Теория перколяции

В статистической физике математике теория и перколяции описывает поведение сети при добавлении узлов или связей. Это геометрический тип фазового перехода , поскольку при критической доле сложения сеть мелких несвязных кластеров сливается в значительно более крупные связные , так называемые охватывающие кластеры. Приложения теории перколяции в материаловедении и во многих других дисциплинах обсуждаются здесь и в статьях Теория сетей и Перколяция (когнитивная психология) .

Введение

Репрезентативный вопрос (и источник названия) заключается в следующем. Предположим, что поверх пористого материала вылито немного жидкости. Сможет ли жидкость пройти от отверстия к отверстию и достичь дна? Этот физический вопрос моделируется математически как трехмерная сеть из $n \times n \times n$ вершин , обычно называемых «узлами», в которых край или «связи» между каждыми двумя соседями могут быть открытыми (пропуская жидкость) с вероятностью $p.$ , или замкнуты с вероятностью $1 - p$ , и они считаются независимыми. Следовательно, для данного $p$ какова вероятность того, что открытый путь (то есть путь, каждое из звеньев которого является «открытой» связью) существует сверху вниз? Поведение при больших $n$ представляет первостепенный интерес. Эта проблема, называемая теперь перколяцией связей , была введена в математическую литературу Бродбентом и Хаммерсли (1957) . ^{[ 1 ]} и с тех пор интенсивно изучается математиками и физиками.

В несколько иной математической модели получения случайного графа узел «занят» с вероятностью $p$ или «пуст» (в этом случае его ребра удалены) с вероятностью $1 - p$ ; соответствующая проблема называется просачиванием сайта . Вопрос тот же: при данном p какова вероятность существования пути между верхом и низом? Аналогично можно задаться вопросом, при какой доле $1 - p$ отказов граф станет связным (без большой компоненты).

Те же вопросы можно задать для любого размера решетки. Как это обычно бывает, на самом деле легче исследовать бесконечные сети, чем просто большие. В этом случае возникает соответствующий вопрос: существует ли бесконечный открытый кластер? То есть существует ли путь соединенных точек бесконечной длины «сквозь» сеть? По закону нуля-единицы Колмогорова для любого заданного $p$ вероятность существования бесконечного кластера равна либо нулю, либо единице. эта вероятность является возрастающей функцией $p$ (доказательство с помощью аргумента связи ), должно существовать критическое значение $p$ (обозначаемое $pc Поскольку$ ), ниже которого вероятность всегда равна 0, а выше которого вероятность всегда равна 1. На практике эта критичность равна очень легко наблюдать. Даже для $n,$ такого малого, как 100, вероятность открытого пути сверху вниз резко возрастает от очень близкого к нулю до очень близкого к единице в коротком диапазоне значений $p$ .

История

Теория Флори-Стокмайера была первой теорией, исследующей перколяционные процессы. ^{[ 2 ]}

История модели перколяции, какой мы ее знаем, уходит корнями в угольную промышленность. Со времен промышленной революции экономическая важность этого источника энергии способствовала проведению множества научных исследований, направленных на понимание его состава и оптимизацию его использования. В 1930-х и 1940-х годах качественный анализ органической химии оставлял все больше и больше места для количественных исследований. ^{[ 3 ]}

В этом контексте в 1938 году была создана Британская ассоциация исследований использования угля (BCURA). Это исследовательская ассоциация, финансируемая владельцами угольных шахт. В 1942 году к BCURA присоединилась Розалинда Франклин , которая тогда недавно окончила химический факультет Кембриджского университета. Она начала исследования плотности и пористости угля. Во время Второй мировой войны уголь был важным стратегическим ресурсом. Он использовался как источник энергии, а также был основным компонентом противогазов.

Уголь – пористая среда. Чтобы измерить его «настоящую» плотность, нужно было погрузить его в жидкость или газ, молекулы которого достаточно малы, чтобы заполнить его микроскопические поры. Пытаясь измерить плотность угля с использованием нескольких газов (гелий, метанол, гексан, бензол) и обнаруживая разные значения в зависимости от используемого газа, Розалинда Франклин показала, что поры угля состоят из микроструктур различной длины, которые действуют как микроскопическое сито для разделения газов. Она также обнаружила, что размер этих структур зависит от температуры карбонизации при добыче угля. Благодаря этому исследованию она получила степень доктора философии и покинула BCURA в 1946 году. ^{[ 4 ]}

В середине пятидесятых Саймон Бродбент работал в BCURA статистиком. Среди других интересов он изучал использование угля в противогазах. Один из вопросов состоит в том, чтобы понять, как жидкость может диффундировать в угольные поры, смоделированные как случайный лабиринт открытых или закрытых туннелей. В 1954 году во время симпозиума по методам Монте-Карло он задаёт вопросы Джону Хаммерсли об использовании численных методов для анализа этой модели. ^{[ 5 ]}

Бродбент и Хаммерсли в своей статье 1957 года представили математическую модель для моделирования этого явления, а именно перколяции.

Расчет критического параметра

большинства бесконечных решетчатых графов $pc Для$ невозможно вычислить точно, хотя в некоторых случаях $pc существует$ точное значение. Например:

для квадратной решетки $ℤ 2$ в двух измерениях $p c = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠$ для просачивания облигаций, факт, который был открытым вопросом более 20 лет и был окончательно решен Гарри Кестеном в начале 1980-х годов, ^{[ 6 ]} см. Кестен (1982) . Для перколяции узлов на квадратной решетке значение $p c$ неизвестно из аналитического вывода, а только посредством моделирования больших решеток, которое дает оценку $p c =$ 0,59274621 ± 0,00000013. ^{[ 7 ]}
Предельный случай для решеток больших размерностей представляет собой решетка Бете , порог которой находится при $p c = ⁠ 1 / z - 1 ⁠$ для координационного числа $z$ . Другими словами: для регулярного дерева степени $z$ , $p_{c}$ равно $1/(z-1)$ .

Для случайной древовидной сети без степени корреляции можно показать, что такая сеть может иметь гигантскую компоненту , а порог перколяции (вероятность передачи) определяется выражением $p_{c}={\frac {1}{g_{1}'(1)}}$ , где $g_{1}(z)$ – производящая функция, соответствующая распределению избыточной степени . Итак, для случайных сетей Эрдеша–Реньи средней степени $\langle k\rangle$ , $р с = ⁠ 1 / ⟨k⟩ ⁠$ . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}
В сетях с кластеризацией низкой $0<C\ll 1$ , критическая точка масштабируется на $(1-C)^{-1}$ такой, что:

$p_{c}={\frac {1}{1-C}}{\frac {1}{g_{1}'(1)}}.$ ^{[ 11 ]}

Это указывает на то, что для данного распределения степеней кластеризация приводит к большему порогу перколяции, главным образом потому, что для фиксированного числа связей структура кластеризации усиливает ядро сети ценой размывания глобальных связей. Для сетей с высокой степенью кластеризации сильная кластеризация может вызвать структуру ядро-периферия, в которой ядро и периферия могут находиться в разных критических точках, и приведенная выше приблизительная трактовка неприменима. ^{[ 12 ]}

Универсальность

Принцип универсальности локальной $структурой гласит , что численное значение pc$ графа, тогда как поведение вблизи критического порога $pc определяется$ характеризуется универсальными критическими показателями . Например, распределение размеров кластеров при критичности затухает по степенному закону с одним и тем же показателем степени для всех 2d-решеток. Эта универсальность означает, что для данного измерения, различных критических показателей, фрактальная размерность кластеров в точке $не pc$ зависит от типа решетки и типа перколяции (например, связи или узла). Однако недавно была проведена перколяция на взвешенной плоской стохастической решетке (WPSL) и обнаружено, что, хотя размерность WPSL совпадает с размерностью пространства, в которое она вложена, ее класс универсальности отличается от класса универсальности всех известных плоских решеток. . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Фазы

Докритический и сверхкритический

Главным фактом на докритической фазе является «экспоненциальный распад». То есть, когда $p < pc, вероятность того, что конкретная точка (например, начало координат) содержится в$ открытом кластере (имеется в виду максимальное связное множество «открытых» ребер графа) размера $r,$ убывает до нуля экспоненциально. в $р$ . Это было доказано для просачивания в трех и более измерениях Меньшиковым (1986) и независимо Айзенманом и Барским (1987) . В двух измерениях это стало частью доказательства Кестена того, что $p c = ⁠ 1 / 2 ⁠$ . ^{[ 15 ]}

Двойственный граф квадратной решетки $ℤ 2$ также является квадратной решеткой. Отсюда следует, что в двух измерениях сверхкритическая фаза двойственна субкритическому процессу перколяции. Это дает практически полную информацию о сверхкритической модели с $d = 2$ . Основной результат для сверхкритической фазы в трех и более измерениях состоит в том, что при достаточно больших $N$ почти наверняка существует бесконечный рассеянный кластер в двумерной пластине $ℤ. 2 \times [0, Н] д - 2$ . Это доказали Гримметт и Марстранд (1990) . ^{[ 16 ]}

В двух измерениях с $p < ⁠ 1 / 2 ⁠$ , с вероятностью единица существует единственный бесконечный замкнутый кластер (замкнутый кластер — это максимальное связное множество «замкнутых» ребер графа). Таким образом, докритическую фазу можно описать как конечные открытые острова в бесконечном замкнутом океане. Когда $р > ⁠ 1 / 2 ⁠$ происходит как раз наоборот: ограниченное количество закрытых островов в бесконечном открытом океане. Картина усложняется, когда $d \geq 3,$ поскольку $p c < ⁠ 1/2 между ⁠,$ существует сосуществование бесконечных открытых и закрытых кластеров $p$ pc $и и$ 1 $- pc для$ .

Критичность

Перколяция имеет особенность в критической точке $p = p c,$ и многие свойства ведут себя как степенные законы с $p-p_{c}$ , около $p_{c}$ . Теория масштабирования предсказывает существование критических показателей степени в зависимости от числа измерений d , определяющих класс особенности. Когда $d = 2,$ эти предсказания подкреплены аргументами конформной теории поля и эволюции Шрамма – Лёвнера и включают предсказанные числовые значения показателей степени. Большинство этих предсказаний являются предположительными, за исключением случаев, когда число $d$ измерений $удовлетворяет либо d = 2$ , либо $d \geq 6$ . Они включают в себя:

Нет бесконечных кластеров (открытых или закрытых)
Вероятность того, что существует открытый путь от некоторой фиксированной точки (скажем, начала координат) до расстояния r , уменьшается полиномиально , т. е. имеет порядок r. ^а для некоторого α
- $α$ не зависит ни от выбранной конкретной решетки, ни от других локальных параметров. Это зависит только от размерности $d$ (это пример принципа универсальности ).
- $α d$ уменьшается от $d = 2$ до $d = 6$ , а затем остается фиксированным.
- $α 2 = - ⁠ 5 / 48 ⁠$
- $α 6 знак равно -1$ .
Форма большого кластера в двух измерениях конформно инвариантна .

См. Гримметт (1999) . ^{[ 17 ]} В 11 или более измерениях эти факты в основном доказываются с помощью метода, известного как расширение кружева . Считается, что версия кружевного расширения должна быть справедливой для 7 или более измерений, возможно, с последствиями также для порогового случая 6 измерений. Связь просачивания с расширением кружева обнаружена у Hara & Slade (1990) . ^{[ 18 ]}

В двух измерениях первый факт («отсутствие перколяции в критической фазе») доказывается для многих решеток с использованием двойственности. Существенный прогресс был достигнут в двумерной перколяции благодаря гипотезе Одеда Шрамма о том, что предел масштабирования большого кластера может быть описан в терминах эволюции Шрамма – Лёвнера . Эту гипотезу доказал Смирнов (2001). ^{[ 19 ]} в частном случае перколяции узлов на треугольной решетке.

Различные модели

Направленная перколяция , которая моделирует эффект гравитационных сил, действующих на жидкость, была также представлена в Broadbent & Hammersley (1957) . ^{[ 1 ]} и имеет связи с контактным процессом .
Первой изученной моделью была перколяция Бернулли. В этой модели все облигации независимы. Эту модель физики называют перколяцией связей.
Затем было представлено обобщение как модель случайного кластера Фортюина-Кастеляна , которая имеет много связей с моделью Изинга и другими моделями Поттса .
Перколяция Бернулли (связей) на полных графах является примером случайного графа . Критическая вероятность равна $p = ⁠ 1 / N ⁠$ , где $N$ — количество вершин (узлов) графа.
Перколяция начальной загрузки удаляет активные ячейки из кластеров, когда у них слишком мало активных соседей, и проверяет связность оставшихся ячеек. ^{[ 20 ]}
Перколяция первого прохода .
Проникновение вторжения .

Приложения

В биологии, биохимии и физической вирусологии.

Теория перколяции использовалась для успешного предсказания фрагментации биологических оболочек вирусов (капсидов). ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} с порогом фрагментации гепатита В, вируса капсида предсказанным и обнаруженным экспериментально. ^{[ 23 ]} Когда критическое количество субъединиц случайно удаляется из наноскопической оболочки, она фрагментируется, и эту фрагментацию можно обнаружить с помощью масс-спектроскопии с обнаружением заряда (CDMS) среди других одночастичных методов. Это молекулярный аналог обычной настольной игры «Дженга» , имеющий отношение к более широкому изучению разборки вирусов. Интересно, что более стабильные вирусные частицы (плитки с более высокими порогами фрагментации) встречаются в природе в большем количестве. ^{[ 21 ]}

В экологии

Теория перколяции была применена к исследованиям того, как фрагментация окружающей среды влияет на среду обитания животных. ^{[ 24 ]} и модели распространения чумной бактерии Yersinia pestis . ^{[ 25 ]}

См. также

Теория перколяции континуума
Критический показатель - параметр, описывающий физику вблизи критических точек.
Направленная перколяция - физические модели фильтрации под действием таких сил, как гравитация.
Модель Эрдеша – Реньи - две тесно связанные модели для создания случайных графов.
Фрактал - бесконечно подробная математическая структура.
Гигантский компонент - большой связный компонент случайного графа.
Теория графов – Область дискретной математики
Взаимозависимые сети - Подобласть сетевой науки
Проникновение вторжения
Гипотеза Кана – Калаи - Математическое утверждение
Теория сетей - Исследование графов как представления отношений между дискретными объектами.
Сетевая наука - Академическая область
Порог перколяции - Порог моделей теории перколяции.
Критические показатели перколяции - математический параметр в теории перколяции
Безмасштабная сеть - сеть, распределение степеней которой подчиняется степенному закону.
Задача о кратчайшем пути - Вычислительная задача теории графов
Гипотеза о двухъярусной кровати - Гипотеза вероятностной комбинаторики

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Бродбент, Саймон; Хаммерсли, Джон (1957). «Процессы перколяции I. Кристаллы и лабиринты». Математические труды Кембриджского философского общества . 53 (3): 629–641. Бибкод : 1957PCPS...53..629B . дои : 10.1017/S0305004100032680 . ISSN 0305-0041 . S2CID 84176793 .
^ Сахини, М.; Сахими, М. (13 июля 2003 г.). Приложения теории перколяции . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-203-22153-2 . Архивировано из оригинала 4 февраля 2023 г. Проверено 27 октября 2020 г.
^ ван Кревелен, Дирк В. (1982). «Развитие исследований угля - обзор». Топливо . 61 (9): 786–790. дои : 10.1016/0016-2361(82)90304-0 .
^ Документы Розалинды Франклин - дыры в угле: исследования в BCURA и в Париже, 1942-1951. https://profiles.nlm.nih.gov/spotlight/kr/feature/coal. Архивировано 7 июля 2022 г. в Wayback Machine . Доступ: 17 января 2022 г.
^ Хаммерсли, Дж. М.; Валлийский, DJA (1980). «Теория перколяции и ее последствия». Современная физика . 21 (6): 593–605. Бибкод : 1980ConPh..21..593H . дои : 10.1080/00107518008210661 .
^ Боллобас, Бела; Риордан, Оливер (2006). «Резкие пороги и перколяция в плоскости». Случайные структуры и алгоритмы . 29 (4): 524–548. arXiv : математика/0412510 . дои : 10.1002/rsa.20134 . ISSN 1042-9832 . S2CID 7342807 .
^ МЭД Ньюман; Р. М. Зифф (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокоточные результаты перколяции». Письма о физических отзывах . 85 (19): 4104–4107. arXiv : cond-mat/0005264 . Бибкод : 2000PhRvL..85.4104N . дои : 10.1103/physrevlett.85.4104 . ПМИД 11056635 . S2CID 747665 .
^ Эрдеш П. и Реньи А. (1959). «О случайных графах И.». Опубл. Математика. (6): 290–297.
^ Эрдеш П. и Реньи А. (1960). «Эволюция случайных графов». Опубл. Математика. Инст. Хунг. акад. наук. (5): 17–61.
^ Боллоба, Б. (1985). «Случайные графики». Академический .
^ Берченко, Якир; Артзи-Рандруп, Яэль; Тейчер, Мина; Стоун, Леви (30 марта 2009 г.). «Появление и размер гигантской компоненты в кластерных случайных графах с заданным распределением степеней» . Письма о физических отзывах . 102 (13): 138701. Бибкод : 2009PhRvL.102m8701B . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.138701 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 19392410 . Архивировано из оригинала 4 февраля 2023 г. Проверено 24 февраля 2022 г.
^ Ли, Мин; Лю, Ран-Ран; Лю, Линьюань; Ху, Мао-Бин; Сюй, Шуци; Чжан, И-Чэн (25 апреля 2021 г.). «Просачивание в сложных сетях: теория и применение» . Отчеты по физике . Перколяция в сложных сетях: теория и применение. 907 : 1–68. arXiv : 2101.11761 . Бибкод : 2021PhR...907....1L . doi : 10.1016/j.physrep.2020.12.003 . ISSN 0370-1573 . S2CID 231719831 .
^ Хасан, МК; Рахман, ММ (2015). «Перколяция на мультифрактальной безмасштабной планарной стохастической решетке и ее класс универсальности». Физ. Преподобный Е. 92 (4): 040101. arXiv : 1504.06389 . Бибкод : 2015PhRvE..92d0101H . дои : 10.1103/PhysRevE.92.040101 . ПМИД 26565145 . S2CID 119112286 .
^ Хасан, МК; Рахман, ММ (2016). «Класс универсальности узлов и перколяции связей на мультимультифрактальной безмасштабной плоской стохастической решетке». Физ. Преподобный Е. 94 (4): 042109. arXiv : 1604.08699 . Бибкод : 2016PhRvE..94d2109H . дои : 10.1103/PhysRevE.94.042109 . ПМИД 27841467 . S2CID 22593028 .
^ Кестен, Гарри (1982). Теория перколяции для математиков . Биркгаузер. дои : 10.1007/978-1-4899-2730-9 . ISBN 978-0-8176-3107-9 .
^ Гриметт, Джеффри ; Марстранд, Джон (1990). «Сверхкритическая фаза перколяции протекает хорошо». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 430 (1879): 439–457. Бибкод : 1990RSPSA.430..439G . дои : 10.1098/rspa.1990.0100 . ISSN 1364-5021 . S2CID 122534964 .
^ Гриммет, Джеффри (1999). Перколяция . Основные принципы математических наук. Том 321. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-03981-6 . ISBN 978-3-642-08442-3 . ISSN 0072-7830 . Архивировано из оригинала 23 февраля 2020 г. Проверено 18 апреля 2009 г.
^ Хара, Такаши; Слэйд, Гордон (1990). «Критическое поведение среднего поля при просачивании в больших измерениях» . Связь в математической физике . 128 (2): 333–391. Бибкод : 1990CMaPh.128..333H . дои : 10.1007/BF02108785 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119875060 . Архивировано из оригинала 24 февраля 2021 г. Проверено 30 октября 2022 г.
^ Смирнов, Станислав (2001). «Критическая перколяция на плоскости: конформная инвариантность, формула Карди, пределы масштабирования». Доклады Академии наук . Я. 333 (3): 239–244. arXiv : 0909.4499 . Бибкод : 2001CRASM.333..239S . CiteSeerX 10.1.1.246.2739 . дои : 10.1016/S0764-4442(01)01991-7 . ISSN 0764-4442 .
^ Адлер, Джоан (1991), «Перколяция начальной загрузки», Physica A: Статистическая механика и ее приложения , 171 (3): 453–470, Бибкод : 1991PhyA..171..453A , doi : 10.1016/0378-4371(91) 90295-н .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бранк, Николас Э.; Тварок, Рейдун (2021). «Теория перколяции раскрывает биофизические свойства вирусоподобных частиц» . АСУ Нано . 15 (8). Американское химическое общество (ACS): 12988–12995. дои : 10.1021/acsnano.1c01882 . ISSN 1936-0851 . ПМЦ 8397427 . ПМИД 34296852 .
^ Бранк, штат Невада; Ли, Л.С.; Стекольщик, Дж.А.; Буцке, В.; Злотник, А. (2018). «Молекулярная Дженга: фазовый переход перколяции (коллапс) в капсидах вирусов» . Физическая биология . 15 (5): 056005. Бибкод : 2018PhBio..15e6005B . дои : 10.1088/1478-3975/aac194 . ПМК 6004236 . ПМИД 29714713 .
^ Ли, Л.С.; Бранк, Н.; Хейвуд, генеральный директор; Кифер, Д.; Пирсон, Э.; Кондилис, П.; Злотник, А. (2017). «Молекулярный макет: удаление и замена субъединиц в капсиде вируса гепатита В» . Белковая наука . 26 (11): 2170–2180. дои : 10.1002/pro.3265 . ПМК 5654856 . ПМИД 28795465 .
^ Босуэлл, врач общей практики; Бриттон, Северная Каролина; Фрэнкс, Северная Каролина (22 октября 1998 г.). «Фрагментация среды обитания, теория просачивания и сохранение ключевых видов» . Труды Лондонского королевского общества B: Биологические науки . 265 (1409): 1921–1925. дои : 10.1098/rspb.1998.0521 . ISSN 0962-8452 . ПМК 1689475 .
^ Дэвис, С.; Трапман, П.; Лейрс, Х.; Бегон, М.; Хестербек, Дж. А. П. (31 июля 2008 г.). «Порог численности чумы как критическое явление распространения». Природа . 454 (7204): 634–637. Бибкод : 2008Natur.454..634D . дои : 10.1038/nature07053 . hdl : 1874/29683 . ISSN 1476-4687 . ПМИД 18668107 . S2CID 4425203 .

Айзенман, Майкл ; Барский, Дэвид (1987), «Резкость фазового перехода в моделях перколяции» , Communications in Mathematical Physics , 108 (3): 489–526, Bibcode : 1987CMaPh.108..489A , doi : 10.1007/BF01212322 , S2CID 35592821
Меньшиков, Михаил (1986), «Совпадение критических точек в задачах перколяции», Советская математика - Доклады , 33 : 856–859.

Дальнейшее чтение

Остин, Дэвид (июль 2008 г.). «Просачивание: проскальзывание сквозь трещины» . Американское математическое общество. Архивировано из оригинала 13 ноября 2009 г. Проверено 28 апреля 2021 г.
Боллобас, Бела ; Риордан, Оливер (2006). Перколяция . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521872324 . Архивировано из оригинала 23 сентября 2015 г. Проверено 26 июня 2008 г.
Кестен, Гарри (май 2006 г.). «Что такое… перколяция?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (5): 572–573. ISSN 1088-9477 . Архивировано (PDF) из оригинала 02 мая 2021 г. Проверено 28 апреля 2021 г.

Внешние ссылки

[BroadbentHammersley1957-1] Перейти обратно: ^а ^б Бродбент, Саймон; Хаммерсли, Джон (1957). «Процессы перколяции I. Кристаллы и лабиринты». Математические труды Кембриджского философского общества . 53 (3): 629–641. Бибкод : 1957PCPS...53..629B . дои : 10.1017/S0305004100032680 . ISSN 0305-0041 . S2CID 84176793 .

[2] Сахини, М.; Сахими, М. (13 июля 2003 г.). Приложения теории перколяции . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-203-22153-2 . Архивировано из оригинала 4 февраля 2023 г. Проверено 27 октября 2020 г.

[3] ван Кревелен, Дирк В. (1982). «Развитие исследований угля - обзор». Топливо . 61 (9): 786–790. дои : 10.1016/0016-2361(82)90304-0 .

[4] Документы Розалинды Франклин - дыры в угле: исследования в BCURA и в Париже, 1942-1951. https://profiles.nlm.nih.gov/spotlight/kr/feature/coal. Архивировано 7 июля 2022 г. в Wayback Machine . Доступ: 17 января 2022 г.

[5] Хаммерсли, Дж. М.; Валлийский, DJA (1980). «Теория перколяции и ее последствия». Современная физика . 21 (6): 593–605. Бибкод : 1980ConPh..21..593H . дои : 10.1080/00107518008210661 .

[BollobásRiordan2006-6] Боллобас, Бела; Риордан, Оливер (2006). «Резкие пороги и перколяция в плоскости». Случайные структуры и алгоритмы . 29 (4): 524–548. arXiv : математика/0412510 . дои : 10.1002/rsa.20134 . ISSN 1042-9832 . S2CID 7342807 .

[7] МЭД Ньюман; Р. М. Зифф (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокоточные результаты перколяции». Письма о физических отзывах . 85 (19): 4104–4107. arXiv : cond-mat/0005264 . Бибкод : 2000PhRvL..85.4104N . дои : 10.1103/physrevlett.85.4104 . ПМИД 11056635 . S2CID 747665 .

[8] Эрдеш П. и Реньи А. (1959). «О случайных графах И.». Опубл. Математика. (6): 290–297.

[9] Эрдеш П. и Реньи А. (1960). «Эволюция случайных графов». Опубл. Математика. Инст. Хунг. акад. наук. (5): 17–61.

[10] Боллоба, Б. (1985). «Случайные графики». Академический .

[11] Берченко, Якир; Артзи-Рандруп, Яэль; Тейчер, Мина; Стоун, Леви (30 марта 2009 г.). «Появление и размер гигантской компоненты в кластерных случайных графах с заданным распределением степеней» . Письма о физических отзывах . 102 (13): 138701. Бибкод : 2009PhRvL.102m8701B . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.138701 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 19392410 . Архивировано из оригинала 4 февраля 2023 г. Проверено 24 февраля 2022 г.

[12] Ли, Мин; Лю, Ран-Ран; Лю, Линьюань; Ху, Мао-Бин; Сюй, Шуци; Чжан, И-Чэн (25 апреля 2021 г.). «Просачивание в сложных сетях: теория и применение» . Отчеты по физике . Перколяция в сложных сетях: теория и применение. 907 : 1–68. arXiv : 2101.11761 . Бибкод : 2021PhR...907....1L . doi : 10.1016/j.physrep.2020.12.003 . ISSN 0370-1573 . S2CID 231719831 .

[13] Хасан, МК; Рахман, ММ (2015). «Перколяция на мультифрактальной безмасштабной планарной стохастической решетке и ее класс универсальности». Физ. Преподобный Е. 92 (4): 040101. arXiv : 1504.06389 . Бибкод : 2015PhRvE..92d0101H . дои : 10.1103/PhysRevE.92.040101 . ПМИД 26565145 . S2CID 119112286 .

[14] Хасан, МК; Рахман, ММ (2016). «Класс универсальности узлов и перколяции связей на мультимультифрактальной безмасштабной плоской стохастической решетке». Физ. Преподобный Е. 94 (4): 042109. arXiv : 1604.08699 . Бибкод : 2016PhRvE..94d2109H . дои : 10.1103/PhysRevE.94.042109 . ПМИД 27841467 . S2CID 22593028 .

[Kesten1982-15] Кестен, Гарри (1982). Теория перколяции для математиков . Биркгаузер. дои : 10.1007/978-1-4899-2730-9 . ISBN 978-0-8176-3107-9 .

[GrimmettMarstrand1990-16] Гриметт, Джеффри ; Марстранд, Джон (1990). «Сверхкритическая фаза перколяции протекает хорошо». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 430 (1879): 439–457. Бибкод : 1990RSPSA.430..439G . дои : 10.1098/rspa.1990.0100 . ISSN 1364-5021 . S2CID 122534964 .

[Grimmett1999-17] Гриммет, Джеффри (1999). Перколяция . Основные принципы математических наук. Том 321. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-03981-6 . ISBN 978-3-642-08442-3 . ISSN 0072-7830 . Архивировано из оригинала 23 февраля 2020 г. Проверено 18 апреля 2009 г.

[HaraSlade1990-18] Хара, Такаши; Слэйд, Гордон (1990). «Критическое поведение среднего поля при просачивании в больших измерениях» . Связь в математической физике . 128 (2): 333–391. Бибкод : 1990CMaPh.128..333H . дои : 10.1007/BF02108785 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119875060 . Архивировано из оригинала 24 февраля 2021 г. Проверено 30 октября 2022 г.

[Smirnov2001-19] Смирнов, Станислав (2001). «Критическая перколяция на плоскости: конформная инвариантность, формула Карди, пределы масштабирования». Доклады Академии наук . Я. 333 (3): 239–244. arXiv : 0909.4499 . Бибкод : 2001CRASM.333..239S . CiteSeerX 10.1.1.246.2739 . дои : 10.1016/S0764-4442(01)01991-7 . ISSN 0764-4442 .

[20] Адлер, Джоан (1991), «Перколяция начальной загрузки», Physica A: Статистическая механика и ее приложения , 171 (3): 453–470, Бибкод : 1991PhyA..171..453A , doi : 10.1016/0378-4371(91) 90295-н .

[Brunk_Twarock_p.-21] Перейти обратно: ^а ^б Бранк, Николас Э.; Тварок, Рейдун (2021). «Теория перколяции раскрывает биофизические свойства вирусоподобных частиц» . АСУ Нано . 15 (8). Американское химическое общество (ACS): 12988–12995. дои : 10.1021/acsnano.1c01882 . ISSN 1936-0851 . ПМЦ 8397427 . ПМИД 34296852 .

[22] Бранк, штат Невада; Ли, Л.С.; Стекольщик, Дж.А.; Буцке, В.; Злотник, А. (2018). «Молекулярная Дженга: фазовый переход перколяции (коллапс) в капсидах вирусов» . Физическая биология . 15 (5): 056005. Бибкод : 2018PhBio..15e6005B . дои : 10.1088/1478-3975/aac194 . ПМК 6004236 . ПМИД 29714713 .

[23] Ли, Л.С.; Бранк, Н.; Хейвуд, генеральный директор; Кифер, Д.; Пирсон, Э.; Кондилис, П.; Злотник, А. (2017). «Молекулярный макет: удаление и замена субъединиц в капсиде вируса гепатита В» . Белковая наука . 26 (11): 2170–2180. дои : 10.1002/pro.3265 . ПМК 5654856 . ПМИД 28795465 .

[24] Босуэлл, врач общей практики; Бриттон, Северная Каролина; Фрэнкс, Северная Каролина (22 октября 1998 г.). «Фрагментация среды обитания, теория просачивания и сохранение ключевых видов» . Труды Лондонского королевского общества B: Биологические науки . 265 (1409): 1921–1925. дои : 10.1098/rspb.1998.0521 . ISSN 0962-8452 . ПМК 1689475 .

[25] Дэвис, С.; Трапман, П.; Лейрс, Х.; Бегон, М.; Хестербек, Дж. А. П. (31 июля 2008 г.). «Порог численности чумы как критическое явление распространения». Природа . 454 (7204): 634–637. Бибкод : 2008Natur.454..634D . дои : 10.1038/nature07053 . hdl : 1874/29683 . ISSN 1476-4687 . ПМИД 18668107 . S2CID 4425203 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Ито Спред Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Каталог путей Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля и единицы ( Блюменталь , Борель-Кантелли , Энгельберт-Шмидт , Хьюитт-Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Его интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохора Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теория представлений Скорохода Skorokhod space Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Stratonovich integral Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория