Арифметическая геометрия

В математике арифметическая геометрия — это, грубо говоря, применение методов алгебраической геометрии к задачам теории чисел . ^{[ 1 ]} Арифметическая геометрия сосредоточена вокруг диофантовой геометрии , изучения рациональных точек алгебраических многообразий . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

В более абстрактных терминах арифметическую геометрию можно определить как исследование схем конечного типа над спектром кольца целых чисел . ^{[ 4 ]}

Обзор

Классическими объектами интереса в арифметической геометрии являются рациональные точки: множества решений системы полиномиальных уравнений над числовыми полями , конечными полями , p-адическими полями или функциональными полями , то есть полями , которые не являются алгебраически замкнутыми, за исключением действительных чисел . Рациональные точки могут быть непосредственно охарактеризованы функциями высоты , которые измеряют их арифметическую сложность. ^{[ 5 ]}

Структура алгебраических многообразий, определенных над неалгебраически замкнутыми полями, стала центральной областью интересов, возникшей с современным абстрактным развитием алгебраической геометрии. Над конечными полями этальные когомологии предоставляют топологические инварианты, связанные с алгебраическими многообразиями. ^{[ 6 ]} p-адическая теория Ходжа дает инструменты для изучения того, когда когомологические свойства многообразий над комплексными числами распространяются на свойства многообразий над p-адическими полями . ^{[ 7 ]}

История

XIX век: ранняя арифметическая геометрия

В начале 19 века Карл Фридрих Гаусс заметил, что ненулевые целочисленные решения однородных полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами существуют, если существуют ненулевые рациональные решения. ^{[ 8 ]}

В 1850-х годах Леопольд Кронекер сформулировал теорему Кронекера-Вебера , ввел теорию делителей и установил множество других связей между теорией чисел и алгеброй . Затем он выдвинул свою гипотезу « liebster Jugendtraum » («самая заветная мечта юности»), обобщение, которое позже было выдвинуто Гильбертом в модифицированной форме в качестве его двенадцатой проблемы , в которой ставится цель заставить теорию чисел оперировать только с кольцами, которые являются частными. над колец многочленов целыми числами. ^{[ 9 ]}

Начало-середина 20 века: алгебраические разработки и гипотезы Вейля.

В конце 1920-х годов Андре Вейль продемонстрировал глубокие связи между алгебраической геометрией и теорией чисел в своей докторской работе, которая привела к теореме Морделла-Вейля , которая демонстрирует, что множество рациональных точек абелева многообразия является конечно порожденной абелевой группой . ^{[ 10 ]}

Современные основы алгебраической геометрии были разработаны на основе современной коммутативной алгебры , включая теорию оценки и теорию идеалов Оскара Зариского и других в 1930-х и 1940-х годах. ^{[ 11 ]}

В 1949 году Андре Вейль сформулировал эпохальную гипотезу Вейля о локальных дзета-функциях алгебраических многообразий над конечными полями. ^{[ 12 ]} Эти гипотезы предложили основу между алгебраической геометрией и теорией чисел, которая побудила Александра Гротендика пересмотреть основы, используя теорию пучков (вместе с Жан-Пьером Серром ), а затем теорию схем в 1950-х и 1960-х годах. ^{[ 13 ]} Бернард Дворк доказал одну из четырех гипотез Вейля (рациональность локальной дзета-функции) в 1960 году. ^{[ 14 ]} Гротендик разработал теорию этальных когомологий, чтобы доказать две гипотезы Вейля (вместе с Майклом Артином и Жаном-Луи Вердье ) к 1965 году. ^{[ 6 ]}^{[ 15 ]} Последняя из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана ) будет окончательно доказана в 1974 году Пьером Делинем . ^{[ 16 ]}

Середина-конец 20-го века: развитие модульности, p-адических методов и не только.

Между 1956 и 1957 годами Ютака Танияма и Горо Шимура сформулировали гипотезу Таниямы-Шимуры (теперь известную как теорема о модулярности), связывающую эллиптические кривые с модулярными формами . ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} Эта связь в конечном итоге привела к первому доказательству Великой теоремы Ферма в теории чисел с помощью методов алгебраической геометрии подъема модулярности, разработанных Эндрю Уайлсом в 1995 году. ^{[ 19 ]}

В 1960-х годах Горо Шимура представил многообразия Шимуры как обобщения модульных кривых . ^{[ 20 ]} С 1979 года сорта Шимура играют решающую роль в программе Ленглендса как естественная область примеров для проверки гипотез. ^{[ 21 ]}

В статьях 1977 и 1978 годов Барри Мазур доказал гипотезу о кручении , дающую полный список возможных периодических подгрупп эллиптических кривых над рациональными числами. Первое доказательство этой теоремы Мазуром основывалось на полном анализе рациональных точек на некоторых модулярных кривых . ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} В 1996 году доказательство гипотезы о кручении было распространено на все числовые поля Лоиком Мерелем . ^{[ 24 ]}

В 1983 году Герд Фалтингс доказал гипотезу Морделла , показав, что кривая рода больше 1 имеет только конечное число рациональных точек (где теорема Морделла-Вейля демонстрирует только конечное порождение множества рациональных точек, а не конечность). ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

В 2001 году доказательство локальных гипотез Ленглендса для GL _n было основано на геометрии некоторых многообразий Шимуры. ^{[ 27 ]}

В 2010-х годах Питер Шольце разработал перфектоидные пространства и новые теории когомологий в арифметической геометрии над p-адическими полями с применением к представлениям Галуа и некоторым случаям гипотезы весовой монодромии . ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}

См. также

Ссылки

^ Сазерленд, Эндрю В. (5 сентября 2013 г.). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Проверено 22 марта 2019 г.
^ Кларрайх, Эрика (28 июня 2016 г.). «Петер Шольце и будущее арифметической геометрии» . Проверено 22 марта 2019 г.
^ Пунен, Бьорн (2009). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Проверено 22 марта 2019 г.
^ Арифметическая геометрия в n Lab
^ Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер Верлаг . стр. 43–67. ISBN 3-540-61223-8 . Збл 0869.11051 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гротендик, Александр (1960). «Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий» . Учеб. Интерн. Конгресс математики. (Эдинбург, 1958) . Издательство Кембриджского университета . стр. 103–118. МР 0130879 .
^ Серр, Жан-Пьер (1967). «Краткое содержание курса, 1965–66». Справочник Коллеж де Франс . Париж: 49–58.
^ Морделл, Луи Дж. (1969). Диофантовы уравнения . Академическая пресса. п. 1. ISBN 978-0125062503 .
^ Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер Имре (2008). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2 .
^ А. Вейль, Арифметика на алгебраических кривых , Acta Math 52, (1929) с. 281–315, перепечатано в первом томе его собрания статей. ISBN 0-387-90330-5 .
^ Зариский, Оскар (2004) [1935]. Абхьянкар, Шрирам С .; Липман, Джозеф ; Мамфорд, Дэвид (ред.). Алгебраические поверхности . Классика математики (второе дополненное изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58658-6 . МР 0469915 .
^ Вейль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (5): 497–508. дои : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN 0002-9904 . МР 0029393 . Перепечатано в Oeuvres Scientifiques/Сборнике статей Андре Вейля. ISBN 0-387-90330-5
^ Серр, Жан-Пьер (1955). «Когерентные алгебраические пучки». Анналы математики . 61 (2): 197–278. дои : 10.2307/1969915 . JSTOR 1969915 .
^ Дворк, Бернар (1960). «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия». Американский журнал математики . 82 (3). Американский журнал математики, Vol. 82, № 3: 631–648. дои : 10.2307/2372974 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2372974 . МР 0140494 .
^ Гротендик, Александр (1995) [1965]. «Формула Лефшеца и рациональность L-функций» . Семинар Бурбаки . Полет. 9. Париж: Математическое общество Франции . стр. 41–55. МР 1608788 .
^ Делинь, Пьер (1974). «Гипотеза Вейля. I» . Публикации IHÉS по математике . 43 (1): 273–307. дои : 10.1007/BF02684373 . ISSN 1618-1913 . МР 0340258 .
^ «Задача 12» Танияма, Ютака ( на японском языке). ( 1956) .
^ Шимура, Горо (1989). «Ютака Танияма и его время. Очень личные воспоминания» . Бюллетень Лондонского математического общества . 21 (2): 186–196. дои : 10.1112/blms/21.2.186 . ISSN 0024-6093 . МР 0976064 .
^ Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . дои : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559 . ОСЛК 37032255 . Архивировано из оригинала (PDF) 10 мая 2011 г. Проверено 22 марта 2019 г.
^ Шимура, Горо (2003). Собрание сочинений Горо Симуры . Спрингер Природа. ISBN 978-0387954158 .
^ Ленглендс, Роберт (1979). «Автоморфные представления, разновидности Шимуры и мотивы. Ein Märchen» (PDF) . В Бореле, Арман ; Кассельман, Уильям (ред.). Автоморфные формы, представления и L-функции: Симпозиум по чистой математике . Том. XXXIII Часть 1. Издательство «Челси». стр. 205–246.
^ Мазур, Барри (1977). «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. дои : 10.1007/BF02684339 . МР 0488287 .
^ Мазур, Барри (1978). «Рациональные изогении простой степени». Математические изобретения . 44 (2). с приложением Дориана Голдфельда : 129–162. Бибкод : 1978InMat..44..129M . дои : 10.1007/BF01390348 . МР 0482230 .
^ Мерель, Лоик (1996). «Оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на французском языке). 124 (1): 437–449. Бибкод : 1996InMat.124..437M . дои : 10.1007/s002220050059 . МР 1369424 .
^ Фальтингс, Герд (1983). «Теоремы конечности абелевых многообразий над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F . дои : 10.1007/BF01388432 . МР 0718935 .
^ Фальтингс, Герд (1984). «Ошибка: теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями» . Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. дои : 10.1007/BF01388572 . МР 0732554 .
^ Харрис, Майкл ; Тейлор, Ричард (2001). Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры . Анналы математических исследований. Том. 151. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-09090-0 . МР 1876802 .
^ «Медали Филдса 2018» . Международный математический союз . Проверено 2 августа 2018 г.
^ Шольце, Питер. «Перфектоидные пространства: обзор» (PDF) . Боннский университет . Проверено 4 ноября 2018 г.

[1] Сазерленд, Эндрю В. (5 сентября 2013 г.). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Проверено 22 марта 2019 г.

[Quanta-2] Кларрайх, Эрика (28 июня 2016 г.). «Петер Шольце и будущее арифметической геометрии» . Проверено 22 марта 2019 г.

[poonen-notes-3] Пунен, Бьорн (2009). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Проверено 22 марта 2019 г.

[4] Арифметическая геометрия в n Lab

[5] Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер Верлаг . стр. 43–67. ISBN 3-540-61223-8 . Збл 0869.11051 .

[grothendieck-cohomology-6] Перейти обратно: ^а ^б Гротендик, Александр (1960). «Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий» . Учеб. Интерн. Конгресс математики. (Эдинбург, 1958) . Издательство Кембриджского университета . стр. 103–118. МР 0130879 .

[7] Серр, Жан-Пьер (1967). «Краткое содержание курса, 1965–66». Справочник Коллеж де Франс . Париж: 49–58.

[8] Морделл, Луи Дж. (1969). Диофантовы уравнения . Академическая пресса. п. 1. ISBN 978-0125062503 .

[Princeton-9] Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер Имре (2008). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2 .

[10] А. Вейль, Арифметика на алгебраических кривых , Acta Math 52, (1929) с. 281–315, перепечатано в первом томе его собрания статей. ISBN 0-387-90330-5 .

[11] Зариский, Оскар (2004) [1935]. Абхьянкар, Шрирам С .; Липман, Джозеф ; Мамфорд, Дэвид (ред.). Алгебраические поверхности . Классика математики (второе дополненное изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58658-6 . МР 0469915 .

[12] Вейль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (5): 497–508. дои : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN 0002-9904 . МР 0029393 . Перепечатано в Oeuvres Scientifiques/Сборнике статей Андре Вейля. ISBN 0-387-90330-5

[13] Серр, Жан-Пьер (1955). «Когерентные алгебраические пучки». Анналы математики . 61 (2): 197–278. дои : 10.2307/1969915 . JSTOR 1969915 .

[14] Дворк, Бернар (1960). «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия». Американский журнал математики . 82 (3). Американский журнал математики, Vol. 82, № 3: 631–648. дои : 10.2307/2372974 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2372974 . МР 0140494 .

[15] Гротендик, Александр (1995) [1965]. «Формула Лефшеца и рациональность L-функций» . Семинар Бурбаки . Полет. 9. Париж: Математическое общество Франции . стр. 41–55. МР 1608788 .

[16] Делинь, Пьер (1974). «Гипотеза Вейля. I» . Публикации IHÉS по математике . 43 (1): 273–307. дои : 10.1007/BF02684373 . ISSN 1618-1913 . МР 0340258 .

[17] «Задача 12» Танияма, Ютака ( на японском языке). ( 1956) .

[18] Шимура, Горо (1989). «Ютака Танияма и его время. Очень личные воспоминания» . Бюллетень Лондонского математического общества . 21 (2): 186–196. дои : 10.1112/blms/21.2.186 . ISSN 0024-6093 . МР 0976064 .

[wiles1995-19] Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . дои : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559 . ОСЛК 37032255 . Архивировано из оригинала (PDF) 10 мая 2011 г. Проверено 22 марта 2019 г.

[20] Шимура, Горо (2003). Собрание сочинений Горо Симуры . Спрингер Природа. ISBN 978-0387954158 .

[21] Ленглендс, Роберт (1979). «Автоморфные представления, разновидности Шимуры и мотивы. Ein Märchen» (PDF) . В Бореле, Арман ; Кассельман, Уильям (ред.). Автоморфные формы, представления и L-функции: Симпозиум по чистой математике . Том. XXXIII Часть 1. Издательство «Челси». стр. 205–246.

[22] Мазур, Барри (1977). «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. дои : 10.1007/BF02684339 . МР 0488287 .

[23] Мазур, Барри (1978). «Рациональные изогении простой степени». Математические изобретения . 44 (2). с приложением Дориана Голдфельда : 129–162. Бибкод : 1978InMat..44..129M . дои : 10.1007/BF01390348 . МР 0482230 .

[24] Мерель, Лоик (1996). «Оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на французском языке). 124 (1): 437–449. Бибкод : 1996InMat.124..437M . дои : 10.1007/s002220050059 . МР 1369424 .

[25] Фальтингс, Герд (1983). «Теоремы конечности абелевых многообразий над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F . дои : 10.1007/BF01388432 . МР 0718935 .

[26] Фальтингс, Герд (1984). «Ошибка: теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями» . Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. дои : 10.1007/BF01388572 . МР 0732554 .

[27] Харрис, Майкл ; Тейлор, Ричард (2001). Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры . Анналы математических исследований. Том. 151. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-09090-0 . МР 1876802 .

[28] «Медали Филдса 2018» . Международный математический союз . Проверено 2 августа 2018 г.

[29] Шольце, Питер. «Перфектоидные пространства: обзор» (PDF) . Боннский университет . Проверено 4 ноября 2018 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

v т и Теория чисел
Поля	Алгебраическая теория чисел ( теория полей классов , неабелева теория полей классов , теория Ивасавы , теория Ивасавы–Тейта , теория Куммера ) Аналитическая теория чисел ( аналитическая теория L-функций , вероятностная теория чисел , теория решета ) Геометрическая теория чисел Вычислительная теория чисел Трансцендентная теория чисел Диофантова геометрия ( теория Аракелова , теория Ходжа–Аракелова ) Арифметическая комбинаторика ( аддитивная теория чисел ) Арифметическая геометрия ( анабелева геометрия , P-адическая теория Ходжа ) Арифметическая топология Арифметическая динамика
Ключевые понятия	Числа 0 Натуральные числа Единство Простые числа Составные числа Рациональные числа Иррациональные числа Алгебраические числа Трансцендентные числа P-адические числа ( P-адический анализ ) Арифметика Модульная арифметика Китайская теорема об остатках Арифметические функции
Расширенные концепции	Квадратичные формы Модульные формы L-функции Диофантовые уравнения Диофантово приближение Непрерывные дроби
Категория Список тем Список развлекательных тем Викибук Викиверситет

v т и Основные математики области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject