Конгруэнтное число

Треугольник с площадью 6, соответствующее число.

В теории чисел конгруэнтное число — это целое положительное число , которое представляет собой площадь прямоугольного треугольника с тремя рациональными сторонами. Более общее определение включает все положительные рациональные числа, обладающие этим свойством.

Последовательность (целых) конгруэнтных чисел начинается с

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (последовательность A003273 в OEIS )

показывать

Таблица конгруэнтных чисел: n ≤ 120

Congruent number table: n ≤ 120
—: non-Congruent number
C: square-free Congruent number
S: Congruent number with square factor

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

Например, 5 — конгруэнтное число, потому что оно представляет собой площадь треугольника (20/3, 3/2, 41/6). Аналогично, 6 — конгруэнтное число, поскольку оно представляет собой площадь треугольника (3,4,5). 3 и 4 не являются равными числами.

Если q — конгруэнтное число, то s ² q также является конгруэнтным числом для любого натурального числа s (просто умножив каждую сторону треугольника на s ), и наоборот. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его вычета в группе

$\mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2},$

где $\mathbb {Q} ^{*}$ — множество ненулевых рациональных чисел.

Каждый класс вычетов в этой группе содержит ровно одно целое число без квадратов , и поэтому, когда речь идет о конгруэнтных числах, обычно рассматривают только положительные целые числа без квадратов.

Задача о совпадающих числах

Вопрос об определении того, является ли данное рациональное число конгруэнтным числом, называется проблемой конгруэнтных чисел . Эта проблема (по состоянию на 2019 год) не была доведена до успешного решения. Теорема Таннелла дает легко проверяемый критерий определения того, является ли число конгруэнтным; но его результат основан на гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера , которая до сих пор не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике , названная в честь Пьера де Ферма , утверждает, что ни одно квадратное число не может быть конгруэнтным числом. Однако в том виде, в котором каждое конгруум (разница между последовательными элементами в арифметической прогрессии из трех квадратов) не является квадратным, это было уже известно (без доказательства) Фибоначчи . Каждое сравнение является конгруэнтным числом, а каждое конгруумное число является произведением конгруума и квадрата рационального числа. Однако определить, является ли число конгруумом, гораздо проще, чем определить, конгруэнтно ли оно, поскольку существует параметризованная формула для конгруума, для которой необходимо проверить только конечное число значений параметров.

Решения

n — конгруэнтное число тогда и только тогда, когда система

$x^{2}-ny^{2}=u^{2}$, $x^{2}+ny^{2}=v^{2}$

есть решение, где $x,y,u$, и $v$ являются целыми числами.

Учитывая решение, три числа $u^{2}$, $x^{2}$, и $v^{2}$ будет в арифметической прогрессии с общей разностью $ny^{2}$.

Более того, если существует одно решение (где правые части — квадраты), то их бесконечно много: при любом решении $(x,y)$,другое решение $(x',y')$ можно вычислить из

$x'=(xu)^{2}+n(yv)^{2},$

$y'=2xyuv.$

Например, с $n=6$, уравнения:

$x^{2}-6y^{2}=u^{2},$

$x^{2}+6y^{2}=v^{2}.$

Одним из решений является $x=5,y=2$ (так что $u=1,v=7$). Другое решение

$x'=(5\cdot 1)^{2}+6(2\cdot 7)^{2}=1201,$

$y'=2\cdot 5\cdot 2\cdot 1\cdot 7=140.$

С этим новым $x'$ и $y'$, новые правые части по-прежнему представляют собой оба квадрата:

$u'^{2}=1201^{2}-6\cdot 140^{2}=1324801=1151^{2},$

$v'^{2}=1201^{2}+6\cdot 140^{2}=1560001=1249^{2}.$

С использованием $x'=1201,y'=140,u',v'$ как указано выше, дает

$u''=1,727,438,169,601$

$v''=2,405,943,600,001$

Данный $x,y,u$, и $v$, можно получить $a,b$, и $c$ такой, что

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$, и ${\frac {ab}{2}}=n$

от

$a={\frac {v-u}{y}},\quad b={\frac {v+u}{y}},\quad c={\frac {2x}{y}}.$

Затем $a,b$ и $c$ катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника с площадью $n$.

Вышеуказанные значения $(x,y,u,v)=(5,2,1,7)$ производить $(a,b,c)=(3,4,5)$. Ценности $(1201,140,1151,1249)$ давать $(a,b,c)=(7/10,120/7,1201/70)$. Оба этих прямоугольных треугольника имеют площадь $n=6$.

Связь с эллиптическими кривыми

Вопрос о том, конгруэнтно ли данное число, оказывается эквивалентным условию некоторой эллиптической кривой положительного ранга . Альтернативный подход к этой идее представлен ниже (его, по сути, также можно найти во введении к статье Таннелла).

Предположим, a , b , c — числа (не обязательно положительные или рациональные), которые удовлетворяют следующим двум уравнениям:

${\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=n.\end{aligned}}$

Затем положим x = n ( a + c )/ b и у = 2 н ² ( а + с )/ б ² .Расчет показывает

$y^{2}=x^{3}-n^{2}x$

и y не равен 0 (если y = 0, то a = − c , поэтому b = 0 , но ( 1 ⁄ 2 ) ab = n не равно нулю, противоречие).

И наоборот, если x и y — числа, удовлетворяющие приведенному выше уравнению, а y не равно 0, установите а = ( х ² − п ² )/ у , b = 2 nx / y и c = ( x ² + н ² )/ у . Расчет показывает эти три числаудовлетворяют двум уравнениям для a , b и c, приведенным выше.

Эти два соответствия между ( a , b , c ) и ( x , y ) являются обратными друг другу, поэтомумы имеем взаимно однозначное соответствие между любым решением двух уравнений в a , b и c и любое решение уравнения относительно x и y с ненулевым y . В частности,из формул в двух соответствиях для рационального n мы видим, что a , b и c равнырационально тогда и только тогда, когда соответствующие x и y рациональны, и наоборот.(Мы также имеем, что все a , b и c положительны тогда и только тогда, когда x и y все положительны;из уравнения y ² = х ³ − хп ² = х ( х ² − п ² ) мы видим, что если x и y положительны, то x ² − п ² должно быть положительным, поэтому формула для вышеизложенное является положительным.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда уравнение й ² = х ³ − п ² x имеет рациональную точку , где y не равен 0.Можно показать (как применение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии)что единственными точками кручения на этой эллиптической кривой являются точки с y, равным 0, следовательно,существование рациональной точки с ненулевым y эквивалентно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Другой подход к решению — начать с целочисленного значения n , обозначаемого как N , и решить

$N^{2}=ed^{2}+e^{2}$

где

${\begin{aligned}c&=n^{2}/e+e\\a&=2n\\b&=n^{2}/e-e\end{aligned}}$

Текущий прогресс

Например, известно, что для простого числа p справедливо следующее:

• если p ≡ 3 ( mod 8) , то p не является конгруэнтным числом, но 2 p — конгруэнтное число.
• если p ≡ 5 (mod 8) , то p — конгруэнтное число.
• если p ≡ 7 (mod 8) , то p и 2 p — конгруэнтные числа.

Также известно, что в каждом из классов конгруэнтности 5, 6, 7 (mod 8) для любого заданного k существует бесконечно много конгруэнтных чисел без квадратов с k простыми делителями.

Ссылки

• Альтер, Рональд (1980), «Проблема конгруэнтных чисел», American Mathematical Monthly , 87 (1), Математическая ассоциация Америки: 43–45, doi : 10.2307/2320381 , JSTOR   2320381
• Чандрасекар, В. (1998), «Проблема конгруэнтных чисел» (PDF) , Resonance , 3 (8): 33–45, doi : 10.1007/BF02837344 , S2CID   123495100
• Диксон, Леонард Юджин (2005), «Глава XVI», История теории чисел , Dover Books on Mathematics, vol. II: Диофантовый анализ, Dover Publications, ISBN  978-0-486-44233-4 – см. историю проблемы.
• Гай, Ричард (2004), Нерешенные проблемы теории чисел , Сборники задач по математике (Книга 1) (3-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-20860-2 , Zbl   1058.11001 – В нем дано много ссылок.
• Таннелл, Джеррольд Б. (1983), «Классическая диофантова задача и модульные формы веса 3/2» , Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, Бибкод : 1983InMat..72..323T , doi : 10.1007/ BF01389327 , hdl : 10338.dmlcz/137483

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Согласованное число» . Математический мир .
• Краткое обсуждение текущего состояния проблемы со многими ссылками можно найти в Алисы Сильверберг книге «Открытые вопросы по арифметической алгебраической геометрии» (Постскриптум).
• Триллион треугольников — математики разрешили первый триллион случаев (условно гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера ).