Векторное пространство

Не путать с векторным полем .

«Линейное пространство» перенаправляет здесь. Для структуры в геометрии падения см. Линейное пространство (геометрия) .

Векторное добавление и скалярное умножение: вектор V (синий) добавляется к другому вектору w (красная, верхняя иллюстрация). Ниже W растягивается в 2 раза, что дает сумму + 2 W. V

В математике и физике векторное пространство (также называемое линейным пространством ) - это набор , элементы которого, часто называемые векторами , могут быть объединены и умножены («масштабирован») на номерах, называемые скалярами . Операции векторного добавления и скалярного умножения должны соответствовать определенным требованиям, называемым векторными аксиомами . Реальные векторные пространства и сложные векторные пространства представляют собой виды векторных пространств на основе различных видов скаляр: реальные числа и сложные числа . Скарары также могут быть, более общепринятым элементами любого поля .

Векторные пространства обобщают евклидовые векторы , которые позволяют моделировать физические величины , такие как силы и скорость , которые имеют не только величину , но и направление . Концепция векторных пространств является фундаментальной для линейной алгебры вместе с концепцией матриц , которая позволяет вычислять в векторных пространствах. Это обеспечивает краткий и синтетический способ манипулирования и изучения систем линейных уравнений .

Векторные пространства характеризуются их измерением , которое, грубо говоря, определяет количество независимых направлений в пространстве. Это означает, что для двух векторных пространств по данному поле и с тем же измерением свойства, которые зависят только от структуры векторного пространства, точно одинаковы (технически векторные пространства являются изоморфными ). Векторное пространство является конечным размером, если его размер является естественным числом . В противном случае он бесконечно-измеренный , а его размер- бесконечный кардинал . Конечно-мерные векторные пространства встречаются естественным образом в геометрии и смежных областях. Бесконечные векторные пространства встречаются во многих областях математики. Например, полиномиальные кольца представляют собой бесконечные векторные пространства, и многие функциональные пространства имеют кардинальность континуума в качестве измерения.

Многие векторные пространства, которые рассматриваются в математике, также наделены другими структурами . Это случай алгебр , которые включают в себя полевые расширения , полиномиальные кольца, ассоциативные алгебры и алгебры Lie . Это также случай топологических векторных пространств , которые включают в себя функциональные пространства, внутренние пространства продукта , нормы , пространства Гилберта и банаховые пространства .

Определение и основные свойства

В этой статье векторы представлены в жирном шрифте, чтобы отличить их от скаляров.

Векторное пространство над поле F -это непустые набор   V вместе с бинарной работой и двоичной функцией , которая удовлетворяет восемь аксиомов, перечисленных ниже. В этом контексте элементы V обычно называют векторами , а элементы F называются скалярами .

• Бинарная операция, называемая векторным добавлением или просто дополнение, назначает любые два вектора V и W в V в третий вектор в V , который обычно пишутся как V + W , и называется суммой этих двух векторов.

• Бинарная функция, называемая скалярным умножением , назначает любой скаляр A в F и любой вектор V в V другое вектор в V , который обозначается как v .

Чтобы иметь векторное пространство, восемь следующих аксиомов должны быть удовлетворены для каждого u , v и w in v и a и b в f .

Аксиома	Заявление
Ассоциативность векторного добавления	u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Коммутативность векторного добавления	u + v = v + u
Идентификационный элемент векторного добавления	Существует элемент 0 ∈ V , называемый вектором , так что v + 0 = v для всех v ∈ V. нулевым
Обратные элементы векторного добавления	Для каждого v ∈ V существует элемент - v ∈ V , называемый аддитивным обратным V , такой, что v + ( - v ) = 0 .
Совместимость умножения скалярного масла с умножением поля	a ( b v ) = ( ab ) v
Идентификационный элемент скалярного умножения	1 V = V , где 1 обозначает мультипликативную идентичность в f .
Распределение скалярного умножения по отношению к добавлению вектора	A ( u + v ) = a u + a v
Распределение скалярного умножения по отношению к добавлению поля	( a + b ) v = a v + b v

Когда скалярное поле - это реальные числа , векторное пространство называется реальным векторным пространством , а когда скалярное поле - это комплексные числа , векторное пространство называется сложным векторным пространством . Эти два случая являются наиболее распространенными, но векторные пространства со скалярами в произвольном поле F. также широко рассматриваются называется векторным пространством Такое векторное пространство или векторным пространством над f .

Можно указать эквивалентное определение векторного пространства, которое гораздо более краткое, но менее элементарное: первые четыре аксиома (связанные с добавлением вектора) говорят, что векторное пространство является абелевой группой под дополнением, и четыре оставшихся аксиома (связанные с связанными с Скалярное умножение) говорит, что эта операция определяет кольцевой гомоморфизм от поля F в кольцо эндоморфизма этой группы.

Вычитание двух векторов может быть определено как $$\mathbf {v} -\mathbf {w} =\mathbf {v} +(-\mathbf {w} ).$$

Прямые последствия аксиом включают это, для каждого $s\in F$ и $\mathbf {v} \in V,$ один есть

• $0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,$
• $s\mathbf {0} =\mathbf {0} ,$
• $(-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v} ,$
• $s\mathbf {v} =\mathbf {0}$ подразумевает $s=0$ или $\mathbf {v} =\mathbf {0} .$

Еще более кратко, векторное пространство - это модуль над полем .

Основания, векторные координаты и подпространства

Вектор V в R ² (синий) выражены в терминах различных оснований: использование стандартной основы R ² : v = x e ₁ + y e ₂ (черный) и использование другой, не ортогональной основы: v = f ₁ + f ₂ (красный).

Линейная комбинация

Учитывая набор g элементов V пространства V -вектора , линейная комбинация элементов G является элементом V формы $$a_{1}\mathbf {g} _{1}+a_{2}\mathbf {g} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {g} _{k},$$ где $a_{1},\ldots ,a_{k}\in F$ и $\mathbf {g} _{1},\ldots ,\mathbf {g} _{k}\in G.$ Скаляры $a_{1},\ldots ,a_{k}$ называются коэффициентами линейной комбинации.

Линейная независимость

Элементы подмножества G пространства F -вектора V, как говорят, линейно независимы если ни один элемент G не может быть записан в виде линейной комбинации других элементов G. , Эквивалентно, они линейно независимы, если две линейные комбинации элементов G определяют один и тот же элемент V , когда и только если они имеют одинаковые коэффициенты. Также эквивалентно, они линейно независимы, если линейная комбинация приводит к нулевому вектору, если и только если все его коэффициенты равны нулю.

Линейный подпространство

Линейное подпространство или векторное подпространство w векторного пространства V представляет собой непустое подмножество V , которое закрыто при добавлении вектора и скалярной умножении; то есть сумма двух элементов W и продукт элемента W с помощью скалярной, принадлежащей W. к что каждая линейная комбинация элементов W принадлежит W. Это подразумевает , Линейное подпространство - это векторное пространство для индуцированного добавления и скалярного умножения; Это означает, что свойство закрытия подразумевает, что аксиомы векторного пространства удовлетворены.
Свойство закрытия также подразумевает, что каждое пересечение линейных подпространств является линейным подпространством.

Линейный пролет

Учитывая подмножество G векторного пространства V , линейный пролет или просто промежуток G содержат является наименьшим линейным подпространством V который содержит G , в том смысле, что это пересечение всех линейных подборов, которые G. , Размещение G также является набором всех линейных комбинаций элементов g .
Если w - это промежуток G , человек говорит, что или генерирует W , и что G - набор Spanning или генерирующий набор W. G пролетает

Основа и измерение

Подмножество векторного пространства является основой , если его элементы являются линейно независимыми и охватывают векторное пространство. Каждое векторное пространство имеет как минимум одну основу или многие в целом (см. Основа (линейная алгебра) § Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет основу ). Более того, все основания векторного пространства имеют одинаковую кардинальность , которая называется размерностью векторного пространства (см. Теорема измерения для векторных пространств ). Это фундаментальное свойство векторных пространств, которое подробно описано в оставшейся части раздела.

Основы являются фундаментальным инструментом для изучения векторных пространств, особенно когда измерение конечно. В бесконечномерном случае существование бесконечных оснований, часто называемых основаниями хамеля , зависит от аксиомы выбора . Отсюда следует, что, в целом, никакая база не может быть четко описана. Например, реальные числа образуют бесконечное пространство векторного векторного пространства по сравнению с рациональными числами , для которых не известно конкретной основы.

Рассмотрим основу $(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n})$ векторного пространства V измерения n на поле f . Определение основания подразумевает, что каждый $\mathbf {v} \in V$ может быть написан $$\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{n},$$ с $a_{1},\dots ,a_{n}$ в F , и что это разложение уникально. Скаляры $a_{1},\ldots ,a_{n}$ называются координатами V на основе. Они также говорят, что они являются коэффициентами разложения V на основе. Также говорят, что координат является N -кортеж координатным на основе вектором V , поскольку набор $F^{n}$ -tuples n of Elements F -это векторное пространство для компонентного добавления и скалярного умножения, размер которого составляет n .

Соответствие один на один между векторами и их координатными векторами отображает векторное добавление вектора с добавлением вектора и скалярным умножением к скалярному умножению. Таким образом, это изоморфизм векторного пространства , который позволяет переводить разум и вычисления на векторы в рассуждениях и вычислениях на их координатах.

История

Векторные пространства вытекают из аффинной геометрии посредством введения координат в плоскости или трехмерного пространства. Около 1636 года французские математики Рене Декарт и Пьер де Фермат основали аналитическую геометрию , выявив решения уравнения двух переменных с точками на плоскости . Для достижения геометрических решений без использования координат, в 1804 году в 1804 году в 1804 году были некоторые операции по точкам, линиям и плоскостям, которые являются предшественниками векторов. Möbius (1827) представил понятие барицентрических координат . Беллавит (1833) ввел соотношение эквивалентности в направленных сегментах линий, которые имеют ту же длину и направление, которое он назвал оборудованием . Евклидовый вектор является тогда классом эквивалентности этого отношения.

Векторы были пересмотрены с представлением комплексных чисел Аргундом и и Гамильтоном началом кватернионов последним. Они элементы в r ² и р ⁴ ; Обработка их с использованием линейных комбинаций восходит к Laguerre в 1867 году, который также определил системы линейных уравнений .

В 1857 году Кейли представил обозначения матрицы , которая позволяет гармонизировать и упростить линейные карты . Примерно в то же время Грассманн изучал барицентрическое исчисление, инициированное Мёбиусом. Он предусматривал наборы абстрактных объектов, наделенных операциями. концепции линейной независимости и измерения , а также скалярные продукты В своей работе присутствуют . Работа Grassmann 1844 года превышает рамки векторных пространств, так как его рассмотрение умножения привело его к тому, что сегодня называется алгебрами . Итальянский математик Пиано был первым, кто дал современное определение векторных пространств и линейных карт в 1888 году, Хотя он назвал их «линейными системами». Аксиоматизация Пеано позволила провести векторные пространства с бесконечным измерением, но Peano не разработал эту теорию дальше. В 1897 году Сальваторе Пинчерле принял аксиомы Пиано и вступил в начальные вторжения в теорию бесконечномерных векторных пространств.

Важная разработка векторных пространств обусловлена ​​построением функциональных пространств Анри Лебег . Позже это было формализовано Банахом и Гильбертом , около 1920 года. В то время алгебра и новое поле функционального анализа начали взаимодействовать, в частности, с ключевыми понятиями, такими как пространства P -Integrable функций и пространства Hilbert .

Примеры

Основная статья: примеры векторных пространств

Стрелки в самолете

сумма V + W (черное) векторов V (синий) и W (красный). Дополнение вектора: показана

мультипликаторы - V и 2 Вт . Скалярное умножение: показаны

Первый пример векторного пространства состоит из стрел в фиксированной плоскости , начиная с одной фиксированной точки. Это используется в физике для описания сил или скоростей . Учитывая любые две такие стрелки, V и W , параллелограмм, охватываемых этими двумя стрелками, содержит одну диагональную стрелку, которая также начинается при происхождении. Эта новая стрелка называется суммой двух стрел и V + W. обозначена В особом случае двух стрелок на одной линии их сумма - стрелка на этой линии, длина которых является суммой или разницей длины, в зависимости от того, имеют ли стрелки одинаковое направление. Другая операция, которая может быть выполнена со стрелками, - это масштабирование: учитывая любое положительное реальное число A , стрелка, которая имеет то же направление, что и , расширяется или сокращается, умножая ее длину на A , называется умножением V на V A. но Это обозначено как v . Когда А является отрицательным, V . определяется как стрелка, указывающая в противоположном направлении вместо этого

Следующие показаны несколько примеров: если a = 2 , полученный вектор A W имеет то же направление, что и W , но растягивается до двойной длины W (второе изображение). Эквивалентно, 2 Вт - сумма w + w . Более того, (-1) v = - V имеет противоположное направление и та же длину, что и V (синий вектор, указывающий вниз на втором изображении).

Заказанные пары чисел

Второй ключевой пример векторного пространства предоставляется парами реальных чисел x и y . Порядок компонентов x и y является значительным, поэтому такая пара также называется упорядоченной парой . Такая пара написана как ( x , y ) . Сумма двух таких пар и умножение пары на число определяется следующим образом: $${\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}$$

Первый пример выше сводится к этому примеру, если стрелка представлена ​​парой декартовых координат ее конечной точки.

Координировать пространство

Самым простым примером векторного пространства поля F является самом поле F с его добавлением, рассматриваемым как добавление вектора и его умножение, рассматриваемое как скалярное умножение. В целом, все n -tuples (последовательности длины n ) $$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$$ элементов a _i of f образуют векторное пространство, которое обычно обозначается ^не и назвал координатное пространство . Случай n = 1 является вышеупомянутым самым простым примером, в котором поле F также рассматривается как векторное пространство над собой. Случай f = r и n = 2 (так что r ² ) сводится к предыдущему примеру.

Комплексные числа и другие поля расширения

Набор сложных чисел C , числа, которые могут быть записаны в форме x + iy для реальных чисел x и y , где я является воображаемой единицей , образуйте векторное пространство над реальными с обычным дополнением и умножением: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) и c ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y ) для реальных чисел x , y , a , b и c . Различные аксиомы векторного пространства следуют из -за того, что те же правила содержится для арифметики комплекса. Пример комплексных чисел по существу такой же, как (то есть, он является изоморфным ) векторным пространством упорядоченных пар реальных чисел, упомянутых выше: если мы думаем о комплексном номере x + i y как представление упорядоченной пары ( x , y ) В сложной плоскости мы видим, что правила для добавления и скалярного умножения точно соответствуют правилам в предыдущем примере.

В более общем плане, расширения полевых условий предоставляют еще один класс примеров векторных пространств, особенно в теории алгебры и алгебраических чисел : поле F содержащее меньшее поле E, представляет собой пространство E -Vector, благодаря данным операциям умножения и добавления F. , Например, комплексные числа представляют собой векторное пространство по сравнению с R , а расширение поля $\mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})$ векторное пространство над Q. это

Функциональные пространства

Основная статья: Функциональное пространство

Добавление функций: сумма синуса и экспоненциальная функция $\sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ с $(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)$.

Функции от любого фиксированного набора ω в поле F также образуют векторные пространства, выполняя точку сложения и скалярного умножения. То есть сумма двух функций F и G - функция $(f+g)$ дано по $$(f+g)(w)=f(w)+g(w),$$ и аналогично для умножения. Такие функциональные пространства встречаются во многих геометрических ситуациях, когда ω является реальной линией или интервалом или в подмножествах r других . Многие понятия в области топологии и анализа, такие как непрерывность , интегрируемость или дифференцируемость, хорошо себя чувствуют в отношении линейности: суммы и скалярные кратные функции, обладающие таким свойством, все еще имеют это свойство. Следовательно, набором таких функций являются векторные пространства, исследование которого принадлежит функциональному анализу .

Линейные уравнения

Основные статьи: линейное уравнение , линейное дифференциальное уравнение и системы линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений тесно связаны с векторными пространствами. Например, решения $${\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}$$ даны тройками с произвольными $a,$ $b=a/2,$ и $c=-5a/2.$ Они образуют векторное пространство: суммы и скалярные мультипликации таких тройков по -прежнему удовлетворяют тем же соотношениям, что и три переменных; Таким образом, они тоже являются решениями. Матрицы могут использоваться для конденсации нескольких линейных уравнений, как указано выше, в одно уравнение вектора, а именно

$$A\mathbf {x} =\mathbf {0} ,$$

где $A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}$ Матрица, содержащая коэффициенты заданных уравнений, $\mathbf {x}$ вектор $(a,b,c),$ $A\mathbf {x}$ обозначает продукт матрицы и $\mathbf {0} =(0,0)$ это нулевой вектор. В аналогичном вене растворы гомогенных линейных дифференциальных уравнений образуют векторные пространства. Например,

$$f^{\prime \prime }(x)+2f^{\prime }(x)+f(x)=0$$

доходность $f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},$ где $a$ и $b$ произвольные постоянные и $e^{x}$ это естественная экспоненциальная функция .

Линейные карты и матрицы

Основная статья: линейная карта

Соотношение двух векторных пространств может быть выражено с помощью линейной карты или линейного преобразования . Это функции , которые отражают структуру векторного пространства, то есть они сохраняют суммы и скалярное умножение: $${\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} ),\\f(a\cdot \mathbf {v} )&=a\cdot f(\mathbf {v} )\end{aligned}}$$ для всех $\mathbf {v}$ и $\mathbf {w}$ в $V,$ все $a$ в $F.$

Изоморфизм w это линейная карта f : v → w, так что существует обратная карта g : w → v , которая является картой, так что две возможные композиции f ∘ g : → - w и g ∘ f : v → v являются карты личности . Эквивалентно, что F является как один к одному ( инъектив ), так и на ( Surjective ). Если существует изоморфизм между V и W , два пространства говорят, что это изоморфные ; Затем они по существу идентичны как векторные пространства, поскольку все идентичности, держащие в , через F , транспортируются в аналогичные в W , и наоборот через G. V

Описание вектора стрелы V его координатами x и y дает изоморфизм векторных пространств.

Например, стрелки в плоскости и упорядоченные пары векторных пространств чисел во введении выше (см. Примеры § ) изоморфные: плоская стрелка v Упахает при происхождении некоторой (фиксированной) системы координат может быть выражена в виде упорядоченной пары Рассматривая x - и y -component от стрелки, как показано на изображении справа. И наоборот, учитывая пару ( x , y ) , стрелка, которая идет по вправо (или влево, если x отрицательна), и y вверх (вниз, если y отрицательный), поворачивает стрелку V. x

Линейные карты V → W между двумя векторными пространствами образуют векторное пространство Hom _F ( V , W ) , также обозначаемые L ( V , W ) или 𝓛 ( V , W ) . Пространство линейных карт от V до F называется двойным векторным пространством , обозначенным V ^∗ . Через инъективную натуральную карту V → V ^∗∗ , любое векторное пространство может быть встроено в его дискуссию ; Карта является изоморфизмом тогда и только тогда, когда пространство является конечным размером.

основы V После выбора линейные карты F : V → W полностью определяются путем указания изображений базисных векторов, поскольку любой элемент V выражается уникально как линейная комбинация. Если DIM V = DIM W , соответствие 1-к-1 между фиксированными основаниями V и W дает линейную карту, которая отображает любой базисный элемент с соответствующим базовым элементом W. V Это изоморфизм по его определению. Следовательно, два векторных пространства на данном поле являются изоморфными, если их размеры согласуются и наоборот. Еще один способ выразить это заключается в том, что любое векторное пространство над данным полем полностью классифицируется ( вплоть до изоморфизма) по его размеру, одним числом. В частности, любое n -мерное F пространство -вектор v изоморфного на f ^не Полем Тем не менее, нет «канонического» или предпочтительного изоморфизма; изоморфизм φ : f ^не → V эквивалентно выбору основы V путем отображения стандартной основы F ^не Это V , через φ .

Матрицы

Основные статьи: матрица и детерминант

Типичная матрица

Матрицы являются полезным понятием для кодирования линейных карт. Они написаны как прямоугольный массив скаляр, как на изображении справа. Любая m -by -n матрица $A$ порождает линейную карту от f ^не на фл ^м , по следующим $$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),$$ где ${\textstyle \sum }$ Обозначает суммирование или с использованием матрицы умножения матрицы $A$ с вектором координат $\mathbf {x}$:

$$\mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} .$$

баз V и W F любая линейная карта W : V → Более того, после выбора уникально представлена ​​матрицей через это задание.

Объем этого параллелепиппа является абсолютным значением детерминанта матрицы 3 на 3, образованной векторами R ₁ , R ₂ и R ₃ .

Детерминантный является скаляр, который сообщает , DET ( A ) квадратной матрицы A является ли связанная карта изоморфизмом или нет: для того, чтобы быть достаточным и необходимым, чтобы определитель был ненулевым. Линейное преобразование R ^не Соответствует реальной N -by -n матрице , сохранение ориентации, если и только тогда, когда его определяющий фактор положительна.

Собственные значения и собственные векторы

Основная статья: Собственные значения и собственные векторы

Эндоморфизмы , линейные карты F : V → V , особенно важны, поскольку в данном случае векторы V можно сравнить с их изображением под F , F ( V ) . Любой ненулевой вектор V удовлетворяет λ v = f ( v ) , где λ - скаляр, называется вектором F собственным с собственным значением λ . Эквивалентно, V является элементом ядра разности f - λ · ID (где ID - карта идентификации V → V ) . Если v является конечным размером, это может быть перефразировано с использованием детерминантов: F Имея собственное значение λ эквивалентно $$\det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.$$ Излагая определение детерминантной, выражение на левой стороне можно рассматривать как полиномиальная функция в , называемое характерным полиномом f λ . Если поле F достаточно большое, чтобы содержать ноль этого полинома (который автоматически происходит для алгебраически закрытого , например, f = c ), любая линейная карта имеет по крайней мере один собственный вектор. Векторное пространство V может иметь или не иметь собственного , основанного на собственных векторах. Это явление регулируется канонической формой Иордании карты. Набор всех собственных векторов, соответствующих конкретному собственному значению F, образует векторное пространство, известное как собственное пространство, соответствующее собственному значению (и F рассматриваемому ).

Основные конструкции

В дополнение к вышеуказанным конкретным примерам, существует ряд стандартных линейных алгебраических конструкций, которые дают векторные пространства, связанные с данными.

Подставки и промежутки

Основные статьи: линейное подпространство и векторное пространство

Линия, проходящая через начало координат (синий, толстый) в r ³ это линейный подпространство. Это пересечение двух плоскостей (зеленый и желтый).

Непустовое подмножество $W$ векторного пространства $V$ это закрыто под добавлением и скалярным умножением (и, следовательно, содержит $\mathbf {0}$-Век $V$) называется линейным подпространством $V$, или подпространство просто $V$, когда окружающее пространство однозначно является векторным пространством. Подставки $V$ векторные пространства (над тем же полем) сами по себе. Пересечение всех подпространств, содержащих заданный набор $S$ векторов называется его пролетом , и это самый маленький подпространство $V$ содержащий набор $S$Полем Выраженные с точки зрения элементов, SPAN - это подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций элементов $S$.

Линейное подпространство измерений 1 и 2 упоминается как линия (также векторная линия ) и плоскость соответственно. Если W -n -мерное векторное пространство, любое подпространство измерения 1 меньше, т.е. $n-1$ называется гиперплоскостью .

Согласно подключам - это векторные пространства . Учитывая любой подпространство $W\subseteq V$, коэффициент пространства $V/W$ ( $V$ модуль $W$") Определено следующим образом: как набор, он состоит из $$\mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w} :\mathbf {w} \in W\},$$ где $\mathbf {v}$ является произвольным вектором в $V$Полем Сумма двух таких элементов $\mathbf {v} _{1}+W$ и $\mathbf {v} _{2}+W$ является $\left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W$и скалярное умножение определяется $a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W$Полем Ключевым моментом в этом определении является то, что $\mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W$ тогда и только тогда, когда разница $\mathbf {v} _{1}$ и $\mathbf {v} _{2}$ лежит в $W$. Таким образом, коэффициент пространства «забывает», которая содержится в подпространстве $W$.

Ядро ​ $\ker(f)$ линейной карты $f:V\to W$ состоит из векторов $\mathbf {v}$ которые намечены на $\mathbf {0}$ в $W$. Ядро и изображение $\operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}$ являются подпространствами $V$ и $W$, соответственно.

Важным примером является ядро ​​линейной карты $\mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x}$ Для некоторой фиксированной матрицы $A$Полем Ядро этой карты - подпространство векторов $\mathbf {x}$ так что $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$, который именно является набором решений системы гомогенных линейных уравнений, принадлежащих к $A$Полем Эта концепция также распространяется на линейные дифференциальные уравнения $$a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,$$ где коэффициенты $a_{i}$ функции в $x,$ слишком. В соответствующей карте $$f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},$$ производные ​ функции $f$ выглядеть линейно (в отличие от $f^{\prime \prime }(x)^{2}$, например). Поскольку дифференциация является линейной процедурой (то есть $(f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ и $(c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$ для постоянной $c$) Это назначение является линейным, называемым линейным дифференциальным оператором . В частности, решения дифференциального уравнения $D(f)=0$ образуйте векторное пространство (над R или C ).

Существование ядра и изображений является частью утверждения о том, что категория векторных пространств (над фиксированным поле $F$) является категорией Абелеи , то есть корпусом математических объектов и структурных карт между ними ( категория ), которая ведет себя так же, как категория абельских групп . Из-за этого много утверждений, таких как первая теорема изоморфизма (также называемая теоремой ранга-нераствования в терминах, связанных с матрицей) $$V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)$$ и вторая и третья теорема изоморфизма может быть сформулирована и доказана таким образом, очень похожее на соответствующие утверждения для групп .

Прямая продукта и прямая сумма

Основные статьи: прямая продукта и прямая сумма модулей

Прямой продукт векторных пространств и прямая сумма векторных пространств представляют собой два способа объединения индексированного семейства векторных пространств в новое векторное пространство.

Прямой продукт $\textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}$ семейства векторных пространств $V_{i}$ состоит из набора всех кортежей $\left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I}$, которые указывают для каждого индекса $i$ В некотором наборе индекса $I$ элемент $\mathbf {v} _{i}$ из $V_{i}$. Добавление и скалярное умножение выполняется в компоненте. Вариант этой конструкции - прямая сумма ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ (также называется копродук и обозначен ${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$), где разрешены только кортежи с конечно многими ненулевыми векторами. Если набор индекса $I$ это конечно, две конструкции согласны, но в целом они разные.

Тенсорный продукт

Основная статья: Тенсорное произведение векторных пространств

Тенсорный продукт $V\otimes _{F}W,$ или просто $V\otimes W,$ двух векторных пространств $V$ и $W$ является одним из центральных понятий многолинейной алгебры , которая занимается расширением понятий, таких как линейные карты, до нескольких переменных. Карта $g:V\times W\to X$ от картезианского продукта $V\times W$ называется билинеарным, если $g$ линейно по обеим переменным $\mathbf {v}$ и $\mathbf {w} .$ То есть для фиксированного $\mathbf {w}$ карта $\mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ линейно в смысле выше и также для фиксированного $\mathbf {v} .$

Коммутативная диаграмма, изображающая универсальное свойство тензора

Тенсорный продукт - это конкретное векторное пространство, которое является универсальным получателем билинейных карт $g,$ следующее. Он определяется как векторное пространство, состоящее из конечных (формальных) сумм символов, называемых тензорами $$\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},$$ при условии правил $${\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}$$ Эти правила гарантируют, что карта $f$ из $V\times W$ к $V\otimes W$ это отображает кортеж $(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ к $\mathbf {v} \otimes \mathbf {w}$ билинеарно. Универсальность утверждает, что с учетом любого векторного пространства $X$ и любая билинейная карта $g:V\times W\to X,$ существует уникальная карта $u,$ показано на диаграмме с пунктирной стрелкой, композиция которой с $f$ равно $g:$ $u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).$ Это называется универсальным свойством тензорного продукта, экземпляром метода, который используется в расширенной абстрактной алгебре, для косвенного определения объектов, указав карты из или на этот объект.

Векторные пространства с дополнительной структурой

С точки зрения линейной алгебры, векторные пространства полностью понятны, поскольку любое векторное пространство над данным полем характеризуется, вплоть до изоморфизма по его измерению. Тем не менее, векторные пространства сами по себе не предлагают основу для решения вопроса, который является для анализа, - будь то последовательность функций сходится к другой функции. Аналогичным образом, линейная алгебра не адаптирована для борьбы с бесконечными сериями , поскольку операция добавления позволяет добавлять только множество терминов. Следовательно, потребности функционального анализа требуют рассмотрения дополнительных структур.

Векторное пространство может быть предоставлено частичным порядком $\,\leq ,\,$ с которыми можно сравнить некоторые векторы. Например, $n$-Сырное реальное пространство $\mathbf {R} ^{n}$ может быть заказан, сравнив его векторы, компонентные. Заказанные векторные пространства , например, Spaces Riesz , имеют основополагающее значение для интеграции Lebesgue , которая опирается на способность выражать функцию как разницу двух положительных функций $$f=f^{+}-f^{-}.$$ где $f^{+}$ обозначает положительную часть $f$ и $f^{-}$ негативная часть.

Нормальные векторные пространства и внутренние продукты

Основные статьи: Нормальное векторное пространство и пространство внутреннего продукта

«Измерение» векторов выполняется путем указания нормы , данных, которая измеряет длину векторов, или внутренним продуктом , который измеряет углы между векторами. Нормы и внутренние продукты обозначены $|\mathbf {v} |$ и $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,$ соответственно. Дато -таблица внутреннего продукта влечет за собой, что длина векторов также может быть определена, определяя связанную норму ${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$ Векторные пространства, наделенные такими данными, известны как нормированные векторные пространства и внутренние продукты , соответственно.

Координировать пространство $F^{n}$ может быть оснащен стандартным точками продукта : $$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.$$ В $\mathbf {R} ^{2},$ Это отражает общее представление о угле между двумя векторами $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y} ,$ по закону косинусов : $$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.$$ Из -за этого два вектора удовлетворяют $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$ называются ортогональными . Важный вариант стандартного продукта Dot используется в пространстве Minkowski : $\mathbf {R} ^{4}$ наделен продуктом Lorentz $$\langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.$$ В отличие от стандартного продукта DOT, он не является положительным определенным : $\langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle$ также принимает отрицательные значения, например, для $\mathbf {x} =(0,0,0,1).$ Выделение четвертой координаты, соответствующей временю , в отличие от трех космических дименций,-делает ее полезным для математической обработки особой относительности . Обратите внимание, что в других конвенциях время часто написано как первое или «ноль» компонент, так что продукт Lorentz написан $$\langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.$$

Топологические векторные пространства

Основная статья: топологическое векторное пространство

Вопросы о конвергенции рассматриваются путем рассмотрения векторных пространств $V$ несущая совместимая топология , структура, которая позволяет говорить о том, что элементы близки друг к другу . Совместимый здесь означает, что добавление и скалярное умножение должны быть непрерывными картами . Примерно, если $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ в $V$, и $a$ в $F$ варьироваться в зависимости от ограниченной суммы, то $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ и $a\mathbf {x} .$ Чтобы понять, что количество изменений скалярных, поле $F$ также должен нести топологию в этом контексте; Общий выбор - это реальные или сложные числа.

В таких топологических векторных пространствах можно рассмотреть серию векторов. Бесконечная сумма $$\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}$$ обозначает предел соответствующих конечных частичных сумм последовательности $f_{1},f_{2},\ldots$ элементов $V.$ Например, $f_{i}$ могут быть (реальными или сложными) функциями, принадлежащими к некоторому функциональному пространству $V,$ В этом случае серия является серией функций . Режим конвергенции серии зависит от топологии, наложенной на функциональное пространство. В таких случаях точечная конвергенция и равномерная конвергенция являются двумя выдающимися примерами.

Единица "сферы" в $\mathbf {R} ^{2}$ состоят из плоских векторов нормы 1. Изображенные - это единичные сферы в разных $p$-norms , для $p=1,2,$ и $\infty .$ Большой бриллиант изображает точки 1-й нормы, равные 2.

Способ обеспечить существование пределов определенных бесконечных серий состоит в том, чтобы ограничить внимание пространствам, где любая последовательность Коши имеет предел; Такое векторное пространство называется полным . Примерно, векторное пространство завершено при условии, что оно содержит все необходимые ограничения. Например, векторное пространство полиномов на единичном интервале $[0,1],$ оснащено топологией равномерной конвергенции не завершена, потому что любая непрерывная функция на $[0,1]$ может быть равномерно аппроксимирован последовательности полиномов, теоремом о приближении Вейерстраса . Напротив, пространство всех непрерывных функций на $[0,1]$ с той же топологией завершена. Норма порождает топологию, определяя, что последовательность векторов $\mathbf {v} _{n}$ сходится к $\mathbf {v}$ тогда и только тогда $$\lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.$$ Пространства Банаха и Гильберта являются полными топологическими векторными пространствами, топологии которых даны соответственно нормой и внутренним продуктом. Их исследование-ключевая часть функционального анализа -фокусы на бесконечных векторных пространствах, поскольку все нормы на конечных топологических векторных пространствах дают одно и то же мнение о сближении. Изображение справа показывает эквивалентность $1$-Norm и $\infty$-Norm on $\mathbf {R} ^{2}:$ По мере того, как единица «шарики» окружают друг друга, последовательность сходится к нулю в одной норме, если и только тогда, когда это так и делает в другой норме. Однако в бесконечно-размерном случае, как правило, будут неравенственные топологии, что делает изучение топологических векторных пространств более богатыми, чем у векторных пространств без дополнительных данных.

С концептуальной точки зрения все представления, связанные с топологическими векторными пространствами, должны соответствовать топологии. Например, вместо того, чтобы рассмотреть все линейные карты (также называемые функционалами ) $V\to W,$ Карты между топологическими векторными пространствами должны быть непрерывными. В частности, (топологическое) двойное пространство $V^{*}$ состоит из непрерывных функционалов $V\to \mathbf {R}$ (или к $\mathbf {C}$) Фундаментальная теорема Хана -Банаха связана с разделением подпространств соответствующих топологических векторных пространств с непрерывными функционалами.

Банаховые пространства

Основная статья: банаховое пространство

Banach Spaces , представленные Stefan Banach , являются полными векторными векторными пространствами.

Первым примером является векторное пространство $\ell ^{p}$ состоящий из бесконечных векторов с настоящими записями $\mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)$ чей $p$-Norm $(1\leq p\leq \infty )$ дано по $$\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\sup _{i}|x_{i}|\qquad {\text{ for }}p=\infty ,{\text{ and }}$$ $$\|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad {\text{ for }}p<\infty .$$

Топологии на бесконечномерном пространстве $\ell ^{p}$ неравененны для разных $p.$ Например, последовательность векторов $\mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right),$ в котором первый $2^{n}$ компоненты есть $2^{-n}$ и следующие $0,$ сходится к нулевому вектору для $p=\infty ,$ но не для $p=1:$ $$\|\mathbf {x} _{n}\|_{\infty }=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\to 0,$$ но $$\|\mathbf {x} _{n}\|_{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.$$

В целом, чем последовательности реальных чисел, функции $f:\Omega \to \mathbb {R}$ наделены нормой, которая заменяет вышеуказанную сумму интегралом Lebesgue $$\|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,{d\mu (x)}\right)^{\frac {1}{p}}.$$

Пространство интегрируемых функций на данном домене $\Omega$ (например, интервал) удовлетворяет $\|f\|_{p}<\infty ,$ и оснащены этой нормой, называются пространствами в Лебеге , обозначаемые $L^{\;\!p}(\Omega ).$

Эти пространства завершены. (Если вместо этого используется интеграл Riemann , пространство не завершено, что может рассматриваться как оправдание теории интеграции Lebesgue. ) Конкретно это означает, что для любой последовательности функций-интегрируемых в Лебегге $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots$ с $\|f_{n}\|_{p}<\infty ,$ удовлетворение условия $$\lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left|f_{k}(x)-f_{n}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0$$ существует функция $f(x)$ принадлежность к векторному пространству $L^{\;\!p}(\Omega )$ так что $$\lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0.$$

Навязывание условий ограничения не только на функцию, но и на ее производные приводит к пространствам соболев .

Гильбертские пространства

Основная статья: Гильберт пространство

Последующие снимки показывают суммирование от 1 до 5 терминов в аппроксимации периодической функции (синей) по конечной сумме синусоидальных функций (красный).

Полные внутренние пространства продукта известны как пространства Гильберта , в честь Дэвида Хилберта . Гильбертское пространство $L^{2}(\Omega ),$ с внутренним продуктом, данным $$\langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,$$ где ${\overline {g(x)}}$ обозначает сопряжение сложный $g(x),$ это ключевой случай.

По определению, в пространстве Гильберта любая последовательность Коши сходится к пределу. И наоборот, поиск последовательности функций $f_{n}$ С желаемыми свойствами, которые приближают заданную предельную функцию, имеют одинаково важную роль. Ранний анализ в виде приближения Тейлора установил приближение дифференцируемых функций $f$ Полиномами. По теореме о камне -увечке , каждая непрерывная функция на $[a,b]$ может быть аппроксимирован так же, как и желание полиномом. Аналогичная методика приближения с помощью тригонометрических функций обычно называется расширением Фурье и очень применяется в инженерии. В более общем плане, и более концептуально теорема дает простое описание того, что «основные функции» или, в абстрактных пространствах Гилберта, какие основные векторы достаточно для создания пространства Гильберта $H,$ В том смысле, что закрытие их пролета (то есть конечные линейные комбинации и пределы их) - это все пространство. набор функций называется основой Такой $H,$ Его кардинальность известна как измерение космического пространства Гильберта . Теорема не только демонстрирует подходящие базисные функции как достаточные для целей приближения, но и вместе с процессом грамм -шмидта , она позволяет создавать основу ортогональных векторов . Такими ортогональными основаниями являются обобщение пространства Гильберта координатных оси в конечномерном евклидовом пространстве .

Решения различных дифференциальных уравнений могут быть интерпретированы с точки зрения пространств Гильберта. Например, очень много областей в области физики и инженерии приводят к таким уравнениям, и часто решения с конкретными физическими свойствами используются в качестве базисных функций, часто ортогональных. В качестве примера из физики, зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике описывает изменение физических свойств во времени посредством уравнения в части , чьи решения называются волновыми функциями . Определенные значения для физических свойств, таких как энергия или импульс, соответствуют собственным значениям определенного (линейного) дифференциального оператора и связанных волновых функций, называются собственными состояниями . разлагает Теорема спектра линейный компактный оператор, действующий на функции с точки зрения этих собственных функций и их собственных значений.

Алгебры над полями

Основные статьи: Алгебра над полем и алгеброй лей

Гипербола уравнением , данная $x\cdot y=1.$ Координатное кольцо функций на этой гиперболе дается $\mathbf {R} [x,y]/(x\cdot y-1),$ бесконечное векторное пространство над $\mathbf {R} .$

Общие векторные пространства не обладают умножением между векторами. Векторное пространство, оснащенное дополнительным билинейным оператором, определяющим умножение двух векторов, представляет собой алгебру на поле (или F поле F ). -Algebra, если указано

Например, набор всех полиномов $p(t)$ образует алгебру, известную как полиномиальное кольцо : используя то, что сумма двух полиномов является полиномом, они образуют векторное пространство; Они образуют алгебру, так как произведение двух полиномов снова является полиномом. Кольца полиномов (в нескольких переменных) и их коэффициенты составляют основу алгебраической геометрии , поскольку они представляют собой кольца функций алгебраических геометрических объектов .

Другим важным примером являются алгебры Lie , которые не являются ни коммутативными, ни ассоциативными, но неспособность быть так ограничена (ограничения ( $[x,y]$ обозначает продукт $x$ и $y$):

• $[x,y]=-[y,x]$ ( против коммутативность ), и
• $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ ( Идентичность Якоби ).

Примеры включают векторное пространство $n$-к- $n$ матрицы, с $[x,y]=xy-yx,$ коммутатор и двух матриц, $\mathbf {R} ^{3},$ наделен кросс -продуктом .

Тенсорная алгебра $\operatorname {T} (V)$ это официальный способ добавления продуктов в любое векторное пространство $V$ Чтобы получить алгебру. Как векторное пространство, оно охватывается символами, называемыми простыми тензорами $$\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},$$ где степень $n$ варьируется. Умножение определяется путем объединения таких символов, навязывания закона о распределении в соответствии с добавлением и требуя, чтобы скалярное размножение переехало с тензорным продуктом ⊗, почти так же, как и с тензором продукта двух векторных пространств, представленных в вышеупомянутом разделе на тензора . В общем, нет никаких отношений между $\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}$ и $\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.$ Принуждение двух таких элементов привести к симметричной алгебре , тогда как принуждение $\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}$ дает внешнюю алгебру .

Связанные структуры

Векторные пучки

Основные статьи: векторный пакет и касательный пакет

Полоса Мёбиуса. Локально это похоже на u × r .

Векторный пакет - это семейство векторных пространств, параметрируемых непрерывно с помощью топологического пространства x . Точнее, векторный пакет над X - топологическое пространство E, оснащенное непрерывной картой $$\pi :E\to X$$ так что для каждого x в x , волокно π ⁻¹ ( x ) - векторное пространство. Корпус Dim V = 1 называется линейным пакетом . Для любого векторного пространства V проекция x × v → x превращает продукт x × v в «тривиальный» векторный пакет . Векторные пучки над x должны быть локально продуктом x и некоторых (фиксированного) векторного пространства V : для каждого x в x существует окрестности u of x , так что ограничение π до π ⁻¹ ( U ) это изоморфный к тривиальному пакету u × v → u . Несмотря на их локально тривиальный характер, векторные пучки могут (в зависимости от формы базового пространства x ) быть «скрученными» в большом (то есть пакете не обязательно (глобально изоморфным к) тривиальным пучкам x × v ). Например, полоса Möbius можно рассматривать как линейный пакет над кругом S ¹ (путем определения открытых интервалов с реальной линией ). Он, однако, отличается цилиндра от ¹ × r , потому что последнее ориентируется, а первое - нет.

Свойства определенных векторных пучков предоставляют информацию о базовом топологическом пространстве. Например, касательный пакет состоит из сбора касательных пространств, параметрированных точками дифференцируемого коллектора. Касательный пакет круга s ¹ глобально изоморфный на S ¹ × r есть глобальное ненулевое векторное поле , так как на S ¹ . Напротив, по теореме волосатого мяча не существует (касательного) векторного поля , на 2-х сферы . ² который везде ненулевой. K-теория изучает классы изоморфизма всех векторных пучков в некотором топологическом пространстве. В дополнение к углублению топологического и геометрического понимания, оно имеет чисто алгебраические последствия, такие как классификация алгебр с конечным размером деления : R , C , кватернионы H и Octonions O. реального

Котангент -пакет дифференцируемого коллектора состоит в каждой точке многочисленного, двойного касательного пространства, котангентского пространства . Разделы этого пакета известны как дифференциальные одно формы .

Модули

Основная статья: модуль

Модули представляют собой кольца, какие векторные пространства представляют собой поля: те же аксиомы, приложенные к кольцу R вместо поле F , урожайные модули. Теория модулей, по сравнению с теорией векторных пространств, осложняется наличием кольцевых элементов, которые не имеют мультипликативных контактов . Например, модули не должны иметь основы, как z -модуль (то есть группа абелеров ) z /2 z показывает ; Те модули, которые (включая все векторные пространства), известны как свободные модули . Тем не менее, векторное пространство может быть компактно определен как модуль над кольцом , которое является поле , с элементами, называемыми векторами. Некоторые авторы используют термин -векторный пространство для означающих модули над кольцом разделения . Алгебро-геометрическая интерпретация коммутативных колец через их спектр позволяет развивать такие концепции, как локально свободные модули , алгебраический аналог в векторные пучки.

Аффинные и проективные пространства

Основные статьи: аффинное пространство и проективное пространство

Аффинная плоскость (светло -голубой) в r ³ Полем Это двумерное подпространство, смещенное на вектор x (красный).

Примерно, аффинные пространства - это векторные пространства, происхождение которых не указано. Точнее, аффинное пространство - это набор со свободным в области транзитивного векторного пространства действием . В частности, векторное пространство - это аффинное пространство над собой, по карте $$V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .$$ Если W - векторное пространство, то аффинное подпространство представляет собой подмножество W, полученное путем перевода линейного подпространства V с фиксированным вектором x ∈ W ; Это пространство обозначено x + v (оно представляет собой в W v ) и состоит из всех векторов формы x + v для v ∈ V. Coset Важным примером является пространство решений системы неоднородных линейных уравнений $$A\mathbf {v} =\mathbf {b}$$ Обобщение однородного случая, обсуждаемого в вышеуказанном разделе о линейных уравнениях, которые можно найти путем настройки $\mathbf {b} =\mathbf {0}$ В этом уравнении. Пространство решений - это аффинное подпространство x + v , где x является конкретным решением уравнения, а V - пространство решений однородного уравнения ( Nullpace of a ).

Набор одномерных подпространств фиксированного конечного векторного пространства V известен как проективное пространство ; Он может быть использован для формализации идеи параллельных линий, пересекающихся в бесконечности. Grassmannians и Flag Manuleds обобщают это путем параметризации линейных подпространств фиксированного измерения K и флагов подпространств соответственно.

Ссылки

Алгебра

• Антон, Говард; Роррес, Крис (2010), Элементарная линейная алгебра: версия приложений (10 -е изд.), Джон Вили и сыновья
• Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN  978-0-89871-510-1
• Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью -Йорк: М. Деккер, ISBN  978-0-8247-8419-5
• Грилле, Пьер Антуан (2007), Аннотация Алгебра , Vol. 242, Springer Science & Business Media, DOI : 10.1007/978-0-387-71568-1 , ISBN  978-0-387-71568-1
• Halmos, Paul R. (1948), конечные векторные пространства , вып. 7, издательство Принстонского университета
• Хейл, Кристофер (2011), учебник по теории базисной теории: расширенное издание , прикладное и численное гармоническое анализ, Birkhäuser, doi : 10.1007/978-0-8176-4687-5 , ISBN  978-0-8176-4687-5
• Jain, MC (2001), векторные пространства и матрицы в физике , CRC Press, ISBN  978-0-8493-0978-6
• Джоши, К.Д. (1989), Основы дискретной математики , Джон Вили и сыновья
• Kreyszig, Erwin (2020), Advanced Engineering Matematics , John Wiley & Sons, ISBN  978-1-119-45592-9
• Lang, Serge (1987), линейная алгебра , тексты студентов по математике (3-е изд.), Springer, Doi : 10.1007/978-1-4757-1949-9 , ISBN  978-1-4757-1949-9
• Lang, Serge (2002), Алгебра , выпускные тексты по математике , Vol. 211 (пересмотренный третий изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , Мистер   1878556
• Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3 -е изд.), American Matematic Soc., С. 193–222, ISBN  978-0-8218-1646-2
• Мейер, Карл Д. (2000), Анализ матрицы и прикладная линейная алгебра , Siam , ISBN  978-0-89871-454-8
• Николсон, В. Кейт (2018), Линейная алгебра с приложениями , Lyryx
• Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra , выпускники по математике, Vol. 135 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-24766-3
• Spindler, Karlheinz (1993), Абстрактная алгебра с приложениями: Том 1: Векторные пространства и группы , CRC, ISBN  978-0-8247-9144-5
• Springer, TA (2000), Линейные алгебраические группы , Springer, ISBN  978-0-8176-4840-4
• Stoll, RR; Wong, ET (1968), линейная алгебра , академическая пресса
• Van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (на немецком языке) (9-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-56799-8

Анализ

• Бурбаки, Николас (1987), Топологические векторные пространства , элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-13627-9
• Бурбаки, Николас (2004), Интеграция I , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-41129-1
• Браун, Мартин (1993), Дифференциальные уравнения и их приложения: введение в прикладную математику , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97894-9
• BSE-3 (2001) [1994], "Tangent Plane" , Энциклопедия математики , Ems Press
• Choquet, Gustave (1966), Topology , Boston, MA: Academic Press
• Деннери, Филипп; Krzywicki, Andre (1996), Математика для физиков , Courier Dover Publications, ISBN  978-0-486-69193-0
• Dudley, Richard M. (1989), Реальный анализ и вероятность , серия Matematics Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN  978-0-534-10050-6
• Dunham, William (2005), галерея Calculus , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-09565-3
• Эванс, Лоуренс С. (1998), Уравнения по дифференциалам частично , Провидение, RI: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-0772-9
• Фолланд, Джеральд Б. (1992), Анализ Фурье и его приложения , Брукс-Коле, ISBN  978-0-534-17094-3
• Гаскет, Клод; Witomski, Patrick (1999), Анализ и приложения Фурье: фильтрация, числовые вычисления, вейвлеты , тексты в прикладной математике, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98485-8
• Ifeachor, Emmanuel C.; Джервис, Барри В. (2001), Цифровая обработка сигналов: практическое подход (2-е изд.), Харлоу, Эссекс, Англия: Прентис-Холл (опубликовано 2002), ISBN  978-0-201-59619-9
• Кранц, Стивен Г. (1999), Панорама гармонического анализа , Математические монографии Каруса, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-031-2
• Kreyszig, Erwin (1988), Advanced Engineering Mathematics (6th ed.), Нью -Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-85824-9
• Kreyszig, Erwin (1989), Вводной функциональный анализ с приложениями , Библиотека Wiley Classics, New York: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50459-7 , MR   0992618
• Ланг, Серж (1983), Реальный анализ , Аддисон-Уэсли , ISBN  978-0-201-14179-5
• Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94001-4
• Лумис, Линн Х. (2011) [1953], Введение в абстрактный гармонический анализ , Dover, HDL : 2027/UC1.B4250788 , ISBN  978-0-486-48123-4 , OCLC   702357363
• Наричи, Лоуренс; Beckenstein, Edward (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (второе изд.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666 Полем OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991), Функциональный анализ (2 Ed.), McGraw-Hill, ISBN  0070542368
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . Gtm . Тол. 8 (второе изд.). Нью -Йорк, Нью -Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 Полем OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Бостон, Массачусетс: Академическая пресса

Исторические ссылки

• Banach, Stefan (1922), «О операциях в абстрактных наборах и их применении к интегральным уравнениям (на операциях в абстрактных наборах и их применении к интегральным уравнениям)» (PDF) , Fundamenta Matematicae (на французском языке), 3 : 133–181, Doi : 10.4064/fm-3-1-133-181 , ISSN   0016-2736
• Bolzano, Bernard (1804), соображения о некоторых объектах элементарной геометрии (соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком языке)
• Беллавит, Гиусо (1833), «выше некоторых применений нового метода аналитической геометрии», Полиграф наук, Летр и Искусство , 13 , Верона: 53–61 .
• Бурбаки, Николас (1969), Элементы истории математики (элементы истории математики) (по -французски), Париж: Германн
• Dorier, Jean-Luc (1995), «Общий план генезиса теории векторного пространства» , Historia Mathematica , 22 (3): 227–261, doi : 10.1006/hmat.1995.1024 , MR   1347828
• Фурье, Жан Батист Джозеф (1822), Аналитическая теория тепла (на французском языке), на Firmin Didot, отец и сын
• Grassmann, Hermann (1844), Линейный фонд расширения - новая филиал математики (на немецком языке), О. Уиганд , Перепечатка: Grassmann, Hermann (2000), Kannenberg, LC (Ed.), Теория расширения , переведенная Канненбергом, Ллойд С., Провиденс, RI: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2031-5
• Го, Хонгью (2021-06-16), что такое тензоры? , World Scientific, ISBN  978-981-12-4103-1
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), лекции по кватернионам , Королевская ирландская академия
• Möbius, Август Фердинанд (1827), Barycentian Calcul: новая помощь для аналитической обработки геометрии (барицентрическое исчисление: новая полезность для аналитической обработки геометрии) (на немецком языке), архивное из оригинала на 2006-23
• Мур, Грегори Х. (1995), «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875–1940», Historia Mathematica , 22 (3): 262–303, doi : 10.1006/hmat.1995.1025
• Peano, Jiuseppe (1888), Геометрический расчет в соответствии с Ausdehnungslehre H. Grassmann, которым предшествуют операции дедуктивной логики (на итальянском языке), Турин {{citation}}: CS1 Maint: местоположение отсутствует издатель ( ссылка )
• Peano, G. (1901) Formulario Matematician VCT Axioms через интернет -архив

Дальнейшие ссылки

• Эшкрофт, Нил ; Mermin, N. David (1976), физика твердого состояния , Торонто: Thomson Learning, ISBN  978-0-03-083993-1
• Atiyah, Michael Francis (1989), K-Theory , Advanced Book Classics (2-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN  978-0-201-09394-0 , MR   1043170
• Атя, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, Ян Грант (1969), Введение в коммутативную алгебру , Advanced Book Classics, Addison-Wesley
• Blass, Andreas (1984), «Существование оснований подразумевает аксиому выбора» (PDF) , аксиоматическая теория наборов , современная математика Том 31, Провиденс, RI: Американское математическое общество , стр. 31–33, ISBN  978-0-8218-5026-8 , MR   0763890
• Бурбаки, Николас (1998), Элементы математики: Алгебра I Главы 1-3 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-64243-5
• Бурбаки, Николас (1989), Общая топология. Главы 1-4 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-64241-1
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1987), Проективная геометрия (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-96532-1
• Эйзенберг, Мюррей; Гай, Роберт (1979), «Доказательство теоремы волосатого мяча», американский математический месяц , 86 (7): 572–574, doi : 10.2307/2320587 , JSTOR   2320587
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), коммутативная алгебра , выпускники в математике, Vol. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94269-8 , MR   1322960
• Голдрей, Дерек (1996), Теория классических наборов: независимое исследование с гидом (1 -е изд.), Лондон: Чепмен и Холл , ISBN  978-0-412-60610-6
• Griffiths, David J. (1995), Введение в квантовую механику , Верхняя река Седл, Нью -Джерси: Прентис Холл , ISBN  978-0-13-124405-4
• Halmos, Paul R. (1974), конечные векторные пространства , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90093-3
• Халперн, Джеймс Д. (июнь 1966 г.), «Основы в векторных пространствах и аксиоме выбора», Труды Американского математического общества , 17 (3): 670–673, doi : 10.2307/2035388 , JSTOR   2035388
• Хьюз-Халлетт, Дебора; McCallum, William G.; Глисон, Эндрю М. (2013), Calculus: одиночный и многовариантный (6 Ed.), John Wiley & Sons , ISBN  978-0470-88861-2
• Husemoller, Dale (1994), оплетки волокна (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94087-8
• Jost, Jürgen (2005), Риеманская геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-25907-7
• Kreyszig, Erwin (1991), Дифференциальная геометрия , Нью -Йорк: Dover Publications , с. XIV+352, ISBN  978-0-486-66721-8
• Kreyszig, Erwin (1999), Advanced Engineering Mathematics (8 -е изд.), Нью -Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-15496-9
• Luenberger, David (1997), «Оптимизация векторными космическими методами» , Нью -Йорк: Джон Уайли и сыновья , ISBN  978-0-471-18117-0
• Mac Lane, Saunders (1998), категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98403-2
• Миссер, Чарльз У . ; Торн, Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Naber, Gregory L. (2003), Геометрия Minkowski SpaceTime , Нью -Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-43235-9 , MR   2044239
• Schönhage, a .; Strasse, Volker (1971), «Быстрое умножение больших чисел (быстрое умножение больших чисел)», Computing (на немецком языке), 7 (3–4): 281–292, doi : 10.1007/bf02242355 , ISSN   0010-485x , S2CID   9738629
• Spivak, Michael (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том второй) , Хьюстон, Техас: публикация или погиб
• Стюарт, Ян (1975), Теория Галуа , серия математики Чепмена и Холла , Лондон: Чепмен и Холл , ISBN  978-0-412-10800-6
• Варадараджан, В.С. (1974), Группы лжи, алгебры лей и их представления , Прентис Холл , ISBN  978-0-13-535732-3
• Уоллес, GK (февраль 1992 г.), «Стандарт сжатия JPEG по -прежнему» (PDF) , IEEE Transactions на потребительской электронике , 38 (1): XVIII - XXXIV, CiteSeerx   10.1.1.318.4292 , DOI : 10.1109/30.125072 , ISSN   009888 . -3063 , архивировано из оригинала (PDF) 2007-01-13 , извлечен 2017-10-25
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по продвинутой математике. Тол. 38. издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 Полем MR   1269324 . OCLC   36131259 .

Внешние ссылки

• «Векторное пространство» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]