Теория перколяции

В физике и математике статистической теория перколяции описывает поведение сети, когда добавляются узлы или ссылки. Это геометрический тип фазового перехода , поскольку во время критической доли добавления сеть небольших, отключенных кластеров сливается в значительно большие подключенные , так называемые охватывающие кластеры. Применение теории перколяции к материаловедению и во многих других дисциплинах обсуждается здесь и в теории сети и перколяции статей (когнитивная психология) .

Введение

Репрезентативный вопрос (и источник имени) заключается в следующем. Предположим, что некоторая жидкость выливается поверх какого -то пористого материала. Сможет ли жидкость пробиться от отверстия в отверстие и достичь дна? Этот физический вопрос смоделируется как трехмерная сеть вершин $n \times n \times n$ математически , обычно называемые «сайтами», в которых края или «связи» между каждыми двумя соседями могут быть открыты (позволяя жидкости) с вероятностью $p$ , или закрыт с вероятностью $1 - P$ , и они считаются независимыми. Следовательно, для данного $P$ , какова вероятность того, что открытый путь (что означает путь, каждый из которых является «открытой» связью), существует сверху вниз? Поведение для большого $N$ представляет основной интерес. Эта проблема, называемая теперь перколяцией Бонда , была введена в математическую литературу Broadbent & Hammersley (1957) , ^{[ 1 ]} и с тех пор интенсивно изучался математиками и физиками.

В немного другой математической модели для получения случайного графика сайт «занят» с вероятностью $P$ или «пустым» (в этом случае его ребра убираются) с вероятностью $1 - P$ ; Соответствующая проблема называется перколяцией сайта . Вопрос такой же: для данного P , какова вероятность того, что между сверху и снизу существует путь? Точно так же можно спросить, учитывая подключенный график на какую фракцию $1 - p$ сбоев, график будет отключен (без большого компонента).

Те же вопросы можно задать для любого измерения решетки. Как довольно типично, на самом деле легче изучить бесконечные сети, чем просто большие. В этом случае соответствующий вопрос: существует ли бесконечный открытый кластер? То есть есть ли путь подключенных точек бесконечной длины «через сеть? Согласно нулевым законам Колмогорова , для любого данного $P$ вероятность того, что существует бесконечный кластер, составляет либо ноль, либо один. Поскольку эта вероятность является увеличивающейся функцией $p$ (доказательства через аргумент связи ), должен быть критический $P$ (обозначенный $P C$ ), ниже которого вероятность всегда 0 и выше, что вероятность всегда 1. На практике эта критичность является очень легко наблюдать. Даже для $n$ , до 100, вероятность открытого пути сверху к дне резко возрастает от очень близко к нулю до очень близко к одному за короткий промежуток значений $p$ .

История

Теория Флори -Стокмейер была первой теорией, изучающей процессы перколяции. ^{[ 2 ]}

История модели перколяции, как мы знаем, у нее есть корень в угольной промышленности. После промышленной революции экономическое значение этого источника энергии способствовало многим научным исследованиям, чтобы понять его состав и оптимизировать его использование. В течение 1930 -х и 1940 -х годов качественный анализ органической химии оставлял все больше и больше места для более количественных исследований. ^{[ 3 ]}

В этом контексте Британская исследовательская ассоциация по использованию угля (BCURA) была создана в 1938 году. Это исследовательская ассоциация, финансируемая владельцами угольных шахт. В 1942 году Розалинда Франклин , которая недавно закончила химию в Кембриджском университете, присоединилась к Bcura. Она начала исследование плотности и пористости угля. Во время Второй мировой войны уголь был важным стратегическим ресурсом. Он использовался в качестве источника энергии, но также был основной составляющей газовых масок.

Уголь - пористая среда. Чтобы измерить его «реальную» плотность, нужно было опустить его в жидкости или газ, молекулы которых достаточно малы, чтобы заполнить свои микроскопические поры. Пытаясь измерить плотность угля, используя несколько газов (гелий, метанол, гексан, бензол), и, когда она обнаружила различные значения в зависимости от используемого газа, Розалинда Франклин показала, что поры угля сделаны из микроструктур различных длин, которые действуют в качестве микроскопического сита для различения газов. Она также обнаружила, что размер этих структур зависит от температуры карбонизации во время производства угля. С помощью этого исследования она получила степень доктора философии и покинула Bcura в 1946 году. ^{[ 4 ]}

В середине пятидесятых годов Саймон Бродбент работал в Bcura в качестве статистика. Среди других интересов он изучал использование угля в газовых масках. Один вопрос состоит в том, чтобы понять, как жидкость может диффундировать в порах угля, смоделированная как случайный лабиринт открытых или закрытых туннелей. В 1954 году, во время симпозиума по методам Монте -Карло , он задает вопросы Джону Хаммерсли с использованием численных методов для анализа этой модели. ^{[ 5 ]}

Broadbent и Hammersley представили в своей статье 1957 года математическую модель для моделирования этого явления, которая является перколяцией.

Вычисление критического параметра

Для большинства бесконечных графиков решетки $P C$ не может быть рассчитано точно, хотя в некоторых случаях $P C$ есть точное значение. Например:

для квадратной решетки $ℤ 2$ В двух измерениях $P C = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1/2 Гарри Для перколяции Бонда ⁠$ , факт, который был открытым вопросом в течение более 20 лет и, наконец, был решен Кестеном в начале 1980 -х годов, ^{[ 6 ]} См. Кестен (1982) . Для перколяции участка на квадратной решетке значение $P C$ не известно по аналитическому выводу, а только посредством моделирования крупных решетков, которые обеспечивают оценку $P C =$ 0,59274621 ± 0,00000013. ^{[ 7 ]}
Ограниченный случай для решетки в высоких измерениях дается решеткой Bethe , порог которого находится в $p c = ⁠ 1 / z - 1 ⁠$ для координационного числа $z$ . Другими словами: для обычного дерева степени $z$ , $p_{c}$ равен $1/(z-1)$ .

Для случайной сети, похожей на дерево без корреляции степени, можно показать, что такая сеть может иметь гигантский компонент , а порог перколяции (вероятность передачи) определяется $p_{c}={\frac {1}{g_{1}'(1)}}$ , где $g_{1}(z)$ Является ли генерирующая функция , соответствующая распределению избыточной степени . Итак, для случайных сети ERDőS -Rényi средней степени $\langle k\rangle$ , $p c = ⁠ 1 / ⟨k⟩ ⁠$ . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}
В сетях с низкой кластеризацией , $0<C\ll 1$ , критическая точка масштабируется на $(1-C)^{-1}$ таково::

$p_{c}={\frac {1}{1-C}}{\frac {1}{g_{1}'(1)}}.$ ^{[ 11 ]}

Это указывает на то, что для данного распределения степени кластеризация приводит к большему порогу перколяции, главным образом потому, что для фиксированного количества ссылок структура кластеризации усиливает ядро сети с ценой разбавления глобальных соединений. Для сетей с высокой кластеризацией сильная кластеризация может вызвать структуру ядра и периферии, в которой ядро и периферия могут протковать в разных критических точках, а вышеупомянутое приблизительное лечение не применимо. ^{[ 12 ]}

Универсальность

Принцип универсальности гласит, что числовое значение $P C$ определяется локальной структурой графика, тогда как поведение вблизи критического порога, $P C$ , характеризуется универсальными критическими показателями . Например, распределение размера кластеров при критичности распадается в качестве властного закона с одним и тем же показателем для всех 2D решетки. Эта универсальность означает, что для данного измерения различные критические показатели, фрактальное измерение кластеров на $P C$ не зависит от типа решетки и типа перколяции (например, связь или сайт). Тем не менее, недавно была выполнена перколяция на взвешенной плоской стохастической решетке (WPSL) и обнаружила, что, хотя измерение WPSL совпадает с измерением пространства, в которое оно встроено, его класс универсальности отличается от всех известных плоских решетков Полем ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Фазы

Субкритический и суперкритический

Основным фактом в подкритической фазе является «экспоненциальный распад». То есть, когда $p < p c$ , вероятность того, что конкретная точка (например, исходное происхождение) содержится в открытом кластере (что означает максимальный подключенный набор «открытых» краев графика) размера $R$ распадается до нуля экспоненциально в $$ Это было доказано для перколяции в трех и более измерениях Меншикова (1986) и независимо от Aizenman & Barsky (1987) . В двух измерениях он стал частью доказательства Кестены, что $P C = ⁠ 1 / 2 ⁠$ . ^{[ 15 ]}

Двойной график квадратной решетки $ℤ 2$ также квадратная решетка. Отсюда следует, что в двух измерениях суперкритическая фаза является двойной к субкритическому процессу перколяции. Это предоставляет по сути полную информацию о суперкритической модели с $d = 2$ . Основной результат для суперкритической фазы в трех и более измерениях заключается в том, что для достаточно большого $n$ почти наверняка есть бесконечный открытый кластер в двумерной плите $ℤ 2 \times [0, n] D - 2$ Полем Это было подтверждено Гримметтом и Марстрандом (1990) . ^{[ 16 ]}

В двух измерениях с $р < ⁠ 1/2 . ⁠,$ с вероятностью есть уникальный бесконечный закрытый кластер (закрытый кластер является максимальным подключенным набором «закрытых» краев графика) Таким образом, подкритическая фаза может быть описана как конечные открытые острова в бесконечном закрытом океане. Когда $p > ⁠ 1/2 ⁠ Происходит прямо противоположное, с конечными ⁠$ закрытыми островами в бесконечном открытом океане. Картина более сложна, когда $d \geq 3,$ так как $p c < ⁠ 1/2 для ⁠,$ и существует сосуществование бесконечных открытых и закрытых кластеров $между$ P $C и$ 1 $- P C.$ P

Критичность

Перколяция обладает особой в критической точке $P = P C,$ и многие свойства ведут себя как власть с $p-p_{c}$ , около $p_{c}$ Полем Теория масштабирования предсказывает существование критических показателей , в зависимости от числа D измерений, которые определяют класс сингулярности. Когда $d = 2$ эти прогнозы подкрепляются аргументами из конформной теории поля и эволюции Шрамм -Лоунера и включают прогнозируемые численные значения для экспонентов. Большинство из этих прогнозов являются предположительными, за исключением случаев, когда число $D$ измерений удовлетворяет либо $D = 2$ , либо $D \geq 6$ . Они включают в себя:

Нет бесконечных кластеров (открытые или закрытые)
Вероятность того, что существует открытый путь от какой -то фиксированной точки (скажем, происхождение) до расстояния R , уменьшается полиномиально , т.е. на порядок r ^а Для некоторых α
- $α$ не зависит от выбранной конкретной решетки или от других локальных параметров. Это зависит только от измерения $D$ (это экземпляр принципа универсальности ).
- $α D$ уменьшается от $d = 2$ до $d = 6$ , а затем остается фиксированным.
- $A 2 = - ⁠ 5 / 48 ⁠$
- $A 6 = -1$ .
Форма большого кластера в двух измерениях конформно инвариантна .

См. Гримметт (1999) . ^{[ 17 ]} В 11 или более измерениях эти факты в значительной степени подтверждаются с использованием техники, известной как расширение кружева . Считается, что версия расширения кружева должна быть действительной для 7 или более измерений, возможно, с последствиями также для порогового случая 6 измерений. Соединение перколяции с расширением кружева обнаружена в Hara & Slade (1990) . ^{[ 18 ]}

В двух измерениях первый факт («отсутствие перколяции в критической фазе») доказано для многих решетков с использованием двойственности. Существенный прогресс был достигнут в отношении двумерной перколяции посредством гипотезы Одида Шрамма о том, что ограничение масштабирования большого кластера может быть описано с точки зрения эволюции Шраммма-Ловнера . Эта гипотеза была доказана Смирнова (2001) ^{[ 19 ]} В особом случае перколяции участка на треугольной решетке.

Разные модели

Направленная перколяция , которая моделирует влияние гравитационных сил, действующих на жидкость, также была введена в Broadbent & Hammersley (1957) , ^{[ 1 ]} и имеет подключения с процессом контакта .
Первой изученной моделью была Бернулли Перколяция. В этой модели все облигации независимы. Эта модель называется перколяцией связи физиками.
Затем было представлено обобщение как модель случайного кластера Fortuin -Kasteleyn , которая имеет много связей с модели Ising и других моделей Potts .
Перколяция Бернулли (Бонда) на полных графиках является примером случайного графика . Критическая вероятность - $p = ⁠ 1 / n ⁠$ , где $n$ - количество вершин (сайты) графика.
Перколяция начальной загрузки удаляет активные клетки из кластеров, когда у них слишком мало активных соседей, и смотрит на связь оставшихся клеток. ^{[ 20 ]}
Первый проход перколяции .
Перколяция вторжения .

Приложения

В области биологии, биохимии и физической вирусологии

Теория перколяции была использована для успешного прогнозирования фрагментации раковин биологических вирусов (капсиды), ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} с порогом фрагментации гепатита В вируса капсида предсказано и обнаружено экспериментально. ^{[ 23 ]} Когда критическое количество субъединиц было случайным образом удалено из наноскопической оболочки, ее фрагменты, и эта фрагментация может быть обнаружена с использованием масс-спектроскопии обнаружения заряда (CDM) среди других методов отдельных частей. Это молекулярный аналог с общей настольной игрой Jenga , и имеет отношение к более широкому исследованию разборки вируса. Интересно, что более стабильные вирусные частицы (наклоны с большими порогами фрагментации) обнаружены в большей численности в природе. ^{[ 21 ]}

В экологии

Теория перколяции была применена для исследований того, как фрагментация окружающей среды влияет на среду обитания животных ^{[ 24 ]} и модели того, как распространяется чума бактерия иерсиния . ^{[ 25 ]}

Смотрите также

Теория перколяции континуума
Критический показатель - параметр, описывающий физику вблизи критических точек
Направленная перколяция - физические модели фильтрации при таких силах, как гравитация
Модель Erdős -Rényi - две тесно связанные модели для случайных графиков генерации
Фрактал - бесконечно детальная математическая структура
Гигантский компонент - большой подключенный компонент случайного графика
Теория графика - область дискретной математики
Взаимозависимые сети - подполет сетевой науки
Перколяция вторжения
КАН -КАЛАЙ ГПИДУ - Математическое предложение
Теория сети - изучение графиков как представление отношений между дискретными объектами
Сетевая наука - академическая область
Порог перколяции - порог моделей теории перколяции
Критические показатели перколяции - математический параметр в теории перколяции
Бесплановая сеть -сеть, распределение степени, распределение степени следует за законом о энергетике
Кратчайшая проблема пути - вычислительная проблема теории графиков
Гипотеза Bunchbed - гипотеза в вероятностных комбинаториках

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^{беременный} Бродбент, Саймон; Хаммерсли, Джон (1957). «Процессы перколяции I. кристаллы и лабиринты». Математические разбирательства Кембриджского философского общества . 53 (3): 629–641. Bibcode : 1957pcps ... 53..629b . doi : 10.1017/s0305004100032680 . ISSN 0305-0041 . S2CID 84176793 .
^ Сахини, М.; Сахими М. (2003-07-13). Применение теории перколяции . CRC Press. ISBN 978-0-203-22153-2 Полем Архивировано из оригинала 2023-02-04 . Получено 2020-10-27 .
^ Ван Кревел, Дирк В. (1982). «Разработка угольных исследований - обзор». Топливо . 61 (9): 786–790. doi : 10.1016/0016-2361 (82) 90304-0 .
^ Документы Розалинды Франклина - дыры в угле: исследования в Bcura и в Париже, 1942-1951. https://profiles.nlm.nih.gov/spotlight/kr/feature/coal Archived 2022-07-07 на машине Wayback . Доступ: 2022-01-17.
^ Хаммерсли, JM; Уэльс, DJA (1980). «Теория перколяции и ее последствия». Современная физика . 21 (6): 593–605. Bibcode : 1980conph..21..593h . doi : 10.1080/00107518008210661 .
^ Bollobás, Béla; Риордан, Оливер (2006). «Шоркие пороги и перколяция в плоскости». Случайные структуры и алгоритмы . 29 (4): 524–548. arxiv : математика/0412510 . doi : 10.1002/rsa.20134 . ISSN 1042-9832 . S2CID 7342807 .
^ Меж Ньюман; RM Ziff (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокие результаты для перколяции». Письма о физическом обзоре . 85 (19): 4104–4107. arxiv : cond-mat/0005264 . Bibcode : 2000phrvl..85.4104n . doi : 10.1103/physrevlett.85.4104 . PMID 11056635 . S2CID 747665 .
^ Erdős, P. & Rényi, A. (1959). «На случайных графах I.». Издательство Математика (6): 290-297.
^ Erdős, P. & Rényi, A. (1960). «Эволюция случайных графиков». Издательство Математика Институт Подвешенный Академический Наука (5): 17–61.
^ Bolloba's, B. (1985). «Случайные графики». Академический .
^ Берченко, Якир; Artzy-Randrup, Yael; Тейхер, Мина; Стоун, Льюи (2009-03-30). «Появление и размер гигантского компонента в кластерных случайных графиках с данным распределением степени» . Письма о физическом обзоре . 102 (13): 138701. Bibcode : 2009 phrvl.102m8701b . doi : 10.1103/physrevlett.102.138701 . ISSN 0031-9007 . PMID 19392410 . Архивировано из оригинала 2023-02-04 . Получено 2022-02-24 .
^ Ли, Мин; Лю, Ран-Ран; Лю, Линиюан; Ху, Мао-бин; Сюй, Шуки; Чжан, И-Ченг (2021-04-25). «Перколяция в сложных сетях: теория и применение» . Физические отчеты . Перколяция в сложных сетях: теория и применение. 907 : 1–68. Arxiv : 2101.11761 . Бибкод : 2021 ч ... 907 .... 1L . doi : 10.1016/j.physrep.2020.12.003 . ISSN 0370-1573 . S2CID 231719831 .
^ Хасан, MK; Рахман М.М. (2015). «Перколяция на многофрактальной плоской стохастической решетке и ее универсальности». Физический Преподобный 92 (4): 040101. Arxiv : 1504.06389 . BIBCODE : 2015HRVE..92D0101H . doi : 10.1103/physreve.92.040101 . PMID 26565145 . S2CID 119112286 .
^ Хасан, MK; Рахман, М.М. (2016). «Универсальный класс сайта и перколяции связей на мульти-мультфрактальном масштабе плоской стохастической решетки». Физический Преподобный 94 (4): 042109. Arxiv : 1604.08699 . Bibcode : 2016 Phrve..94D2109H . doi : 10.1103/physreve.94.042109 . PMID 27841467 . S2CID 22593028 .
^ Кестен, Гарри (1982). Теория перколяции для математиков . Биркхаузер. doi : 10.1007/978-1-4899-2730-9 . ISBN 978-0-8176-3107-9 .
^ Гримметт, Джеффри ; Марстранд, Джон (1990). «Суперкритическая фаза перколяции хорошо ведет себя». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 430 (1879): 439–457. BIBCODE : 1990RSPSA.430..439G . doi : 10.1098/rspa.1990.0100 . ISSN 1364-5021 . S2CID 122534964 .
^ Гримметт, Джеффри (1999). Перколяция . Основное обучение математических наук. Том. Doi : 10.1007/978-3-662-03981-6 . ISBN 978-3-642-08442-3 Полем ISSN 0072-7830 . Архивировано из оригинала 2020-02-23 . Получено 2009-04-18 .
^ Хара, Такаши; Слэйд, Гордон (1990). «Критическое поведение среднего поля для перколяции в высоких измерениях» . Общение в математической физике . 128 (2): 333–391. Bibcode : 1990cmaph.128..333H . doi : 10.1007/bf02108785 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119875060 . Архивировано из оригинала 2021-02-24 . Получено 2022-10-30 .
^ ( 2001 ). Формула Карди, лестница. Счета Рендус Академии наук I. 333 (3): 239–244. arxiv 0909.4499: Bibcode 2001CRASM.333..239S: 10.1.1.246.2739Citeserx два 10.1016/S0764-4442(01)01991-7: ISSN 0764-4
^ Adler, Joan (1991), «Перколяция начальной загрузки», Physica A: статистическая механика и ее приложения , 171 (3): 453–470, Bibcode : 1991phya..171..453a , doi : 10.1016/0378-4371 (91) 90295-N .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Brunk, Nicholas E.; Twarock, Reidun (2021). «Теория перколяции выявляет биофизические свойства вирусных частиц» . ACS Nano . 15 (8). Американское химическое общество (ACS): 12988–12995. doi : 10.1021/acsnano.1c01882 . ISSN 1936-0851 . PMC 8397427 . PMID 34296852 .
^ Бранк, северо -восток; Ли, LS; Глейзер, JA; Butske, W.; Zlotnick, A. (2018). «Молекулярная дженга: фазовый переход перколяции (коллапс) в вирусных капсидах» . Физическая биология . 15 (5): 056005. BIBCODE : 2018 PHBIO..15E6005B . doi : 10.1088/1478-3975/AAC194 . PMC 6004236 . PMID 29714713 .
^ Ли, LS; Brunk, N.; Haywood, DG; Keifer, D.; Pierson, E.; Kondylis, P.; Zlotnick, A. (2017). «Молекулярная макет: удаление и замена субъединиц в капсиде вируса гепатита В» . Белковая наука . 26 (11): 2170–2180. doi : 10.1002/pro.3265 . PMC 5654856 . PMID 28795465 .
^ Boswell, GP; Бриттон, NF; Franks, NR (1998-10-22). «Фрагментация среды обитания, теория перколяции и сохранение видов Keystone» . Труды Королевского общества Лондона B: Биологические науки . 265 (1409): 1921–1925. doi : 10.1098/rspb.1998.0521 . ISSN 0962-8452 . PMC 1689475 .
^ Дэвис, с.; Trapman, P.; Leirs, H.; Begon, M.; Hesterbeek, J. A. П. (2008-07-31). «Порог изобилия для чумы как критического явления перколяции». Природа . 454 (7204): 634–637. Bibcode : 2008natur.454..634d . doi : 10.1038/nature07053 . HDL : 1874/29683 . ISSN 1476-4687 . PMID 18668107 . S2CID 4425203 .

Айзенман, Майкл ; Barsky, David (1987), "Sharpness of the phase transition in percolation models" , Communications in Mathematical Physics , 108 (3): 489–526, Bibcode : 1987CMaPh.108..489A , doi : 10.1007/BF01212322 , S2CID 35592821
Menshikov, Mikhail (1986), «Совпадение критических точек в проблемах перколяции», Советская математика - Doklady , 33 : 856–859

Дальнейшее чтение

Остин, Дэвид (июль 2008 г.). «Перколяция: проскальзывает по трещинах» . Американское математическое общество. Архивировано из оригинала на 2009-11-13 . Получено 2021-04-28 .
Bollobás, Béla ; Риордан, Оливер (2006). Перколяция . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521872324 Полем Архивировано из оригинала 2015-09-23 . Получено 2008-06-26 .
Кестен, Гарри (май 2006 г.). "Что такое ... перколяция?" (PDF) . Уведомления об американском математическом обществе . 53 (5): 572–573. ISSN 1088-9477 . Архивировано (PDF) из оригинала на 2021-05-02 . Получено 2021-04-28 .

Внешние ссылки

[BroadbentHammersley1957-1] Jump up to: ^а ^{беременный} Бродбент, Саймон; Хаммерсли, Джон (1957). «Процессы перколяции I. кристаллы и лабиринты». Математические разбирательства Кембриджского философского общества . 53 (3): 629–641. Bibcode : 1957pcps ... 53..629b . doi : 10.1017/s0305004100032680 . ISSN 0305-0041 . S2CID 84176793 .

[2] Сахини, М.; Сахими М. (2003-07-13). Применение теории перколяции . CRC Press. ISBN 978-0-203-22153-2 Полем Архивировано из оригинала 2023-02-04 . Получено 2020-10-27 .

[3] Ван Кревел, Дирк В. (1982). «Разработка угольных исследований - обзор». Топливо . 61 (9): 786–790. doi : 10.1016/0016-2361 (82) 90304-0 .

[4] Документы Розалинды Франклина - дыры в угле: исследования в Bcura и в Париже, 1942-1951. https://profiles.nlm.nih.gov/spotlight/kr/feature/coal Archived 2022-07-07 на машине Wayback . Доступ: 2022-01-17.

[5] Хаммерсли, JM; Уэльс, DJA (1980). «Теория перколяции и ее последствия». Современная физика . 21 (6): 593–605. Bibcode : 1980conph..21..593h . doi : 10.1080/00107518008210661 .

[BollobásRiordan2006-6] Bollobás, Béla; Риордан, Оливер (2006). «Шоркие пороги и перколяция в плоскости». Случайные структуры и алгоритмы . 29 (4): 524–548. arxiv : математика/0412510 . doi : 10.1002/rsa.20134 . ISSN 1042-9832 . S2CID 7342807 .

[7] Меж Ньюман; RM Ziff (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокие результаты для перколяции». Письма о физическом обзоре . 85 (19): 4104–4107. arxiv : cond-mat/0005264 . Bibcode : 2000phrvl..85.4104n . doi : 10.1103/physrevlett.85.4104 . PMID 11056635 . S2CID 747665 .

[8] Erdős, P. & Rényi, A. (1959). «На случайных графах I.». Издательство Математика (6): 290-297.

[9] Erdős, P. & Rényi, A. (1960). «Эволюция случайных графиков». Издательство Математика Институт Подвешенный Академический Наука (5): 17–61.

[10] Bolloba's, B. (1985). «Случайные графики». Академический .

[11] Берченко, Якир; Artzy-Randrup, Yael; Тейхер, Мина; Стоун, Льюи (2009-03-30). «Появление и размер гигантского компонента в кластерных случайных графиках с данным распределением степени» . Письма о физическом обзоре . 102 (13): 138701. Bibcode : 2009 phrvl.102m8701b . doi : 10.1103/physrevlett.102.138701 . ISSN 0031-9007 . PMID 19392410 . Архивировано из оригинала 2023-02-04 . Получено 2022-02-24 .

[12] Ли, Мин; Лю, Ран-Ран; Лю, Линиюан; Ху, Мао-бин; Сюй, Шуки; Чжан, И-Ченг (2021-04-25). «Перколяция в сложных сетях: теория и применение» . Физические отчеты . Перколяция в сложных сетях: теория и применение. 907 : 1–68. Arxiv : 2101.11761 . Бибкод : 2021 ч ... 907 .... 1L . doi : 10.1016/j.physrep.2020.12.003 . ISSN 0370-1573 . S2CID 231719831 .

[13] Хасан, MK; Рахман М.М. (2015). «Перколяция на многофрактальной плоской стохастической решетке и ее универсальности». Физический Преподобный 92 (4): 040101. Arxiv : 1504.06389 . BIBCODE : 2015HRVE..92D0101H . doi : 10.1103/physreve.92.040101 . PMID 26565145 . S2CID 119112286 .

[14] Хасан, MK; Рахман, М.М. (2016). «Универсальный класс сайта и перколяции связей на мульти-мультфрактальном масштабе плоской стохастической решетки». Физический Преподобный 94 (4): 042109. Arxiv : 1604.08699 . Bibcode : 2016 Phrve..94D2109H . doi : 10.1103/physreve.94.042109 . PMID 27841467 . S2CID 22593028 .

[Kesten1982-15] Кестен, Гарри (1982). Теория перколяции для математиков . Биркхаузер. doi : 10.1007/978-1-4899-2730-9 . ISBN 978-0-8176-3107-9 .

[GrimmettMarstrand1990-16] Гримметт, Джеффри ; Марстранд, Джон (1990). «Суперкритическая фаза перколяции хорошо ведет себя». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 430 (1879): 439–457. BIBCODE : 1990RSPSA.430..439G . doi : 10.1098/rspa.1990.0100 . ISSN 1364-5021 . S2CID 122534964 .

[Grimmett1999-17] Гримметт, Джеффри (1999). Перколяция . Основное обучение математических наук. Том. Doi : 10.1007/978-3-662-03981-6 . ISBN 978-3-642-08442-3 Полем ISSN 0072-7830 . Архивировано из оригинала 2020-02-23 . Получено 2009-04-18 .

[HaraSlade1990-18] Хара, Такаши; Слэйд, Гордон (1990). «Критическое поведение среднего поля для перколяции в высоких измерениях» . Общение в математической физике . 128 (2): 333–391. Bibcode : 1990cmaph.128..333H . doi : 10.1007/bf02108785 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119875060 . Архивировано из оригинала 2021-02-24 . Получено 2022-10-30 .

[Smirnov2001-19] ( 2001 ). Формула Карди, лестница. Счета Рендус Академии наук I. 333 (3): 239–244. arxiv 0909.4499: Bibcode 2001CRASM.333..239S: 10.1.1.246.2739Citeserx два 10.1016/S0764-4442(01)01991-7: ISSN 0764-4

[20] Adler, Joan (1991), «Перколяция начальной загрузки», Physica A: статистическая механика и ее приложения , 171 (3): 453–470, Bibcode : 1991phya..171..453a , doi : 10.1016/0378-4371 (91) 90295-N .

[Brunk_Twarock_p.-21] Jump up to: ^а ^{беременный} Brunk, Nicholas E.; Twarock, Reidun (2021). «Теория перколяции выявляет биофизические свойства вирусных частиц» . ACS Nano . 15 (8). Американское химическое общество (ACS): 12988–12995. doi : 10.1021/acsnano.1c01882 . ISSN 1936-0851 . PMC 8397427 . PMID 34296852 .

[22] Бранк, северо -восток; Ли, LS; Глейзер, JA; Butske, W.; Zlotnick, A. (2018). «Молекулярная дженга: фазовый переход перколяции (коллапс) в вирусных капсидах» . Физическая биология . 15 (5): 056005. BIBCODE : 2018 PHBIO..15E6005B . doi : 10.1088/1478-3975/AAC194 . PMC 6004236 . PMID 29714713 .

[23] Ли, LS; Brunk, N.; Haywood, DG; Keifer, D.; Pierson, E.; Kondylis, P.; Zlotnick, A. (2017). «Молекулярная макет: удаление и замена субъединиц в капсиде вируса гепатита В» . Белковая наука . 26 (11): 2170–2180. doi : 10.1002/pro.3265 . PMC 5654856 . PMID 28795465 .

[24] Boswell, GP; Бриттон, NF; Franks, NR (1998-10-22). «Фрагментация среды обитания, теория перколяции и сохранение видов Keystone» . Труды Королевского общества Лондона B: Биологические науки . 265 (1409): 1921–1925. doi : 10.1098/rspb.1998.0521 . ISSN 0962-8452 . PMC 1689475 .

[25] Дэвис, с.; Trapman, P.; Leirs, H.; Begon, M.; Hesterbeek, J. A. П. (2008-07-31). «Порог изобилия для чумы как критического явления перколяции». Природа . 454 (7204): 634–637. Bibcode : 2008natur.454..634d . doi : 10.1038/nature07053 . HDL : 1874/29683 . ISSN 1476-4687 . PMID 18668107 . S2CID 4425203 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

v Т и Стохастические процессы
Дискретное время	Бернулли процесс Процесс ветвления Китайский ресторан Гальтон -Уотсон процесс Независимые и одинаково распределенные случайные переменные Марковский цепь Моран процесс Случайная прогулка Петля Самообожо Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессель процесс Процесс рождения -отстранения чистое рождение Браунское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандер Процесс Коши Контактный процесс Непрерывная случайная прогулка Кокс процесс Процесс диффузии Дайсон Браун Движение Эмпирический процесс Феллер процесс Флеминг -Виот процесс Гамма -процесс Геометрический процесс Хоукс процесс Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц диффузия Ито процесс Диффузия прыжков Прыжок процесс Леви процесс Местное время Аддитивный процесс Маркова Процесс МакКина -VLAS Орнштейн -Уленбек процесс Пуассон процесс Сложный Неоднородный Schramm - Loewner Evolution СЕМАРТИНГАЛЕ Сигма-Мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсия гамма -процесс Процесс винера Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссовый процесс Скрытая модель Маркова (хмм) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Под- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс обновления Стохастические цепи с памятью о переменной длине Белый шум
Поля и другие	Дирихлет процесс Гауссовое случайное поле Гиббс Мера Хопфилд модель Изинская модель Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Питман - мой процесс Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Авторегрессивная условная гетероскедастичность (ARCH) Авторегрессивное интегрированное скользящее среднее (ARIMA) модель Авторегрессивный (AR) модель Авторегрессивный-средний (ARMA) модель Модель генерализованной ауторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Средняя (MA) модель
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных вариантов Черно -Дерман - Той Черный карасин Черные - Шолс Чан -Кароли -Лонгстафф -Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Cox -Engersoll -Ross (CIR) Гарман - Колхаген Хит -Джарроу -Мортон (HJM) Хестон Хо-Ле Корпус - белый Корн-Кеер-Ленсен Рынок Libor Рендлман - Бартер Волатильность SABR Васичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Cramér -lundberg Процесс риска Sparre -anderson
Модели очереди	Масса Жидкость Обобщенная сеть очереди М/г/1 М/м/1 М/м/с
Характеристики	Пациантость Pathspider Непрерывный Непрерывные пути Эргодик Обменен Feller-Continuent Гаусс - Марковой Марков Смешивание Кусочно-определенное Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обращаемое временем
Ограничить теоремы	Центральный предел теорема Теорема Донска Теоремы с конвергенцией Дуба. Эргодическая теорема Фишер -Типпетт -Гинеденко теорема Принцип большого отклонения Закон большого количества (слабый/сильный) Закон итерационного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санов Законы об нулевах ( Baughthal , Borel-Cantllyi , Entelly-Schmidt , Hewt-Savage , Kewtagorov , Levy )
Неравенство	Burkholder -Davis -Gundy Дуб Мартингейл Дуб ускорил Позвони мне - встретиться Marcinkiewicz -zygmund
Инструменты	Формула Кэмерон -Мартин Сходимость случайных переменных Экспоненциальный Долеанс-Дейд Дуб -теорема Дуб -Мейер Теорема разложения Необязательная теорема Доба Формула Динкина Feynman - формула Kac Фильтрация Гирсанов теорема Бесконечно малый генератор Itnô Intectral Ито Лемма Кархус -Спит КОЛМОГОРОВ КОМОАРМА Теорема расширения Колмогорова Леви -Поровой Метрика Маллиавинский исчисление Мартингейл -теорема Дополнительная теорема остановки Prokhorov's theorem Квадратичный вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теорема представления Скорохода Skorokhod space Снелл -конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Stratonovich integral Единообразная интегрируемость Обычные гипотезы Пространство винера Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория контроля Эконометрика Эргодическая теория Теория крайней ценности (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория очереди Теория обновления Теория руина Обработка сигнала Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория