Панцифровое число

В математике панцифровое число — это целое число , в данной базе которого среди значащих цифр есть каждая цифра, использованная в базе хотя бы один раз. Например, 1234567890 (один миллиард двести тридцать четыре миллиона пятьсот шестьдесят семь тысяч восемьсот девяносто) является панцифровым числом с основанием 10. Первые несколько панцифровых чисел с основанием 10 задаются как (последовательность A171102 в OEIS ):

1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689

Наименьшее панцифровое число по данной базе b представляет собой целое число вида

b^{b-1}+\sum _{d=2}^{b-1}db^{b-1-d}={\frac {b^{b}-b}{(b-1)^{2}}}+(b-1)\times b^{b-2}-1

В следующей таблице перечислены наименьшие панцифровые числа нескольких выбранных оснований.

База	Самый маленький пандигитальный	Значение в базе 10
1	1	1
2	10	2
3	102	11
4	1023	75
5	10234	694
6	102345	8345
8	10234567	2177399
10	1023456789	1023456789
12	1023456789AB	754777787027
16	1023456789ABCDEF	1162849439785405935
36	1023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ	2959962226643665039859858867133882191922999717199870715
Роман цифры	MCDXLIV	1444

OEIS : A049363 дает значения 10 оснований для первых 18 оснований.

В тривиальном смысле все положительные целые числа являются панцифровыми в унарном (или суммирующем) смысле. В двоичном формате все целые числа являются панцифровыми, за исключением 0 и чисел вида $2^{n}-1$ ( числа Мерсенна ). Чем больше основание, тем реже становятся панцифровые числа, хотя всегда можно найти серии $b^{x}$ последовательные панцифровые числа с избыточными цифрами, записывая все цифры основания вместе (но не ставя ноль первым как наиболее значащую цифру ) и добавляя x + 1 нулей в конце как наименее значащую цифру.

И наоборот, чем меньше основание, тем меньше панцифровых чисел без избыточных цифр. 2 — единственное такое панцифровое число в базе 2, тогда как в базе 10 их больше.

Иногда этот термин используется только для обозначения панцифровых чисел без избыточных цифр. В некоторых случаях число можно назвать панцифровым, даже если оно не имеет нуля в качестве значащей цифры, например, 923456781 (их иногда называют «безнулевыми панцифровыми числами»).

Никакое панцифровое число по основанию 10 не может быть простым числом, если в нем нет избыточных цифр. Сумма цифр от 0 до 9 равна 45, что соответствует правилу делимости как для 3, так и для 9. Первое панцифровое простое число по основанию 10 равно 10123457689; OEIS : A050288 перечисляет больше.

По разным причинам избыточные цифры также необходимы для того, чтобы панцифровое число (в любой базе, кроме унарной), также было палиндромным числом в этой базе. Наименьшее панцифровое палиндромное число по основанию 10 — 1023456789876543201.

Самое большое панцифровое число без лишних цифр, которое также является квадратным числом, - это 9814072356 = 99066. ².

Два безнулевых панцифровых числа Фридмана : 123456789 = ((86 + 2 × 7) ⁵ − 91) / 3 ⁴, и 987654321 = (8 × (97 + 6/2) ⁵ + 1) / 3 ⁴.

Панцифровое число Фридмана без лишних цифр — это квадрат: 2170348569 = 46587. ² + (0 × 139).

Хотя многое из сказанного не относится к римским цифрам , существуют панцифровые числа: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI. В них, перечисленных в OEIS : A105416 , каждая цифра используется только один раз, тогда как в OEIS : A105417 используются панцифровые римские цифры с повторами.

Панцифровые числа полезны в художественной литературе и рекламе. Номер социального страхования 987-65-4321 представляет собой нулевой пан-цифровой номер, зарезервированный для использования в рекламе. Некоторые компании, выпускающие кредитные карты, используют панцифровые числа с избыточными цифрами в качестве вымышленных номеров кредитных карт (в то время как другие используют строки нулей).

Примеры панцифровых чисел с основанием 10

123456789 = Первое безнулевое панцифровое число.
381654729 = Единственное безнулевое панцифровое число, первые $n$ цифр которого делятся на $n$ .
987654321 = Самое большое двуцифровое число без нуля без лишних цифр.
1023456789 = Первое панцифровое число.
1234567890 = Панцифровое число с порядковыми цифрами.
3816547290 = Многораздельное панцифровое число ; единственное панцифровое число, первые $n$ цифр которого делятся на $n$ .
9814072356 = Самый большой пан-цифровой квадрат без лишних цифр. Это квадрат 99066.
9876543210 = Самое большое панцифровое число без лишних цифр.
12345678987654321 = Панцифровое число, в котором все цифры, кроме нуля, расположены как по возрастанию, так и по убыванию. Это квадрат 111111111; см . номер Демло . Это также число-палиндром .

См. также

Константа Чамперноуна
Панграмма , слово (или предложение), в котором все буквы от A до Z хотя бы один раз, панцифровое число по основанию 36, станет панграммой.

Ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Панцифровое число» . Математический мир .
Де Гест, П. Страница девяти цифр [1]
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A050278 (Панацифровые числа: числа, содержащие цифры от 0 до 9. Версия 1: каждая цифра появляется ровно один раз)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A050288 (панцифровые простые числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A050289 (Безнулевые панцифровые числа: числа, содержащие цифры 1–9 и не содержащие нулей)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A050290 (Безнулевые панцифровые простые числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.