Квадратный номер

В математике квадратное число или идеальный квадрат — это целое число , которое является квадратом целого числа; ^[1]другими словами, это произведение некоторого целого числа само на себя. Например, 9 — квадратное число, так как оно равно $3. 2$ и может быть записано как $3 \times 3$ .

Обычное обозначение квадрата числа $n$ — это не произведение $n \times n$ , а эквивалентное возведение в степень $n 2$ , обычно произносится как « $n$ в квадрате». Название квадрата происходит от названия фигуры. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата ( $1 \times 1$ ). Следовательно, квадрат со стороной $n$ имеет площадь $n. 2$ . Если квадратное число представлено n точками, точки можно расположить рядами в виде квадрата, каждая сторона которого имеет то же количество точек, что и квадратный корень из n ; таким образом, квадратные числа являются разновидностью фигурных чисел (другими примерами являются кубические числа и треугольные числа ).

В действительной системе счисления квадратные числа неотрицательны . Неотрицательное целое число является квадратным числом, если его квадратный корень снова является целым числом. Например, ${\sqrt {9}}=3,$ поэтому 9 - квадратное число.

Положительное целое число, не имеющее квадратных делителей , кроме 1, называется свободным от квадратов .

Для неотрицательного целого числа $n$ n $-$ е квадратное число равно $n. 2$ , с $02 = 0$ является нулевым . Понятие квадрата можно распространить и на некоторые другие системы счисления. Если включены рациональные числа, то квадрат — это отношение двух квадратных целых чисел, и, наоборот, отношение двух квадратных целых чисел — это квадрат, например, $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ .

Начиная с 1, существуют $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ квадратные числа до $m$ включительно , где выражение $\lfloor x\rfloor$ представляет собой пол числа $x$ .

Примеры

Квадраты (последовательность A000290 в OEIS ) меньше 60 ² = 3600 это:

0 ² = 0

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

5 ² = 25

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

9 ² = 81

10 ² = 100

11 ² = 121

12 ² = 144

13 ² = 169

14 ² = 196

15 ² = 225

16 ² = 256

17 ² = 289

18 ² = 324

19 ² = 361

20 ² = 400

21 ² = 441

22 ² = 484

23 ² = 529

24 ² = 576

25 ² = 625

26 ² = 676

27 ² = 729

28 ² = 784

29 ² = 841

30 ² = 900

31 ² = 961

32 ² = 1024

33 ² = 1089

34 ² = 1156

35 ² = 1225

36 ² = 1296

37 ² = 1369

38 ² = 1444

39 ² = 1521

40 ² = 1600

41 ² = 1681

42 ² = 1764

43 ² = 1849

44 ² = 1936

45 ² = 2025

46 ² = 2116

47 ² = 2209

48 ² = 2304

49 ² = 2401

50 ² = 2500

51 ² = 2601

52 ² = 2704

53 ² = 2809

54 ² = 2916

55 ² = 3025

56 ² = 3136

57 ² = 3249

58 ² = 3364

59 ² = 3481

Разница между любым идеальным квадратом и его предшественником определяется тождеством $n 2 - (п - 1) 2 знак равно 2 п - 1$ . Аналогично, можно подсчитать квадратные числа, сложив последний квадрат, корень последнего квадрата и текущий корень, то есть $n 2 = (п - 1) 2 + (п - 1) + п$ .

Характеристики

Число m является квадратным тогда и только тогда, когда можно расположить m точек в квадрате:

$м = 1 2 = 1$
$м = 2 2 = 4$
$м = 3 2 = 9$
$м = 4 2 = 16$
$м = 5 2 = 25$

Выражение для $n-$ го квадратного числа равно $n 2$ . Это также равно сумме первых $n$ нечетных чисел , как видно на рисунках выше, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного количества точек (показано пурпурным цветом). Формула следующая:

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).

Например,

52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

.

Существует несколько рекурсивных методов вычисления квадратных чисел. Например, $номер n-$ го квадрата можно вычислить из предыдущего квадрата с помощью $n 2 = (п - 1) 2 + (п - 1) + п = (п - 1) 2 + (2 п - 1)$ . Альтернативно, $n-$ е квадратное число можно вычислить из двух предыдущих, удвоив $(n - 1)$ -е квадратное число, вычитая $(n - 2)$ -е квадратное число и прибавляя 2, потому что $n 2 = 2(п - 1) 2 - (п - 2) 2 + 2$ . Например,

2 \times 5 2 - 4 2 + 2 = 2 \times 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 6 2

.

Квадрат минус единица числа $m$ всегда является произведением $m-1$ и $m+1;$ то есть,

m^{2}-1=(m-1)(m+1).

Например, с

72 = 49

, есть

6\times 8=48

. Поскольку простое число имеет множители только

1

и самого себя, и поскольку

m = 2

— единственное ненулевое значение

m

, дающее множитель

1

в правой части приведенного выше уравнения, из этого следует, что

3

— единственное простое число. на единицу меньше квадрата (

3 = 2 2 - 1

).

В более общем смысле, разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы и разности. То есть,

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

Это формула разности квадратов , которая может быть полезна для ментальной арифметики: например,

47\times53

можно легко вычислить как

50. 2 - 3 2 = 2500 - 9 = 2491

. Квадратное число также является суммой двух последовательных треугольных чисел . Сумма двух последовательных квадратных чисел есть центрированное квадратное число . Каждый нечетный квадрат также является центрированным восьмиугольным числом .

Еще одним свойством квадратного числа является то, что (кроме 0) оно имеет нечетное количество положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют четное количество положительных делителей. Целочисленный корень — единственный делитель, который соединяется сам с собой, образуя квадратное число, в то время как другие делители входят в пары.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что любое положительное целое число можно записать как сумму четырех или менее полных квадратов. Трех квадратов недостаточно для чисел вида $4. к (8 м + 7)$ . Положительное целое число можно представить как сумму двух квадратов именно в том случае, если его факторизация простых чисел не содержит нечетных степеней простых чисел вида $4 k + 3$ . Это обобщено проблемой Уоринга .

В системе счисления 10 квадратное число может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9 следующим образом:

если последняя цифра числа равна 0, его квадрат заканчивается на 00;
если последняя цифра числа — 1 или 9, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 1;
если последняя цифра числа 2 или 8, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 4;
если последняя цифра числа 3 или 7, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 9;
если последняя цифра числа 4 или 6, его квадрат заканчивается нечетной цифрой, за которой следует 6; и
если последняя цифра числа 5, то его квадрат оканчивается цифрой 25.

В системе счисления 12 квадратное число может заканчиваться только квадратными цифрами (как и в системе счисления 12, простое число может заканчиваться только простыми цифрами или 1), то есть 0, 1, 4 или 9, следующим образом:

если число делится и на 2, и на 3 (т. е. делится на 6), его квадрат заканчивается на 0, а его предыдущая цифра должна быть 0 или 3;
если число не делится ни на 2, ни на 3, его квадрат оканчивается на 1, а предыдущая цифра должна быть четной;
если число делится на 2, но не делится на 3, его квадрат заканчивается на 4, а его предыдущая цифра должна быть 0, 1, 4, 5, 8 или 9; и
если число делится не на 2, а на 3, его квадрат заканчивается на 9, а его предыдущая цифра должна быть 0 или 6.

Аналогичные правила могут быть даны для других оснований или для более ранних цифр (например, десятков вместо цифр единиц). ^{[ нужна цитата ]} Все такие правила можно доказать, проверив фиксированное число случаев и используя модульную арифметику .

В общем, если простое $число p$ делит квадрат числа $m$ , то квадрат $p$ также должен делить $m$ ; если $p$ не может разделить $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}m / p$ , то $m$ определенно не квадратное. Повторяя деление предыдущего предложения, можно прийти к выводу, что каждое простое число должно делить данный полный квадрат четное число раз (включая, возможно, 0 раз). Таким образом, число $m$ является квадратным числом тогда и только тогда, когда в его каноническом представлении все показатели степени четны.

Проверка квадратичности может использоваться как альтернативный способ факторизации больших чисел. Вместо проверки на делимость проверьте на квадратность: для заданного $m$ и некоторого числа $k$ , если $k 2 - m$ — квадрат целого числа $n,$ тогда $k - n$ делит $m$ . (Это применение факторизации разности двух квадратов .) Например, $1002 - 9991$ — это квадрат 3, следовательно, $100 - 3$ делит 9991. Этот тест является детерминированным для нечетных делителей в диапазоне от $k - n$ до $k + n$ , где $k$ охватывает некоторый диапазон натуральных чисел. $k\geq {\sqrt {m}}.$

Квадратное число не может быть совершенным числом .

Сумма n первых квадратных чисел равна

\sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.

Первые значения этих сумм, квадратные пирамидальные числа , таковы: (последовательность A000330 в OEIS )

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Доказательство без слов теоремы о сумме нечетных чисел

Сумма первых нечетных целых чисел, начиная с единицы, представляет собой полный квадрат: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7 и т. д. Этим объясняется закон нечетных чисел Галилея : если тело падение из состояния покоя проходит одну единицу расстояния в первый произвольный интервал времени, оно преодолевает 3, 5, 7 и т. д. единицы расстояния в последующих интервалах времени той же длины. От $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ , для $u = 0$ и постоянной $a$ (ускорение свободного падения без учета сопротивления воздуха); поэтому $s$ пропорционально $t 2$ , а расстояние от начальной точки представляют собой последовательные квадраты для целых значений прошедшего времени. ^[2]

Сумма n первых кубиков — это квадрат суммы n первых положительных целых чисел; это теорема Никомаха .

Все четвертые степени, шестые степени, восьмые степени и т. д. являются правильными квадратами.

Уникальная связь с треугольными числами $T_{n}$ является:

(T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}

Нечетные и четные квадратные числа

Квадраты четных чисел четны и делятся на 4, поскольку $(2 n) 2 = 4 н 2$ . Квадраты нечетных чисел нечетны и равны 1 по модулю 8, поскольку $(2 n + 1) 2 = 4 n (n + 1) + 1$ и $n (n + 1)$ всегда четно. Другими словами, все нечетные квадратные числа имеют остаток 1 при делении на 8.

Каждый нечетный полный квадрат представляет собой центрированное восьмиугольное число . Разница между любыми двумя нечетными совершенными квадратами кратна 8. Разница между 1 и любым совершенным квадратом с большей нечетностью всегда в восемь раз превышает треугольное число, а разница между 9 и любым совершенным квадратом с большей нечетностью равна восьмикратному треугольному числу минус восемь. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но не существует двух значений $2. н$ отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственный полный квадрат вида $2 н - 1$ равно 1, и единственный полный квадрат формы $2 н + 1$ равно 9.

Особые случаи

Если число имеет форму $m 5$ , где $m$ представляет собой предыдущие цифры, его квадрат равен $n 25$ , где $n = m (m + 1)$ , и представляет цифры до 25. Например, квадрат 65 можно вычислить по формуле $n = 6. \times (6 + 1) = 42,$ что делает квадрат равным 4225.
Если число имеет форму $m 0$ , где $m$ представляет предыдущие цифры, его квадрат равен $n 00$ , где $n = m. 2$ . Например, квадрат 70 равен 4900.
Если число состоит из двух цифр и имеет вид $5 m$ , где $m$ представляет цифру единиц, его квадрат равен $aabb$ , где $aa = 25 + m$ и $bb = m. 2$ . Например, чтобы вычислить квадрат числа 57, $m = 7$ и $25 + 7 = 32$ и $7. 2 = 49$ , поэтому $572 = 3249$ .
Если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 5; аналогично для окончаний на 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 и т. д. Если число заканчивается на 6, его квадрат заканчивается на 6, аналогично для окончаний на 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Например, квадрат числа 55376 равен 3066501376, оба оканчиваются на 376 . (Числа 5, 6, 25, 76 и т. д. называются автоморфными числами это последовательность A003226 . В OEIS . ^[3])
В системе счисления 10 последние две цифры квадратных чисел следуют повторяющемуся шаблону, зеркально симметрично кратному 25. В примере 24 и 26 обе цифры отличаются от 25, $24. 2 = 576$ и $262 = 676$ , оба заканчиваются на 76. В общем, ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ . Аналогичный шаблон применяется для последних трех цифр, кратных 250, и так далее. Как следствие, из 100 возможных последних 2 цифр только 22 встречаются среди квадратных чисел (поскольку 00 и 25 повторяются).

Смотрите также

Тождество Брахмагупты – Фибоначчи - выражение произведения сумм квадратов в виде суммы квадратов.
Кубическое число – число, возведенное в третью степень.
Четырехквадратное тождество Эйлера - произведение сумм четырех квадратов, выраженное как сумма четырех квадратов.
Теорема Ферма о суммах двух квадратов - Условие, при котором нечетное простое число является суммой двух квадратов.
Некоторые тождества, включающие несколько квадратов
Целочисленный квадратный корень – наибольшее целое число, меньшее или равное квадратному корню.
Методы вычисления квадратных корней - Алгоритмы вычисления квадратных корней
Степень двойки - двойка возведена в целую степень.
Тройка Пифагора – целые длины сторон прямоугольного треугольника.
Квадратичный остаток - целое число, которое является точным квадратом по модулю некоторого целого числа.
Квадратичная функция – Полиномиальная функция второй степени.
Квадратное треугольное число - целое число, которое является одновременно идеальным квадратом и треугольным числом.

Примечания

^ Некоторые авторы также называют квадраты рациональных чисел совершенными квадратами.
^ Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (14 января 2008 г.). Механическая Вселенная: Введение в механику и тепло . Издательство Кембриджского университета. п. 18. ISBN 978-0-521-71592-8 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003226 (Автоморфные числа: n^2 заканчивается на n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

дальнейшее чтение

Конвей Дж. Х. и Гай Р. К. Книга чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
Киран Парулекар. Удивительные свойства квадратов и их вычисления . Киран Анил Парулекар, 2012 г. https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC

[1] Некоторые авторы также называют квадраты рациональных чисел совершенными квадратами.

[2] Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (14 января 2008 г.). Механическая Вселенная: Введение в механику и тепло . Издательство Кембриджского университета. п. 18. ISBN 978-0-521-71592-8 .

[3] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003226 (Автоморфные числа: n^2 заканчивается на n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1]

[2]

[3]