Гильбертово пространство
В математике гильбертовы пространства (названные в честь Дэвида Гильберта ) позволяют обобщать методы линейной алгебры и исчисления от (конечномерных) евклидовых векторных пространств до пространств, которые могут быть бесконечномерными . Гильбертовы пространства естественным образом и часто возникают в математике и физике , обычно как функциональные пространства . Формально гильбертово пространство — это векторное пространство, снабженное скалярным произведением , которое индуцирует функцию расстояния , для которой пространство является полным метрическим пространством .
Самые ранние гильбертовы пространства изучались с этой точки зрения в первом десятилетии 20-го века Давидом Гильбертом , Эрхардом Шмидтом и Фриджесом Риссом . Они являются незаменимыми инструментами в теориях уравнений в частных производных , квантовой механике , анализе Фурье (который включает приложения к обработке сигналов и теплопередаче ) и эргодической теории (которая формирует математическую основу термодинамики ). Джон фон Нейман ввел термин «гильбертово пространство» для обозначения абстрактной концепции, лежащей в основе многих из этих разнообразных приложений. Успех методов гильбертова пространства открыл очень плодотворную эпоху функционального анализа . Помимо классических евклидовых векторных пространств, примеры гильбертовых пространств включают пространства интегрируемых с квадратом функций , пространства последовательностей , пространства Соболева, состоящие из обобщенных функций , и пространства Харди голоморфных функций .
Геометрическая интуиция играет важную роль во многих аспектах теории гильбертова пространства. Точные аналоги теоремы Пифагора и закона параллелограмма справедливы в гильбертовом пространстве. На более глубоком уровне перпендикулярная проекция на линейное подпространство играет важную роль в задачах оптимизации и других аспектах теории. Элемент гильбертова пространства может быть однозначно задан своими координатами относительно ортонормированного базиса по аналогии с декартовыми координатами в классической геометрии. Когда этот базис счетно бесконечен , он позволяет отождествить гильбертово пространство с пространством бесконечных последовательностей , суммируемых с квадратом . Последнее пространство в старой литературе часто называют гильбертовым пространством.
Определение и иллюстрация [ править ]
Мотивирующий пример: евклидово векторное пространство [ править ]
Одним из наиболее известных примеров гильбертова пространства является евклидово векторное пространство, состоящее из трехмерных векторов , обозначаемое R 3 и оснащен скалярным произведением . Скалярное произведение принимает два вектора x и y и дает действительное число x ⋅ y . Если x и y представлены в декартовых координатах , то скалярное произведение определяется выражением
Скалярное произведение удовлетворяет свойствам [1]
- Он симметричен по x и y : x ⋅ y знак равно y ⋅ x .
- Он линеен по своему первому аргументу: ( a x 1 + b x 2 ) ⋅ y = a ( x 1 ⋅ y ) + b ( x 2 ⋅ y ) для любых скаляров a , b и векторов x 1 , x 2 , и й .
- Оно положительно определено : для всех векторов x , x ⋅ x ≥ 0 , с равенством тогда и только тогда, когда x = 0 .
Операция над парами векторов, которая, как и скалярное произведение, удовлетворяет этим трем свойствам, называется (реальным) внутренним произведением . Векторное пространство, оснащенное таким внутренним продуктом, известно как (реальное) пространство внутреннего продукта . Каждое конечномерное пространство внутреннего произведения также является гильбертовым пространством. [2] Основная особенность скалярного произведения, которое связывает его с евклидовой геометрией, заключается в том, что оно связано как с длиной (или нормой ) вектора, обозначаемого ‖ x ‖ , так и с углом θ между двумя векторами x и y посредством формула
Многомерное исчисление в евклидовом пространстве основано на способности вычислять пределы и иметь полезные критерии для вывода о существовании пределов. Математический ряд
Как и в случае с рядом скаляров, абсолютно сходящаяся серия векторов также сходится к некоторому предельному вектору L в евклидовом пространстве в том смысле, что
Это свойство выражает полноту евклидова пространства: ряд, который сходится абсолютно, сходится и в обычном смысле.
В гильбертовых пространствах часто используются комплексные числа . Комплексная плоскость , обозначенная C , наделена понятием величины, комплексного модуля | г | , который определяется как квадратный корень произведения z на его комплексно-сопряженное число :
Если z = x + iy — разложение z на действительную и мнимую части, то модуль — это обычная евклидова двумерная длина:
Внутренний продукт пары комплексных чисел z и w — это произведение z на комплексно-сопряженное число w :
Это комплексное значение. Действительная часть ⟨ z , w ⟩ дает обычное двумерное евклидово скалярное произведение .
Второй пример — пространство C 2 элементами которого являются пары комплексных чисел z = ( z 1 , z 2 ) . Тогда скалярное произведение z с другим таким вектором w = ( w 1 , w 2 ) определяется выражением
Действительная часть ⟨ z , w ⟩ тогда является двумерным евклидовым скалярным произведением. Этот внутренний продукт является эрмитовым симметричным, что означает, что результатом замены z и w является комплексно-сопряженное выражение:
Определение [ править ]
Гильбертово пространство — это вещественное или комплексное пространство внутреннего произведения , которое также является полным метрическим пространством относительно функции расстояния, индуцированной внутренним произведением. [4]
Сказать, что комплексное векторное пространство H является пространством комплексного внутреннего продукта, означает, что существует внутренний продукт присвоение комплексного числа каждой паре элементов H , который удовлетворяет следующим свойствам:
- Внутренний продукт сопряжен симметричен; то есть внутренний продукт пары элементов равен комплексно -сопряженному внутреннему продукту замененных элементов: Важно отметить, что это означает, что это действительное число.
- Внутренний продукт линеен в своем первом [номер 1] аргумент. Для всех комплексных чисел и
- Внутренний продукт элемента сам на себя положительно определен :
Из свойств 1 и 2 следует, что комплексное скалярное произведение является антилинейным , также называемым сопряженным линейным , по второму аргументу, что означает, что
Реальное пространство внутреннего продукта определяется таким же образом, за исключением того, что H является реальным векторным пространством, а внутренний продукт принимает действительные значения. Таким внутренним продуктом будет билинейная карта и сформируется двойная система . [5]
Норма – это вещественная функция
То, что эта функция является функцией расстояния, означает, во-первых, что она симметрична относительно и во-вторых, расстояние между и само равно нулю, иначе расстояние между и должно быть положительным, и, наконец, выполняется неравенство треугольника , означающее, что длина одной стороны треугольника xyz не может превышать сумму длин двух других сторон:
Это последнее свойство в конечном итоге является следствием более фундаментального неравенства Коши – Шварца , которое утверждает
С функцией расстояния, определенной таким образом, любое пространство внутреннего произведения является метрическим пространством и иногда называется хаусдорфовым предгильбертовым пространством . [6] Любое предгильбертово пространство, которое к тому же является полным пространством, является гильбертовым пространством. [7]
Полнота полным , H H выражается с использованием формы критерия Коши для последовательностей в H : прегильбертово пространство является если каждая последовательность Коши сходится относительно этой нормы к элементу в пространстве. Полноту можно охарактеризовать следующим эквивалентным условием: если ряд векторов
Как полное нормированное пространство, гильбертово пространство по определению также является банаховым пространством . По сути, они являются топологическими векторными пространствами , в которых топологические понятия, такие как открытость и замкнутость подмножеств четко определены . Особое значение имеет понятие замкнутого линейного подпространства гильбертова пространства, которое со скалярным произведением, индуцированным ограничением , также является полным (будучи замкнутым множеством в полном метрическом пространстве) и, следовательно, само по себе является гильбертовым пространством.
Второй пример: пробелы последовательности [ править ]
Пространство последовательностей l 2 состоит из всех бесконечных последовательностей z = ( z 1 , z 2 , …) комплексных чисел таких, что сходится следующий ряд : [9]
Скалярный продукт по l 2 определяется:
Этот второй ряд сходится вследствие неравенства Коши – Шварца и сходимости предыдущего ряда.
Полнота пространства имеет место при условии, что всякий раз, когда ряд элементов из l 2 сходится абсолютно (по норме), то сходится к элементу из l 2 . Доказательство является базовым в математическом анализе и позволяет манипулировать математическими рядами элементов пространства с той же легкостью, что и рядами комплексных чисел (или векторами в конечномерном евклидовом пространстве). [10]
История [ править ]
До разработки гильбертовых пространств математикам и физикам были известны и другие обобщения евклидовых пространств . В частности, идея абстрактного линейного пространства (векторного пространства) приобрела некоторую популярность к концу XIX века: [11] это пространство, элементы которого можно складывать и умножать на скаляры (например, действительные или комплексные числа ) без обязательного отождествления этих элементов с «геометрическими» векторами , такими как векторы положения и импульса в физических системах. Другие объекты, изучаемые математиками на рубеже 20-го века, в частности пространства последовательностей (включая ряды ) и пространства функций, [12] естественно можно рассматривать как линейные пространства. Функции, например, можно складывать или умножать на постоянные скаляры, и эти операции подчиняются алгебраическим законам, которым удовлетворяют сложение и скалярное умножение пространственных векторов.
В первом десятилетии 20-го века параллельные разработки привели к введению гильбертовых пространств. Первым из них было наблюдение, возникшее во время Дэвидом Гильбертом и Эрхардом Шмидтом исследования интегральных уравнений : [13] что две , суммируемые с квадратом, вещественные функции f и g на интервале [ a , b ] имеют скалярный продукт
которое обладает многими знакомыми свойствами евклидова скалярного произведения. В частности, имеет смысл идея ортогонального семейства функций. Шмидт использовал сходство этого скалярного произведения с обычным скалярным произведением, чтобы доказать аналог спектрального разложения для оператора вида
где K — непрерывная функция, симметричная по x и y . Полученное разложение по собственным функциям выражает функцию K в виде ряда вида
где функции φ n ортогональны в том смысле, что ⟨ φ n , φ m ⟩ = 0 для всех n ≠ m . Отдельные термины в этой серии иногда называют элементарными решениями продукта. Однако существуют разложения по собственным функциям, которые не могут сходиться в подходящем смысле к функции, интегрируемой с квадратом: недостающим ингредиентом, обеспечивающим сходимость, является полнота. [14]
Вторым развитием стал интеграл Лебега , альтернатива интегралу Римана, введенному Анри Лебегом в 1904 году. [15] Интеграл Лебега позволил интегрировать гораздо более широкий класс функций. В 1907 году Фридьес Рисс и Эрнст Сигизмунд Фишер независимо друг от друга доказали, что пространство L 2 функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу, является полным метрическим пространством . [16] В результате взаимодействия между геометрией и полнотой результаты XIX века Жозефа Фурье , Фридриха Бесселя и Марка-Антуана Парсеваля о тригонометрических рядах были легко перенесены в эти более общие пространства, в результате чего появился геометрический и аналитический аппарат, который теперь обычно известен как Теорема Рисса–Фишера . [17]
Дальнейшие основные результаты были доказаны в начале 20 века. Например, теорема о представлении Рисса была независимо установлена Морисом Фреше и Фриджесом Риссом в 1907 году. [18] Джон фон Нейман ввёл термин «абстрактное гильбертово пространство» в своей работе о неограниченных эрмитовых операторах . [19] Хотя другие математики, такие как Герман Вейль и Норберт Винер, уже очень подробно изучали отдельные гильбертовы пространства, часто с физически мотивированной точки зрения, фон Нейман дал первое их полное и аксиоматическое рассмотрение. [20] Фон Нейман позже использовал их в своей плодотворной работе по основам квантовой механики. [21] и в его постоянной работе с Юджином Вигнером . Название «гильбертово пространство» вскоре было принято другими, например, Германом Вейлем в его книге по квантовой механике и теории групп. [22]
Значимость концепции гильбертова пространства была подчеркнута осознанием того, что она предлагает одну из лучших математических формулировок квантовой механики . [23] Короче говоря, состояния квантово-механической системы являются векторами в определенном гильбертовом пространстве, наблюдаемые — эрмитовыми операторами в этом пространстве, симметрии системы — унитарными операторами , а измерения — ортогональными проекциями . унитарными операторами дала толчок развитию теории унитарного представления групп Связь между квантово-механическими симметриями и , начатой в 1928 году работой Германа Вейля. [22] С другой стороны, в начале 1930-х годов стало ясно, что классическую механику можно описать в терминах гильбертова пространства ( классическая механика Купмана – фон Неймана ) и что некоторые свойства классических динамических систем можно анализировать с использованием методов гильбертового пространства в рамках эргодическая теория . [24]
Алгебра наблюдаемых в квантовой механике, естественно, является алгеброй операторов, определенных в гильбертовом пространстве, согласно Вернера Гейзенберга . матричной формулировке квантовой теории [25] Фон Нейман начал исследовать операторные алгебры в 1930-х годах как кольца операторов в гильбертовом пространстве. Вид алгебр, изучаемых фон Нейманом и его современниками, теперь известен как алгебры фон Неймана . [26] В 1940-х годах Исраэль Гельфанд , Марк Наймарк и Ирвинг Сигал дали определение своего рода операторных алгебр, называемых C*-алгебрами, которые, с одной стороны, не ссылались на лежащее в основе гильбертово пространство, а с другой, экстраполировали многие полезные свойства. ранее изученных операторных алгебр. Спектральная теорема для самосопряженных операторов, лежащая в основе большей части существующей теории гильбертового пространства, была обобщена на С*-алгебры. [27] Эти методы сейчас являются базовыми в абстрактном гармоническом анализе и теории представлений.
Примеры [ править ]
Пространства Лебега [ править ]
Пространства Лебега — это функциональные пространства, ассоциированные с пространствами с мерой ( X , M , µ ) , где X — множество, — σ -алгебра подмножеств X , а µ — счетно-аддитивная мера на M. M Пусть L 2 ( X , µ ) — пространство тех комплекснозначных измеримых функций на X, для которых интеграл Лебега от квадрата модуля функции конечен, т. е. для функции f из L 2 ( Х , м ) ,
Скалярное произведение функций f и g в L 2 ( X , µ ) тогда определяется как
где вторая форма (сопряжение первого элемента) обычно встречается в литературе по теоретической физике . Для f и g в L 2 , интеграл существует благодаря неравенству Коши – Шварца и определяет скалярный продукт в пространстве. Оснащенный этим внутренним продуктом, L 2 фактически является полным. [28] Интеграл Лебега необходим для обеспечения полноты: например, в областях действительных чисел недостаточно функций, интегрируемых по Риману . [29]
Пространства Лебега встречаются во многих природных условиях. Пространства L 2 ( р ) и л 2 ([0,1]) функций, интегрируемых с квадратом относительно меры Лебега на вещественной прямой и единичном интервале соответственно, являются естественными областями, на которых можно определить преобразование Фурье и ряд Фурье. В других ситуациях мера может быть чем-то иным, чем обычная мера Лебега на действительной прямой. Например, если w — любая положительная измеримая функция, пространство всех измеримых функций f на интервале [0, 1], удовлетворяющих
w ([0, 1]) и w называется весовой функцией. Внутренний продукт определяется
Весовое пространство L 2
w ([0, 1]) тождественно гильбертовому пространству L 2 ([0, 1], µ ) , где мера µ измеримого по Лебегу множества A определяется формулой
Взвешенный L 2 Подобные пространства часто используются для изучения ортогональных полиномов , поскольку разные семейства ортогональных полиномов ортогональны относительно разных весовых функций. [30]
Sobolev spaces [ edit ]
Пространства Соболева , обозначаемые H с или Вт с , 2 , являются гильбертовыми пространствами. Это особый вид функционального пространства, в котором дифференцирование может выполняться , но которое (в отличие от других банаховых пространств, таких как пространства Гёльдера ) поддерживает структуру внутреннего продукта. Поскольку дифференцирование разрешено, пространства Соболева являются удобным инструментом для теории уравнений в частных производных . [31] Они также составляют основу теории прямых методов вариационного исчисления . [32]
Для s — неотрицательное целое число и Ω ⊂ R н , пространство Соболева H с (Ω) содержит L 2 функции, слабые производные которых порядка до s также являются L 2 . Внутренний продукт в H с ) ( Ом
Пространства Соболева изучаются также с точки зрения спектральной теории, более конкретно опираясь на структуру гильбертова пространства. Если Ω — подходящая область, то можно определить пространство Соболева H с (Ω) как пространство потенциалов Бесселя ; [33] грубо,
Здесь ∆ — лапласиан и (1 − ∆) − с /2 понимается в терминах теоремы о спектральном отображении . Помимо предоставления работоспособного определения пространств Соболева для нецелых чисел , это определение также обладает особенно желательными свойствами при преобразовании Фурье , которые делают его идеальным для изучения псевдодифференциальных операторов . Используя эти методы на компактном римановом многообразии , можно получить, например, разложение Ходжа , которое является основой теории Ходжа . [34]
Пространства голоморфных функций [ править ]
Харди-пространства [ править ]
Пространства Харди — это функциональные пространства, возникающие в комплексном анализе и гармоническом анализе , элементами которого являются некоторые голоморфные функции в комплексной области. [35] через U Обозначим единичный круг на комплексной плоскости. Тогда пространство Харди H 2 ( U ) определяется как пространство голоморфных функций f на U таких, что средства
остаются ограниченными при r < 1 . Норма в этом пространстве Харди определяется формулой
Пространства Харди в диске относятся к рядам Фурье. Функция f находится в H 2 ( U ) тогда и только тогда, когда
Таким образом, Х 2 ( U ) состоит из тех функций, которые являются L 2 на круге, и отрицательные частотные коэффициенты Фурье которого равны нулю.
Пространства Бергмана [ править ]
Пространства Бергмана — это еще одно семейство гильбертовых пространств голоморфных функций. [36] Пусть D — ограниченное открытое множество на комплексной плоскости (или многомерном комплексном пространстве) и пусть L 2, ч ( D ) — пространство голоморфных функций f в D , которые также находятся в L 2 ( D ) в том смысле, что
где интеграл берется по мере Лебега в D . Очевидно, Л 2, ч ( D ) — подпространство L 2 ( Д ) ; на самом деле это замкнутое подпространство и, следовательно, само по себе гильбертово пространство. Это является следствием оценки, справедливой на компактных подмножествах K в D , что
Пространство Бергмана является примером воспроизводящего ядра гильбертова пространства , которое представляет собой гильбертово пространство функций вместе с ядром K ( ζ , z ), которое проверяет воспроизводящее свойство, аналогичное этому. Пространство Харди H 2 ( D ) также допускает воспроизводящее ядро, известное как ядро Сегё . [37] Воспроизводящие ядра распространены и в других областях математики. Например, в гармоническом анализе ядро Пуассона является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства интегрируемых с квадратом гармонических функций в единичном шаре . То, что последнее вообще является гильбертовым пространством, является следствием теоремы о среднем значении для гармонических функций.
Приложения [ править ]
Во многих приложениях гильбертовых пространств используется тот факт, что гильбертовые пространства поддерживают обобщения простых геометрических концепций, таких как проекция и замена базиса , из их обычной конечномерной ситуации. , спектральная теория непрерывных самосопряженных линейных операторов в гильбертовом пространстве обобщает обычное спектральное разложение матрицы В частности , и это часто играет важную роль в приложениях теории к другим областям математики и физики.
Штурма Лиувилля Теория –
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений для изучения поведения собственных значений и собственных функций дифференциальных уравнений применяются спектральные методы на подходящем гильбертовом пространстве. Например, задача Штурма–Лиувилля возникает при исследовании гармоник волн в скрипичной струне или барабане и является центральной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях . [38] Задача представляет собой дифференциальное уравнение вида
Уравнения в частных производных [ править ]
Гильбертовые пространства представляют собой основной инструмент при изучении уравнений в частных производных . [31] Для многих классов уравнений в частных производных, таких как линейные эллиптические уравнения , можно рассмотреть обобщенное решение (известное как слабое решение) путем расширения класса функций. Многие слабые формулировки включают класс функций Соболева , который является гильбертовым пространством. Подходящая слабая формулировка сводится к геометрической задаче, аналитической задаче нахождения решения или, что часто, что более важно, доказывания того, что решение существует и является единственным для заданных граничных данных. Для линейных эллиптических уравнений одним геометрическим результатом, обеспечивающим однозначную разрешимость большого класса задач, является теорема Лакса – Милгрэма . Эта стратегия составляет основу метода Галеркина ( метода конечных элементов ) для численного решения уравнений в частных производных. [40]
Типичным примером является уравнение Пуассона −Δ u = g с граничными условиями Дирихле в ограниченной области Ω в R 2 . Слабая формулировка состоит в нахождении функции u такой, что для всех непрерывно дифференцируемых функций v в Ω, исчезающих на границе:
Это можно переписать в терминах гильбертова пространства H 1
0 (Ω), состоящая из функций u таких, что u вместе со своими слабыми частными производными интегрируемы с квадратом на Ω и обращаются в нуль на границе. Тогда вопрос сводится к нахождению u в этом пространстве такого, что для всех v в этом пространстве
где a — непрерывная билинейная форма , а b — непрерывный линейный функционал , определяемый соответственно формулой
Поскольку уравнение Пуассона эллиптическое , из неравенства Пуанкаре следует, что билинейная форма a является коэрцитивной . Тогда теорема Лакса – Милгрэма обеспечивает существование и единственность решений этого уравнения. [41]
Гильбертовые пространства позволяют формулировать многие эллиптические уравнения в частных производных аналогичным образом, и теорема Лакса – Милгрэма становится тогда основным инструментом в их анализе. С соответствующими модификациями аналогичные методы можно применять к параболическим уравнениям в частных производных и некоторым гиперболическим уравнениям в частных производных . [42]
Эргодическая теория [ править ]
Область эргодической теории — изучение долговременного поведения хаотических динамических систем . Типичным случаем поля, к которому применяется эргодическая теория, является термодинамика , в которой — хотя микроскопическое состояние системы чрезвычайно сложно (невозможно понять ансамбль отдельных столкновений между частицами материи) — среднее поведение в течение достаточно длительного времени временные интервалы являются управляемыми. Законы термодинамики являются утверждениями о таком среднем поведении. В частности, одна из формулировок нулевого закона термодинамики утверждает, что в течение достаточно длительного периода времени единственным функционально независимым измерением термодинамической системы, находящейся в равновесии, является ее полная энергия в форме температуры . [43]
Эргодическая динамическая система — это такая система, для которой, кроме энергии, измеряемой гамильтонианом , нет других функционально независимых сохраняющихся величин в фазовом пространстве . Более подробно предположим, что энергия E фиксирована, и пусть Ω E — подмножество фазового пространства, состоящее из всех состояний энергии E (энергетическая поверхность), и пусть T t обозначает оператор эволюции в фазовом пространстве. Динамическая система является эргодической, если каждая инвариантная измеримая функция на Ω E постоянна почти всюду . [44] Инвариантная функция f — это такая функция, для которой
Эргодическая теорема фон Неймана о среднем [24] заявляет следующее:
- Если U t — (сильно непрерывная) однопараметрическая полугруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве H , а P — ортогональный проектор на пространство общих неподвижных точек U t , { x ∈ H | U t x = x , ∀ t > 0} , тогда
Для эргодической системы фиксированный набор временной эволюции состоит только из постоянных функций, поэтому из эргодической теоремы следует следующее: [45] для любой функции f ∈ L 2 (Ом Е , м ) ,
То есть среднее значение наблюдаемой f за долгое время равно ее математическому ожиданию по энергетической поверхности.
Анализ Фурье [ править ]
Одной из основных целей анализа Фурье является разложение функции на (возможно, бесконечную) линейную комбинацию заданных базисных функций: соответствующий ряд Фурье . Классический ряд Фурье, связанный с функцией f , определенной на интервале [0, 1], представляет собой ряд вида
Пример сложения первых нескольких членов ряда Фурье для пилообразной функции показан на рисунке. Базисными функциями являются синусоидальные волны с длинами волн λ / n (для целого числа n ) короче длины волны λ самой пилообразной волны (за исключением n = 1 , основной волны).
Важная проблема в классических рядах Фурье заключается в том, в каком смысле ряд Фурье сходится, если вообще сходится, к функции f . Методы гильбертового пространства дают один из возможных ответов на этот вопрос. [46] Функции e n ( θ ) = e 2р внутр. образуют ортогональный базис гильбертова пространства L 2 ([0, 1]) . Следовательно, любую интегрируемую с квадратом функцию можно выразить в виде ряда
и, кроме того, этот ряд сходится в смысле гильбертова пространства (т.е. в пространстве L 2 иметь в виду ).
Проблему также можно изучать с абстрактной точки зрения: каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис , и каждый элемент гильбертова пространства может быть записан уникальным образом как сумма кратных этих базисных элементов. Коэффициенты, возникающие на этих базисных элементах, иногда абстрактно называют коэффициентами Фурье элемента пространства. [47] Абстракция особенно полезна, когда более естественно использовать разные базисные функции для такого пространства, как L 2 ([0, 1]) . Во многих случаях желательно не разлагать функцию на тригонометрические функции, а, на ортогональные полиномы или вейвлеты : например, [48] и в более высоких измерениях в сферические гармоники . [49]
Например, если en — любые ортонормированные базисные функции L 2 [0, 1] , то заданная функция из L 2 [0, 1] можно аппроксимировать как конечную линейную комбинацию [50]
Коэффициенты { a j } выбираются так, чтобы определить величину разницы ‖ f − f n ‖ 2 как можно меньше. Геометрически лучшим приближением является ортогональная проекция f , и его на подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций { e j } можно вычислить по формуле [51]
Что эта формула минимизирует разницу ‖ f − f n ‖ 2 является следствием неравенства Бесселя и формулы Парсеваля .
В различных приложениях к физическим задачам функция может быть разложена на физически значимые собственные функции дифференциального оператора (обычно оператора Лапласа ): это формирует основу для спектрального исследования функций относительно спектра дифференциального оператора. [52] Конкретное физическое приложение включает в себя задачу услышать форму барабана : учитывая основные виды вибрации, которые способен создавать пластик барабана, можно ли сделать вывод о форме самого барабана? [53] Математическая формулировка этого вопроса включает в себя собственные значения Дирихле уравнения Лапласа на плоскости, которые представляют основные виды колебаний по прямой аналогии с целыми числами, которые представляют основные виды колебаний струны скрипки.
Спектральная теория также лежит в основе некоторых аспектов преобразования Фурье функции. В то время как анализ Фурье разлагает функцию, определенную на компактном множестве , в дискретный спектр лапласиана (который соответствует колебаниям скрипичной струны или барабана), преобразование Фурье функции представляет собой разложение функции, определенной на всем евклидовом пространстве. на его компоненты в непрерывном спектре лапласиана. Преобразование Фурье также является геометрическим, в некотором смысле уточненным теоремой Планшереля , которая утверждает, что оно представляет собой изометрию одного гильбертова пространства («временная область») с другим («частотная область»). Это свойство изометрии преобразования Фурье является повторяющейся темой в абстрактном гармоническом анализе (поскольку оно отражает сохранение энергии для непрерывного преобразования Фурье), о чем свидетельствует, например, теорема Планшереля для сферических функций, встречающихся в некоммутативном гармоническом анализе .
Квантовая механика [ править ]
В математически строгой формулировке квантовой механики , разработанной Джоном фон Нейманом , [54] возможные состояния (точнее, чистые состояния ) квантово-механической системы представлены единичными векторами (называемыми векторами состояний ), находящимися в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве, известном как пространство состояний , четко определенном с точностью до комплексного числа нормы 1. ( фазовый коэффициент ). Другими словами, возможные состояния — это точки проективизации гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы; например, состояния положения и импульса для одной нерелятивистской частицы со спином ноль представляют собой пространство всех интегрируемых с квадратом функций, а состояния для спина одного протона являются единичными элементами двумерного комплексного гильбертова пространства спиноров. . Каждая наблюдаемая представляется самосопряженным линейным оператором, действующим в пространстве состояний. Каждое собственное состояние наблюдаемой соответствует собственному вектору оператора, а связанное с ним собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. [55]
Внутренний продукт между двумя векторами состояния представляет собой комплексное число, известное как амплитуда вероятности . Во время идеального измерения квантово-механической системы вероятность коллапса системы из заданного начального состояния в конкретное собственное состояние определяется квадратом абсолютного значения амплитуд вероятности между начальным и конечным состояниями. [56] Возможными результатами измерения являются собственные значения оператора, что объясняет выбор самосопряженных операторов, поскольку все собственные значения должны быть действительными. Распределение вероятностей наблюдаемой в данном состоянии можно найти, вычислив спектральное разложение соответствующего оператора. [57]
Для общей системы состояния обычно не являются чистыми, а вместо этого представляются как статистические смеси чистых состояний или смешанные состояния, заданные матрицами плотности : самосопряженными операторами следа один в гильбертовом пространстве. [58] Более того, для общих квантово-механических систем эффекты одного измерения могут влиять на другие части системы таким образом, который вместо этого описывается положительной мерой с операторным значением . Таким образом, структура как состояний, так и наблюдаемых в общей теории значительно сложнее, чем идеализация чистых состояний. [59]
Теория вероятностей [ править ]
В теории вероятностей гильбертовы пространства также имеют разнообразные применения. Здесь фундаментальное гильбертово пространство — это пространство случайных величин в заданном вероятностном пространстве , имеющее класс (конечные первый и второй моменты ). Распространенной операцией в статистике является центрирование случайной величины путем вычитания ее математического ожидания . Таким образом, если является случайной величиной, то это его центрирование. С точки зрения гильбертова пространства это ортогональная проекция на ядро оператора ожидания, который является непрерывным линейным функционалом в гильбертовом пространстве (фактически, скалярным произведением с постоянной случайной величиной 1), и поэтому это ядро является замкнутым подпространством.
Условное ожидание имеет естественную интерпретацию в гильбертовом пространстве. [60] Предположим, что вероятностное пространство дано, где является сигма-алгеброй на множестве , и является вероятностной мерой в пространстве меры . Если является сигма-подалгеброй , то условное ожидание является ортогональной проекцией на подпространство состоящий из -измеримые функции. Если случайная величина в не зависит от сигма-алгебры тогда условное ожидание , т. е. его проекция на -измеримые функции постоянны. Эквивалентно, проекция его центрирования равна нулю.
В частности, если две случайные величины и (в ) независимы, то центрированные случайные величины и ортогональны. (Это означает, что две переменные имеют нулевую ковариацию : они некоррелированы .) В этом случае теорема Пифагора в ядре оператора ожидания подразумевает, дисперсии что и удовлетворить личность:
Теорию мартингалов можно сформулировать в гильбертовых пространствах. Мартингал в гильбертовом пространстве — это последовательность элементов гильбертова пространства таких, что для n каждого является ортогональной проекцией на линейную оболочку . [62] Если являются случайными величинами, это воспроизводит обычное определение (дискретного) мартингала: ожидание , обусловленный , равно .
Гильбертовы пространства также используются в основах исчисления Ито . [63] Любому мартингалу , интегрируемому с квадратом , можно сопоставить норму Гильберта в пространстве классов эквивалентности прогрессивно измеримых процессов относительно мартингала (используя в качестве меры квадратичную вариацию мартингала). Интеграл Ито можно построить, сначала определив его для простых процессов , а затем используя их плотность в гильбертовом пространстве. Примечательным результатом является изометрия Ито , которая свидетельствует, что для любого мартингала M, имеющего квадратичную меру вариации и любой прогрессивно измеримый процесс H :
Более глубокое применение гильбертовых пространств, которое особенно важно в теории гауссовских процессов , — это попытка Леонарда Гросса и других понять смысл некоторых формальных интегралов по бесконечномерным пространствам, таких как интеграл по путям Фейнмана из квантовой теории поля . Проблема с подобным интегралом заключается в том, что не существует бесконечномерной меры Лебега . Понятие абстрактного пространства Винера позволяет построить меру на банаховом пространстве B , которое содержит гильбертово пространство H , называемое пространством Кэмерона-Мартина плотное подмножество, из конечно-аддитивной меры цилиндрического множества на H. , как Результирующая мера на B является счетно-аддитивной и инвариантной относительно переноса элементами H , и это обеспечивает математически строгий способ мышления о мере Винера как гауссовской мере в пространстве Соболева. . [64]
Восприятие цвета [ править ]
Любой истинный физический цвет может быть представлен комбинацией чистых спектральных цветов . Поскольку физические цвета могут состоять из любого количества спектральных цветов, пространство физических цветов может быть удобно представлено гильбертовым пространством спектральных цветов. У людей есть три типа колбочек для восприятия цвета, поэтому воспринимаемые цвета могут быть представлены трехмерным евклидовым пространством. Линейное отображение «многие к одному» из гильбертова пространства физических цветов в евклидово пространство воспринимаемых человеком цветов объясняет, почему многие различные физические цвета могут восприниматься людьми как идентичные (например, чистый желтый свет по сравнению со смесью красного и зеленого цветов). свет, см. метамерия ). [65] [66]
Свойства [ править ]
Пифагорейская идентичность [ править ]
Два вектора u и v в гильбертовом пространстве H ортогональны, когда ⟨ u , v ⟩ = 0 . Обозначение для этого: u ⊥ v . В более общем смысле, когда S является подмножеством в H , обозначение u ⊥ S означает, что ортогонален каждому элементу из S. u
Когда u и v ортогональны, имеем
Индукцией по n это распространяется на любое семейство u 1 , ..., un из n , ортогональных векторов
Хотя заявленное тождество Пифагора справедливо в любом пространстве внутреннего продукта, полнота необходима для расширения тождества Пифагора на серии. [67] Ряд Σ uk векторов ортогональных тогда и только сходится в H тогда, когда сходится ряд квадратов норм и
и поляризация Идентичность параллелограмма
По определению, каждое гильбертово пространство также является банаховым пространством . Более того, в каждом гильбертовом пространстве имеет место следующее тождество параллелограмма : [68]
И наоборот, каждое банахово пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма, является гильбертовым пространством, а скалярное произведение однозначно определяется нормой с помощью поляризационного тождества . [69] Для реальных гильбертовых пространств поляризационное тождество имеет вид
Для комплексных гильбертовых пространств это
Из закона параллелограмма следует, что любое гильбертово пространство является равномерно выпуклым банаховым пространством . [70]
Наилучшее приближение [ править ]
В этом подразделе используется теорема о проекции Гильберта . Если C — непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H и x — точка в H , существует единственная точка y ∈ C , которая минимизирует расстояние между x и точками в C , [71]
Это эквивалентно утверждению, что в сдвинутом выпуклом множестве D = C − x существует точка с минимальной нормой . Доказательство состоит в том, чтобы показать, что каждая минимизирующая последовательность ( d n ) ⊂ D является Коши (с использованием тождества параллелограмма), следовательно, сходится (с использованием полноты) к точке в D , которая имеет минимальную норму. В более общем смысле это справедливо в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве. [72]
Когда этот результат применяется к замкнутому подпространству F в H , можно показать, что точка y ∈ F , ближайшая к x, характеризуется [73]
Эта точка y является ортогональной проекцией x Ортогональные на F , а отображение P F : x → y линейно (см. дополнения и проекции ). Этот результат особенно важен в прикладной математике , особенно в численном анализе , где он лежит в основе методов наименьших квадратов . [74]
В частности, когда F не равно H , можно найти ненулевой вектор v, ортогональный F (выберите x ∉ F и v = x − y ). Очень полезный критерий получается применением этого наблюдения к замкнутому подпространству F, подмножеством S из H. порожденному
- Подмножество S в H охватывает плотное векторное подпространство тогда и только тогда, когда вектор 0 является единственным вектором v ∈ H, ортогональным S .
Двойственность [ править ]
Двойственное пространство H * — это пространство всех непрерывных линейных функций из пространства H в основное поле. Оно несет в себе естественную норму, определенную
Теорема о представлении Рисса дает удобное описание двойственного пространства. Каждому элементу u из H существует уникальный элемент φ u из H * , определяемый формулой
Теорема о представлении Рисса утверждает, что отображение из H в H *, определяемое u ↦ φ u, является сюръективным , что делает это отображение изометрическим антилинейным изоморфизмом. [75] Таким образом, для каждого элемента φ двойственного H * существует один и только один u φ в H такой, что
Изменение порядка в правой части восстанавливает линейность в φ из антилинейности u φ . В реальном случае антилинейный изоморфизм H к его двойственному пространству на самом деле является изоморфизмом, и поэтому реальные гильбертовы пространства естественно изоморфны своим собственным двойственным пространствам.
Представляющий вектор u φ получается следующим образом. Когда φ ≠ 0 , ядро F = Ker( φ ) является замкнутым векторным подпространством H , не равным H , следовательно, существует ненулевой вектор v, ортогональный F . Вектор u является подходящим скалярным кратным λv v вектора . Требование, чтобы φ ( v ) = ⟨ v , u ⟩, дает
Это соответствие φ ↔ u используется в обозначениях брекетов популярных в физике . [76] В физике принято предполагать, что скалярный продукт, обозначаемый ⟨ x | y ⟩ , линейна справа,
Теорема о представлении Рисса фундаментально опирается не только на наличие скалярного произведения, но и на полноту пространства. Фактически, из теоремы следует, что топологическое двойственное пространство любого внутреннего продукта может быть идентифицировано с его пополнением. [77] Непосредственным следствием теоремы о представлении Рисса также является то, что гильбертово пространство H рефлексивно , а это означает, что естественное отображение H в его двойное двойственное пространство является изоморфизмом.
Слабо сходящиеся последовательности [ править ]
В гильбертовом пространстве H последовательность { x n } к слабо сходится вектору x ∈ H, когда
Например, любая ортонормированная последовательность { f n } слабо сходится к 0, как следствие неравенства Бесселя . Любая слабо сходящаяся последовательность xn } ограничена { принципом равномерной ограниченности .
Обратно, каждая ограниченная последовательность в гильбертовом пространстве допускает слабо сходящиеся подпоследовательности ( теорема Алаоглу ). [78] Этот факт можно использовать для доказательства результатов минимизации для непрерывных выпуклых функционалов , точно так же, как теорема Больцано–Вейерштрасса используется для непрерывных функций на R. д . Среди нескольких вариантов есть одно простое утверждение: [79]
- Если f : H → R — выпуклая непрерывная функция такая, что f ( x ) стремится к +∞, когда ‖ x ‖ стремится к ∞ , то f допускает минимум в некоторой точке x 0 ∈ H .
Этот факт (и различные его обобщения) имеют основополагающее значение для прямых методов исчисления вариационного . Результаты минимизации выпуклых функционалов также являются прямым следствием несколько более абстрактного факта, что замкнутые ограниченные выпуклые подмножества в гильбертовом пространстве H слабо компактны , поскольку H рефлексивно. Существование слабо сходящихся подпоследовательностей является частным случаем теоремы Эберлейна–Шмулиана .
Свойства банахового пространства [ править ]
Любое общее свойство банаховых пространств продолжает сохраняться и для гильбертовых пространств. Теорема об открытом отображении утверждает, что непрерывное сюръективное линейное преобразование одного банахова пространства в другое является открытым отображением, что означает, что оно отправляет открытые множества в открытые множества. Следствием является ограниченная обратная теорема о том, что непрерывная и биективная линейная функция из одного банахова пространства в другое является изоморфизмом (то есть непрерывным линейным отображением, обратное для которого также непрерывно). Эту теорему значительно проще доказать в случае гильбертовых пространств, чем в общих банаховых пространствах. [80] Теорема об открытом отображении эквивалентна теореме о замкнутом графике , которая утверждает, что линейная функция из одного банахова пространства в другое непрерывна тогда и только тогда, когда ее график является замкнутым множеством . [81] В случае гильбертовых пространств это является основным при изучении неограниченных операторов (см. закрытый оператор ).
(Геометрическая) теорема Хана – Банаха утверждает, что замкнутое выпуклое множество можно отделить от любой точки вне его с помощью гиперплоскости гильбертова пространства. Это непосредственное следствие свойства наилучшего приближения : если y — элемент замкнутого выпуклого множества F, ближайший к x , то разделяющая гиперплоскость — это плоскость, перпендикулярная отрезку xy, проходящая через его середину. [82]
Операторы в гильбертовых пространствах [ править ]
Ограниченные операторы [ править ]
Непрерывные H линейные операторы A : H 1 → в 2 из гильбертова пространства H 1 во второе гильбертово пространство H 2 ограничены в ограниченные множества том смысле, что они отображают ограниченные множества . [83] И наоборот, если оператор ограничен, то он непрерывен. Пространство таких ограниченных линейных операторов имеет норму , норму оператора , заданную формулой
Сумма и композиция двух ограниченных линейных операторов снова ограничены и линейны. Для y в H 2 отображение, которое переводит x ∈ H 1 в ⟨ Ax , y ⟩, является линейным и непрерывным, и поэтому согласно теореме о представлении Рисса может быть представлено в виде
Множество B( H ) всех ограниченных линейных операторов на H (имеются в виду операторы H → H ) вместе с операциями сложения и композиции, нормой и присоединенной операцией представляет собой C*-алгебру , которая является разновидностью операторной алгебры .
Элемент A из B( H ) называется «самосопряженным» или «эрмитовым» если A * = A. , Если A эрмитово и ⟨ Ax , x ⟩ ≥ 0 для каждого x , то A называется «неотрицательным», пишется A ≥ 0 ; если равенство имеет место только при x = 0 , то A называется «положительным». Множество самосопряженных операторов допускает частичный порядок , в котором A ≥ B , если A − B ≥ 0 . Если A имеет форму B * B для некоторого B , то A неотрицательно; если B обратим, то A положителен. Обратное также верно в том смысле, что для неотрицательного оператора A существует единственный неотрицательный квадратный корень B такой, что
В смысле, уточненном спектральной теоремой , самосопряженные операторы можно с пользой рассматривать как «реальные» операторы. Элемент A из B( H ) называется нормальным , если A * A = AA * . Нормальные операторы распадаются на сумму самосопряженного оператора и мнимого кратного самосопряженного оператора.
Элемент U из B( H ) называется унитарным, если U обратим и его обратный равен U * . Это также можно выразить, потребовав, чтобы принадлежало и ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y ⟩ для всех x , y ∈ H. U Унитарные операторы образуют группу по композиции, которая является группой изометрии H .
Элемент B( H ) компактен , если он переводит ограниченные множества в относительно компактные множества. Эквивалентно, ограниченный оператор T компактен, если для любой ограниченной последовательности { x k } последовательность { Tx k } имеет сходящуюся подпоследовательность. Многие интегральные операторы компактны и фактически определяют специальный класс операторов, известных как операторы Гильберта – Шмидта , которые особенно важны при изучении интегральных уравнений . Операторы Фредгольма отличаются от компактного оператора кратностью единицы и эквивалентно характеризуются как операторы с конечномерным ядром и коядром . Индекс фредгольмова оператора T определяется формулой
Индекс гомотопически инвариантен и играет глубокую роль в дифференциальной геометрии посредством теоремы об индексе Атьи – Зингера .
Неограниченные операторы [ править ]
Неограниченные операторы также применимы в гильбертовых пространствах и имеют важные приложения в квантовой механике . [84] Неограниченный оператор T в гильбертовом пространстве H определяется как линейный оператор, область определения ( T ) которого является линейным подпространством H. D Часто область определения D ( T ) является плотным подпространством H , и в этом случае T известен как плотно определенный оператор .
Сопряженный к плотно определенному неограниченному оператору определяется по существу так же, как и для ограниченных операторов. Самосопряженные неограниченные операторы играют роль наблюдаемых в математической формулировке квантовой механики. Примеры самосопряженных неограниченных операторов в гильбертовом пространстве L 2 ( Редкий : [85]
- Подходящее расширение дифференциального оператора где i — мнимая единица, а f — дифференцируемая функция с компактным носителем.
- Оператор умножения на x :
Они соответствуют наблюдаемым импульсу и положению соответственно. Ни A, ни B не определены на всем пространстве H , поскольку в случае A производная не обязательно должна существовать, а в случае B функция произведения не обязательно должна быть интегрируемой с квадратом. В обоих случаях множество возможных аргументов образуют плотные подпространства L 2 ( Р ) .
Конструкции [ править ]
Прямые суммы [ править ]
Два гильбертовых пространства H 1 и H 2 можно объединить в другое гильбертово пространство, называемое (ортогональной) прямой суммой , [86] и обозначил
состоящий из набора всех упорядоченных пар ( x 1 , x 2 ) , где x i ∈ H i , i = 1, 2 , и скалярного произведения, определяемого формулой
В более общем смысле, если H i является семейством гильбертовых пространств, индексированных i ∈ I , то прямая сумма H i , обозначаемая
Внутренний продукт определяется
Каждое из H i включено как замкнутое подпространство в прямую сумму всех H i . Более того, H i попарно ортогональны. существует система замкнутых подпространств Vi , канонически i ∈ I гильбертовом пространстве H , которые попарно ортогональны и объединение которых плотно в H , то H изоморфно прямой сумме Vi Обратно, если в . В этом случае H называется внутренней прямой суммой V i . Прямая сумма (внутренняя или внешняя) также снабжена семейством ортогональных проекторов E i на i -е прямое слагаемое H i . Эти проекции представляют собой ограниченные самосопряженные идемпотентные операторы, удовлетворяющие условию ортогональности.
Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве H утверждает, что H распадается в ортогональную прямую сумму собственных пространств оператора, а также дает явное разложение оператора как сумму проекций на собственные пространства. Прямая сумма гильбертовых пространств также появляется в квантовой механике как пространство Фока системы, содержащей переменное число частиц, где каждое гильбертово пространство в прямой сумме соответствует дополнительной степени свободы квантовомеханической системы. В теории представлений теорема Питера -Вейля гарантирует, что любое унитарное представление компактной группы в гильбертовом пространстве распадается как прямая сумма конечномерных представлений.
Тензорные произведения [ править ]
Если x 1 , y 1 ∊ H 1 и x 2 , y 2 ∊ H 2 , то скалярное произведение на (обычном) тензорном произведении определяется следующим образом. на простых тензорах Пусть
Затем эта формула расширяется по полуторалинейности до скалярного произведения на H 1 ⊗ H 2 . Гильбертово тензорное произведение H 1 и H 2 , иногда обозначаемое H 1 H 2 , — гильбертово пространство, полученное путем дополнения H 1 ⊗ H 2 для метрики, связанной с этим скалярным произведением. [87]
Примером может служить гильбертово пространство L 2 ([0, 1]) . Гильбертово тензорное произведение двух копий L 2 ([0, 1]) изометрически и линейно изоморфно пространству L 2 ([0, 1] 2 ) функций, интегрируемых с квадратом на квадрате [0, 1] 2 . Этот изоморфизм переводит простой тензор f 1 ⊗ f 2 в функцию
Этот пример типичен в следующем смысле. [88] Каждому простому тензорному произведению x 1 ⊗ x 2 соответствует оператор ранга один из H ∗
1 в H 2 , который отображает заданный x * ∈ H ∗
1 как
Это отображение, определенное на простых тензорах, продолжается до линейного отождествления между H 1 ⊗ H 2 и пространством операторов конечного ранга из H ∗
1 до Н 2 . Это распространяется на линейную изометрию гильбертова тензорного произведения H 1 H 2 с гильбертовым пространством HS ( H ∗
1 , H 2 ) операторов Гильберта–Шмидта из H ∗
1 до Н 2 .
Ортонормированные базисы [ править ]
Понятие ортонормированного базиса из линейной алгебры обобщается на случай гильбертовых пространств. [89] В гильбертовом пространстве H ортонормированный базис — это семейство { e k } k ∈ B элементов H, удовлетворяющее условиям:
- Ортогональность : любые два разных элемента B ортогональны: ⟨ e k , e j ⟩ = 0 для всех k , j ∈ B , где k ≠ j .
- Нормализация : Каждый элемент семейства имеет норму 1: ‖ e k ‖ = 1 для всех k ∈ B .
- Полнота : оболочка семейства ek , k ∈ B , плотна в H. Линейная
Система векторов, удовлетворяющая первым двум условиям базиса, называется ортонормированной системой или ортонормированным множеством (или ортонормированной последовательностью, если счетно ) B . Такая система всегда линейно независима .
Несмотря на название, ортонормированный базис, вообще говоря, не является базисом в смысле линейной алгебры ( базисом Гамеля ). Точнее, ортонормированный базис является базисом Гамеля тогда и только тогда, когда гильбертово пространство является конечномерным векторным пространством. [90]
Полноту ортонормированной системы векторов гильбертова пространства можно эквивалентно переформулировать как:
- для каждого v ∈ H , если ⟨ v , e k ⟩ = 0 для всех k ∈ B , то v = 0 .
Это связано с тем фактом, что единственным вектором, ортогональным плотному линейному подпространству, является нулевой вектор, поскольку если S — любое ортонормированное множество и v ортогонален S , то v ортогонален замыканию линейной оболочки S , что это все пространство.
Примеры ортонормированных базисов включают:
- набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} образует ортонормированный базис R 3 со скалярным произведением ;
- последовательность { f n | n ∈ Z } с f n ( x ) = exp (2π inx ) образует ортонормированный базис комплексного пространства L 2 ([0, 1]) ;
В бесконечномерном случае ортонормированный базис не будет базисом в смысле линейной алгебры ; чтобы различать эти два базиса, последний базис также называют базисом Гамеля . Плотность диапазона базисных векторов означает, что каждый вектор в пространстве можно записать как сумму бесконечного ряда, а из ортогональности следует, что это разложение уникально.
Пространства последовательности [ править ]
Пространство суммируемых с квадратом последовательностей комплексных чисел — это множество бесконечных последовательностей [9]
Это пространство имеет ортонормированный базис:
Это пространство является бесконечномерным обобщением пространство конечномерных векторов. Обычно это первый пример, используемый, чтобы показать, что в бесконечномерных пространствах замкнутое и ограниченное множество не обязательно (секвенциально) компактно (как это имеет место во всех конечномерных пространствах). Действительно, приведенный выше набор ортонормированных векторов показывает это: это бесконечная последовательность векторов в единичном шаре (т. е. шаре точек с нормой, меньшей или равной единице). Это множество явно ограничено и замкнуто; однако ни одна подпоследовательность этих векторов ни к чему не сходится и, следовательно, единичный шар в не компактен. Интуитивно это происходит потому, что «всегда существует другое направление координат», в которое могут уйти следующие элементы последовательности.
Можно обобщить пространство во многих отношениях. Например, если B — любое множество, то можно сформировать гильбертово пространство последовательностей с набором индексов B , определяемым формулой [91]
Суммирование по B здесь определяется формулой
для всех x , y ∈ l 2 ( Б ) . Здесь сумма также имеет только счетное число ненулевых членов и безоговорочно сходится по неравенству Коши – Шварца.
Ортонормированный базис l 2 ( B ) индексируется набором B , заданным формулой
Неравенство Бесселя Парсеваля и формула
Пусть f 1 , …, f n — конечная ортонормированная система в H . Для произвольного вектора x ∈ H пусть
Тогда ⟨ x , f k ⟩ = ⟨ y , f k ⟩ для каждого k = 1, …, n . Отсюда следует, что x − y ортогонален каждому f k , следовательно, x − y ортогонален y . Дважды используя тождество Пифагора, следует, что
Пусть { f i }, i ∈ I , — произвольная ортонормированная система в H . Применение предыдущего неравенства к каждому конечному подмножеству J из I дает неравенство Бесселя: [92]
Геометрически неравенство Бесселя означает, что ортогональная проекция x на линейное подпространство, натянутое на fi , имеет норму, не превышающую норму x . В двух измерениях это утверждение, что длина катета прямоугольного треугольника не может превышать длину гипотенузы.
Неравенство Бесселя является ступенькой к более сильному результату, называемому тождеством Парсеваля , которое регулирует случай, когда неравенство Бесселя на самом деле является равенством. По определению, если { e k } k ∈ B является ортонормированным базисом H , то каждый элемент x из H можно записать как
Даже если B несчетно, неравенство Бесселя гарантирует, что выражение корректно определено и состоит только из счетного числа ненулевых членов. Эта сумма называется разложением Фурье x , а отдельные коэффициенты ⟨ x , e k ⟩ являются коэффициентами Фурье x . Затем личность Парсеваля утверждает, что [93]
Наоборот, [93] если { e k } — ортонормированный набор такой, что тождество Парсеваля выполняется для каждого x , то { e k } — ортонормированный базис.
Гильбертово измерение [ править ]
Как следствие леммы Цорна , каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; более того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность , называемую гильбертовой размерностью пространства. [94] Например, поскольку л 2 ( B ) имеет ортонормированный базис, индексированный B , его гильбертова размерность равна мощности B (которая может быть конечным целым числом или счетным или несчетным кардинальным числом ).
Гильбертова размерность не больше размерности Гамеля (обычной размерности векторного пространства). Два измерения равны, если и только одно из них конечно.
Как следствие личности Парсеваля, [95] если { e k } k ∈ B — ортонормированный базис H , то отображение Φ : H → l 2 ( B ), определенный формулой Φ( x ) = ⟨x, e k ⟩ k ∈ B , является изометрическим изоморфизмом гильбертовых пространств: это биективное линейное отображение такое, что
Разделяемые пробелы [ править ]
По определению, гильбертово пространство является сепарабельным , если оно содержит плотное счетное подмножество. Вместе с леммой Цорна это означает, что гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. Таким образом, все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны пространству суммируемых с квадратом последовательностей.
Раньше в рамках определения часто требовалось, чтобы гильбертово пространство было отделимым. [96]
В квантовой теории поля [ править ]
Большинство пространств, используемых в физике, являются сепарабельными, и, поскольку все они изоморфны друг другу, любое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство часто называют « гильбертовым пространством» или просто «гильбертовым пространством». [97] Даже в квантовой теории поля большинство гильбертовых пространств фактически сепарабельны, как это предусмотрено аксиомами Вайтмана . Однако иногда утверждают, что несепарабельные гильбертовы пространства также важны в квантовой теории поля, примерно потому, что системы в теории обладают бесконечным числом степеней свободы и любым бесконечным гильбертовым тензорным произведением (пространств размерности больше единицы) является неразделимым. [98] Например, бозонное поле можно естественно рассматривать как элемент тензорного произведения, факторы которого представляют собой гармонические осцилляторы в каждой точке пространства. С этой точки зрения естественное пространство состояний бозона может показаться неразделимым пространством. [98] Однако это лишь небольшое сепарабельное подпространство полного тензорного произведения, которое может содержать физически значимые поля (на которых могут быть определены наблюдаемые). Другое несепарабельное гильбертово пространство моделирует состояние бесконечного набора частиц в неограниченной области пространства. Ортонормированный базис пространства индексируется плотностью частиц, непрерывным параметром, и поскольку множество возможных плотностей несчетно, базис не счетен. [98]
и Ортогональные проекции дополнения
Если S является подмножеством гильбертова пространства H , набор векторов, ортогональных S, определяется выражением
Набор С ⊥ является замкнутым подпространством H (это легко доказать, используя линейность и непрерывность скалярного произведения) и поэтому образует гильбертово пространство. Если V — замкнутое подпространство H , то V ⊥ называется ортогональным дополнением к V . Фактически, тогда каждый x ∈ H можно однозначно записать как x = v + w , где v ∈ V и w ∈ V. ⊥ . Следовательно, H — внутренняя прямая сумма Гильберта V и V ⊥ .
Линейный оператор P V : H → H который отображает x в v, называется ортогональным проектором на V. , Существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством всех замкнутых подпространств в H и множеством всех ограниченных самосопряженных операторов P таких, что P 2 = П. Конкретно,
Теорема . Ортогональный проектор P V — это самосопряженный линейный оператор на H нормы ≤ 1 со свойством P 2
В знак равно п В . Более того, любой самосопряженный линейный оператор E такой, что E 2 = E имеет форму P V , где V — диапазон E . каждого x в H , PV Для ( x ) является уникальным элементом v из V который минимизирует расстояние ‖ x − v ‖ .
обеспечивает геометрическую интерпретацию PV Это ( x ) это наилучшее приближение к x элементами V. : [99]
Проекции P U и P V называются взаимно ортогональными, если P U P V = 0 . Это эквивалентно тому, что U и V ортогональны как подпространства H . Сумма двух проекций PU V и PV и является проекцией только в том случае, если другу , и в этом PU случае + PV V. = PU ортогональны + друг U [100] Составной P U P V обычно не является проекцией; на самом деле композиция является проекцией тогда и только тогда, когда две проекции коммутируют, и в этом случае P U P V = P U ∩ V . [101]
Ограничивая кодобласть гильбертовым пространством V , ортогональная проекция приводит V к отображению проекции π : H → PV ; это сопряжение отображения включения
Операторная норма ортогональной проекции P V на ненулевое замкнутое подпространство V равна 1:
Поэтому каждое замкнутое подпространство V гильбертова пространства является образом оператора P нормы один такого, что P 2 = П. Свойство наличия соответствующих операторов проектирования характеризует гильбертово пространство: [102]
- Банахово пространство размерности выше 2 является (изометрически) гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства V существует оператор P V нормы один, образ которого равен V, такой, что P 2
V = P V .
Хотя этот результат характеризует метрическую структуру гильбертова пространства, сама структура гильбертова пространства как топологического векторного пространства может быть охарактеризована с точки зрения наличия дополнительных подпространств: [103]
- Банахово пространство X топологически и линейно изоморфно гильбертовому пространству тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства V существует замкнутое подпространство W такое, что X равно внутренней прямой сумме V ⊕ W .
Ортогональное дополнение удовлетворяет еще нескольким элементарным результатам. Это монотонная функция в том смысле, что если U ⊂ V , то V ⊥ ⊆ У ⊥ с равенством тогда и только тогда, когда содержится в замыкании U V . Этот результат является частным случаем теоремы Хана–Банаха . Замыкание подпространства можно полностью охарактеризовать в терминах ортогонального дополнения: если V — подпространство H , то замыкание V равно V ⊥⊥ . Таким образом, ортогональное дополнение является связностью Галуа в частичном порядке подпространств гильбертова пространства. В общем, ортогональное дополнение суммы подпространств - это пересечение ортогональных дополнений: [104]
Если V i дополнительно замкнуты, то
Спектральная теория [ править ]
Существует хорошо разработанная спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, которая примерно аналогична изучению симметричных матриц над действительными числами или самосопряженных матриц над комплексными числами. [105] В том же смысле можно получить «диагонализацию» самосопряженного оператора как подходящую сумму (фактически интеграл) ортогональных операторов проектирования.
Спектр оператора T , обозначаемый σ ( T ) , представляет собой набор комплексных чисел λ таких, что T − λ не имеет непрерывного обратного. Если T ограничено, то спектр всегда представляет собой компакт в комплексной плоскости и лежит внутри круга | г | ≤ ‖ Т ‖ . Если T самосопряженный, то спектр вещественный. Фактически он содержится в интервале [ m , M ] , где
Более того, m и M фактически содержатся в спектре.
Собственные пространства оператора T задаются формулой
В отличие от конечных матриц, не каждый элемент спектра T должен быть собственным значением: у линейного оператора T − λ может отсутствовать только обратный, поскольку он не является сюръективным. Элементы спектра оператора в общем смысле называются спектральными значениями . Поскольку спектральные значения не обязательно должны быть собственными значениями, спектральное разложение часто бывает более тонким, чем в конечных измерениях.
Однако спектральная теорема о самосопряженном операторе Т принимает особенно простой вид, если, кроме того, Т предположить, что — компактный оператор . Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов гласит: [106]
- Компактный самосопряженный оператор T имеет лишь счетное (или конечное) число спектральных значений. Спектр T не имеет предельной точки в комплексной плоскости, кроме, возможно, нуля. Собственные пространства T разлагают H в ортогональную прямую сумму: Более того, если E λ обозначает ортогональный проектор на собственное пространство H λ , тогде сумма сходится по норме на B( H ) .
Эта теорема играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений , так как многие интегральные операторы компактны, в частности те, которые возникают из операторов Гильберта–Шмидта .
Общая спектральная теорема для самосопряженных операторов включает в себя своего рода операторнозначный интеграл Римана – Стилтьеса , а не бесконечное суммирование. [107] Спектральное семейство, связанное с T, сопоставляет каждому действительному числу λ оператор E λ , который является проекцией на нулевое пространство оператора ( T − λ ). + , где положительная часть самосопряженного оператора определяется формулой
Операторы E λ монотонно возрастают относительно частичного порядка, определенного на самосопряженных операторах; собственные значения в точности соответствуют разрывам скачка. Существует спектральная теорема, которая утверждает
Под интегралом понимается интеграл Римана–Стилтьеса, сходящийся по норме на B( H ) . В частности, имеет место обычное скалярнозначное интегральное представление
Несколько похожее спектральное разложение справедливо и для нормальных операторов, хотя, поскольку теперь спектр может содержать недействительные комплексные числа, вместо этого операторно-значную меру Стилтьеса d E λ необходимо заменить разрешением тождества .
Важным применением спектральных методов является теорема о спектральном отображении , которая позволяет применить к самосопряженному оператору T любую непрерывную комплексную функцию f, определенную на спектре оператора T, путем формирования интеграла
Полученное в результате непрерывное функциональное исчисление имеет приложения, в частности, к псевдодифференциальным операторам . [108]
Спектральная теория неограниченных самосопряженных операторов лишь немногим сложнее, чем ограниченных операторов. Спектр неограниченного оператора определяется точно так же, как и для ограниченных операторов: λ является спектральной величиной, если резольвентный оператор
не может быть корректно определенным непрерывным оператором. Самосопряженность T по-прежнему гарантирует вещественность спектра. Таким образом, основная идея работы с неограниченными операторами состоит в том, чтобы вместо этого рассматривать резольвенту R λ, где λ недействителен. Это ограниченный нормальный оператор, допускающий спектральное представление, которое затем можно перевести в спектральное представление T. самого Подобная стратегия используется, например, для изучения спектра оператора Лапласа: вместо того, чтобы напрямую обращаться к оператору, вместо этого рассматривают связанную резольвенту, такую как потенциал Рисса или потенциал Бесселя .
Точная версия спектральной теоремы в этом случае такова: [109]
Теорема . Данному плотно определенному самосопряженному оператору T в гильбертовом пространстве H соответствует единственное разрешение идентичности E на борелевских множествах R , такое, что
Существует также версия спектральной теоремы, применимая к неограниченным нормальным операторам.
В популярной культуре [ править ]
В «Радуга гравитации романе Томаса Пинчона » (1973) одного из персонажей зовут «Сэмми Гилберт-Спасс», игра слов на тему «Гильбертово пространство». В романе также упоминаются теоремы Гёделя о неполноте . [110]
См. также [ править ]
- Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.
- Пространство Фока - Пространство многочастичных состояний.
- Основная теорема гильбертовых пространств
- Пространство Адамара - геодезически полное метрическое пространство неположительной кривизны.
- Пространство Хаусдорфа - Тип топологического пространства.
- Гильбертова алгебра
- Гильберт C*-модуль - Математические объекты, обобщающие понятие гильбертовых пространств.
- Гильбертово многообразие - Многообразие, смоделированное на гильбертовых пространствах.
- L-полувнутренний продукт - обобщение внутренних произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Теория операторов - Математическая область исследования
- Операторные топологии - Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве.
- Квантовое пространство состояний - математическое пространство, представляющее физические квантовые системы.
- Оснащенное гильбертово пространство - конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе.
- Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.
Замечания [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Экслер 2014 , с. 164 §6.2
- ^ Однако в некоторых источниках конечномерные пространства с этими свойствами называются предгильбертовыми пространствами, оставляя термин «гильбертово пространство» для бесконечномерных пространств; см., например, Левитан 2001 .
- ^ Марсден 1974 , §2.8
- ^ Математический материал в этом разделе можно найти в любом хорошем учебнике по функциональному анализу, таком как Дьедонне (1960) , Хьюитт и Стромберг (1965) , Рид и Саймон (1980) или Рудин (1987) .
- ^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 122–202.
- ^ Дьедонне 1960 , §6.2
- ^ Роман 2008 , с. 327
- ^ Роман 2008 , с. 330 Теорема 13.8.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Штейн и Шакарчи 2005 , с. 163
- ^ Дьедонне 1960
- ^ Во многом из работы Германа Грассмана , по настоянию Августа Фердинанда Мёбиуса ( Boyer & Merzbach 1991 , стр. 584–586). Первое современное аксиоматическое описание абстрактных векторных пространств в конечном итоге появилось в отчете Джузеппе Пеано 1888 года ( Grattan-Guinness 2000 , §5.2.2; O'Connor & Robertson 1996 ).
- ^ Подробный отчет об истории гильбертовых пространств можно найти у Бурбаки, 1987 .
- ^ Шмидт 1908 г.
- ^ Титчмарш 1946 , §IX.1
- ^ Лебег 1904 . Более подробную информацию об истории теории интеграции можно найти у Бурбаки (1987) и Сакса (2005) .
- ^ Бурбаки 1987 .
- ^ Данфорд и Шварц 1958 , §IV.16
- ^ В Данфорде и Шварце (1958 , §IV.16) результат о том, что каждый линейный функционал на L 2 [0,1] представлено интегрированием, совместно приписано Фреше (1907) и Риссу (1907) . Общий результат о том, что двойственное гильбертово пространство отождествляется с самим гильбертовым пространством, можно найти у Рисса (1934) .
- ^ фон Нейман 1929 .
- ^ Кляйн 1972 , с. 1092
- ^ Гильберт, Нордхайм и фон Нейман, 1927 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Вейль 1931 г.
- ^ Пруговечки 1981 , стр. 1–10.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б фон Нейман 1932 г.
- ^ Перес 1993 , стр. 79–99.
- ^ Мерфи 1990 , с. 112
- ^ Мерфи 1990 , с. 72
- ^ Халмош 1957 , Раздел 42.
- ^ Хьюитт и Стромберг 1965 .
- ^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Берс, Джон и Шехтер, 1981 .
- ^ Джусти 2003 .
- ^ Штейн 1970
- ^ Подробности можно найти у Warner (1983) .
- ^ Общий справочник по пространствам Харди - книга Дюрен (1970) .
- ^ Кранц 2002 , §1.4
- ^ Кранц 2002 , §1.5
- ^ Янг 1988 , Глава 9.
- ^ Педерсен 1995 , §4.4
- ^ Более подробную информацию о методах конечных элементов с этой точки зрения можно найти в Brenner & Scott (2005) .
- ^ Брезис 2010 , раздел 9.5.
- ^ Эванс 1998 г.
- ^ Патрия (1996) , главы 2 и 3
- ^ Эйнсидлер и Уорд (2011) , Предложение 2.14.
- ^ Рид и Саймон 1980
- ^ Трактовка рядов Фурье с этой точки зрения доступна, например, у Рудина (1987) или Фолланда (2009) .
- ^ Халмош 1957 , §5
- ^ Бахман, Наричи и Бекенштейн 2000
- ^ Штейн и Вайс 1971 , §IV.2.
- ^ Ланчош 1988 , стр. 212–213.
- ^ Ланцош 1988 , уравнение 4-3.10.
- ^ Классическим справочником по спектральным методам является Courant & Hilbert 1953 . Более свежая версия — Reed & Simon 1975 .
- ^ Вырос в 1966 году.
- ^ фон Нейман 1955
- ^ Холево 2001 , стр. 17.
- ^ Риффель и Полак 2011 , с. 55
- ^ Перес 1993 , с. 101
- ^ Перес 1993 , стр. 73.
- ^ Нильсен и Чуанг 2000 , с. 90
- ^ Биллингсли (1986) , с. 477, упр. 34.13}}
- ^ Стэплтон 1995
- ^ Хьюитт и Стромберг (1965) , Упражнение 16.45.
- ^ Карацас и Шрив 2019 , Глава 3
- ^ Строк (2011) , Глава 8.
- ^ Герман Вейль (2009), «Разум и природа», Разум и природа: избранные труды по философии, математике и физике , Princeton University Press .
- ^ Бертье, М. (2020), «Геометрия восприятия цвета. Часть 2: воспринимаемые цвета из реальных квантовых состояний и пересказ Геринга», Журнал математической нейронауки , 10 (1): 14, doi : 10.1186/s13408-020-00092 -x , PMC 7481323 , PMID 32902776 .
- ^ Рид и Саймон 1980 , Теорема 12.6.
- ^ Рид и Саймон 1980 , с. 38
- ^ Янг 1988 , с. 23.
- ^ Кларксон 1936 .
- ^ Рудин 1987 , Теорема 4.10.
- ^ Данфорд и Шварц 1958 , II.4.29
- ^ Рудин 1987 , Теорема 4.11.
- ^ Бланше, Жерар; Чарбит, Морис (2014). Цифровая обработка сигналов и изображений с использованием MATLAB . Том. 1 (Второе изд.). Нью-Джерси: Уайли. стр. 349–360. ISBN 978-1848216402 .
- ^ Вайдман 1980 , Теорема 4.8.
- ^ Перес 1993 , стр. 77–78.
- ^ Вайдманн (1980) , Упражнение 4.11.
- ^ Вайдманн 1980 , §4.5
- ^ Бутаццо, Джаквинта и Хильдебрандт 1998 , Теорема 5.17.
- ^ Халмош 1982 , Задача 52, 58.
- ^ Рудин 1973 г.
- ^ Трир 1967 , Глава 18
- ^ Общая ссылка на этот раздел — Рудин (1973) , глава 12.
- ^ См. Пруговечки (1981) , Рид и Саймон (1980 , глава VIII) и Фолланд (1989) .
- ^ Пруговечки 1981 , III, §1.4
- ^ Данфорд и Шварц 1958 , IV.4.17-18
- ^ Вайдманн 1980 , §3.4
- ^ Кадисон и Рингроуз, 1983 , Теорема 2.6.4.
- ^ Данфорд и Шварц 1958 , §IV.4.
- ^ Роман 2008 , с. 218
- ^ Рудин 1987 , Определение 3.7.
- ^ О случае конечных наборов индексов см., например, Halmos 1957 , §5. О бесконечных наборах индексов см. Weidmann 1980 , теорема 3.6.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Хьюитт и Стромберг (1965) , Теорема 16.26.
- ^ Левитан 2001 . Многие авторы, такие как Данфорд и Шварц (1958 , §IV.4), называют это просто измерением. Если гильбертово пространство не является конечномерным, это не то же самое, что его размерность как линейного пространства (мощность базиса Гамеля).
- ^ Хьюитт и Стромберг (1965) , Теорема 16.29.
- ^ Пруговечки 1981 , I, §4.2
- ^ фон Нейман (1955) определяет гильбертово пространство через счетный гильбертовый базис, который представляет собой изометрический изоморфизм с l 2 . Это соглашение до сих пор сохраняется в самых строгих трактовках квантовой механики; см., например, Собрино 1996 , Приложение Б.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Стритер и Вайтман, 1964 , стр. 86–87.
- ^ Янг 1988 , Теорема 15.3.
- ^ фон Нейман 1955 , Теорема 16
- ^ фон Нейман 1955 , Теорема 14
- ^ Вырез 1939 г.
- ^ Линденштраусс и Цафрири, 1971 г.
- ^ Халмос 1957 , §12
- ^ Общее описание спектральной теории в гильбертовых пространствах можно найти в работе Рисса и Сз.-Надя (1990) . Более сложное описание языка C*-алгебр содержится у Рудина (1973) или Кадисона и Рингроуза (1997).
- ^ См., например, Riesz & Sz.-Nagy (1990 , глава VI) или Weidmann 1980 , глава 7. Этот результат был уже известен Шмидту (1908) в случае операторов, возникающих из целочисленных ядер.
- ^ Рисс и Сз.-Надь 1990 , §§107–108
- ^ Shubin 1987
- ^ Рудин 1973 , Теорема 13.30.
- ^ Пинчон, Томас (1973). Радуга гравитации . Викинг Пресс. стр. 217, 275. ISBN. 978-0143039945 .
Ссылки [ править ]
- Экслер, Шелдон (18 декабря 2014 г.), «Линейная алгебра сделана правильно» , Тексты для бакалавров по математике (3-е изд.), Springer Publishing (опубликовано в 2015 г.), стр. 296, ISBN 978-3-319-11079-0
- Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2000), Фурье и вейвлет-анализ , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98899-3 , МР 1729490 .
- Берс, Липман ; Джон, Фриц ; Шехтер, Мартин (1981), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0049-2 .
- Биллингсли, Патрик (1986), Вероятность и мера , Уайли .
- Бурбаки, Николя (1986), Спектральные теории , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-201-00767-1 .
- Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9 .
- Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута С (1991), История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8 .
- Бреннер, С.; Скотт, Р.Л. (2005), Математическая теория методов конечных элементов (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-95451-6 .
- Брезис, Хаим (2010), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных , Спрингер .
- Бутаццо, Джузеппе; Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1998), Одномерные вариационные задачи , Оксфордская серия лекций по математике и ее приложениям, том. 15, издательство Clarendon Press, издательство Оксфордского университета, ISBN. 978-0-19-850465-8 , МР 1694383 .
- Кларксон, Дж. А. (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Пер. амер. Математика. Соц. , 40 (3): 396–414, номер документа : 10.2307/1989630 , JSTOR 1989630 .
- Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, Vol. Я , Интерсайенс .
- Дьедонне, Жан (1960), Основы современного анализа , Academic Press .
- Дирак, ПАМ (1930), Принципы квантовой механики , Оксфорд: Clarendon Press .
- Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, части I и II , Wiley-Interscience .
- Дюрен, П. (1970), Теория H п -Spaces , Нью-Йорк: Академическая пресса .
- Эйнзидлер, Манфред; Уорд, Томас (2011), Эргодическая теория с точки зрения теории чисел , Спрингер .
- Эванс, LC (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2 .
- Фолланд, Джеральд Б. (2009), Анализ Фурье и его применение (перепечатка книги Уодсворта и Брукса / Коула, 1992 г.), Книжный магазин Американского математического общества, ISBN 978-0-8218-4790-9 .
- Фолланд, Джеральд Б. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Анналы математических исследований, том. 122, Издательство Принстонского университета, ISBN 978-0-691-08527-2 .
- Фреше, Морис (1907), “О множествах функций и линейных операциях”, CR Acad. наук. Париж , 144 : 1414–1416 .
- Фреше, Морис (1904), «О линейных операциях», Труды Американского математического общества , 5 (4): 493–499, doi : 10.2307/1986278 , JSTOR 1986278 .
- Джусти, Энрико (2003), Прямые методы вариационного исчисления , World Scientific, ISBN 978-981-238-043-2 .
- Граттан-Гиннесс, Айвор (2000), Поиск математических корней, 1870–1940 , Princeton Paperbacks, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05858-0 , МР 1807717 .
- Халмос, Пол (1957), Введение в гильбертово пространство и теорию спектральной множественности , Chelsea Pub. Ко
- Халмош, Пол (1982), Книга задач гильбертова пространства , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0 .
- Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Нью-Йорк: Springer-Verlag .
- Гильберт, Дэвид ; Нордхайм, Лотар Вольфганг ; фон Нейман, Джон (1927), «Об основах квантовой механики», Mathematical Annals , 98 : 1–30, doi : 10.1007/BF01451579 , S2CID 120986758 .
- Холево, Александр С. (2001), Статистическая структура квантовой теории , Конспект лекций по физике, Springer, ISBN 3-540-42082-7 , OCLC 318268606 .
- Кац, Марк (1966), «Можно ли услышать форму барабана?», American Mathematical Monthly , 73 (4, часть 2): 1–23, doi : 10.2307/2313748 , JSTOR 2313748 .
- Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1997), Основы теории операторных алгебр. Том. Я , Аспирантура по математике, вып. 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0819-1 , МР 1468229 .
- Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983), Основы теории операторных алгебр, Vol. I: Элементарная теория , Нью-Йорк: Academic Press, Inc.
- Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен (2019), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-97655-6
- Какутани, Сидзуо (1939), «Некоторые характеристики евклидова пространства», Японский журнал математики , 16 : 93–97, doi : 10.4099/jjm1924.16.0_93 , MR 0000895 .
- Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней, Том 3 (3-е изд.), Oxford University Press (опубликовано в 1990 г.), ISBN 978-0-19-506137-6 .
- Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей В. (1970), Вводный реальный анализ (пересмотренное английское издание, перевод Ричарда А. Сильвермана (1975), изд.), Dover Press, ISBN 978-0-486-61226-3 .
- Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2724-6 .
- Ланцос, Корнелиус (1988), Прикладной анализ (переиздание 1956 г., изд. Прентис-Холл), Dover Publications, ISBN 978-0-486-65656-4 .
- Лебег, Анри (1904), Уроки интегрирования и поиска примитивных функций , Готье-Виллар .
- Левитан, Б.М. (2001) [1994], «Гильбертово пространство» , Энциклопедия математики , EMS Press .
- Линденштраусс, Дж.; Цафрири, Л. (1971), «О проблеме дополненных подпространств», Израильский журнал математики , 9 (2): 263–269, doi : 10.1007/BF02771592 , ISSN 0021-2172 , MR 0276734 , S2CID 119575718 .
- Марсден, Джерролд Э. (1974), Элементарный классический анализ , WH Freeman and Co., MR 0357693 .
- Мерфи, Джеральд Дж. (1990), C *-алгебры и теория операторов , Academic Press, ISBN 0-12-511360-9 .
- фон Нейман, Джон (1929), «Общая теория собственных значений эрмитовых функциональных операторов», Mathematical Annals , 102 : 49–131, doi : 10.1007/BF01782338 , S2CID 121249803 .
- фон Нейман, Джон (1932), «Физические приложения эргодической гипотезы», Proc Natl Acad Sci USA , 18 (3): 263–266, Бибкод : 1932PNAS...18..263N , doi : 10.1073/pnas.18.3 .263 , JSTOR 86260 , PMC 1076204 , PMID 16587674 .
- фон Нейман, Джон (1955), Математические основы квантовой механики , Принстонские ориентиры в математике, перевод Бейера, Роберта Т., Princeton University Press (опубликовано в 1996 г.), ISBN 978-0-691-02893-4 , МР 1435976 .
- Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5 , OCLC 634735192 .
- О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1996), «Абстрактные линейные пространства» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- Патрия, РК (1996), Статистическая механика (2-е изд.), Academic Press .
- Педерсен, Герт (1995), Анализ сейчас , Тексты для выпускников по математике, том. 118, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-1-4612-6981-6 , МР 0971256
- Перес, Ашер (1993), Квантовая теория: концепции и методы , Kluwer, ISBN 0-7923-2549-4 , OCLC 28854083
- Пруговечки, Эдуард (1981), Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.), Дувр (опубликовано в 2006 г.), ISBN 978-0-486-45327-9 .
- Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980), Функциональный анализ (том I из 4 томов) , Методы современной математической физики, Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6 .
- Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1975), Анализ Фурье, самосопряженность (том II из 4 томов) , Методы современной математической физики, Academic Press, ISBN 9780125850025 .
- Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (04 марта 2011 г.), Квантовые вычисления: нежное введение , MIT Press, ISBN 978-0-262-01506-6 .
- Рис, Фридьес (1907), «Об одной из разновидностей аналитической геометрии систем суммируемых функций», CR Acad. наук. Париж , 144 : 1409–1411 .
- Рисс, Фридьес (1934), «К теории гильбертова пространства», Acta Sci. Математика Сегед , 7 : 34–38 .
- Рисс, Фредерик ; Сз.-Надь, Бела (1990), Функциональный анализ , Дувр, ISBN 978-0-486-66289-3 .
- Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
- Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259 .
- Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9 .
- Сакс, Станислав (2005), Теория интеграла (2-е изд. Дувра), Дувр, ISBN 978-0-486-44648-6 ; первоначально опубликовано Monografje Matematyczne , том 7, Варшава, 1937.
- Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
- Шмидт, Эрхард (1908), «О разрешении линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных», Rend. Цирк. Мат. Палермо , 25 : 63–77, номер документа : 10.1007/BF03029116 , S2CID 120666844 .
- Шубин, М.А. (1987), Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория , Ряды Спрингера в советской математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13621-7 , МР 0883081 .
- Собрино, Луис (1996), Элементы нерелятивистской квантовой механики , Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., Бибкод : 1996lnrq.book.....S , doi : 10.1142/2865 , ISBN 978-981-02-2386-1 , МР 1626401 .
- Стэплтон, Джеймс (1995), Линейные статистические модели , Джон Уайли и сыновья .
- Стюарт, Джеймс (2006), Исчисление: концепции и контексты (3-е изд.), Томсон/Брукс/Коул .
- Стейн, Э. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Univ. Пресса, ISBN 978-0-691-08079-6 .
- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .
- Штейн, Э; Шакарчи, Р. (2005), Реальный анализ, теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства , Princeton University Press .
- Стритер, Рэй ; Вайтман, Артур (1964), PCT, спин, статистика и все такое , WA Benjamin, Inc.
- Струк, Дэниел (2011), Теория вероятностей: аналитический взгляд (2-е изд.), Cambridge University Press .
- Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5 . .
- Титчмарш, Эдвард Чарльз (1946), Расширение собственных функций, часть 1 , Оксфордский университет: Clarendon Press .
- Тревес, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Academic Press .
- Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90894-6 .
- Вайдманн, Иоахим (1980), Линейные операторы в гильбертовых пространствах , Тексты для аспирантов по математике, том. 68, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90427-6 , МР 0566954 .
- Вейль, Герман (1931), Теория групп и квантовая механика (английское издание 1950 г.), Dover Press, ISBN 978-0-486-60269-1 .
- Янг, Николас (1988), Введение в гильбертово пространство , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33071-8 , Збл 0645.46024 .