Арифметическая геометрия
| Геометрия |
|---|
 |
|
| Геометры |
В математике арифметическая геометрия — это, грубо говоря, применение методов алгебраической геометрии к задачам теории чисел . [1] Арифметическая геометрия сосредоточена вокруг диофантовой геометрии , изучения рациональных точек алгебраических многообразий . [2] [3]
В более абстрактных терминах арифметическую геометрию можно определить как исследование схем конечного типа над спектром кольца целых чисел . [4]
Обзор [ править ]
Классическими объектами интереса в арифметической геометрии являются рациональные точки: множества решений системы полиномиальных уравнений над числовыми полями , конечными полями , p-адическими полями или функциональными полями , то есть полями , которые не являются алгебраически замкнутыми, за исключением действительных чисел . Рациональные точки могут быть непосредственно охарактеризованы функциями высоты , которые измеряют их арифметическую сложность. [5]
Структура алгебраических многообразий, определенных над неалгебраически замкнутыми полями, стала центральной областью интересов, возникшей с современным абстрактным развитием алгебраической геометрии. Над конечными полями этальные когомологии предоставляют топологические инварианты, связанные с алгебраическими многообразиями. [6] p-адическая теория Ходжа дает инструменты для изучения того, когда когомологические свойства многообразий над комплексными числами распространяются на свойства многообразий над p-адическими полями . [7]
История [ править ]
век: ранняя геометрия арифметическая XIX
В начале 19 века Карл Фридрих Гаусс заметил, что ненулевые целочисленные решения однородных полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами существуют, если существуют ненулевые рациональные решения. [8]
В 1850-х годах Леопольд Кронекер сформулировал теорему Кронекера-Вебера , ввел теорию делителей и установил множество других связей между теорией чисел и алгеброй . Затем он выдвинул свою гипотезу « liebster Jugendtraum » («самая заветная мечта юности»), обобщение, которое позже было выдвинуто Гильбертом в модифицированной форме в качестве его двенадцатой проблемы , в которой ставится цель заставить теорию чисел оперировать только с кольцами, которые являются частными. над колец многочленов целыми числами. [9]
Начало-середина 20 века: алгебраические разработки гипотезы и Вейля
В конце 1920-х годов Андре Вейль продемонстрировал глубокие связи между алгебраической геометрией и теорией чисел в своей докторской работе, которая привела к теореме Морделла-Вейля , которая демонстрирует, что множество рациональных точек абелева многообразия является конечно порожденной абелевой группой . [10]
Современные основы алгебраической геометрии были разработаны на основе современной коммутативной алгебры , включая теорию оценки и теорию идеалов Оскара Зариского и других в 1930-х и 1940-х годах. [11]
В 1949 году Андре Вейль сформулировал эпохальную гипотезу Вейля о локальных дзета-функциях алгебраических многообразий над конечными полями. [12] Эти гипотезы предложили основу между алгебраической геометрией и теорией чисел, которая побудила Александра Гротендика пересмотреть основы, используя теорию пучков (вместе с Жан-Пьером Серром ), а затем теорию схем в 1950-х и 1960-х годах. [13] Бернард Дворк доказал одну из четырех гипотез Вейля (рациональность локальной дзета-функции) в 1960 году. [14] Гротендик разработал теорию этальных когомологий, чтобы доказать две гипотезы Вейля (вместе с Майклом Артином и Жаном-Луи Вердье ) к 1965 году. [6] [15] Последняя из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана ) будет окончательно доказана в 1974 году Пьером Делинем . [16]
Середина-конец 20 века: развитие модульности, p-адических методов только не и
Между 1956 и 1957 годами Ютака Танияма и Горо Шимура сформулировали гипотезу Таниямы-Шимуры (теперь известную как теорема о модулярности), связывающую эллиптические кривые с модулярными формами . [17] [18] Эта связь в конечном итоге привела к первому доказательству Великой теоремы Ферма в теории чисел с помощью методов алгебраической геометрии подъема модулярности, разработанных Эндрю Уайлсом в 1995 году. [19]
В 1960-х годах Горо Шимура представил многообразия Шимуры как обобщения модульных кривых . [20] С 1979 года сорта Шимура играют решающую роль в программе Ленглендса как естественная область примеров для проверки гипотез. [21]
В статьях 1977 и 1978 годов Барри Мазур доказал гипотезу о кручении , дающую полный список возможных периодических подгрупп эллиптических кривых над рациональными числами. Первое доказательство этой теоремы Мазуром основывалось на полном анализе рациональных точек на некоторых модулярных кривых . [22] [23] В 1996 году доказательство гипотезы о кручении было распространено на все числовые поля Лоиком Мерелем . [24]
В 1983 году Герд Фалтингс доказал гипотезу Морделла , показав, что кривая рода больше 1 имеет только конечное число рациональных точек (где теорема Морделла-Вейля демонстрирует только конечное порождение множества рациональных точек, а не конечность). [25] [26]
В 2001 году доказательство локальных гипотез Ленглендса для GL n было основано на геометрии некоторых многообразий Шимуры. [27]
В 2010-х годах Питер Шольце разработал перфектоидные пространства и новые теории когомологий в арифметической геометрии над p-адическими полями с применением к представлениям Галуа и некоторым случаям гипотезы весовой монодромии . [28] [29]
См. также [ править ]
- Арифметическая динамика
- Арифметика абелевых многообразий
- Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
- Модули алгебраических кривых
- Модульное уплотнение
- Теорема Зигеля о целых точках
- Теория категорий
- Фробениоид
Ссылки [ править ]
- ^ Сазерленд, Эндрю В. (5 сентября 2013 г.). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Проверено 22 марта 2019 г.
- ^ Кларрайх, Эрика (28 июня 2016 г.). «Петер Шольце и будущее арифметической геометрии» . Проверено 22 марта 2019 г.
- ^ Пунен, Бьорн (2009). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Проверено 22 марта 2019 г.
- ^ Арифметическая геометрия в n Lab
- ^ Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . стр. 43–67. ISBN 3-540-61223-8 . Збл 0869.11051 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Гротендик, Александр (1960). «Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий» . Учеб. Интерн. Конгресс математики. (Эдинбург, 1958) . Издательство Кембриджского университета . стр. 103–118. МР 0130879 .
- ^ Серр, Жан-Пьер (1967). «Краткое содержание курса, 1965–66». Справочник Коллеж де Франс . Париж: 49–58.
- ^ Морделл, Луи Дж. (1969). Диофантовы уравнения . Академическая пресса. п. 1. ISBN 978-0125062503 .
- ^ Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер Имре (2008). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2 .
- ^ А. Вейль, Арифметика на алгебраических кривых , Acta Math 52, (1929) с. 281–315, перепечатано в первом томе его собрания статей. ISBN 0-387-90330-5 .
- ^ Зариский, Оскар (2004) [1935]. Абхьянкар, Шрирам С .; Липман, Джозеф ; Мамфорд, Дэвид (ред.). Алгебраические поверхности . Классика математики (второе дополненное изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58658-6 . МР 0469915 .
- ^ Вейль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (5): 497–508. дои : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN 0002-9904 . МР 0029393 . Перепечатано в Oeuvres Scientifiques/Сборнике статей Андре Вейля. ISBN 0-387-90330-5
- ^ Серр, Жан-Пьер (1955). «Когерентные алгебраические пучки». Анналы математики . 61 (2): 197–278. дои : 10.2307/1969915 . JSTOR 1969915 .
- ^ Дворк, Бернар (1960). «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия». Американский журнал математики . 82 (3). Американский журнал математики, Vol. 82, № 3: 631–648. дои : 10.2307/2372974 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2372974 . МР 0140494 .
- ^ Гротендик, Александр (1995) [1965]. «Формула Лефшеца и рациональность L-функций» . Семинар Бурбаки . Полет. 9. Париж: Математическое общество Франции . стр. 41–55. МР 1608788 .
- ^ Делинь, Пьер (1974). «Гипотеза Вейля. I» . Публикации IHÉS по математике . 43 (1): 273–307. дои : 10.1007/BF02684373 . ISSN 1618-1913 . МР 0340258 .
- ^ «Задача 12» Танияма, Ютака ( на японском языке). ( 1956) .
- ^ Шимура, Горо (1989). «Ютака Танияма и его время. Очень личные воспоминания» . Бюллетень Лондонского математического общества . 21 (2): 186–196. дои : 10.1112/blms/21.2.186 . ISSN 0024-6093 . МР 0976064 .
- ^ Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . дои : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559 . ОСЛК 37032255 . Архивировано из оригинала (PDF) 10 мая 2011 г. Проверено 22 марта 2019 г.
- ^ Шимура, Горо (2003). Собрание сочинений Горо Симуры . Спрингер Природа. ISBN 978-0387954158 .
- ^ Ленглендс, Роберт (1979). «Автоморфные представления, разновидности Шимуры и мотивы. Ein Märchen» (PDF) . В Бореле, Арман ; Кассельман, Уильям (ред.). Автоморфные формы, представления и L-функции: Симпозиум по чистой математике . Том. XXXIII Часть 1. Издательство «Челси». стр. 205–246.
- ^ Мазур, Барри (1977). «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. дои : 10.1007/BF02684339 . МР 0488287 .
- ^ Мазур, Барри (1978). «Рациональные изогении простой степени». Математические изобретения . 44 (2). с приложением Дориана Голдфельда : 129–162. Бибкод : 1978InMat..44..129M . дои : 10.1007/BF01390348 . МР 0482230 .
- ^ Мерель, Лоик (1996). «Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres» [Оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на французском языке). 124 (1): 437–449. Бибкод : 1996InMat.124..437M . дои : 10.1007/s002220050059 . МР 1369424 .
- ^ Фальтингс, Герд (1983). «Теоремы конечности абелевых многообразий над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F . дои : 10.1007/BF01388432 . МР 0718935 .
- ^ Фальтингс, Герд (1984). «Ошибка: теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями» . Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. дои : 10.1007/BF01388572 . МР 0732554 .
- ^ Харрис, Майкл ; Тейлор, Ричард (2001). Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры . Анналы математических исследований. Том. 151. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-09090-0 . МР 1876802 .
- ^ «Медали Филдса 2018» . Международный математический союз . Проверено 2 августа 2018 г.
- ^ Шольце, Питер. «Перфектоидные пространства: обзор» (PDF) . Боннский университет . Проверено 4 ноября 2018 г.
Основные математики области |
|---|
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
