Модель Халла – Уайта

В финансовой математике модель Халла-Уайта представляет собой модель будущих процентных ставок . В своей наиболее общей формулировке она принадлежит к классу безарбитражных моделей, которые способны соответствовать сегодняшней временной структуре процентных ставок. Математическое описание эволюции будущих процентных ставок относительно просто перевести в дерево или решетку , поэтому производные процентные ставки , такие как бермудские свопы в модели можно оценить .

Первая модель Халла-Уайта была описана Джоном К. Халлом и Аланом Уайтом в 1990 году. Эта модель до сих пор популярна на рынке.

Модель

Однофакторная модель

Модель представляет собой краткосрочную модель . В целом динамика следующая:

dr(t)=\left[\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right]\,dt+\sigma (t)\,dW(t).

Среди практиков существует некоторая неопределенность относительно того, какие именно параметры модели зависят от времени или какое имя следует применять к модели в каждом конкретном случае. Наиболее распространенное соглашение об именах следующее:

$\theta$ имеет t (временную) зависимость — модель Халла–Уайта .
$\theta$ и $\alpha$ оба зависят от времени — расширенная модель Васичека .

Двухфакторная модель

Двухфакторная модель Халла-Уайта ( Hall 2006 :657–658) содержит дополнительный член возмущения, среднее значение которого возвращается к нулю и имеет вид:

d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),

где $\displaystyle f$ - это детерминированная функция, обычно функция тождества (расширение однофакторной версии, аналитически поддающаяся анализу и с потенциально отрицательными процентными ставками), натуральный логарифм (расширение Блэка-Карасински, не поддающаяся аналитическому анализу и с положительными процентными ставками) или комбинации (пропорциональные натуральному логарифму на малых ставках и пропорциональные тождественной функции на больших ставках); и $\displaystyle u$ имеет начальное значение 0 и следует процессу:

du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)

Анализ однофакторной модели

В оставшейся части статьи мы предполагаем только $\theta$ имеет t -зависимость.Пренебрегая на мгновение стохастическим членом, заметим, что для $\alpha >0$ изменение r отрицательно, если r в настоящее время «большое» (больше, чем $\theta (t)/\alpha )$ и положителен, если текущее значение мало. То есть стохастический процесс представляет собой возвращающий среднее значение процесс Орнштейна – Уленбека, .

θ рассчитывается на основе начальной кривой доходности, описывающей текущую временную структуру процентных ставок. Обычно α остается в качестве пользовательского ввода (например, его можно оценить на основе исторических данных). σ определяется путем калибровки по набору каплетов и свопов, которыми легко торговать на рынке.

Когда $\alpha$ , $\theta$ , и $\sigma$ постоянны, лемму Ито можно использовать, чтобы доказать, что

r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),

который имеет распространение

r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),

где ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ это нормальное распределение со средним значением $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$ .

Когда $\theta (t)$ зависит от времени,

r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),

который имеет распространение

r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).

Оценка облигаций с использованием модели Халла – Уайта

Оказывается, что времени S значение T со сроком погашения дисконтной облигации имеет распределение (обратите внимание на аффинную временную структуру!)

P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),

где

B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (T-S))}{\alpha }},

A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).

Обратите внимание, что их терминальное распространение для $P(S,T)$ распространяется лог-нормально .

Производные цены

Выбрав в качестве нумератора временную S- связь (что соответствует переключению на S -форвардную меру), мы получаем из фундаментальной теоремы безарбитражного ценообразования стоимость в момент времени t производного инструмента который имеет выплату в момент S. ,

V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].

Здесь, $\mathbb {E} _{S}$ — это ожидание, принятое в отношении форвардной меры . Более того, стандартные аргументы арбитража показываютчто время T форвардная цена $F_{V}(t,T)$ для выплаты в момент T, заданной V(T), должно удовлетворяться $F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)$ , таким образом

F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].

Таким образом, можно оценить многие производные финансовые инструменты V, зависящие исключительно от одной связи. $P(S,T)$ аналитически при работе в модели Халла–Уайта. Например, в случае с облигацией оферта

V(S)=(K-P(S,T))^{+}.

Потому что $P(S,T)$ распределено логнормально, общий расчет, использованный для модели Блэка – Шоулза, показывает, что

{E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),

где

d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}

и

d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.

Таким образом, сегодняшнее значение (с P (0, S умножением ) и t , установленным на 0):

P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).

Здесь $\sigma _{P}$ — стандартное отклонение (относительная волатильность) логарифмически нормального распределения для $P(S,T)$ . Довольно значительный объем алгебры показывает, что он связан с исходными параметрами через

{\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (T-S))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.

Обратите внимание, что это ожидание было сделано для меры S -связи, тогда как для исходного процесса Халла-Уайта мы вообще не указывали меру. Это не имеет значения: все, что имеет значение, — это волатильность, и она не зависит от меры.

Поскольку верхние/минимальные процентные ставки эквивалентны опционам «пут» и «колл» по облигациям соответственно, приведенный выше анализ показывает, что пределы и минимумы процентных ставок можно оценить аналитически в модели Халла – Уайта. Уловка Джамшидиана применима к проблеме Халла-Уайта (поскольку сегодняшняя стоимость свопа в модели Халла-Уайта является монотонной функцией сегодняшней короткой ставки). Таким образом, знание того, как устанавливать ограничения, также достаточно для ценообразования свопов. Даже если базисом является сложная ставка, учитывающая ретроспективный подход, а не (прогнозируемая) срочная ставка LIBOR, Турфус (2020) показывает, как эту формулу можно напрямую изменить, чтобы принять во внимание дополнительную выпуклость .

Свопы также могут быть оценены напрямую, как описано у Хенрарда (2003). Прямые реализации обычно более эффективны.

Моделирование Монте-Карло, деревья и решетки

Однако оценка простых инструментов, таких как кэпы и свопционы, полезна в первую очередь для калибровки. Реальное использование модели заключается в оценке несколько более экзотических деривативов , таких как бермудские свопы на решетке или других деривативов в мультивалютном контексте, таких как свопы с постоянным сроком погашения Quanto, как объяснено, например, в Brigo and Mercurio (2001). Можно легко выполнить эффективное и точное моделирование Монте-Карло модели Халла – Уайта с параметрами, зависящими от времени, см. Островский (2013) и (2016). Реализация точного моделирования Монте-Карло с открытым исходным кодом по мотивам Фриса (2016). ^[1] можно найти в finmath lib. ^[2]

Прогнозирование

Несмотря на то, что для ценообразования были разработаны однофакторные модели, такие как Васичек, CIR и модель Халла-Уайта, недавние исследования показали их потенциал в отношении прогнозирования. В Орландо и др. (2018, ^[3] 2019, ^[4]^[5]) была предоставлена новая методология прогнозирования будущих процентных ставок под названием CIR#.Идея, помимо превращения краткосрочной модели, используемой для ценообразования, в инструмент прогнозирования, заключается в соответствующем разделении набора данных на подгруппы в соответствии с заданным распределением. ^[6]).Там было показано, как указанное разделение позволяет фиксировать статистически значимые временные изменения волатильности процентных ставок. следуя указанному подходу, Орландо и др. (2021) ^[7]) сравнивает модель Халла-Уайта с моделью CIR с точки зрения прогнозирования и предсказания направленности процентных ставок.

См. также

Ссылки

^ Фрис, Кристиан (2016). «Краткая заметка о точной стохастической схеме моделирования модели Халла-Уайта и ее реализации» . ССРН . дои : 10.2139/ssrn.2737091 . Проверено 15 октября 2023 г.
^ "HullWhiteModel.java" . финматематическая библиотека . finmath.net . Проверено 15 октября 2023 г.
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Мишель (2018). «Новый подход к моделированию краткосрочных ставок CIR». Новые методы моделирования фиксированного дохода . Вклад в науку управления. Springer International Publishing: 35–43. дои : 10.1007/978-3-319-95285-7_2 . ISBN 978-3-319-95284-0 .
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (1 января 2019 г.). «Новый подход к прогнозированию рыночных процентных ставок с помощью модели CIR». Исследования в области экономики и финансов . 37 (2): 267–292. дои : 10.1108/SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 . S2CID 204424299 .
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (19 августа 2019 г.). «Калибровка процентных ставок с помощью модели CIR». Журнал рискового финансирования . 20 (4): 370–387. дои : 10.1108/JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 . S2CID 204435499 .
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход к разделению» . Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . дои : 10.1002/для.2642 . ISSN 0277-6693 . S2CID 126507446 .
^ Орландо, Джузеппе; Буфало, Микеле (26 мая 2021 г.). «Прогнозирование процентных ставок: между Халлом и Уайтом и CIR# — как заставить работать однофакторную модель» . Журнал прогнозирования . 40 (8): 1566–1580. дои : 10.1002/для.2783 . ISSN 0277-6693 .

Основные ссылки

Джон Халл и Алан Уайт, «Использование деревьев процентных ставок Халла – Уайта», Journal of Derivatives , Vol. 3, № 3 (весна 1996 г.), стр. 26–36.
Джон Халл и Алан Уайт, «Численные процедуры реализации моделей временной структуры I», Journal of Derivatives , осень 1994 г., стр. 7–16.
Джон Халл и Алан Уайт, «Численные процедуры реализации моделей временной структуры II», Journal of Derivatives , зима 1994 г., стр. 37–48.
Джон Халл и Алан Уайт, «Оценка опционов на верхние и нижние процентные ставки с использованием модели Халла – Уайта» в книге «Передовые стратегии управления финансовыми рисками » , глава 4, стр. 59–67.
Джон Халл и Алан Уайт, «Однофакторные модели процентных ставок и оценка производных ценных бумаг с процентными ставками», Журнал финансового и количественного анализа , том 28, № 2, (июнь 1993 г.), стр. 235–254.
Джон Халл и Алан Уайт, «Ценообразование производных ценных бумаг с процентной ставкой», Обзор финансовых исследований , Том 3, № 4 (1990), стр. 573–592.

Другие ссылки

Халл, Джон К. (2006). «Производные процентные ставки: модели краткосрочной ставки». Опционы, фьючерсы и другие деривативы (6-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Прентис-Холл . стр. 657–658 . ISBN 0-13-149908-4 . LCCN 2005047692 . OCLC 60321487 .
Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок — теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-22149-4 .
Хенрард, Марк (2003). «Явный опцион на облигации и формула свопа в однофакторной модели Хита – Джарроу – Мортона», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 6 (1), 57–72. Препринт ССРН .
Хенрард, Марк (2009). Эффективная цена свопов в однофакторной модели Халла – Уайта, arXiv, 0901.1776v1. Препринт arXiv .
Островский, Владимир (2013). Эффективное и точное моделирование модели Халла – Уайта, Препринт SSRN.
Островский, Владимир (2016). Эффективное и точное моделирование моделей гауссовских аффинных процентных ставок., Международный журнал финансовой инженерии, Vol. 3, № 02. , Препринт ССРН.
Пушкарский, Евгений. Внедрение модели временной структуры без арбитража Халла-Уайта , дипломная работа, Центр центральноевропейских финансовых рынков
Терфус, Колин (2020). Ценообразование Caplet с учетом ретроспективных ставок., Препринт SSRN.
Летиан Ван, Модель Халла – Уайта , Группа фиксированного дохода, DTCC (подробный числовой пример и вывод)

[1] Фрис, Кристиан (2016). «Краткая заметка о точной стохастической схеме моделирования модели Халла-Уайта и ее реализации» . ССРН . дои : 10.2139/ssrn.2737091 . Проверено 15 октября 2023 г.

[2] "HullWhiteModel.java" . финматематическая библиотека . finmath.net . Проверено 15 октября 2023 г.

[3] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Мишель (2018). «Новый подход к моделированию краткосрочных ставок CIR». Новые методы моделирования фиксированного дохода . Вклад в науку управления. Springer International Publishing: 35–43. дои : 10.1007/978-3-319-95285-7_2 . ISBN 978-3-319-95284-0 .

[4] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (1 января 2019 г.). «Новый подход к прогнозированию рыночных процентных ставок с помощью модели CIR». Исследования в области экономики и финансов . 37 (2): 267–292. дои : 10.1108/SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 . S2CID 204424299 .

[5] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (19 августа 2019 г.). «Калибровка процентных ставок с помощью модели CIR». Журнал рискового финансирования . 20 (4): 370–387. дои : 10.1108/JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 . S2CID 204435499 .

[6] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход к разделению» . Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . дои : 10.1002/для.2642 . ISSN 0277-6693 . S2CID 126507446 .

[7] Орландо, Джузеппе; Буфало, Микеле (26 мая 2021 г.). «Прогнозирование процентных ставок: между Халлом и Уайтом и CIR# — как заставить работать однофакторную модель» . Журнал прогнозирования . 40 (8): 1566–1580. дои : 10.1002/для.2783 . ISSN 0277-6693 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Рынок облигаций
Связь Облигация Фиксированный доход
Виды облигаций по эмитенту	Агентская облигация Корпоративная облигация Старший долг Субординированный долг Проблемный долг Государственные облигации Инфраструктурная облигация Муниципальная облигация Глобальная облигация
Виды облигаций по выплатам	Начисление облигации Безопасность аукционной ставки Отзывная облигация Коммерческая бумага Консоль Условная конвертируемая облигация Конвертируемая облигация Обменная облигация Расширяемая облигация Облигация с фиксированной ставкой Примечание с плавающей ставкой Высокодоходный долг Облигации, индексированные по инфляции Банкнота с обратной плавающей ставкой Лотерейная облигация Бессрочная облигация Облигация с правом досрочного погашения Обратная конвертируемая ценная бумага Бескупонная облигация
Оценка облигаций	Чистая цена Выпуклость Купон Кредитный спред Текущая доходность Грязная цена Продолжительность Я распространяю Доходность по ипотеке Номинальная доходность Спред с учетом опционов Безрисковая облигация Средневзвешенная жизнь Кривая доходности Спред доходности Доходность к погашению Z-спред
Секьюритизированные продукты	Безопасность, обеспеченная активами Обеспеченное долговое обязательство Обеспеченное ипотечное обязательство Коммерческая ипотечная ценная бумага Обеспечение под залог ипотеки
Варианты облигаций	Отзывная облигация Конвертируемая облигация Встроенный вариант Обменная облигация Расширяемая облигация Облигация с правом досрочного погашения
Учреждения	Ассоциация коммерческих ипотечных ценных бумаг (CMSA) Международная ассоциация рынка капитала (ICMA) Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков (SIFMA)

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Это распространится Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Каталог путей Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля и единицы ( Блюменталь , Борель-Кантелли , Энгельберт-Шмидт , Хьюитт-Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Его интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохора Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теория представлений Скорохода Skorokhod space Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Stratonovich integral Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория