Число Ризеля

В математике число Ризеля — это нечетное натуральное число k , для которого $k\times 2^{n}-1$ является составной для всех натуральных чисел n (последовательность A101036 в OEIS ). Другими словами, когда k — число Ризеля, все члены следующего набора являются составными:

\left\{\,k\times 2^{n}-1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.

Если вместо этого форма $k\times 2^{n}+1$ , то k — число Серпинского .

Проблема с капельницей

Нерешенная задача по математике :

Является ли 509 203 наименьшим числом Ризеля?

(еще нерешенные задачи по математике)

В 1956 году Ганс Ризель показал, что существует бесконечное число целых чисел k таких, что $k\times 2^{n}-1$ не является простым ни для какого целого числа n . Он показал, что этим свойством обладает число 509203, как и число 509203 плюс любое целое положительное число, кратное 11184810. ^[1] Задача Ризеля состоит в определении наименьшего числа Ризеля. Поскольку покрывающего множества не найдено для любого k меньше 509203 , предполагается, что это наименьшее число Ризеля.

Чтобы проверить, есть ли k <509203, проект Riesel Sieve (аналог Seventeen или Bust для чисел Серпинского ) стартовал со 101 кандидатом k . По состоянию на декабрь 2022 года 57 из этих k были удалены Riesel Sieve, PrimeGrid или сторонними лицами. ^[2] Остальные 42 значения k , которые дали только составные числа для всех проверенных значений n , равны

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

Последнее исключение произошло в апреле 2023 года, когда 97139 × 2 ^18397548 − Райан Проппер обнаружил, что 1 является простым. Это число состоит из 5 538 219 цифр.

По состоянию на январь 2023 года PrimeGrid провел поиск оставшихся кандидатов до n = 14 900 000. ^[3]

Известные числа Ризеля

Последовательность известных на данный момент чисел Ризеля начинается с:

509203, 762701, 777149, 790841, 992077, 1106681, 1247173, 1254341, 1330207, 1330319, 1715053, 1730653, 1730681, 1744117, 1 830187, 1976473, 2136283, 2251349, 2313487, 2344211, 2554843, 2924861, ... (последовательность A101036 в ОЭИС )

Комплект чехлов

Можно показать, что число является числом Ризеля, продемонстрировав покрывающее множество : набор простых чисел, которые делят любой член последовательности, называемой так потому, что говорят, что она «покрывает» эту последовательность. Единственные проверенные числа Ризеля ниже миллиона имеют следующие наборы покрытия:

$509203\times 2^{n}-1$ имеет покрывающее множество {3, 5, 7, 13, 17, 241}
$762701\times 2^{n}-1$ имеет покрывающее множество {3, 5, 7, 13, 17, 241}
$777149\times 2^{n}-1$ имеет покрывающее множество {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
$790841\times 2^{n}-1$ имеет покрывающее множество {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
$992077\times 2^{n}-1$ имеет покрывающее множество {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Наименьшее n, для которого k · 2 ^н − 1 — простое число

Вот последовательность $a(k)$ для k = 1, 2, .... Он определяется следующим образом: $a(k)$ — наименьшее n ≥ 0 такое, что $k\cdot 2^{n}-1$ является простым или -1, если такого простого числа не существует.

2, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 3, 2, 1, 3, 4, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 7, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 12, 0, 3, 0, 2, 1, 4, 1, 5, 0, 1, 1, 2, 0, 7, 0, 1, ... (последовательность A040081 в OEIS ). Первое неизвестное n для этого k = 23669.

Связанными последовательностями являются OEIS : A050412 (не допускается n = 0), для нечетных k см. OEIS : A046069 или OEIS : A108129 (не допускается n = 0).

Одновременно Ризель и Серпинский

Рядом может быть одновременно Ризель и Серпинский . Это так называемые числа Брайера. Пять самых маленьких известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596. 110949,... ( А076335 ). ^[4]

Проблема двойной струйки

Двойственные числа Ризеля определяются как нечетные натуральные числа k такие, что |2 ^н - к | является составным для всех натуральных чисел n . Существует гипотеза, что набор этих чисел такой же, как набор чисел Ризеля. Например, |2 ^н - 509203| является составным для всех натуральных чисел n , а 509203 предполагается как наименьшее двойственное число Ризеля.

Наименьшее n, которое 2 ^н - k простое число (для нечетных k s, и эта последовательность требует, чтобы 2 ^н > к )

2, 3, 3, 39, 4, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 6, 6, 11, 7, 6, 29, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 10, 9, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 10, 7, 7, 26, 9, 7, 8, 7, 7, 10, 7, 7, 8, 7, 7, 7, 47, 8, 14, 9, 11, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, ... (последовательность A096502 в OEIS )

Нечетное k s, которое k - 2 ^н все составные для всех 2 ^н < k ( числа де Полиньяка ) равны

1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997, 1019, 1087, 1199, 1207, 1211, , 1259, 1271, 1477, ... (последовательность A006285 в OEIS )

Неизвестные значения ^{[ нужны разъяснения ]} из k s (для которых 2 ^н > к )

1871, 2293, 25229, 31511, 36971, 47107, 48959, 50171, 56351, 63431, 69427, 75989, 81253, 83381, 84491, ...

Числовая база Ризеля b

Можно обобщить проблему Ризеля на целочисленную базу b ≥ 2. База чисел Ризеля b — это целое положительное число k такое, что gcd ( k − 1, b − 1) = 1. (если gcd( k − 1, b − 1 ) > 1, то НОД( k − 1, b − 1) является тривиальным множителем k × b ^н − 1 (Определение тривиальных факторов для гипотез: каждое n -значение имеет один и тот же фактор)) ^[5]^[6] Для каждого целого числа b ≥ 2 существует бесконечно много чисел Ризеля по основанию b .

Пример 1: Все числа, конгруэнтные 84687 по модулю 10124569 и не конгруэнтные 1 по модулю 5, являются числами Ризеля по основанию 6 из-за покрывающего множества {7, 13, 31, 37, 97}. Кроме того, эти k нетривиальны, поскольку для них gcd( + 1, 6 − 1) = 1 k . (Гипотеза Ризеля о основании 6 не доказана, у нее осталось 3 k , а именно 1597, 9582 и 57492)

Пример 2: 6 — число Ризеля по всем основаниям b, соответствующее 34 по модулю 35, потому что если b соответствует 34 по модулю 35, то 6 × b ^н − 1 делится на 5 для всех четных n и делится на 7 для всех нечетных n . Кроме того, 6 не является тривиальным k в этих базисах b, поскольку НОД(6 - 1, b - 1) = 1 для этих базисов b .

Пример 3: Все квадраты k, конгруэнтные 12 по модулю 13 и не конгруэнтные 1 по модулю 11, являются числами Ризеля по основанию 12, поскольку для всех таких k , k ×12 ^н − 1 имеет алгебраические множители для всех четных n и делится на 13 для всех нечетных n . Кроме того, эти k нетривиальны, поскольку для них НОД( + 1, 12 − 1) = 1 k . (Гипотеза Ризеля о основании 12 доказана)

Пример 4: Если k находится в диапазоне от кратного 5 до кратного 11, то k ×109. ^н − 1 делится на 5 или 11 для всех натуральных чисел n . Первые несколько таких k — это 21, 34, 76, 89, 131, 144, ... Однако все эти k < 144 также являются тривиальными k (т.е. НОД( k - 1, 109 - 1) не равен 1). Таким образом, наименьшее основание числа Ризеля 109 равно 144. (Гипотеза Ризеля по основанию 109 не доказана, у нее осталось одно k , а именно 84)

Пример 5: Если k квадратное, то k ×49 ^н − 1 имеет алгебраические множители для всех натуральных чисел n . Первые несколько положительных квадратов — это 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Однако все эти k < 36 также являются тривиальными k (т.е. НОД ( k - 1, 49 - 1) не равен 1). Таким образом, наименьшее число Ризеля по основанию 49 равно 36. (Гипотеза Ризеля по основанию 49 доказана)

Мы хотим найти и доказать наименьшую базу чисел Ризеля b для каждого целого числа b ≥ 2. Это гипотеза, что если k является базой чисел Ризеля b , то выполняется хотя бы одно из трех условий:

Все числа вида k × b ^н − 1 имеют фактор в некотором покрывающем множестве. (Например, b = 22, k = 4461, тогда все числа вида k × b ^н − 1 имеют фактор в покрывающем множестве: {5, 23, 97})
k × b ^н − 1 имеет алгебраические множители. (Например, b = 9, k = 4, тогда k × b ^н − 1 можно разложить на (2×3 ^н − 1) × (2×3 ^н + 1))
Для некоторого n числа вида k × b ^н − 1 имеют фактор в некотором покрывающем множестве; а для всех остальных n , k × b ^н − 1 имеет алгебраические множители. (Например, b = 19, k = 144, тогда если n нечетное, то k × b ^н − 1 делится на 5, если n четное, то k × b ^н − 1 можно разложить на (12×19 ^{н /2} − 1) × (12×19 ^{н /2} + 1))

В следующем списке мы рассматриваем только те положительные целые числа k, для которых НОД( k - 1, b - 1) = 1, и все целые числа n должны быть ≥ 1.

Примечание: значения k , кратные b и где k −1 не является простым, включаются в гипотезы (и включаются в оставшиеся k с красный -значений не известны простые числа цвет, если для этих k ), но исключаются из тестирования (таким образом, никогда не должно быть k из «пяти крупнейших найденных простых чисел»), поскольку такие k -значения будут иметь то же простое число, что и k / b .

б	предполагаемый наименьший Ризель k	покрывающее множество / алгебраические факторы	оставшееся k без известных простых чисел (красным обозначены значения k , кратные b , а k -1 не является простым числом)	количество оставшихся k без известных простых чисел (исключая красные буквы )	предел тестирования n (исключая красные буквы )	найдены 5 крупнейших простых чисел (исключая красные буквы )
2	509203	{3, 5, 7, 13, 17, 241}	23669, 31859, 38473, 46663, 47338 , 63718 , 67117, 74699, 76946 , 81041, 93326 , 94676 , 107347, 121889, 127436 , 129007, 134234 , 143047, 149398 , 153892 , 161669, 162082 , 186652 , 189352 , 206231, 214694 , 215443, 226153, 234343, 243778 , 245561, 250027, 254872 , 258014 , 268468 , 286094 , 298796 , 307784 , 315929, 319511, 323338 , 324011, 324164 , 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 373304 , 384539, 386801, 388556 , 397027, 409753, 412462 , 429388 , 430886 , 444637, 452306 , 468686 , 470173, 474491, 477583, 485557, 487556 , 491122 , 494743, 500054	42	PrimeGrid в настоящее время ищет все оставшиеся k при n > 14,5M.	97139×2 ^18397548−1 93839×2 ^15337656−1 192971×2 ^14773498−1 206039×2 ^13104952−1 2293×2 ^12918431−1
3	63064644938	{5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193, 757}	3677878, 6878756, 10463066, 10789522, 11033634 , 16874152, 18137648, 20636268 , 21368582, 29140796, 31064666, 31389198 , 32368566 , 33100902 , 38394682, 40175404, 40396658, 50622456 , 51672206, 52072432, 54412944 , 56244334, 59254534, 61908864 , 62126002, 62402206, 64105746 , 65337866, 71248336, 87422388 , 93193998 , 94167594 , 94210372, 97105698 , 97621124, 99302706 , 103101766, 103528408, 107735486, 111036578, 115125596, 115184046 , ...	100714	k = 3677878 при n = 5M, 4M < k ≤ 2,147G при n = 1,07M, 2,147G < k ≤ 6G при n = 500K, 6G < k ≤ 10G при n = 250K, 10G < k ≤ 63G при n = 100K , , k > 63G при n = 655K	676373272×3 ^1072675−1 1068687512×3 ^1067484−1 1483575692×3 ^1067339−1 780548926×3 ^1064065−1 1776322388×3 ^1053069−1
4	9	9×4 ^н − 1 = (3×2 ^н − 1) × (3×2 ^н + 1)	нет (доказано)	0	−	8×4 ¹−1 6×4 ¹−1 5×4 ¹−1 3×4 ¹−1 2×4 ¹−1
5	346802	{3, 7, 13, 31, 601}	4906, 23906, 24530 , 26222, 35248, 68132, 71146, 76354, 81134, 92936, 102952, 109238, 109862, 119530 , 122650 , 127174, 131110 , 131848, 134266, 143632, 145462, 145484, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 176240 , 179080 , 182398, 187916, 189766, 190334, 195872, 201778, 204394, 206894, 231674, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 264610 , 265702, 267298, 271162, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 325922, 335414, 338866, 340660	54	PrimeGrid в настоящее время ищет все оставшиеся k при n > 4,8M.	3622×5 ^7558139-1 136804×5 ^4777253-1 52922×5 ^4399812-1 177742×5 ^4386703-1 213988×5 ^4138363-1
6	84687	{7, 13, 31, 37, 97}	1597, 9582 , 57492	1	5М	36772×6 ^1723287−1 43994×6 ⁵⁶⁹⁴⁹⁸−1 77743×6 ⁵⁶⁰⁷⁴⁵−1 51017×6 ⁵²⁸⁸⁰³−1 57023×6 ⁴⁸³⁵⁶¹−1
7	408034255082	{5, 13, 19, 43, 73, 181, 193, 1201}	315768, 1356018, 2210376 , 2494112, 2631672, 3423408, 4322834, 4326672, 4363418, 4382984, 4870566, 4990788, 5529368, 6279074, 6463028, 6544614, 7446728, 7553594, 8057622, 8354966, 8389476, 8640204, 8733908, 9492126 , 9829784, 10096364, 10098716, 10243424, 10289166, 10394778, 10494794, 10965842, 11250728, 11335962, 11372214, 11522846, 11684954, 11943810, 11952888, 11983634, 12017634, 12065672, 12186164, 12269808, 12291728, 12801926, 13190732, 13264728, 13321148, 13635266, 13976426, ...	16399 к с ≤ 1G	k ≤ 2M при n = 1M, 2M < k ≤ 10M при n = 500K, 10M < k ≤ 110M при n = 150K, 110M < k ≤ 300M при n = 100K, 300M < k ≤ 1G при n = 25K	1620198×7 ⁶⁸⁴⁹²³−1 7030248×7 ⁴⁸³⁶⁹¹−1 7320606×7 ⁴⁶⁴⁷⁶¹−1 5646066×7 ⁴⁶⁰⁵³³−1 9012942×7 ⁴²⁵³¹⁰−1
8	14	{3, 5, 13}	нет (доказано)	0	−	11×8 ¹⁸−1 5×8 ⁴−1 12×8 ³−1 7×8 ³−1 2×8 ²−1
9	4	4×9 ^н − 1 = (2×3 ^н − 1) × (2×3 ^н + 1)	нет (доказано)	0	−	2×9 ¹−1
10	10176	{7, 11, 13, 37}	4421	1	1,72 млн.	7019×10 ⁸⁸¹³⁰⁹−1 8579×10 ³⁷³²⁶⁰−1 6665×10 ⁶⁰²⁴⁸−1 1935×10 ⁵¹⁸³⁶−1 1803×10 ⁴⁵⁸⁸²−1
11	862	{3, 7, 19, 37}	нет (доказано)	0	−	62×11 ²⁶²⁰²−1 308×11 ⁴⁴⁴−1 172×11 ¹⁸⁷−1 284×11 ¹⁸⁶−1 518×11 ⁷⁸−1
12	25	{13} для нечетного n , 25×12 ^н − 1 = (5×12 ^{н /2} − 1) × (5×12 ^{н /2} + 1) для четного n	нет (доказано)	0	−	24×12 ⁴−1 18×12 ²−1 17×12 ²−1 13×12 ²−1 10×12 ²−1
13	302	{5, 7, 17}	нет (доказано)	0	−	288×13 ¹⁰⁹²¹⁷−1 146×13 ³⁰−1 92×13 ²³−1 102×13 ²⁰−1 300×13 ¹⁰−1
14	4	{3, 5}	нет (доказано)	0	−	2×14 ⁴−1 3×14 ¹−1
15	36370321851498	{13, 17, 113, 211, 241, 1489, 3877}	381714, 4502952, 5237186, 5725710 , 7256276, 8524154, 11118550, 11176190, 12232180, 15691976, 16338798, 16695396, 18267324, 18709072, 19615792, ...	14 тыс. с ≤ 20M	k ≤ 10M при n = 1M, 10M < k ≤ 20M при n = 250K	4242104×15 ⁷²⁸⁸⁴⁰−1 9756404×15 ⁵²⁷⁵⁹⁰−1 9105446×15 ⁴⁹⁶⁴⁹⁹−1 5854146×15 ⁴²⁸⁶¹⁶−1 9535278×15 ³⁷⁵⁶⁷⁵−1
16	9	9×16 ^н − 1 = (3×4 ^н − 1) × (3×4 ^н + 1)	нет (доказано)	0	−	8×16 ¹−1 5×16 ¹−1 3×16 ¹−1 2×16 ¹−1
17	86	{3, 5, 29}	нет (доказано)	0	−	44×17 ⁶⁴⁸⁸−1 36×17 ²⁴³−1 10×17 ¹¹⁷−1 26×17 ¹¹⁰−1 58×17 ³⁵−1
18	246	{5, 13, 19}	нет (доказано)	0	−	151×18 ⁴¹⁸−1 78×18 ¹⁷²−1 50×18 ¹¹⁰−1 79×18 ⁶³−1 237×18 ⁴⁴−1
19	144	{5} для нечетного n , 144×19 ^н − 1 = (12×19 ^{н /2} − 1) × (12×19 ^{н /2} + 1) для четного n	нет (доказано)	0	−	134×19 ²⁰²−1 104×19 ¹⁸−1 38×19 ¹¹−1 128×19 ¹⁰−1 108×19 ⁶−1
20	8	{3, 7}	нет (доказано)	0	−	2×20 ¹⁰−1 6×20 ²−1 5×20 ²−1 7×20 ¹−1 3×20 ¹−1
21	560	{11, 13, 17}	нет (доказано)	0	−	64×21 ²⁸⁶⁷−1 494×21 ⁹⁷⁸−1 154×21 ¹⁰³−1 84×21 ⁸⁸−1 142×21 ⁴⁸−1
22	4461	{5, 23, 97}	3656	1	2М	3104×22 ¹⁶¹¹⁸⁸−1 4001×22 ³⁶⁶¹⁴−1 2853×22 ²⁷⁹⁷⁵−1 1013×22 ²⁶⁰⁶⁷−1 4118×22 ¹²³⁴⁷−1
23	476	{3, 5, 53}	404	1	1,35 М	194×23 ²¹¹¹⁴⁰−1 134×23 ²⁷⁹³²−1 394×23 ²⁰¹⁶⁹−1 314×23 ¹⁷²⁶⁸−1 464×23 ⁷⁵⁴⁸−1
24	4	{5} для нечетного n , 4×24 ^н − 1 = (2×24 ^{н /2} − 1) × (2×24 ^{н /2} + 1) для четного n	нет (доказано)	0	−	3×24 ¹−1 2×24 ¹−1
25	36	36×25 ^н − 1 = (6×5 ^н − 1) × (6×5 ^н + 1)	нет (доказано)	0	−	32×25 ⁴−1 30×25 ²−1 26×25 ²−1 12×25 ²−1 2×25 ²−1
26	149	{3, 7, 31, 37}	нет (доказано)	0	−	115×26 ⁵²⁰²⁷⁷−1 32×26 ⁹⁸¹²−1 73×26 ⁵³⁷−1 80×26 ³⁸²−1 128×26 ³⁰⁰−1
27	8	8×27 ^н − 1 = (2×3 ^н − 1) × (4×9 ^н + 2×3 ^н + 1)	нет (доказано)	0	−	6×27 ²−1 4×27 ¹−1 2×27 ¹−1
28	144	{29} для нечетного n , 144×28 ^н − 1 = (12×28 ^{н /2} − 1) × (12×28 ^{н /2} + 1) для четного n	нет (доказано)	0	−	107×28 ⁷⁴−1 122×28 ⁷¹−1 101×28 ⁵³−1 14×28 ⁴⁷−1 90×28 ³⁶−1
29	4	{3, 5}	нет (доказано)	0	−	2×29 ¹³⁶−1
30	1369	{7, 13, 19} для нечетного n , 1369×30 ^н − 1 = (37×30 ^{н /2} − 1) × (37×30 ^{н /2} + 1) для четного n	659, 1024	2	500 тыс.	239×30 ³³⁷⁹⁹⁰−1 249×30 ¹⁹⁹³⁵⁵−1 225×30 ¹⁵⁸⁷⁵⁵−1 774×30 ¹⁴⁸³⁴⁴−1 25×30 ³⁴²⁰⁵−1
31	134718	{7, 13, 19, 37, 331}	55758	1	3M	6962×31 ^2863120−1 126072×31 ³⁷⁴³²³−1 43902×31 ²⁵¹⁸⁵⁹−1 55940×31 ¹⁹⁷⁵⁹⁹−1 101022×31 ¹³³²⁰⁸−1
32	10	{3, 11}	нет (доказано)	0	−	3×32 ¹¹−1 2×32 ⁶−1 9×32 ³−1 8×32 ²−1 5×32 ²−1

Предполагаемое наименьшее числовое основание Ризеля n (начните с n = 2).

509203, 63064644938, 9, 346802, 84687, 408034255082, 14, 4, 10176, 862, 25, 302, 4, 36370321851498, 9, 86, 246, 144, 8, 0, 4461, 476, 4, 36, 149, 8, 144, 4, 1369, 134718, 10, 16, 6, 287860, 4, 7772, 13, 4, 81, 8, 15137, 672, 4, 22564, 8177, 14, 3226, 36, 16, 64, 900, 5392, 4, 6852, 20, 144, 105788, 4, 121, 13484, 8, 187258666, 9, ... (последовательность A273987 в OEIS )

См. также

Ссылки

^ Ризель, Ганс (1956). «Некоторые большие простые числа». Элементы . 39 : 258–260.
^ «Статистика проблемы Ризеля» . ПраймГрид.
^ «Статистика проблемы Ризеля» . ПраймГрид . Архивировано из оригинала 15 января 2024 года . Проверено 15 января 2024 г.
^ «Задача 29. — Числа Брайера» .
^ «Гипотезы и доказательства Ризеля» .
^ «Гипотезы Ризеля и доказательства степени двойки» .

Источники

Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Берлин: Springer-Verlag . п. 120. ИСБН 0-387-20860-7 .
Рибенбойм, Пауло (1996). Новая книга рекордов простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 357–358 . ISBN 0-387-94457-5 .

Внешние ссылки

[1] Ризель, Ганс (1956). «Некоторые большие простые числа». Элементы . 39 : 258–260.

[2] «Статистика проблемы Ризеля» . ПраймГрид.

[3] «Статистика проблемы Ризеля» . ПраймГрид . Архивировано из оригинала 15 января 2024 года . Проверено 15 января 2024 г.

[4] «Задача 29. — Числа Брайера» .

[5] «Гипотезы и доказательства Ризеля» .

[6] «Гипотезы Ризеля и доказательства степени двойки» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]