Jump to content

Единая норма

(Перенаправлено с нормы Чебышева )
Периметр квадрата — это множество точек в 2 где норма sup равна фиксированной положительной константе. Например, точки (2, 0) , (2, 1) и (2, 2) лежат по периметру квадрата и принадлежат множеству векторов, норма sup которых равна 2.

В математическом анализе единая норма (или sup норма ) присваивает действительным или комплекснозначным функциям ограниченным определено на множестве неотрицательное число

Эту норму еще называют высшая норма , т. Чебышевская , норма норма бесконечности , или, когда верхняя грань фактически является максимумом, максимум норма . Название «единая норма» происходит от того факта, что последовательность функций сходится к под метрикой, полученной из равномерной нормы , тогда и только тогда, когда сходится к uniformly . [1]

Если непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале или, в более общем смысле, на компактном множестве, то она ограничена, и супремум в приведенном выше определении достигается с помощью теоремы Вейерштрасса об экстремальных значениях , поэтому мы можем заменить супремум максимумом. В этом случае норму еще называют максимальная норма .В частности, если — некоторый вектор такой, что в конечномерном координатном пространстве он принимает вид:

Это называется -норма .

Определение

[ редактировать ]

Равномерные нормы определяются, вообще говоря, для ограниченных функций со значениями в нормированном пространстве . Позволять быть набором и пусть быть нормированным пространством . На съемочной площадке функций из к , существует расширенная норма, определяемая формулой

В общем случае это расширенная норма, поскольку функция может быть не ограничено. Ограничение этой расширенной нормы ограниченными функциями (т. е. функциями с конечной выше расширенной нормой) дает (конечнозначную) норму, называемую равномерной нормой на . Обратите внимание, что определение равномерной нормы не опирается на какую-либо дополнительную структуру на множестве. , хотя на практике часто является, по крайней мере, топологическим пространством .

Конвергенция на в топологии, индуцированной равномерной расширенной нормой, является равномерная сходимость для последовательностей, а также для сетей и фильтров на .

Мы можем определить замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; Замкнутые множества в равномерной норме иногда называют равномерно замкнутыми , а замыкания — равномерными замыканиями . Равномерное замыкание множества функций A — это пространство всех функций, которые можно аппроксимировать последовательностью равномерно сходящихся функций на Например, одна из формулировок теоремы Стоуна – Вейерштрасса состоит в том, что множество всех непрерывных функций на — равномерное замыкание множества полиномов на

Для комплексных непрерывных функций над компактом это превращает ее в С*-алгебру (см. представление Гельфанда ).

Более слабые структуры, вызывающие топологию равномерной сходимости.

[ редактировать ]

Единая метрика

[ редактировать ]

Равномерная метрика между двумя ограниченными функциями из набора в метрическое пространство определяется

Равномерную метрику еще называют Метрика Чебышева , в честь Пафнутия Чебышева , который первым начал систематически ее изучать. В этом случае, ограничено именно тогда, когда конечно для некоторой постоянной функции . Если мы допускаем неограниченные функции, эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемая расширенная метрика все же позволяет определить топологию в рассматриваемом функциональном пространстве; тогда сходимость все еще остается равномерной сходимостью . В частности, последовательность сходится равномерно к функции тогда и только тогда, когда

Если является нормированным пространством , то оно является метрическим пространством естественным образом . Расширенная метрика индуцированная равномерной расширенной нормой, совпадает с равномерной расширенной метрикой

на

Равномерность равномерной сходимости

[ редактировать ]

Позволять быть набором и пусть быть единым пространством . Последовательность функций из к говорят, что она сходится равномерно к функции если для каждого антуража есть натуральное число такой, что, принадлежит в любое время и . Аналогично для сети. Это сходимость в топологии на . На самом деле наборы

где проходит через окружение образуют фундаментальную систему антуража единообразия на , называемая равномерностью равномерной сходимости на . Равномерная сходимость — это в точности сходимость при однородной топологии.

Если является метрическим пространством , то оно по умолчанию снабжено метрической однородностью . Метрическая однородность по относительно равномерной расширенной метрики, то это равномерность равномерной сходимости на .

Характеристики

[ редактировать ]

Набор векторов, норма бесконечности которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра

Причина индекса « ” это когда бы то ни было является непрерывным и для некоторых , затем где где является областью ; интеграл равен сумме, если дискретное множество (см. p -norm ).

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 151 . ISBN  0-07-054235-Х .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ce351a3478afd9e51936dc31630fcfbf__1718091540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ce/bf/ce351a3478afd9e51936dc31630fcfbf.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Uniform norm - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)