Квадратный номер

Квадрат числа 16 как сумма гномонов .

В математике квадратное число или идеальный квадрат — это целое число , которое является квадратом целого числа; другими словами, это произведение некоторого целого числа само на себя. Например, 9 — квадратное число, так как оно равно 3. ² и может быть записано как 3 × 3 .

Обычное обозначение квадрата числа n — это не произведение n × n , а эквивалентное возведение в степень n ² , обычно произносится как « n в квадрате». Название квадратного числа происходит от названия фигуры. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата ( 1 × 1 ). Следовательно, квадрат со стороной n имеет площадь n. ² . Если квадратное число представлено n точками, точки можно расположить рядами в виде квадрата, каждая сторона которого имеет то же количество точек, что и квадратный корень из n ; таким образом, квадратные числа являются разновидностью фигурных чисел (другими примерами являются кубические числа и треугольные числа ).

В действительной системе счисления квадратные числа неотрицательны . Неотрицательное целое число является квадратным числом, если его квадратный корень снова является целым числом. Например, ${\sqrt {9}}=3,$ поэтому 9 - квадратное число.

Положительное целое число, не имеющее квадратных делителей , кроме 1, называется свободным от квадратов .

Для неотрицательного целого числа n n n- е квадратное число равно . ² , с 0 ² = 0 является нулевым . Понятие квадрата можно распространить и на некоторые другие системы счисления. Если включены рациональные числа, то квадрат есть отношение двух целых квадратных чисел, и, наоборот, отношение двух целых квадратных чисел есть квадрат, например, $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$.

Начиная с 1, существуют $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ квадратные числа до m включительно , где выражение $\lfloor x\rfloor$ представляет собой пол числа x .

Примеры

Квадраты (последовательность A000290 в OEIS ) меньше 60 ² = 3600 это:

0 ² = 0

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

5 ² = 25

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

9 ² = 81

10 ² = 100

11 ² = 121

12 ² = 144

13 ² = 169

14 ² = 196

15 ² = 225

16 ² = 256

17 ² = 289

18 ² = 324

19 ² = 361

20 ² = 400

21 ² = 441

22 ² = 484

23 ² = 529

24 ² = 576

25 ² = 625

26 ² = 676

27 ² = 729

28 ² = 784

29 ² = 841

30 ² = 900

31 ² = 961

32 ² = 1024

33 ² = 1089

34 ² = 1156

35 ² = 1225

36 ² = 1296

37 ² = 1369

38 ² = 1444

39 ² = 1521

40 ² = 1600

41 ² = 1681

42 ² = 1764

43 ² = 1849

44 ² = 1936

45 ² = 2025

46 ² = 2116

47 ² = 2209

48 ² = 2304

49 ² = 2401

50 ² = 2500

51 ² = 2601

52 ² = 2704

53 ² = 2809

54 ² = 2916

55 ² = 3025

56 ² = 3136

57 ² = 3249

58 ² = 3364

59 ² = 3481

Разница между любым идеальным квадратом и его предшественником определяется тождеством n ² - ( п - 1) ² знак равно 2 п - 1 . Аналогично, можно посчитать квадратные числа, сложив последний квадрат, корень последнего квадрата и текущий корень, то есть n ² = ( п - 1) ² + ( п - 1) + п .

Характеристики

Число m является квадратным тогда и только тогда, когда можно расположить m точек в квадрате:

м = 1 2 = 1
м = 2 2 = 4
м = 3 2 = 9
м = 4 2 = 16
м = 5 2 = 25

Выражение для n- го квадратного числа равно n ² . Это также равно сумме первых n нечетных чисел , как видно на рисунках выше, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного количества точек (показано пурпурным цветом). Формула следующая: $$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$$Например, 5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 .

Сумма первых n нечетных целых чисел равна n ² . 1 + 3 + 5 + ... + (2 n − 1) = n ² . Анимированная 3D визуализация тетраэдра.

Существует несколько рекурсивных методов вычисления квадратных чисел. Например, номер n- го квадрата можно вычислить из предыдущего квадрата с помощью n ² = ( п - 1) ² + ( п - 1) + п = ( п - 1) ² + (2 п - 1) . В качестве альтернативы, n- е квадратное число можно вычислить из двух предыдущих, удвоив ( n - 1)-е квадратное число, вычитая ( n - 2) -е квадратное число и прибавляя 2, потому что n ² = 2( п - 1) ² - ( п - 2) ² + 2 . Например,

2 × 5 ² − 4 ² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 ² .

Квадрат минус единица числа m всегда является произведением $m-1$ и $m+1;$ то есть, $$m^{2}-1=(m-1)(m+1).$$Например, с 7 ² = 49 , есть $6\times 8=48$. Поскольку простое число имеет множители только 1 и само себя, и поскольку m = 2 является единственным ненулевым значением m, дающим множитель 1 в правой части приведенного выше уравнения, из этого следует, что 3 является единственным простым числом. на единицу меньше квадрата ( 3 = 2 ² − 1 ).

В более общем смысле, разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы и разности. То есть, $$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$$Это формула разности квадратов , которая может быть полезна для ментальной арифметики: например, 47×53 можно легко вычислить как 50. ² − 3 ² = 2500 - 9 = 2491 .Квадратное число также является суммой двух последовательных треугольных чисел . Сумма двух последовательных квадратных чисел есть центрированное квадратное число . Каждый нечетный квадрат также является центрированным восьмиугольным числом .

Еще одним свойством квадратного числа является то, что (кроме 0) оно имеет нечетное количество положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют четное количество положительных делителей. Целочисленный корень — единственный делитель, который соединяется сам с собой, образуя квадратное число, в то время как другие делители входят в пары.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что любое положительное целое число можно записать как сумму четырех или менее полных квадратов. Трех квадратов недостаточно для чисел вида 4. ^к (8 м + 7) . Положительное целое число можно представить в виде суммы двух квадратов именно в том случае, если его факторизация простых чисел не содержит нечетных степеней простых чисел вида 4 k + 3 . Это обобщено проблемой Уоринга .

В системе счисления 10 квадратное число может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9 следующим образом:

• если последняя цифра числа равна 0, его квадрат заканчивается на 00;
• если последняя цифра числа — 1 или 9, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 1;
• если последняя цифра числа 2 или 8, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 4;
• если последняя цифра числа 3 или 7, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 9;
• если последняя цифра числа 4 или 6, его квадрат заканчивается нечетной цифрой, за которой следует 6; и
• если последняя цифра числа 5, то его квадрат оканчивается цифрой 25.

В системе счисления 12 квадратное число может заканчиваться только квадратными цифрами (как и в системе счисления 12, простое число может заканчиваться только простыми цифрами или 1), то есть 0, 1, 4 или 9, следующим образом:

• если число делится и на 2, и на 3 (т. е. делится на 6), его квадрат заканчивается на 0, а его предыдущая цифра должна быть 0 или 3;
• если число не делится ни на 2, ни на 3, его квадрат оканчивается на 1, а предыдущая цифра должна быть четной;
• если число делится на 2, но не делится на 3, его квадрат заканчивается на 4, а его предыдущая цифра должна быть 0, 1, 4, 5, 8 или 9; и
• если число делится не на 2, а на 3, его квадрат заканчивается на 9, а его предыдущая цифра должна быть 0 или 6.

Аналогичные правила могут быть даны для других оснований или для более ранних цифр (например, десятков вместо цифр единиц). Все такие правила можно доказать, проверив фиксированное число случаев и используя модульную арифметику .

В общем, если простое   число p делит квадрат числа m , то квадрат p также должен делить m ; если p не может разделить ⁠ m / p ⁠ , то m определенно не квадрат. Повторяя деление предыдущего предложения, можно прийти к выводу, что каждое простое число должно делить данный полный квадрат четное число раз (включая, возможно, 0 раз). Таким образом, число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда в его каноническом представлении все показатели степени четны.

Проверка квадратичности может использоваться как альтернативный способ факторизации больших чисел. Вместо проверки на делимость проверьте на квадратность: для заданного m и некоторого числа k , если k ² − m — квадрат целого числа n, тогда k − n делит m . (Это применение факторизации разности двух квадратов .) Например, 100 ² − 9991 — это квадрат 3, следовательно, 100 − 3 делит 9991. Этот тест является детерминированным для нечетных делителей в диапазоне от k − n до k + n , где k охватывает некоторый диапазон натуральных чисел. $k\geq {\sqrt {m}}.$

Квадратное число не может быть совершенным числом .

Сумма n первых квадратных чисел равна $$\sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.$$Первые значения этих сумм, квадратные пирамидальные числа , таковы: (последовательность A000330 в OEIS )

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Доказательство без слов теоремы о сумме нечетных чисел

Сумма первых нечетных целых чисел, начиная с единицы, представляет собой полный квадрат: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7 и т. д. Это объясняет закон нечетных чисел Галилея : если тело падение из состояния покоя проходит одну единицу расстояния в первый произвольный интервал времени, оно преодолевает 3, 5, 7 и т. д. единицы расстояния в последующие интервалы времени такой же длины. От $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$, для u = 0 и постоянной a (ускорение свободного падения без учета сопротивления воздуха); поэтому s пропорционально t ² , а расстояние от начальной точки представляют собой последовательные квадраты для целых значений прошедшего времени.

Сумма n первых кубиков — это квадрат суммы n первых положительных целых чисел; это теорема Никомаха .

Все четвертые степени, шестые степени, восьмые степени и т. д. являются правильными квадратами.

Уникальная связь с треугольными числами $T_{n}$ является: $$(T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}$$

Нечетные и четные квадратные числа

Квадраты четных чисел четны и делятся на 4, поскольку (2 n ) ² = 4 n ² . Квадраты нечетных чисел нечетны и равны 1 по модулю 8, поскольку (2 n + 1) ² = 4 n ( n + 1) + 1 и n ( n + 1) всегда четно. Другими словами, все нечетные квадратные числа имеют остаток 1 при делении на 8.

Каждый нечетный полный квадрат представляет собой центрированное восьмиугольное число . Разница между любыми двумя нечетными совершенными квадратами кратна 8. Разница между 1 и любым совершенным квадратом с большей нечетностью всегда в восемь раз превышает треугольное число, а разница между 9 и любым совершенным квадратом с большей нечетностью равна восьмикратному треугольному числу минус восемь. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но не существует двух значений 2. ^н отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственный полный квадрат вида 2 ^н − 1 равно 1, и единственный полный квадрат формы 2 ^н + 1 равно 9.

Особые случаи

• Если число имеет форму m 5 , где m представляет предыдущие цифры, его квадрат равен n 25 , где n = m ( m + 1), и представляет цифры до 25. Например, квадрат 65 можно вычислить по формуле n = 6. × (6 + 1) = 42, что делает квадрат равным 4225.
• Если число имеет форму m 0, где m представляет предыдущие цифры, его квадрат равен n 00, где n = m. ² . Например, квадрат 70 равен 4900.
• Если число состоит из двух цифр и имеет вид 5 m , где m представляет цифру единиц, его квадрат равен aabb , где aa = 25 + m и bb = m. ² . Например, чтобы вычислить квадрат числа 57, m = 7 и 25 + 7 = 32 и 7. ² = 49 , поэтому 57 ² = 3249 .
• Если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 5; аналогично для окончаний на 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 и т. д. Если число заканчивается на 6, его квадрат заканчивается на 6, аналогично для окончаний на 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Например, квадрат числа 55376 равен 3066501376, оба оканчиваются на 376 . (Числа 5, 6, 25, 76 и т. д. называются автоморфными числами это последовательность A003226 . В OEIS . )
• В системе счисления 10 последние две цифры квадратных чисел следуют повторяющемуся шаблону, зеркально симметрично кратному 25. В примере 24 и 26 обе цифры отличаются от 25, 24. ² = 576 и 26 ² = 676 , оба заканчиваются на 76. В общем, ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$. Аналогичный шаблон применяется для последних трех цифр, кратных 250, и так далее. Как следствие, из 100 возможных последних 2 цифр только 22 встречаются среди квадратных чисел (поскольку 00 и 25 повторяются).

См. также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи - выражение произведения сумм квадратов в виде суммы квадратов.
• Кубическое число – число, возведенное в третью степень.
• Четырехквадратное тождество Эйлера - произведение сумм четырех квадратов, выраженное как сумма четырех квадратов.
• Теорема Ферма о суммах двух квадратов - Условие, при котором нечетное простое число является суммой двух квадратов.
• Некоторые тождества, включающие несколько квадратов
• Целочисленный квадратный корень – наибольшее целое число, меньшее или равное квадратному корню.
• Методы вычисления квадратных корней - Алгоритмы вычисления квадратных корней
• Степень двойки - двойка возведена в целую степень.
• Тройка Пифагора – целые длины сторон прямоугольного треугольника.
• Квадратичный остаток - целое число, которое является точным квадратом по модулю некоторого целого числа.
• Квадратичная функция – Полиномиальная функция второй степени.
• Квадратное треугольное число - целое число, которое является одновременно идеальным квадратом и треугольным числом.

Дальнейшее чтение

• Конвей Дж. Х. и Гай Р. К. Книга чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30–32, 1996. ISBN   0-387-97993-X
• Киран Парулекар. Удивительные свойства квадратов и их вычисления . Киран Анил Парулекар, 2012 г. https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC