Схема Хита – Джарроу – Мортона

Модель Хита-Джарроу-Мортона ( HJM ) представляет собой общую структуру для моделирования эволюции кривых процентных ставок , в частности кривых мгновенных форвардных ставок (в отличие от простых форвардных ставок ). Когда предполагается, что волатильность и дрейф мгновенного форвардного курса являются детерминированными , это известно как Гаусса Хита – Джарроу – Мортона (HJM) . модель форвардных ставок ^[1]^: 394 Примером прямого моделирования простых форвардных ставок модель Брейса-Гатарека-Мусиелы является .

Концепция HJM берет свое начало в работах Дэвида Хита , Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона в конце 1980-х годов, особенно в области ценообразования на облигации и временной структуры процентных ставок: новая методология (1987) – рабочий документ, Корнельский университет и Фонд облигаций. ценообразование и временная структура процентных ставок: новая методология (1989 г.) - рабочий документ (переработанная ред.), Корнельский университет. Однако у него есть свои критики: Пол Уилмотт описал его как «... на самом деле просто большой ковер, под которым [ошибки] нужно сметать». ^[2]^[3]

Рамки

Ключом к этим методам является признание того, что дрейфы безарбитражной эволюции определенных переменных могут быть выражены как функции их волатильности и корреляций между собой. Другими словами, оценка дрейфа не требуется.

Модели, разработанные в соответствии с структурой HJM, отличаются от так называемых моделей с короткими процентными ставками в том смысле, что модели типа HJM отражают полную динамику всей кривой форвардного курса , в то время как модели с короткими процентными ставками отражают только динамику точки. на кривой (короткая ставка).

Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто являются немарковскими и могут даже иметь бесконечные измерения. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных ставок удовлетворяет определенным условиям, то модель HJM может быть полностью выражена марковской системой с конечным состоянием, что делает ее вычислительно осуществимой. Примеры включают однофакторную модель с двумя состояниями (О. Чейетт, «Динамика срочной структуры и оценка ипотеки», Журнал фиксированного дохода, 1, 1992; П. Ричкен и Л. Санкарасубраманиан в «Структуры волатильности форвардных ставок и динамика»). временной структуры», Mathematical Finance , 5, № 1, январь 1995 г.), а также более поздние многофакторные версии.

Математическая формулировка

Класс моделей, разработанный Хитом, Джарроу и Мортоном (1992), основан на моделировании форвардных ставок.

Модель начинается с введения мгновенного форвардного курса. $\textstyle f(t,T)$ , $\textstyle t\leq T$ , который определяется как непрерывная процентная ставка, доступная в момент времени $\textstyle T$ как видно со временем $\textstyle t$ . Связь между ценами облигаций и форвардной ставкой также определяется следующим образом:

P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}

Здесь $\textstyle P(t,T)$ это цена на момент времени $\textstyle t$ бескупонной облигации с выплатой 1 доллар при погашении $\textstyle T\geq t$ . Безрисковый счет денежного рынка также определяется как

\beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}

Это последнее уравнение позволяет нам определить $\textstyle f(t,t)\triangleq r(t)$ , безрисковая короткая ставка. Модель HJM предполагает, что динамика $\textstyle f(t,s)$ в рамках меры ценообразования, нейтральной к риску $\textstyle \mathbb {Q}$ следующие:

df(t,s)=\mu (t,s)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)dW_{t}

Где $\textstyle W_{t}$ это $\textstyle d$ -мерный винеровский процесс и $\textstyle \mu (u,s)$ , $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)$ являются $\textstyle {\mathcal {F}}_{u}$ адаптированные процессы . Теперь, исходя из этой динамики для $\textstyle f$ , мы попытаемся найти динамику для $\textstyle P(t,s)$ и найти условия, которые должны быть выполнены в соответствии с правилами ценообразования, нейтральными к риску. Давайте определим следующий процесс:

Y_{t}\triangleq \log P(t,s)=-\int _{t}^{s}f(t,u)du

Динамика $\textstyle Y_{t}$ можно получить по правилу Лейбница :

{\begin{aligned}dY_{t}&=f(t,t)dt-\int _{t}^{s}df(t,u)du\\&=r_{t}dt-\int _{t}^{s}\mu (t,u)dtdu-\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}du\end{aligned}}

Если мы определим $\textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du$ , $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du$ и предположим, что условия теоремы Фубини выполнены в формуле динамики $\textstyle Y_{t}$ , мы получаем:

dY_{t}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}

По лемме Ито динамика $\textstyle P(t,T)$ тогда:

{\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}

Но $\textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}$ должен быть мартингейлом в соответствии с мерой ценообразования $\textstyle \mathbb {Q}$ , поэтому мы требуем, чтобы $\textstyle \mu (t,s)^{*}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}$ . Дифференцируя это относительно $\textstyle s$ мы получаем:

\mu (t,u)={\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds

Что, наконец, говорит нам о том, что динамика $\textstyle f$ должен иметь следующий вид:

df(t,u)=\left({\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}

Это позволяет нам оценивать облигации и процентные деривативы на основе нашего выбора. $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}$ .

См. также

Ссылки

Примечания

^ М. Мусиела, М. Рутковски: Методы Мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Publishers, 2004. Печать.
↑ План одного фаната математики по реформированию Уолл-стрит, Newsweek, май 2009 г.
^ Ньюсуик 2009 г.

Источники

Хит Д., Джарроу Р. и Мортон А. (1990). Цены на облигации и временная структура процентных ставок: приближение дискретного времени . Журнал финансового и количественного анализа , 25:419-440.
Хит Д., Джарроу Р. и Мортон А. (1991). Оценка условных требований со случайной эволюцией процентных ставок. Архивировано 28 апреля 2017 г. в Wayback Machine . Обзор фьючерсных рынков , 9:54-76.
Хит Д., Джарроу Р. и Мортон А. (1992). Цены на облигации и временная структура процентных ставок: новая методология оценки условных требований . Эконометрика , 60(1):77-105. дои : 10.2307/2951677
Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов на процентную ставку (2-е изд.). Стэнфордская экономика и финансы. ISBN 0-8047-4438-6

Дальнейшее чтение

Некустистые деревья для гауссовских HJM и логнормальных прямых моделей , профессор Алан Брейс, Сиднейский технологический университет
Модель временной структуры Хита-Джарроу-Мортона. Архивировано 23 сентября 2015 г. в Wayback Machine , Бизнес-колледж профессора Дона Ченса Э. Дж. Урсо , Университет штата Луизиана.
Рекомбинация деревьев для одномерных моделей прямой скорости , Дариуш Гатарек, Wyższa Szkoła Biznesu – National-Louis University , и Ярослав Колаковский
Реализация безарбитражной временной структуры моделей процентных ставок в дискретном времени, когда процентные ставки нормально распределены , Дуайт М. Грант и Гаутам Вора. Журнал фиксированного дохода , март 1999 г., Vol. 8, № 4: стр. 85–98.
Модель Хита–Джарроу–Мортона и ее применение , Владимир Поздыняков, Пенсильванский университет
Эмпирическое исследование свойств сходимости нерекомбинирующего дерева форвардных ставок HJM в ценообразовании производных процентных ставок , А.Р. Радхакришнан, Нью-Йоркский университет
Моделирование процентных ставок с Хитом, Джарроу и Мортоном. Д-р Дональд ван Девентер, Kamakura Corporation :
- С одним фактором и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 9 августа 2020 г. на Wayback Machine.
- С одним фактором, ставкой и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 5 марта 2016 г. в Wayback Machine.
- С двумя факторами, ставкой и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 4 марта 2016 г. на Wayback Machine.
- С тремя факторами, ставкой и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 20 сентября 2020 г. на Wayback Machine.

[1] М. Мусиела, М. Рутковски: Методы Мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Publishers, 2004. Печать.

[2] План одного фаната математики по реформированию Уолл-стрит, Newsweek, май 2009 г.

[3] Ньюсуик 2009 г.

[1]

[2]

[3]

v т и Рынок облигаций
Bond Debenture Fixed income
Types of bonds by issuer	Agency bond Corporate bond Senior debt Subordinated debt Distressed debt Government bond Infrastructure bond Municipal bond Global bond
Types of bonds by payout	Accrual bond Auction rate security Callable bond Commercial paper Consol Contingent convertible bond Convertible bond Exchangeable bond Extendible bond Fixed rate bond Floating rate note High-yield debt Inflation-indexed bond Inverse floating rate note Lottery bond Perpetual bond Puttable bond Reverse convertible securities Zero-coupon bond
Bond valuation	Clean price Convexity Coupon Credit spread Current yield Dirty price Duration I-spread Mortgage yield Nominal yield Option-adjusted spread Risk-free bond Weighted-average life Yield curve Yield spread Yield to maturity Z-spread
Securitized products	Asset-backed security Collateralized debt obligation Collateralized mortgage obligation Commercial mortgage-backed security Mortgage-backed security
Bond options	Callable bond Convertible bond Embedded option Exchangeable bond Extendible bond Puttable bond
Institutions	Commercial Mortgage Securities Association (CMSA) International Capital Market Association (ICMA) Securities Industry and Financial Markets Association (SIFMA)

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category