Отрицание

Отрицание
НЕТ
Определение
Таблица истины
Логические ворота
Нормальные формы
Дизъюнктивный
Конъюнктивное
Жегалкин Полином
Решетки сообщения
0-сохраняющий	нет
1-й продолжение	нет
Монотон	нет
Аффин	да
Самостоятельно	да
	v ; Т ; и ;

В логике , отрицание , также называемое логическим или логическим комплемента является операцией , которая принимает предложение $P$ к другому предложению "не $P$ ", стоит за" $P$ не правда », написано $\neg P$ , ${\mathord {\sim }}P$ или ${\overline {P}}$ Полем Это интерпретируется интуитивно как правда, когда $P$ ложь и ложь, когда $P$ это правда. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Таким образом, отрицание является уникальным логическим соединением . Он может применяться в качестве операции по понятиям , предложениям , ценностям истины или семантическим ценностям в целом. В классической логике отрицание обычно идентифицируется с функцией истины , которая приносит истину в ложности (и наоборот). В интуиционистской логике , согласно интерпретации Брувера -Хейтинг -Колмогоров , отрицание предложения $P$ является предложением, доказательствами которых являются опровержение $P$ .

Операнд отрицания - это Негад , ^{[ 3 ]} или отрицается . ^{[ 3 ]}

Определение

Классическое отрицание - это операция по одному логическому значению , как правило, значение предложения , которое дает значение истина , когда его операнд является ложным, и значение false , когда его операнд истин. Таким образом, если утверждение $P$ это правда $\neg P$ (произносится «не p») тогда будет ложным; И наоборот, если $\neg P$ это правда $P$ было бы ложным.

Истина таблица $\neg P$ Это следующее:

$P$	$\neg P$
Истинный	ЛОЖЬ
ЛОЖЬ	Истинный

Отрицание может быть определена в терминах других логических операций. Например, $\neg P$ может быть определен как $P\rightarrow \bot$ (где $\rightarrow$ логическое следствие и $\bot$ абсолютная ложь ). И наоборот, можно определить $\bot$ как $Q\land \neg Q$ Для любого предложения $Q$ (где $\land$ является логическим соединением ). Идея состоит в том, что любое противоречие является ложным, и хотя эти идеи работают как в классической, так и в интуиционистской логике, они не работают в параконевой логике , где противоречия не обязательно являются ложными. В классической логике мы также получаем дополнительную идентичность, $P\rightarrow Q$ может быть определен как $\neg P\lor Q$ , где $\lor$ дизъюнкция логическая .

Алгебраически, классическое отрицание соответствует комплементации в логической алгебре , а также интуиционистское отрицание псевдоакомпментации в алгебре Хейтинг . Эти алгебры обеспечивают семантику для классической и интуиционистской логики.

Обозначение

Отрицание предложения $P$ отмечается по -разному, в различных контекстах обсуждения и областей применения. В следующей таблице документируется некоторые из этих вариантов:

Обозначение	Простой текст	Вокализация
$\neg p$	¬p , 7 п ^{[ 4 ]}	Не р
${\mathord {\sim }}p$	~ p	Не р
$-p$	-п	Не р
$Np$		И р
$p'$	пен	P Prime, P комплемент
${\overline {p}}$	̅p	p бар, P бар P.
$!p$	! P.	Взрыв р Не р

Нотация $Np$ нотация Польская .

В теории наборов , $\setminus$ также используется для указания «не в наборе»: $U\setminus A$ это набор всех членов $u$ , которые не являются $членами$ .

Независимо от того, как это уведомлено или символизируется , отрицание $\neg P$ может быть прочитано как «это не тот случай, что $P$ », «не тот $P$ », или, как правило, просто как «не $P$ ».

Приоритет

В качестве способа уменьшения количества необходимых скобков можно ввести правила приоритета : ¬ имеет более высокий прецедент, чем ∧, ∧ выше ∨ и ∨ выше, чем →. Так, например, $P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S$ короткий для $(P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S.$

Вот таблица, которая показывает обычно используемой приоритет логических операторов. ^{[ 5 ]}

Оператор	Приоритет
$\neg$	1
$\land$	2
$\lor$	3
$\to$	4
$\leftrightarrow$	5

Характеристики

Двойное отрицание

В рамках системы классической логики , двойного отрицания, то есть отрицания отрицания предложения $P$ , логически эквивалентно $P$ Полем Выражается в символических терминах, $\neg \neg P\equiv P$ Полем В интуиционистской логике предложение подразумевает его двойное отрицание, но не наоборот. Это знаменует одно важное различие между классическим и интуитивным отрицанием. Алгебраически, классическое отрицание называется инволюцией второго периода.

Однако в интуиционистской логике более слабая эквивалентность $\neg \neg \neg P\equiv \neg P$ держит. Это потому, что в интуиционистской логике, $\neg P$ это просто сокращение $P\rightarrow \bot$ , и у нас также есть $P\rightarrow \neg \neg P$ Полем Создание последнего значения с тройным отрицанием $\neg \neg P\rightarrow \bot$ подразумевает это $P\rightarrow \bot$ .

В результате в предложении предложение классически доказуемо, если его двойное отрицание является интуиционно доказуемым. Этот результат известен как теорема Гливенко .

Распределение

Законы де Моргана обеспечивают способ распределения отрицания по поводу разъединения и соединения :

\neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)

, и

\neg (P\land Q)\equiv (\neg P\lor \neg Q)

.

Линейность

Позволять $\oplus$ Обозначите логическую операцию XOR . В логической алгебре линейная функция - это такая, что:

Если существует $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}$ , $f(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \dots \oplus (a_{n}\land b_{n})$ В для всех $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in \{0,1\}$ .

Другой способ выразить это-то, что каждая переменная всегда имеет значение в значении истины операции, или она никогда не имеет значения. Отрицание - линейный логический оператор.

Самостоятельно двойной

В логической алгебре само двойная функция - это функция, которая такая, что:

$f(a_{1},\dots ,a_{n})=\neg f(\neg a_{1},\dots ,\neg a_{n})$ для всех $a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}$ Полем Отрицание - это самостоятельный логический оператор.

Отрицания квантификаторов

В логике первого порядка есть два квантификатора, один-универсальный квантификатор $\forall$ (означает «для всех»), а другой - экзистенциальный квантификатор $\exists$ (означает «там существует»). Отрицание одного квантификатора - другой квантификатор ( $\neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)$ и $\neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)$ ) Например, с предикатом P как « x - смертный» и домен X в качестве коллекции всех людей, $\forall xP(x)$ означает «человек x у всех людей смертельно» или «все люди смертельны». Отрицание этого $\neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)$ , то есть «существует человек x у всех людей, которые не смертны», или «существует кто -то, кто живет вечно».

Правила вывода

Существует ряд эквивалентных способов сформулировать правила отрицания. Один обычный способ сформулировать классическое отрицание в естественном настройке вычета - воспринимать в качестве примитивных правил отрицания вывода ( из вывода $P$ оба $Q$ и $\neg Q$ , вывод $\neg P$ ; Это правило также называется Reductio Ad Absurdum ), исключение отрицания (из $P$ и $\neg P$ вывод $Q$ ; Это правило также называется бывшим FALSO Quodlibet ), и устранение двойного отрицания (из $\neg \neg P$ вывод $P$ ) Получает правила интуиционистского отрицания одинаково, но, исключая устранение двойного отрицания.

Введение отрицания гласит, что если абсурда может быть сделана в качестве заключения из $P$ затем $P$ не должно быть так (т.е. $P$ является ложным (классическим) или опровермым (интуиционистским) или и т. Д.). Устранение отрицания гласит, что что -либо следует из абсурда. Иногда устранение отрицания сформулируется с использованием примитивного знака абсурда $\bot$ Полем В этом случае правило говорит, что из $P$ и $\neg P$ следует абсурду. Вместе с устранением двойного отрицания можно сделать вывод наше первоначально сформулированное правило, а именно, что все следует из абсурда.

Обычно интуиционистское отрицание $\neg P$ из $P$ определяется как $P\rightarrow \bot$ Полем Затем введение и устранение отрицания являются просто особыми случаями введения значения ( условное доказательство ) и устранение ( Modus Ponens ). В этом случае следует также добавить в качестве примитивного правила ex falso Quodlibet .

Язык программирования и обычный язык

Как и в математике, отрицание используется в информатике для создания логических операторов.

if (!(r == t))
{
    /*...statements executed when r does NOT equal t...*/
}

знак Восклицательный " !«Описывает логическую не в B , C и языках с помощью C-вдохновленного синтаксиса, такого как C ++ , Java , JavaScript , Perl и PHP ». NOT«Оператор, используемый в Algol 60 , Basic и языках с алголевым или базовым синтаксисом, таким как Pascal , ADA , Eiffel и Seed7 . Некоторые языки (C ++, Perl и т. Д.) Предоставляют более одного оператора для отрицания. Несколько языков, таких как PL/I и Ratfor Использование ¬ для отрицания. Большинство современных языков позволяют сократить вышеупомянутое утверждение if (!(r == t)) к if (r != t), что иногда позволяет, когда компилятор/интерпретатор не может оптимизировать его, более быстрые программы.

В компьютерной науке также есть кусочек отрицания . Это берет данное значение и переключает все бинарные от 1 до 0 и от 0 до 1. Смотрите бить . Это часто используется для создания дополнения или " ~"В C или C ++ и дополнении Two (просто упрощено до" -«Или отрицательный знак, поскольку это эквивалентно получению арифметического отрицательного значения числа), поскольку оно в основном создает противоположное (отрицательное эквивалентное значение) или математический комплемент значения (где оба значения добавляются вместе, они создают целое).

Чтобы получить абсолютное (положительное эквивалентное) значение данного целого числа, следующее будет работать как " -«Изменяет его с отрицательного на положительный (это отрицательно, потому что» x < 0"Доходность правда)

unsigned int abs(int x)
{
    if (x < 0)
        return -x;
    else
        return x;
}

Чтобы продемонстрировать логическое отрицание:

unsigned int abs(int x)
{
    if (!(x < 0))
        return x;
    else
        return -x;
}

Перевернув условие и обращение к результатам создает код, который логически эквивалентен исходному коду, IE будет иметь идентичные результаты для любого ввода (в зависимости от используемого компилятора, фактические инструкции, выполняемые компьютером, могут отличаться).

В C (и некоторые другие языки произошли от C), двойное отрицание ( !!x) используется в качестве идиомы для конвертации x к каноническому логическому, т.е. целое число со значением 0 или 1 и никакого другого. Хотя любое целое число, отличное от 0, логически верно в C и 1 не является особым в этом отношении, иногда важно обеспечить использование канонического значения, например, для печати или если число впоследствии используется для арифметических операций. ^{[ 6 ]}

Соглашение об использовании ! связанный с компьютером Для обозначения отрицания иногда появляются в обычной письменной речи, как с Slang, для нет . Например, фраза !voting означает «не голосование». Другой пример - фраза !clue который используется в качестве синонима для «нет» или «невежественного». ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Крипке Семантика

В семантике Крипке , где семантические значения формул являются наборами возможных миров , отрицание может быть воспринято как среднее теоретичное комплементацию ^{[ Цитация необходима ]} (См. Также возможную семантику мира для получения дополнительной информации).

Смотрите также

Утверждение и отрицание (грамматическая полярность)
Амфек
Апофазис
Бинарная оппозиция
Побито
Контрапазование
Циклическое отрицание
Отрицание как неудача
Не ворота
Борода Платона
Квадрат оппозиции

Ссылки

^ Вейсштейн, Эрик У. "Отрицание" . MathWorld.wolfram.com . Получено 2 сентября 2020 года .
^ «Логические и математические утверждения - обработанные примеры» . www.math.toronto.edu . Получено 2 сентября 2020 года .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Beall, Jeffrey C. (2010). Логика: Основы . Основы (1. Публик.). Лондон: Routledge. п. 57. ISBN 978-0-203-85155-5 .
^ Используется в качестве импровизированного в ранних публикациях пишущей машинки, например, Ричард Э. Ладнер (январь 1975 г.). «Проблема значения схемы - это пробел журнала для P». ACM SIGACT NEWS . 7 (101): 18–20. doi : 10.1145/990518.990519 .
^ О'Доннелл, Джон; Холл, Корделия; Page, Rex (2007), дискретная математика с использованием компьютера , Springer, p. 120, ISBN 9781846285981 .
^ Иган, Дэвид. «Оператор двойного отрицания конвертируется в Boolean в C» . Dev Примечания .
^ Раймонд, Эрик и Стил, парень. Словарь нового хакера , с. 18 (MIT Press 1996).
^ Мунат, Джудит. Лексическое творчество, тексты и контекст , с. 148 (John Benjamins Publishing, 2007).

Дальнейшее чтение

Gabbay, Dov и Wansing, Heinrich, Eds., 1999. Что такое отрицание? , Kluwer .
Хорн Л. , 2001. Естественная история отрицания , Чикагская Пресс .
GH Von Wright , 1953-59, «О логике отрицания», физико-математика 22 .
Wansing, Heinrich, 2001, «отрицание», в Гобле, Лу, изд., Гид Блэквелл по философской логике , Блэквелл .
Теттаманти, Марко; Маненти, розовый; Делла Роза, Паскуале А.; Фалини, Андреа; Перани, Даниэла; Худ, Стефано Ф.; Моро, Андреа (2008). «Отрицание в мозге: модулирование представления действия». Нейроамиж . 43 (2): 358–367. Doi : 10.1016/j.neuroimage . PMID 18771737 . S2CID 17658822 .

Внешние ссылки

Хорн, Лоуренс Р.; Вансинг, Генрих. «Отрицание» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
«Отрицание» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
Нет , на математике

Таблицы истины составных положений

«Таблица истины для пункта не применяется к конечному предложению» . Архивировано из оригинала 1 марта 2000 года.
«Не пункт конечного предложения» . Архивировано из оригинала 1 марта 2000 года.
«Не предложение или предложение» . Архивировано из оригинала 17 января 2000 года.
"Не пункт, если ... тогда период" . Архивировано из оригинала 1 марта 2000 года.

[1] Вейсштейн, Эрик У. "Отрицание" . MathWorld.wolfram.com . Получено 2 сентября 2020 года .

[2] «Логические и математические утверждения - обработанные примеры» . www.math.toronto.edu . Получено 2 сентября 2020 года .

[:21-3] Jump up to: ^а ^{беременный} Beall, Jeffrey C. (2010). Логика: Основы . Основы (1. Публик.). Лондон: Routledge. п. 57. ISBN 978-0-203-85155-5 .

[4] Используется в качестве импровизированного в ранних публикациях пишущей машинки, например, Ричард Э. Ладнер (январь 1975 г.). «Проблема значения схемы - это пробел журнала для P». ACM SIGACT NEWS . 7 (101): 18–20. doi : 10.1145/990518.990519 .

[5] О'Доннелл, Джон; Холл, Корделия; Page, Rex (2007), дискретная математика с использованием компьютера , Springer, p. 120, ISBN 9781846285981 .

[6] Иган, Дэвид. «Оператор двойного отрицания конвертируется в Boolean в C» . Dev Примечания .

[7] Раймонд, Эрик и Стил, парень. Словарь нового хакера , с. 18 (MIT Press 1996).

[8] Мунат, Джудит. Лексическое творчество, тексты и контекст , с. 148 (John Benjamins Publishing, 2007).

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

v Т и Общие логические соединения
Tautology/True $\top$
Alternative denial (NAND gate) $\uparrow$ Converse implication $\leftarrow$ Implication (IMPLY gate) $\rightarrow$ Disjunction (OR gate) $\lor$
Negation (NOT gate) $\neg$ Exclusive or (XOR gate) $\not \leftrightarrow$ Biconditional (XNOR gate) $\leftrightarrow$ Statement (Digital buffer)
Joint denial (NOR gate) $\downarrow$ Nonimplication (NIMPLY gate) $\nrightarrow$ Converse nonimplication $\nleftarrow$ Conjunction (AND gate) $\land$
Contradiction/False $\bot$
Philosophy portal