Единая норма
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( декабрь 2009 г. ) |
В математическом анализе единая норма (или sup норма ) присваивает действительным или комплекснозначным функциям ограниченным определено на множестве неотрицательное число
Эту норму еще называют высшая норма , т. Чебышевская , норма норма бесконечности , или, когда верхняя грань фактически является максимумом, максимум норма . Название «единая норма» происходит от того факта, что последовательность функций сходится к под метрикой, полученной из равномерной нормы , тогда и только тогда, когда сходится к uniformly . [1]
Если — непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале или, в более общем смысле, на компактном множестве, то она ограничена, и супремум в приведенном выше определении достигается с помощью теоремы Вейерштрасса об экстремальных значениях , поэтому мы можем заменить супремум максимумом. В этом случае норму еще называют максимальная норма .В частности, если — некоторый вектор такой, что в конечномерном координатном пространстве он принимает вид:
Это называется -норма .
Определение
[ редактировать ]Равномерные нормы определяются, вообще говоря, для ограниченных функций со значениями в нормированном пространстве . Позволять быть набором и пусть быть нормированным пространством . На съемочной площадке функций из к , существует расширенная норма, определяемая формулой
В общем случае это расширенная норма, поскольку функция может быть не ограничено. Ограничение этой расширенной нормы ограниченными функциями (т. е. функциями с конечной выше расширенной нормой) дает (конечнозначную) норму, называемую равномерной нормой на . Обратите внимание, что определение равномерной нормы не опирается на какую-либо дополнительную структуру на множестве. , хотя на практике часто является, по крайней мере, топологическим пространством .
Конвергенция на в топологии, индуцированной равномерной расширенной нормой, является равномерная сходимость для последовательностей, а также для сетей и фильтров на .
Мы можем определить замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; Замкнутые множества в равномерной норме иногда называют равномерно замкнутыми , а замыкания — равномерными замыканиями . Равномерное замыкание множества функций A — это пространство всех функций, которые можно аппроксимировать последовательностью равномерно сходящихся функций на Например, одна из формулировок теоремы Стоуна – Вейерштрасса состоит в том, что множество всех непрерывных функций на — равномерное замыкание множества полиномов на
Для комплексных непрерывных функций над компактом это превращает ее в С*-алгебру (см. представление Гельфанда ).
Более слабые структуры, вызывающие топологию равномерной сходимости.
[ редактировать ]Единая метрика
[ редактировать ]Равномерная метрика между двумя ограниченными функциями из набора в метрическое пространство определяется
Равномерную метрику еще называют Метрика Чебышева , в честь Пафнутия Чебышева , который первым начал систематически ее изучать. В этом случае, ограничено именно тогда, когда конечно для некоторой постоянной функции . Если мы допускаем неограниченные функции, эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемая расширенная метрика все же позволяет определить топологию в рассматриваемом функциональном пространстве; тогда сходимость все еще остается равномерной сходимостью . В частности, последовательность сходится равномерно к функции тогда и только тогда, когда
Если является нормированным пространством , то оно является метрическим пространством естественным образом . Расширенная метрика индуцированная равномерной расширенной нормой, совпадает с равномерной расширенной метрикой
на
Равномерность равномерной сходимости
[ редактировать ]Позволять быть набором и пусть быть единым пространством . Последовательность функций из к говорят, что она сходится равномерно к функции если для каждого антуража есть натуральное число такой, что, принадлежит в любое время и . Аналогично для сети. Это сходимость в топологии на . На самом деле наборы
где проходит через окружение образуют фундаментальную систему антуража единообразия на , называемая равномерностью равномерной сходимости на . Равномерная сходимость — это в точности сходимость при однородной топологии.
Если является метрическим пространством , то оно по умолчанию снабжено метрической однородностью . Метрическая однородность по относительно равномерной расширенной метрики, то это равномерность равномерной сходимости на .
Характеристики
[ редактировать ]Набор векторов, норма бесконечности которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра
Причина индекса « ” это когда бы то ни было является непрерывным и для некоторых , затем где где является областью ; интеграл равен сумме, если — дискретное множество (см. p -norm ).
См. также
[ редактировать ]- L-бесконечность - Пространство ограниченных последовательностей
- Равномерная непрерывность – Равномерное ограничение изменения функций
- Единообразное пространство - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.
- Расстояние Чебышева – Математическая метрика
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 151 . ISBN 0-07-054235-Х .