот символизм появляется у Рассела, приписываемый там Фреге: «Сущность функции — это то, что остается, когда x , т. е. в приведенном выше примере 2( ) отнимают ³ + ( ). Аргумент x не принадлежит функции, но они вместе составляют единое целое (там же, стр. 6 [т.е. « Функция и Begriff » Фреге 1891 года)» (Рассел 1903:505).) Например, определенная «единица» может быть дано имя; предположим, что в семье Fα есть дети с именами Энни, Барби и Чарльз:

{ a, b, c } _Fα

Это понятие коллекции или класса как объекта, если использовать его без ограничений, приводит к парадоксу Рассела ; Подробнее о непредикативных определениях см. ниже . Решение Рассела состояло в том, чтобы определить понятие класса как только те элементы, которые удовлетворяют предложению, его аргумент заключался в том, что аргументы x действительно не принадлежат пропозициональной функции, т. е. «классу», созданному этой функцией. Сам класс не следует рассматривать как единый объект сам по себе, он существует лишь как своего рода полезная фикция: «Мы избежали решения относительно того, существует ли в каком-либо смысле класс вещей как один объект. Решение этого вопроса в любом случае безразлично для нашей логики» (Первое издание Principia Mathematica 1927:24).

Рассел продолжает придерживаться этого мнения в своем «1919 году»; обратите внимание на слова «символические вымыслы»:

«Когда мы решили, что классы не могут быть вещами того же рода, что и их члены, что они не могут быть просто кучами или агрегатами, а также что их нельзя отождествлять с пропозициональными функциями, становится очень трудно понять, чем они могут быть, если они должны быть чем-то большим, чем просто символическими фикциями . И если мы сможем найти какой-либо способ обращаться с ними как с символическими фикциями , мы повысим логическую безопасность нашей позиции, поскольку избежим необходимости предполагать существование классов без необходимости делать это. противоположное предположение, что классов нет. Мы просто воздерживаемся от обоих предположений. ..» (1919:184)

А во втором издании PM (1927) Рассел утверждает, что «функции возникают только через свои значения... все функции функций экстенсиональны... [и], следовательно, нет оснований различать функции и классы... Таким образом, классы, в отличие от функций, теряют даже ту призрачную сущность, которую они сохраняют в *20" (стр. xxxix). Другими словами, классы как отдельное понятие исчезли вообще.

Шаг 2. Соберите «похожие» классы в «пучки» . Эти вышеприведенные коллекции можно поместить в «бинарное отношение» (сравнение) по сходству посредством «равномерности», обозначенной здесь ≈ , т.е. соответствия элементов «один-один». и тем самым создавать расселовские классы классов или то, что Рассел называл «связками». «Мы можем положить все пары в один пучок, все тройки в другой и так далее. Таким образом, мы получаем различные пучки коллекций, причем каждый пучок состоит из всех коллекций, которые имеют определенное количество членов. Каждый пучок представляет собой класс, члены — это коллекции, то есть классы; таким образом, каждый является классом классов» (Рассел 1919:14).

Шаг 3. Определите нулевой класс . Обратите внимание, что определенный класс классов является особенным, поскольку его классы не содержат элементов, т. е. ни один элемент не удовлетворяет предикатам, утверждение которых определило этот конкретный класс/коллекцию.

Полученный объект можно назвать «нулевым классом» или «пустым классом». Рассел символизировал нулевой/пустой класс с помощью Λ. Так что же такое расселовский нулевой класс? В PM Рассел говорит, что «класс считается существующим , если он имеет хотя бы один член... класс, у которого нет членов, называется «нулевым классом»... «α — это нулевой класс» эквивалентен «нулевому классу». α не существует». Естественно возникает вопрос, «существует» ли сам нулевой класс? Трудности, связанные с этим вопросом, возникают в работе Рассела 1903 года. После того, как он обнаружил парадокс в «Grundgesetze» Фреге , он добавил Приложение А к своему 1903 году, в котором посредством анализа природы нулевых и единичных классов он обнаружил необходимость «доктрины типов»; подробнее о классе единиц, проблеме непредикативных определений и «принципе порочного круга» Рассела см. ниже.

Шаг 4. Присвойте каждому пакету «цифру» . В целях сокращения и идентификации каждому пакету присвойте уникальный символ (также известный как «цифра»). Эти символы произвольны.

Шаг 5: Определите «0». Следуя Фреге, Рассел выбрал пустой или нулевой класс классов в качестве подходящего класса для выполнения этой роли, причем это класс классов, не имеющих членов. Этот нулевой класс классов может быть помечен как «0».

Шаг 6. Определите понятие «преемник» . Рассел определил новую характеристику «наследственная» (ср. «предковая» Фреге), свойство определенных классов со способностью «наследовать» характеристику от другого класса (который может быть классом). классов), т.е. «Свойство называется «наследственным» в ряду натуральных чисел, если всякий раз, когда оно принадлежит числу n , оно также принадлежит n +1, преемнику n ». (1903:21). Он утверждает, что «натуральные числа являются потомками – «детями», наследниками «преемника» – 0 по отношению к отношению «непосредственный предшественник (что является обратным слову «преемник») (1919:23). ).

Обратите внимание: Рассел использовал здесь несколько слов без определения, в частности «числовую серию», «номер n » и «преемник». Он определит их в свое время. Обратите внимание, в частности, что Рассел не использует единичный класс классов «1» для создания преемника . Причина в том, что в подробном анализе Рассела если единичный класс становится самостоятельной сущностью, то он тоже может быть элементом в своем собственном предложении; это приводит к тому, что предложение становится «непредикативным» и приводит к «порочному кругу». Скорее он утверждает: «В главе II мы видели, что кардинальное число следует определять как класс классов, а в главе III, что число 1 следует определять как класс всех единичных классов, из всех, которые только что были созданы. один член, как мы бы сказали, если бы не порочный круг. Конечно, когда число 1 определяется как класс всех классов единиц, классы единиц должны быть определены, чтобы не предполагать, что мы знаем, что подразумевается под единицей (1919) . :181).

В своем определении преемника Рассел будет использовать для своего «подразделения» одно лицо или «термин» следующим образом:

«Осталось определить «преемника». Для любого числа n пусть α будет классом, имеющим n членов, и пусть x будет термином, который не является членом α . Тогда класс, состоящий из α с x, добавленным будет иметь + 1 член. Таким образом, мы имеем следующее определение:

преемником числа терминов в классе α является количество терминов в классе, состоящем из α вместе с x, где x не является каким-либо термином, принадлежащим классу " (1919:23).

Определение Рассела требует нового «термина», который «добавляется» в коллекции внутри пакетов.

Шаг 7: Создайте преемника нулевого класса .

Шаг 8: Для каждого класса равночисленных классов создайте его преемника .

Шаг 9: Упорядочение чисел . Процесс создания преемника требует отношения «… является преемником…», которое может обозначаться « S », между различными «цифрами». «Теперь мы должны рассмотреть серийный характер натуральных чисел в порядке 0, 1, 2, 3,... Обычно мы думаем о числах именно в этом порядке, и это существенная часть работы по анализу наших данных. искать определение «порядка» или «серии» в логических терминах . некоторые как позже». (1919:31)

Рассел применяет к понятию «отношения упорядочения» три критерия: во-первых, он определяет понятие асимметрии , т.е. учитывая такое отношение, как S («... является преемником...») между двумя терминами x и y : x S y ≠ y S Икс . Во-вторых, он определяет понятие транзитивности для трех цифр x , y и z : если x S y и y S z, то x S z . В-третьих, он определяет понятие связности : «Для любых двух членов класса, который необходимо упорядочить, должен быть один, который предшествует, и другой, который следует за ним... Отношение является связанным, когда при данных любых двух различных членах его поле [как область, так и обратная область отношения, например, мужья и жены в отношениях брака] отношения существуют между первым и вторым или между вторым и первым (не исключая возможности того, что оба могут произойти, хотя оба не могут произойдет, если отношение асимметрично) (1919:32).

Он заключает: «... [натуральное] число m называется меньшим, чем другое число n, когда n обладает всеми наследственными свойствами, которыми обладает наследник m . Легко увидеть и нетрудно доказать, что соотношение» «меньше», определенное таким образом, является асимметричным, транзитивным и связным и имеет [натуральные] числа для своего поля [т.е. и область определения, и обратная область определения являются числами]». (1919:35)

Критика

Презумпция «экстралогического» понятия итерации : Клини отмечает, что «логистический тезис может быть окончательно подвергнут сомнению на том основании, что логика уже предполагает математические идеи в своих формулировках. С точки зрения интуиционизма, существенное математическое ядро ​​содержится в идее итерации». итерация» (Клин 1952:46)

Бернейс 1930–1931 отмечает, что это понятие «две вещи» уже предполагает что-то, даже без утверждения о существовании двух вещей, а также без ссылки на предикат, который применим к двум вещам; оно означает просто «вещь и еще одну вещь... По отношению к этому простому определению понятие числа оказывается элементарным структурным понятием ... утверждение логиков, что математика есть чисто логическое знание, оказывается быть размытым и вводящим в заблуждение при более внимательном рассмотрении теоретической логики. 1998: 243).

Гильберт 1931:266-7, как и Бернейс, считает, что в математике есть «нечто экстралогическое»: «Помимо опыта и мышления, существует еще третий источник знания. Даже если сегодня мы больше не можем соглашаться с Кантом в деталях». Тем не менее самая общая и основная идея кантовской эпистемологии сохраняет свое значение: установить интуитивный априорный способ мышления и тем самым исследовать условие возможности всякого познания. По моему мнению, именно это и происходит в моих исследованиях. Априори определенные здесь есть не что иное, как фундаментальный способ мышления, который я также называю конечным способом мышления: нечто уже дано нам заранее в нашей способности представления: экстра- логические конкретные объекты , которые существуют интуитивно как непосредственный опыт до всякого мышления. Если логический вывод должен быть достоверным, то эти объекты должны быть полностью обозримы во всех своих частях, их представлении, их различиях, их следовании друг за другом или их расположении следующим. друг другу непосредственно и интуитивно даны нам вместе с предметами как нечто, что ни к чему другому не может быть сведено и не нуждается в такой редукции». (Hilbert 1931 в Mancosu 1998: 266, 267).

Короче говоря, согласно Гильберту и Бернейсу, понятие «последовательность» или «преемник» является априорным понятием, лежащим вне символической логики.

Гильберт отверг логицизм как «ложный путь»: «Некоторые пытались определить числа чисто логически; другие просто считали обычные теоретико-числовые способы вывода самоочевидными. На обоих пути они столкнулись с препятствиями, которые оказались непреодолимыми». (Гильберт 1931 в Манкосо 1998:267). Теоремы о неполноте, возможно, представляют собой аналогичное препятствие для гильбертова финитизма.

Манкосу утверждает, что Брауэр пришел к выводу, что: «классические законы или принципы логики являются частью [] воспринимаемой регулярности [в символическом представлении]; они выводятся из записи математических построений постфактум... Теоретическая логика... [ является] эмпирической наукой и применением математики» (Брауэр цитируется Манкосу 1998:9).

Что касается технических аспектов расселовского логицизма, как они представлены в Principia Mathematica (любое издание), Гёдель в 1944 году был разочарован:

«Должно сожалеть, что этому первому всестороннему и основательному изложению математической логики и выведению из нее математики [?] так сильно не хватает формальной точности в основаниях (содержащихся в *1–*21 « Начал» ). что в этом отношении он представляет собой значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Чего не хватает, прежде всего, так это точного определения синтаксиса формализма» (ср. сноску 1 в Gödel 1944 Collections 1990:120).

В частности, он отметил, что «этот вопрос особенно сомнителен в отношении правила замены и замены определенных символов их определениями » (Рассел 1944:120).

Что касается философии, которая могла бы лежать в основе этих основ, Гёдель считал «бесклассовую теорию» Рассела воплощением «номиналистического типа конструктивизма... который лучше было бы назвать фикционализмом» (ср. сноску 1 в Gödel 1944:119) – быть неисправным. Дополнительную информацию см. ниже в разделе «Критика и предложения Гёделя».

Сложная теория отношений продолжала душить объяснительное « Введение в математическую философию» Рассела 1919 года и его второе издание « Начал» 1927 года . Тем временем теория множеств продвинулась в своем сведении к упорядоченной паре множеств. Граттан-Гиннесс отмечает, что во втором издании «Начал» Рассел проигнорировал это сокращение, достигнутое его собственным учеником Норбертом Винером (1914). Возможно, из-за «остаточного раздражения Рассел вообще не отреагировал». К 1914 году Хаусдорф дал другое, эквивалентное определение, а Куратовский в 1921 году предложил то, которое используется сегодня .

Класс единицы, непредикативность и принцип порочного круга

Предположим, библиотекарь хочет объединить свою коллекцию в одну книгу (назовем ее Ι для «индекса»). В ее указателе будут перечислены все книги и их расположение в библиотеке. Как оказалось, книг всего три, и они имеют названия Ά, β и Γ. Чтобы сформировать свой индекс I, она идет и покупает книгу из 200 пустых страниц и называет ее «I». Теперь у нее четыре книги: I, Ά, β и Γ. Ее задача не сложная. После завершения содержимое ее указателя I будет состоять из 4 страниц, каждая из которых имеет уникальный заголовок и уникальное местоположение (каждая запись сокращенно называется Title.Location _T ):

Я знак равно {IL _I , A.L _A , b.L _b , C.L _C }.

считал такое определение «я» Пуанкаре « непредикативным ». Похоже, он считал, что в математике допустимы только предикативные определения:

«Определение является «предикативным» и логически допустимым только в том случае, если оно исключает все объекты, которые зависят от определяемого понятия, то есть которые могут каким-либо образом определяться им».

По определению Пуанкаре, индексная книга библиотекаря является «императивной», поскольку определение I зависит от определения совокупности I, Ά, β и Γ. Как отмечено ниже, некоторые комментаторы настаивают на том, что непредикативность в версиях, основанных на здравом смысле, безвредна, но, как показывают приведенные ниже примеры, существуют версии, которые не безобидны. В ответ на эти трудности Рассел выступил за строгий запрет, свой «принцип порочного круга»:

«Никакая целостность не может содержать членов, определяемых только в терминах этой тотальности, или членов, включающих или предполагающих эту тотальность» (принцип порочного круга)» (Gödel 1944, появляется в Собрании сочинений, том II 1990: 125).

Чтобы проиллюстрировать, каким пагубным примером может быть непредикативность, рассмотрим последствия ввода аргумента α в функцию f с выходным значением ω = 1−α. Это можно рассматривать как эквивалент «алгебро-логического» выражения «символически-логическому» выражению ω = NOT -α со значениями истинности 1 и 0. Когда входной сигнал α = 0, выходной сигнал ω = 1; когда вход α = 1, выход ω = 0.

Чтобы сделать функцию «императивной», идентифицируйте входные данные с выходными данными, в результате чего α = 1−α.

В алгебре, скажем, рациональных чисел уравнение выполняется, когда α = 0,5. Но внутри, например, булевой алгебры, где разрешены только «истинные значения» 0 и 1, равенство не может быть удовлетворено.

Некоторые трудности в логической программе могут быть связаны с парадоксом α = NOT-α. Фреге 1879 года. Рассел обнаружил в концептуальном сочинении что Фреге позволил функции получать свой входной «функционал» (значение переменной) не только из объекта (вещи, термина), но также из собственного вывода функции.

Как описано выше, конструкции натуральных чисел как Фреге, так и Рассела начинаются с формирования равночисленных классов классов («пучков»), за которым следует присвоение уникального «цифры» каждому набору, а затем размещение наборов. в порядок посредством отношения S асимметричного : x S y ≠ y S x . Но Фреге, в отличие от Рассела, позволил идентифицировать класс единичных классов как саму единицу:

Но поскольку класс с номером 1 сам по себе является отдельным объектом или единицей, его также необходимо включить в класс классов единиц. Это включение приводит к бесконечной регрессии возрастающего типа и возрастающего содержания.

Рассел избежал этой проблемы, объявив класс чем-то большим или «фикцией». Под этим он имел в виду, что класс может обозначать только те элементы, которые удовлетворяют его пропозициональной функции, и ничего больше. Как «фикция» класс не может считаться вещью: сущностью, «термином», сингулярностью, «единицей». Это сборка , но, по мнению Рассела, она не «достойна вещности»:

«Класс как многие... не вызывает возражений, но его много, а не один. Мы можем, если захотим, представить его одним символом: таким образом, x ε u будет означать, что « x из u есть один ». не следует рассматривать как отношение двух терминов, x и u , потому что u как числовое соединение не является единым термином. в любом смысле, можно предположить, являются отдельными составляющими. [и т. д.]» (1903:516).

Это предполагает, что «внизу» каждый отдельный «термин» может быть указан (указан «предикативным» предикатом) для любого класса, для любого класса классов, для класса классов классов и т. д., но это вводит новый проблема — иерархия «типов» классов.

Решение проблемы непредикативности: иерархия типов

Гёдель 1944:131 отмечает, что «Рассел приводит два довода против экстенсионального взгляда на классы, а именно существование (1) нулевого класса, который вполне не может быть коллекцией, и (2) единичных классов, которые должны быть тождественны своим отдельным элементам». Он предполагает, что Расселу следовало рассматривать их как фиктивные, но не делать дальнейшего вывода о том, что все классы (например, класс классов, которые определяют числа 2, 3 и т. д.) являются фикцией.

Но Рассел этого не сделал. После подробного анализа, приведенного в Приложении А: Логические и арифметические доктрины Фреге в его книге 1903 года, Рассел заключает:

«Логическая доктрина, которая таким образом навязывается нам, такова: предметом предложения может быть не один термин, а, по существу, множество терминов; это относится ко всем предложениям, утверждающим числа, отличные от 0 и 1» (1903: 516). .

В дальнейшем обратите внимание на формулировку «класс как множество» — класс есть совокупность тех терминов (вещей), которые удовлетворяют пропозициональной функции, но класс не является вещью в себе :

«Таким образом, окончательный вывод состоит в том, что правильная теория классов является даже более экстенсиональной, чем теория из главы VI; что класс как множество является единственным объектом, всегда определяемым пропозициональной функцией, и что это адекватно для формальных целей» (1903). :518).

Это как если бы владелец ранчо собрал весь свой скот (овец, коров и лошадей) в три фиктивных загона (один для овец, один для коров и один для лошадей), расположенных на его фиктивном ранчо. На самом деле существуют овцы, коровы и лошади (пристройки), а не фиктивные «концепции» загоны и ранчо.

Когда Рассел провозгласил все классы полезной фикцией, он решил проблему «единичного» класса, но общая проблема не исчезла; скорее, оно появилось в новой форме: «Теперь необходимо будет различать (1) термины, (2) классы, (3) классы классов и т. д. до бесконечности ; нам придется считать, что ни один член одного set является членом любого другого множества, и что x ε u требует, чтобы x принадлежал к множеству, степень которого на единицу ниже, чем множество, к которому принадлежит u . Таким образом, x ε x станет бессмысленным предложением; противоречие избегается» (1903:517).

Это «учение о типах» Рассела. Чтобы гарантировать, что непредикативные выражения, такие как x ε x, можно рассматривать в его логике, Рассел предложил в качестве своего рода рабочей гипотезы, что все такие непредикативные определения имеют предикативные определения. Это предположение требует понятия функции-"порядка" и аргумента-"типа". Во-первых, функции (и их классы как расширения, т.е. «матрицы») должны быть классифицированы по их «порядку», где функции отдельных лиц имеют порядок 1, функции функций (классы классов) имеют порядок 2 и и так далее. Далее он определяет «тип» аргументов функции («входные данные» функции) как их «диапазон значимости», т.е. каковы эти входные данные α (отдельные лица? классы? классы классов? и т. д.), которые: при подключении к f ( x ) дает значимый результат ω. Обратите внимание: это означает, что «тип» может иметь смешанный порядок, как показано в следующем примере:

«Джо ДиМаджио и Янки выиграли Мировую серию 1947 года».

Это предложение можно разложить на два предложения: « x выиграл Мировую серию 1947 года» + « y выиграл Мировую серию 1947 года». В первом предложении в качестве входных данных в качестве x принимается отдельное лицо «Джо ДиМаджио», в другом в качестве входных данных в качестве входных данных принимается совокупное число «Янкиз». Таким образом, сложное предложение имеет (смешанный) тип 2, смешанный по порядку (1 и 2).

Под «предикативом» Рассел имел в виду, что функция должна быть на порядок выше, чем «тип» ее переменной (переменных). Таким образом, функция (порядка 2), создающая класс классов, может принимать аргументы для своей переменной(ей) только из классов (тип 1) и отдельных лиц (тип 0), поскольку это низшие типы. Тип 3 может развлекать только типы 2, 1 или 0 и так далее. Но эти типы можно смешивать (например, чтобы это предложение было (вроде) истинным: « z выиграл Мировую серию 1947 года» могло принимать индивидуальное (тип 0) «Джо ДиМаджио» и/или имена других его товарищей по команде. , и он мог принять класс (тип 1) отдельных игроков «Янкиз».

Аксиома сводимости — это гипотеза о том, что любая функция любого порядка может быть сведена (или заменена) эквивалентной предикативной функцией соответствующего порядка. Внимательное прочтение первого издания показывает, что предикативную функцию n- го порядка не обязательно выражать «до конца» как огромную «матрицу» или совокупность отдельных атомарных предложений. «Ибо на практике имеют значение только относительные типы переменных; таким образом, самый низкий тип, встречающийся в данном контексте, может быть назван переменными индивидов» (стр. 161). Но аксиома сводимости предполагает, что теоретически редукция «до конца» возможна.

Однако ко второму изданию PM 1927 года Рассел отказался от аксиомы сводимости и пришел к выводу, что он действительно заставит любой порядок функций «полностью спуститься» к ее элементарным предложениям, связанным между собой логическими операторами:

«Все предложения любого порядка выводятся из матрицы, состоящей из элементарных предложений, объединенных посредством штриха» ( PM 1927, Приложение А, стр. 385).

(«Штрих» - это штрих Шеффера , принятый во 2-м издании PM, - одна логическая функция с двумя аргументами, из которой могут быть определены все остальные логические функции.)

Однако конечным результатом стал крах его теории. Рассел пришел к такому обескураживающему выводу: «Теория порядковых и кардинальных чисел сохранилась... но с иррациональными числами и с действительными числами вообще больше нельзя адекватно иметь дело... Возможно, существует еще одна аксиома, менее предосудительная, чем аксиома сводимости». , могли бы дать такие результаты, но нам не удалось найти такую ​​аксиому» ( PM 1927:xiv).

Гёдель (1944) соглашается, что логистический проект Рассела зашел в тупик; он, похоже, не согласен с тем, что сохранились даже целые числа:

«[Во втором издании] Аксиома сводимости опущена и прямо заявлено, что все примитивные предикаты принадлежат к низшему типу и что единственная цель переменных (и, очевидно, также констант) более высоких порядков и типов состоит в том, чтобы сделать возможно утверждать более сложные функции истинности атомарных предложений» (Gödel 1944 в Собрании сочинений : 134).

Гёдель, однако, утверждает, что эта процедура, по-видимому, предполагает арифметику в той или иной форме (стр. 134). Он приходит к выводу, что «получаются целые числа разных порядков» (стр. 134–135); доказательство в Приложении B Рассела 1927 г. о том, что «целые числа любого порядка выше 5 такие же, как и порядка 5», «не является окончательным», и «вопрос, можно ли (и в какой степени) получить теорию целых чисел на основе разветвленной иерархии [классы плюс типы] следует считать неразрешенными в настоящее время». Гёдель пришел к выводу, что это в любом случае не имеет значения, поскольку пропозициональные функции порядка n (любого n ) должны описываться конечными комбинациями символов (все кавычки и содержание взяты со страницы 135).

Критика и предложения Гёделя

Гёдель в своей работе 1944 года определяет место, где, по его мнению, логицизм Рассела терпит неудачу, и предлагает предложения по исправлению проблем. Он подвергает пересмотру «принцип порочного круга», разделяя его на три части, «поддающиеся определению только в терминах», «включающие» и «предполагающие». Именно первая часть «делает невозможными непредикативные определения и тем самым разрушает вывод математики из логики, осуществленный Дедекиндом и Фреге, а также большую часть самой математики». Поскольку, утверждает он, математика склонна полагаться на присущую ей непредикативность (например, «действительные числа, определяемые ссылкой на все действительные числа»), он заключает, что то, что он предложил, является «доказательством того, что принцип порочного круга ложен, а не что классическая математика ложна» (все цитаты Gödel 1944:127).

Теория отсутствия классов Рассела является корнем проблемы : Гёдель считает, что непредикативность не является «абсурдной», как это проявляется во всей математике. Проблема Рассела вытекает из его «конструктивистского (или номиналистического)» ) точка зрения на объекты логики и математики, в частности на предложения, классы и понятия. . . понятие, являющееся символом. . . так что отдельный объект, обозначаемый символом, кажется простой фикцией» (с. 128).

Действительно, теория «отсутствия классов» Рассела, заключает Гёдель:

"представляет большой интерес как один из немногих детально реализованных примеров тенденции к устранению предположений о существовании объектов вне "данных" и замене их конструкциями на основе этих данных" ³³ . «Данные» здесь следует понимать в относительном смысле; т.е. в нашем случае как логика без предположения существования классов и понятий]. Результат в данном случае был по существу отрицательным; т. е. введенные таким образом классы и понятия не обладают всеми свойствами, необходимыми для их использования в математике. . . . Все это является лишь подтверждением отстаиваемого выше взгляда, что логика и математика (так же, как и физика) построены на аксиомах, имеющих реальное содержание, которое невозможно объяснить» (с. 132).

Свое эссе он завершает следующими предложениями и наблюдениями:

«Следует избрать более консервативный курс, который будет состоять в том, чтобы попытаться прояснить значение терминов «класс» и «концепция» и создать непротиворечивую теорию классов и понятий как объективно существующих сущностей. Это курс которое приняло фактическое развитие математической логики и к которому сам Рассел был вынужден приступить в наиболее конструктивных частях . работы своей Теория множеств , обе из которых оказались успешными, по крайней мере, в той степени, что они позволяют вывести современную математику и в то же время избежать всех известных парадоксов. что и является причиной того, что математическая логика до сих пор осталась далеко позади высоких ожиданий Пеано и других..» (с. 140).

Неологизм

Неологицизм описывает ряд взглядов, которые их сторонники считают преемниками исходной логицистской программы. В более узком смысле неологицизм можно рассматривать как попытку спасти некоторые или все элементы программы Фреге посредством использования модифицированной версии системы Фреге в Grundgesetze (которую можно рассматривать как своего рода логику второго порядка ).

Например, можно заменить Основной закон V (аналогичный схеме аксиом неограниченного понимания в наивной теории множеств ) какой-нибудь «более безопасной» аксиомой, чтобы предотвратить возникновение известных парадоксов. Наиболее цитируемым кандидатом на замену BLV является принцип Юма , контекстуальное определение «#», данное формулой «# F = # G тогда и только тогда, когда существует биекция между F и G» . Этот вид неологицизма часто называют неофреганством . Сторонниками неофреганизма являются Криспин Райт и Боб Хейл , которых иногда также называют шотландской школой или абстракционистским платонизмом . которые поддерживают форму эпистемического фундаментализма .

Другие основные сторонники неологицизма включают Бернарда Лински и Эдварда Н. Залту , иногда называемых школой Стэнфорда-Эдмонтона , абстрактного структурализма или модального неологицизма , которые поддерживают форму аксиоматической метафизики . Модальный неологизм выводит аксиомы Пеано в рамках второго порядка теории модальных объектов .

Другой квази-неологистский подход был предложен М. Рэндаллом Холмсом. В такого рода поправках к Grundgesetze BLV остается неизменным, за исключением ограничения на стратифицируемые формулы в духе NF Куайна и родственных систем. По сути, тогда все Grundgesetze «проходит». Полученная система имеет ту же силу согласованности, что и аксиома NFU Дженсена + Россера . счета

См. также

• Аристотелевская реалистическая философия математики

Библиография

• Ричард Дедекинд, 1858, 1878, «Очерки по теории чисел» , английский перевод, опубликованный издательством Open Court Publishing Company, 1901 г., публикация в Дувре, 1963 г., Минеола, штат Нью-Йорк, ISBN   0-486-21010-3 . Содержит два очерка — И. «Непрерывность и иррациональные числа» с оригинальным предисловием, II. «Природа и значение чисел» с двумя предисловиями (1887, 1893).
• Говард Ивс, 1990, «Основы и фундаментальные концепции математики, третье издание» , Dover Publications, Inc, Минеола, штат Нью-Йорк, ISBN   0-486-69609-X .
• И. Граттан-Гиннесс, 2000, Поиск математических корней, 1870–1940: логика, теории множеств и основы математики от Кантора через Рассела до Гёделя , Princeton University Press, Принстон, штат Нью-Джерси, ISBN   0-691-05858-X .
• Жан ван Хейеноорт, 1967, От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , 3-е издание 1976 г., издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN   0-674-32449-8 . Включает книгу Фреге «Begriffsschrift» 1879 года с комментариями ван Хейеноорта, книгу Рассела 1908 года «Математическая логика, основанная на теории типов» с комментариями Уилларда В. Куайна, книгу Цермело 1908 года « Новое доказательство возможности хорошего упорядочения» с комментариями ван Хейеноорта, письма Фреге от Рассела и от Рассела к Фреге и т. д.
• Стивен К. Клини, 1971, 1952, «Введение в метаматематику», 1991, 10-е впечатление, Издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк, ISBN   0-7204-2103-9 .
• Марио Ливио, 2011 г. «Почему математика работает: математика изобретена или открыта? Ведущий астрофизик предполагает, что ответом на тысячелетний вопрос является и то, и другое», Scientific American (ISSN 0036-8733), том 305, номер 2, август 2011 г., Научно-американское подразделение Nature America, Inc, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
• Бертран Рассел, 1903, Принципы математики, том. I , Кембридж: в University Press, Кембридж, Великобритания.
• Паоло Манкосу, 1998, От Брауэра до Гильберта: дебаты об основах математики в 1920-х годах , Oxford University Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN   0-19-509632-0 .
• Бертран Рассел, 1912, «Проблемы философии» (с введением Джона Перри, 1997), Oxford University Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN   0-19-511552-X .
• Бертран Рассел, 1919, «Введение в математическую философию» , Barnes & Noble, Inc, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN   978-1-4114-2942-0 . Это нематематический спутник Principia Mathematica .

  • Амит Хагар, 2005 г. «Введение в Бертрана Рассела», 1919 г., «Введение в математическую философию» , Barnes & Noble, Inc, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN   978-1-4114-2942-0 .

• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, 1927 г., 2-е издание (первое издание 1910–1913 гг.), Principia Mathematica до *56, 1962 г. , Кембридж в University Press, Кембридж, Великобритания, без ISBN. Второе издание, сокращенное до *56, с введением ко второму изданию, страницы Xiii-xlvi, и новым Приложением A (*8 Предложения, содержащие кажущиеся переменные ) вместо *9 Теория кажущихся переменных и Приложением C «Истинные функции и другие» .

Внешние ссылки

• «Логицизм» в Математической энциклопедии