Воссоединить

Репьюнит прайм

Количество известных терминов	11
Предполагаемый нет. терминов	бесконечный
Первые сроки	11 , 1111111111111111111, 11111111111111111111111
Самый большой известный термин	(10 8177207 −1)/9
ОЭИС Индекс	А004022 Простые числа вида (10^n - 1)/9

В развлекательной математике повторение — это число вроде 11, 111 или 1111, содержащее только цифру 1 — более конкретный тип повторения . Этот термин означает «повторяющаяся единица» и был придуман в 1966 году Альбертом Бейлером в его книге « Отдых в теории чисел» .

Простое число повторения — это число повторения, которое также является простым числом . Простые числа, повторяющиеся по основанию 2, являются простыми числами Мерсенна . По состоянию на май 2023 года самое большое известное простое число 2 ^82,589,933 − 1 , самое большое вероятное простое число R _8177207 и самое большое простое число эллиптической кривой, проверенное на простоту, R ₈₆₄₅₃ - все это повторные единицы в различных основаниях.

Определение

Повторные единицы основания b определяются как (это b может быть как положительным, так и отрицательным)

$R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{for }}|b|\geq 2,n\geq 1.$

Таким образом, число R _n ^{( б )} состоит из n копий цифры 1 в представлении по основанию b . Первые две реединицы base- b для n = 1 и n = 2 равны

$R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad {\text{and}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad {\text{for}}\ |b|\geq 2.$

В частности, десятичные единицы (по основанию 10 ) , которые часто называют просто повторными единицами, определяются как

$R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.$

Таким образом, число R _n = R _n ⁽¹⁰⁾ состоит из n копий цифры 1 в десятичном представлении. Последовательность повторений по основанию 10 начинается с

1 , 11 , 111 , 1111, 11111, 111111, ... (последовательность A002275 в OEIS ).

Аналогично, реединицы по основанию-2 определяются как

$R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.$

Таким образом, число R _n ⁽²⁾ состоит из n копий цифры 1 в представлении по основанию 2. Фактически реединицы с основанием 2 — это известные числа Мерсенна M _n = 2. ^н − 1, они начинаются с

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (последовательность A000225 в OEIS ).

Характеристики

• Любая повторная единица в любой базе, имеющая составное число цифр, обязательно является составной. Например,

  рэндов ₃₅ ^{( б )} = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

поскольку 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Эта факторизация реединицы не зависит от основания b, в котором выражается реединица.

Простыми могут быть только реединицы (в любом основании), имеющие простое число цифр. Это необходимое, но недостаточное условие . Например,

Р ₁₁ ⁽²⁾ = 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89.

• Если p — нечетное простое число, то каждое простое число q , делящее R _p ^{( б )} должно быть либо 1 плюс кратное 2 p, либо множитель b − 1. Например, простой множитель R ₂₉ равен 62003 = 1 + 2·29·1069. Причина в том, что простое число p — это наименьший показатель степени больше 1, такой что q делит b. ^п − 1, поскольку p простое число. Следовательно, если q не делит b - 1, p делит функцию Кармайкла от q , которая четна и равна q - 1.
• Любое положительное кратное реединицы R _n ^{( б )} содержит не менее n ненулевых цифр по основанию b .
• Любое число x представляет собой двузначную повторную единицу по основанию x − 1.
• Единственные известные числа, которые представляют собой повторы, состоящие как минимум из 3 цифр в более чем одном основании одновременно, - это 31 (111 по основанию 5, 11111 по основанию 2) и 8191 (111 по основанию 90, 1111111111111 по основанию 2). Гипотеза Гурматига утверждает, что существуют только эти два случая.
• Используя принцип «ячейки», можно легко показать, что для относительно простых натуральных чисел n и b существует повторение по основанию b , кратное n . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим повторные единицы R ₁ ^{( б )} ,..., Р _н ^{( б )} . Поскольку существует n повторных единиц, но только n −1 ненулевых остатков по модулю n, существуют две повторные единицы R _i ^{( б )} и Р _Дж ^{( б )} с 1 ≤ i < j ≤ n, такой что R _i ^{( б )} и Р _Дж ^{( б )} имеют одинаковый остаток по модулю n . Отсюда следует, что R _j ^{( б )} − Р _я ^{( б )} имеет остаток 0 по модулю n , т.е. делится на n . Поскольку Р _j ^{( б )} − Р _я ^{( б )} состоит из j − i единиц, за которыми следуют i нулей, R _j ^{( б )} − Р _я ^{( б )} = р _{j - я} ^{( б )} × б ^я . Теперь n делит левую часть этого уравнения, поэтому оно делит и правую часть, но поскольку n и b взаимно простые, n должно делить R _{j − i} ^{( б )} .
• Гипотеза Фейта–Томпсона состоит в том, что R _q ^{( п )} никогда не делит R _p ^{( q )} для двух различных простых чисел p и q .
• Использование алгоритма Евклида для определения повторных единиц: R ₁ ^{( б )} = 1; Р _н ^{( б )} = Р _{н -1} ^{( б )} × b + 1, любые последовательные повторения R _{n −1} ^{( б )} и Р _н ^{( б )} относительно просты по любой базе b для любого n .
• Если m и n имеют общий делитель d , R _m ^{( б )} и Р _н ^{( б )} имеют общий делитель R _d ^{( б )} в любой базе- b для любых m и n . То есть повторения фиксированного основания образуют сильную последовательность делимости . Как следствие, если m и n взаимно простые, R _m ^{( б )} и Р _н ^{( б )} являются относительно простыми. Алгоритм Евклида основан на НОД ( m , n ) = НОД ( m − n , n ) для m > n . Аналогично, используя R _m ^{( б )} − Р _н ^{( б )} × б ^{м - п} = р _{м - п} ^{( б )} , легко показать, что НОД ( R _m ^{( б )} , Р _н ^{( б )} ) = НОД ( R _{м - п} ^{( б )} , Р _н ^{( б )} ) для m > n . Следовательно, если НОД ( m , n ) = d , то НОД ( R _m ^{( б )} , Р _н ^{( б )} ) = Р _д ^{( б )} .

Факторизация десятичных единиц

(Простые множители окрашены красный цвет означает «новые множители», т. е. простой множитель делит R _n , но не делит R _k для всех k < n ) (последовательность A102380 в OEIS )

Р 1 = 1 Р 2 = 11 Р 3 = 3 · 37 Р 4 = 11 · 101 Р5 = 41 · 271 Р6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 Р7 = 239 · 4649 Р 8 = 11 · 73 · 101 · 137 Р9 = 3 2 · 37 · 333667 Р 10 = 11 · 41 · 271 · 9091

Р 11 = 21649 · 513239 Р 12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 Р 13 = 53 · 79 · 265371653 Р14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 рэндов 15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 Р 16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 Р 17 = 2071723 · 5363222357 Р 18 = 3 2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 рэндов 19 = 1111111111111111111 рэндов 20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

Р 21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 Р 22 = 11 2 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 Р 23 = 11111111111111111111111 Р 24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 рэндов 25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 Р 26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 рэндов 27 = 3 3 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 рэндов 28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 рэндов 29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 рэндов 30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Наименьший простой делитель R _n для n > 1 равен

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 1111111111111111111 1111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, .. .(последовательность A067063 в OEIS )

Восстановить простые числа

Более полный список см. в разделе Список простых чисел повторения .

Определение репунитов было мотивировано математиками-любителями, искавшими простые множители таких чисел.

Легко показать, что если n делится на a , то R _n ^{( б )} делится Ra _на ^{( б )} :

$R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),$

где $\Phi _{d}(x)$ это $d^{\mathrm {th} }$ круговой полином и диапазоны d по делителям n . Для p простого,

$\Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},$

который имеет ожидаемую форму повторения, когда x заменяется на b .

Например, 9 делится на 3, и, следовательно, R ₉ делится на R ₃ — фактически 111111111 = 111 · 1001001. Соответствующие круговые многочлены $\Phi _{3}(x)$ и $\Phi _{9}(x)$ являются $x^{2}+x+1$ и $x^{6}+x^{3}+1$, соответственно. Таким образом, чтобы R _n было простым, n обязательно должно быть простым, но этого недостаточно, чтобы n было простым. Например, R ₃ = 111 = 3 · 37 не является простым. За исключением этого случая R ₃ , p может делить R _n только для простого числа n, если p = 2 kn + 1 для некоторого k .

Десятичные простые числа с повторением

R _n является простым числом для n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453... (последовательность A004023 в OEIS ). 3 апреля 2007 года Харви Дабнер (который также нашел R ₄₉₀₈₁ ) объявил, что R ₁₀₉₂₉₇ является вероятным простым числом. 15 июля 2007 года Максим Возный объявил, что R ₂₇₀₃₄₃ , вероятно, является простым. Серж Баталов и Райан Проппер обнаружили, что R _5794777 и R _8177207 являются вероятными простыми числами 20 апреля и 8 мая 2021 года соответственно. На момент их открытия каждое из них было самым большим из известных возможных простых чисел. 22 марта 2022 года было доказано, что вероятное простое число R ₄₉₀₈₁ является простым. 15 мая 2023 года было доказано, что вероятное простое число R ₈₆₄₅₃ является простым.

Было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел реединицы. и они, кажется, происходят примерно так часто, как предсказывает теорема о простых числах : показатель степени N- го простого числа реедини обычно равен фиксированному кратному показателю ( N -1)-го.

Простые числа представляют собой тривиальное подмножество перестановочных простых чисел , то есть простых чисел, которые остаются простыми после любой перестановки своих цифр.

Особые свойства

• Остаток R _n по модулю 3 равен остатку n по модулю 3. Используя 10 ^а ≡ 1 (mod 3) для любого a ≥ 0,
  n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod R ₃ ),
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₁ ≡ 1 (mod R ₃ ),
  n ≡ 2 (по модулю 3) ⇔ R _n ≡ 2 (по модулю 3) ⇔ R _n ≡ R ₂ ≡ 11 (по модулю R ₃ ).
  Следовательно, 3 | п ⇔ 3 | р _н ⇔ р ₃ | Р _н .
• Остаток R _n по модулю 9 равен остатку n по модулю 9. Используя 10 ^а ≡ 1 (mod 9) для любого a ≥ 0,
  n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ R _r (mod R ₉ ),
  для 0 ≤ r < 9.
  Следовательно, 9 | п ⇔ 9 | р _н ⇔ р ₉ | Р _н .

Алгебра факторизация обобщенных чисел повторения

Если b — совершенная степень (можно записать как m ^н , где m , n целых чисел, n существует не более одной повторной единицы > 1) отличается от 1, то в базе -b . Если n — степень простого числа (можно записать как p ^р , где p простое число, r целое число, p , r >0), то все повторные числа по основанию b не являются простыми, кроме R _p и R ₂ . R _p может быть простым или составным, первые примеры b = -216, -128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256 и т. д., вторые примеры - b = -243, - 125, -64, -32, -27, -8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289 и т.д., и R ₂ может быть простое число (когда p отличается от 2) только в том случае, если b отрицательно, степень −2, например, b = −8, −32, −128, −8192 и т. д. Фактически, R ₂ также может быть составным , например, b = -512, -2048, -32768 и т. д. Если n не является степенью простого числа, то простого числа с повторением по основанию b не существует, например, b = 64, 729 (при n = 6), b = 1024 (при n = 10) и b = −1 или 0 (при n – любое натуральное число). Другая особая ситуация: b = −4 k. ⁴ , с k положительным целым числом, которое имеет факторизацию Аурифейля , например, b = −4 (при k = 1, тогда R ₂ и R ₃ являются простыми числами), и b = −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (при k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), то простое число повторений по основанию b не существует. Также предполагается, что, когда b не является ни совершенной степенью, ни −4 k ⁴ с k положительным целым числом, то существует бесконечно много простых чисел с повторением по основанию b .

Обобщенная гипотеза повторения

Гипотеза, связанная с обобщенными простыми числами репунита: (гипотеза предсказывает, где находится следующее обобщенное простое число Мерсенна , если гипотеза верна, то существует бесконечно много простых чисел повторения для всех оснований $b$)

Для любого целого числа $b$, что удовлетворяет условиям:

1. $|b|>1$.
2. $b$ это не идеальная сила . (с каких это пор $b$ это идеальный $r$степени, можно показать, что существует не более одного $n$ значение такое, что ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ является простым, и это $n$ значение $r$ или корень сам $r$)
3. $b$ не в форме $-4k^{4}$. (если да, то число имеет аурифейлеву факторизацию )

имеет обобщенные простые числа повторения вида

$R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}$

для премьер $p$, простые числа будут распределены вблизи линии наилучшего соответствия

$Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,$

где предел $n\rightarrow \infty$, $G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...$

и есть около

$\left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}$

base- b простые числа меньше N. reunit —

• $e$ является основанием натурального логарифма .
• $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони .
• $\log _{|b|}$ это логарифм по основанию $|b|$
• $R_{(b)}(n)$ это $n$-е обобщенное простое число реедини по основанию b (с простым числом p )
• $C$ константа соответствия данных, которая меняется в зависимости от $b$.
• $\delta =1$ если $b>0$, $\delta =1.6$ если $b<0$.
• $m$ — наибольшее натуральное число такое, что $-b$ это $2^{m-1}$ая сила.

У нас также есть следующие 3 объекта:

1. Количество простых чисел вида ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ (с премьером $p$) меньше или равно $n$ речь идет о $e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}$.
2. Ожидаемое количество простых чисел вида ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ с премьером $p$ между $n$ и $|b|\cdot n$ речь идет о $e^{\gamma }$.
3. Вероятность того, что число вида ${\frac {b^{n}-1}{b-1}}$ является простым (для простого $p$) о ${\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}$.

История

Хотя в то время они не были известны под этим названием, числа с основанием 10 изучались многими математиками в девятнадцатом веке в попытке разработать и предсказать циклические закономерности повторяющихся десятичных дробей .

Очень рано было обнаружено, что для любого простого числа p больше 5 период десятичного разложения 1/ p равен длине наименьшего повторного числа, которое делится на p . Таблицы периода обратных простых чисел до 60 000 были опубликованы к 1860 году и позволили таким математикам, как Ройшле, факторизовать все повторные единицы до R ₁₆ и многие более крупные. К 1880 году даже суммы от ₁₇ до рандов ₃₆ были учтены. и любопытно, что, хотя Эдуард Люка периода показал, что ни одно простое число ниже трех миллионов не имело девятнадцатого , до начала двадцатого века не предпринималось попыток проверить какое-либо повторное число на предмет простоты. Американский математик Оскар Хоппе в 1916 году доказал, что R ₁₉ является простым. а Лемер и Крайчик независимо друг от друга обнаружили, что R ₂₃ является простым в 1929 году.

Дальнейших успехов в изучении повторных единиц не произошло до 1960-х годов, когда компьютеры позволили найти множество новых факторов повторных единиц и исправить пробелы в более ранних таблицах простых периодов. Примерно в 1966 году было обнаружено, что R ₃₁₇ является вероятным простым числом , а одиннадцать лет спустя было доказано, что R ₁₀₃₁ является единственной возможной простой повторной единицей с менее чем десятью тысячами цифр. В 1986 году было доказано, что он является лучшим, но поиски дальнейшего повторного использования в следующем десятилетии неизменно терпели неудачу. Однако в области обобщенных повторений произошли серьезные побочные разработки, в результате которых появилось большое количество новых простых и вероятных простых чисел.

С 1999 года были найдены еще четыре, вероятно, простых повтора, но маловероятно, что какое-либо из них окажется простым в обозримом будущем из-за их огромного размера.

Проект Каннингема пытается документировать целочисленную факторизацию (помимо других чисел) повторных единиц по основанию 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 и 12.

Числа демло

Д-р Капрекар определил числа Демло как объединение левой, средней и правой частей, при этом левая и правая части должны иметь одинаковую длину (вплоть до возможного ведущего нуля слева) и должны в сумме составлять повторяющееся число, и средняя часть может содержать любое дополнительное число этой повторяющейся цифры. Они названы в честь Демло железнодорожной станции (теперь называемой Домбивили ) в 30 милях от Бомбея на тогдашней железной дороге GIP , где Капрекар начал их расследование.Он называет чудесные числа Демло числами вида 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Тот факт, что это квадраты реединиц, побудил некоторых авторов называть числа Демло их бесконечной последовательностью: 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (последовательность A002477 в OEIS ), хотя можно проверить, что это не числа Демло для p = 10, 19, 28, ...

См. также

• Весь один полином — Еще одно обобщение
• Гипотеза Гурматига
• Повторяющаяся десятичная дробь
• Репцифра
• Простое число Вагстаффа — его можно рассматривать как простое число повторения с отрицательным основанием. $b=-2$

Ссылки

• Бейлер, Альберт Х. (2013) [1964], Отдых в теории чисел: Королева математики развлекает , Дуврская развлекательная математика (2-е исправленное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-21096-4
• Диксон, Леонард Юджин ; Кресс, GH (1999), История теории чисел , Том I: Делимость и простота (2-е переиздание), Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-1934-0
• Фрэнсис, Ричард Л. (1988), «Математические стога сена: еще один взгляд на числа повторения», The College Mathematics Journal , 19 (3): 240–246, doi : 10.1080/07468342.1988.11973120
• Гунджикар, КР ; Капрекар, Д.Р. (1939), «Теория чисел Демло» (PDF) , Журнал Бомбейского университета , VIII (3): 3–9
• Капрекар, Д. Р. (1938a), «О чудесных числах Демло» , Студент-математик , 6 : 68
• Капрекар, Д.Р. (1938b), «Числа Демло», J. Phys. наук. унив. Бомбей , VII (3)
• Капрекар, Д.Р. (1948), Числа Демло , Девлали, Индия: Харесвада
• Рибенбойм, Пауло (2 февраля 1996 г.), Новая книга записей простых чисел , компьютеров и медицины (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-94457-9
• Йейтс, Сэмюэл (1982), Повторяет и повторяет , Флорида: Делрей-Бич, ISBN  978-0-9608652-0-8

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Репунит» . Математический мир .
• Основные таблицы проекта Каннингема .
• Reunit на The Prime Pages Криса Колдуэлла.
• Репуниты и их простые множители в World!Of Numbers .
• Простые обобщенные повторы длиной не менее 1000 десятичных цифр, Энди Стюард
• Страница проекта Reunit Primes Джованни Ди Марии.
• Наименьшее нечетное простое число p такое, что (b^p-1)/(b-1) и (b^p+1)/(b+1) является простым числом по основаниям 2<=b<=1024.
• Факторизация чисел повторения
• Обобщенные простые числа повторения по основанию от -50 до 50